Робастно-адаптивное управление с эталонной моделью для нелинейных объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-506

РОБАСТНО-АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛЬЮ

ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ

© 2006 г. Г.Н. Терновая

В настоящее время имеется большое количество публикаций, в которых рассматриваются задачи построения робастных и адаптивных систем управления [1-7]. Особое место занимают задачи управления, когда измерению недоступны производные входных и выходных величин.

В данной статье рассматривается построение ро-бастно-адаптивной системы управления с эталонной моделью для нелинейных динамических объектов, когда измерению доступны скалярные вход - выход, для чего используется наблюдатель с большим коэффициентом усиления [6].

Постановка задачи

Рассмотрим нелинейный объект управления, динамические процессы в котором описываются дифференциальным уравнением

Q( P) y (t) = R( P) (u(t) + f (t) + Ф( y)),

(1)

где Р = ё / Ж - оператор дифференцирования; Q(Р), Я(Р) - линейные дифференциальные операторы с постоянными неизвестными коэффициентами порядков п, т соответственно, п - т > 2; у) - измеряемая регулируемая переменная, и(/)- скалярное управляющее воздействие, /) - не измеряемое ограниченное возмущающее воздействие, Ф(у) - неизвестная нелинейность, ограниченная положительной функцией.

Требуемое качество переходных процессов в нашем объекте задается уравнением эталонной модели

Qm (P)Ут (t) = Rm (P)Г(t).

(2)

lim |e(t )| = lim| y (t) - ym (t )| <8.

(3)

Предположения:

А1. Коэффициенты дифференциальных операторов Q(Р), Я(Р) зависят от вектора неизвестных параметров ^еа, где Е - известное множество возможных значений вектора £ .

А2. Полиномы Я(А),Qm(А),Ят (А) - гурвицевы, А - комплексная переменная в преобразовании Лапласа.

А3. Известна относительная степень объекта управления п - т > 2.

А4. Известно, что пт < п, тт < т.

А5. |ф(у)| <ф(у), ф(у) > 0, \/< С, С > 0.

А6. ут (?), у^^), I = 1,.., п - т-ограничены.

Метод решения

Составим уравнение для ошибки е(?) = = у(?) - ут (?), вычитая (2) из (1):

Q( Р)е(?) = Я( Р) х

f

u(t) +

Qm (P) - Q(P) R( P)

ym (t) + f (t) + Ф(y) -

Rm( P)

R( P)

А

r(t)

(4)

Обозначим

Ф(У, t) = Qm (P1- Q( P) ym (t) + f (t) + Ф(у) - r (t).

R( P)

R( P)

В силу предположений А2, А5, А6 величина ф( у, ?) является ограниченной.

Зададим закон управления в виде

u = -9T (P)e (t) + ((t)sign(e), (X = -у1 \e\-у2(, ((0) = 0,

(5)

Здесь Qm (Р) и Ят (Р) - линейные дифференциальные операторы порядков пт и тт соответственно; г ) - скалярное ограниченное задающее воздействие; выход эталонной модели и ее производные ут(?), утЧ?), ' = 1,..,п-т - являются ограниченными скалярными величинами.

Необходимо спроектировать систему управления, для которой будет выполнено условие

где 0 > 0, Т (Р) - линейный дифференциальный оператор порядка п - т -1. Оператор Т (Р) выбирается так, чтобы полином Т (А) был гурвицевым, тогда в силу предположения А2 полином степени п -1 Я(А)Т (А) - гурвицев, а значит, существует положительное число 0 такое, что полином

Q 0(А) = Q(А) + 0Я(А)Т (А)

тоже будет гурвицевым; е"(/) - оценка ошибки. Тогда уравнение (4) примет вид

Qo(P)e(t) = Я(Р)(0Т(Р)(е(Г)-ё(0) + ^(е) +<(?)). (6)

Для реализации закона управления (5) требуется П(Г) = Б _1(¥0 - Н0Ь)Бп(Г) + получить оценку е (Г) и ее п - т - 2 производных,

которые формируются наблюдателем [6]: + Б _1Б0 (е 21 (Г) + Ь0тТ (е 1(Г) - ё(Г)) +

ё(Г) = ¥Ё(0 + Н0(е(0 - ё(0), е (Г) = Ье(Г). (7) +Ь0(ц«£п(е) + ф(у,Г))).

З сь нТ = к ^п-т ]. ёе^п-т- ь = [10 01" Принимая во внимание структуры матриц, найдем

F =

01 n-m-1

1

П(t) = -Fn(t) +

; I n-m-1 - единичная матрица порядка a

+Bo (e 21(í) + boT+ bo(^sign(e) + ф(у,í))). (10)

0 0

(п - т -1) х (п - т -1); ст> 0 достаточно малая величина. Числа к1,...,кп-т выбираются так, чтобы мат- Возьмём функцию Ляпунова

рица ¥ = ¥0 + Н1 Ь была гурвицевой, где Т

У1 =пТ Нп ,

Н Т = [-V.., -кп-т ].

Тогда закон управления реализуем, так как не где Н - тота^л^^Еределвннад отммярвчнад требует измерения производных регулируемой пере- матрица, отределяешм из матричного уравнения

менной. т+¥ТН = -а,

Утверждение. Пусть выполнены условия предпо- т

ложений А1 - А6, и полином Т(А), и число 9 выбра- где 61 = 61 >

ны из условий гурвицевости полинома 60(А), тогда Вычислим шлную пр°изв°дную на траекториях

закон управления (5) с наблюдателем (7) обеспечива-

системы (10) с учетом приведённого уравнения

ют ограниченность траекторий системы (6). -1 T T T T

n a a a - V =--ПTQin + 2nTHB0e21 + 2n HB0b0тTDn +

Следует отметить, что, выбирая число 0 большой 1 a 1 1 0 21 1 00 1

величиной, а значение a малым, можно добиться t

выполнения целевого условия (3). +2n HB0b0 (^ign(e) + ф(у,í)) =

Доказательство утверждения. Преобразуем 1

уравнение (6) в векторно-матричную форму = —n T Q 3П + 2n T HB 0 e 21 +

a

e(í) = Ae(í) + BliT (e j(í) -Ё(í)) + ^ (fj,sign(e) + ф(f)) +2Л THB0b0 (^sign(e) + ф(y, t)),

e(t) = Le(t), (8) ¡ T \

где (Qj - 2aHB0b0ttD) = Q3 > 0.

где e = col(e 1,e2), e 1 e Rn-m,e2 e Rm; A - гурвицева Возьмём функцию Ляпунова

матрица в форме Фробениуса с характеристическим 1

многочленом Q0(A); B¡ =[0,...,0,b0,...,bm]; значе- V2 = eTPe + —(ц-^)2, ^0 = sup|ф(у,t)|,

Y1 t

ниями вектора т являются коэффициенты полинома

T (А), умноженные на 0 ; L = [1,0,...,0]. где P - положительно-определенная симметричная

Запишем уравнение (8) в виде системы уравнений:

e 1(t) = здо + PA+AP = -q2-pl

матрица, определяемая из матричного уравнения

T

+Bo (e 2i(í) + b oT T (E i(í) - E (í)) + b o (^sign(e) + ф(y, í))),

где Q2 = Q2T > o, p> o.

'-2 - ^2

Вычислим полную производную на траекториях ё 2(Г) = ¥1е 2 (Г) + Б0 сТ е(Г) + системы (8) с учетом приведённого уравнения

+Бтт (е 1(Г)-ё(Г))+ Б(^п(е) + ф(у,Г)), (9) У2 =-е2е-РеТе + 2еТрБ1тТбп +

Т = [0 0 1]. БТ = [Ь. Ь ]- ¥ - имеет такую +2ё'РБ1 НёП(е) + ф(У,Г)) + 0^

где Б 0 = [0,...,0,1]; Б = [Ь1,..., Ьт ]; ¥1 - имеет такую 14 ' ' у 1

же структуру как матрица ¥0; элементами вектора с1 являются коэффициенты полинома 6 0(А); е 21 -

Определяя алгоритм настройки параметра ^(t) в соответствии с (5), получим

первая компонента вектора е 2. Т Т Т Т

2 У2 = -е Т6 2е-ре Т е + 2е Т РБ1т Т Бп +

Следуя [6], введём вектор

П = Б-1(е1 -Е), Б = с1^{ап-т-1_ст,х}, +2е'РБ1 + ф(у,Г))-21Н0)-

2у 2

тогда из (7) и (9) получим --2 (ц - ц 0 )ц.

У1

Воспользуемся оценками

0,5еTQ2е> ^ т

0,5 е тРВ

■ = Y е1PBA

B\ PQ 2 pbx 2eTPB1]isign(e) < 2 |eTPB11 |b| = -2 |eTPB1 | b, так как b(t) < 0, 2eTPB^(y,t) < 2|етРВ1U0,

2y Y

Y i Y i

в результате чего получим

2 , Y..? 11 2

Y i

V2 < -0,5e TQ 2e-pe T x xe-Y|eTPBÍ2 - 2letPBJ(^-^0) + 2eTPB1TTЩ +

+2 |е| - — (ц-^0 )2 +— М^.

У1 У1

Вычислим полную производную на траекториях системы (6) с учетом приведённого уравнения

\2 , Y 2 ..2

V = Vi + V2;

1

IV < --nTQ3n + 2nT HB 0e21 + 2n THB 0Ь0ттПц + а

+2n THB 0b 0 (sign(e) + ф(у, t)) - 0,5e TQ 2e - 0,5pe T e -

( 0,5Y|eTPBj2 + +2 |eTPB J b-b0| + (b-b0)2 ^

Yi

0, 5y 2 Yi

(b-b0)2-2|e| |b-b0| + 2eTPB1TTDn.

' +т2 P + т3,

Выберем

Т (Р) = ^Р

0 = 10, у1 =10,у2 =0,01, т =2, т2 =8, т3 =16.

В этом случае полином Q 0(А) гурвицев и выполнены условия (6) для любых а^, к е Е . Параметры наблюдателя (7): а = 0,01, вектор = [-3; -3;-1].

Для реализации приведенного закона управления не требуется измерения производных регулируемой переменной, а управляющее воздействие формируется на основании измеренного выхода и переменных, получаемых с наблюдателя.

На рис. 1 приведены результаты моделирования при следующих исходных данных:

а^ = -5, I = 1, 2, 3; к = 3.

0,15

0,10

0,05

0

-0,05

. ■. e(t) : :

Воспользуемся оценками

2nTHB0е21 < nTП + \HB0|2 еTе, 2еTPB1tTDn < еtе + А j;ax |pb1ttd|ПtП,

2n tШ0b0^sign(e) < 2 |n THB0b0| = -2 |n THB0b0 так как ^,(t) < 0,

2nTHB0b0Ф(y,t) < 2|nTHB0be|Ц0-Окончательно имеем

V <-n TQ 4П -е TQ + ц 02,

Y1

где Q4 =±Q3 -А max PB1Ttd|/-1, a 1 1

Q5 = 0,5Q2 + 0,5pI -|HB0I21 -1. При выборе числа y 2 <y 1 получим dV / dt < 0, откуда следует выполнение целевого условия (3).

Пример. Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением

(P3 + P 2 + a 2 P + a3) y(t) = k (u(t) + f (t) + Ф( y)).

Здесь f (t) = sint + 1(t), Ф(y) = 0,5y3. Класс неопределённости задан множеством Е= {ai, k, i = 1,2,3: ai e [-5;5], 1 < k < 4}. Зададим закон управления в виде (5).

(0 10 20 30 t, с

Рис. 1

Заключение

В работе исследована схема робастно-адаптив-ного управления объектом с использованием для оценки производных регулируемой величины наблюдателя с большим коэффициентом усиления, что является развитием подхода, предложенного в [4]. Полученные в работе результаты могут быть обобщены для систем векторных выходов и входов.

Литература

1. Поляк Б.Г., Цыпкин Я.З. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники. Серия Техническая кибернетика / ВИНИТИ. М., 1991. С. 3-31.

2. Воронков В.С. Синтез робастного нелинейного управления неустойчивыми объектами // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996. № 6. С. 58-66.

3. Glover K. Robust stabilization of linear multivariable systems: relations to approximation // Int. J. of Contr. Vol. 43. №3. P. 741-766.

4. Бобцов А.А. Алгоритм робастного управления неопределённым объектом без измерения производных регулируемой переменной // А и Т. 2003. № 8. С. 82-96.

5. Бобцов А.А. Алгоритм робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией неизвестного детерминированного возмущения // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. № 2. С. 93-97.

6. Ahmad N.A.,Khalil H.K. A separation principle for the

stabilization of a class of nonlinear systems // IEEE Trans. on automat contr. 1999. Vol. 44. № 9. P. 1672-1687.

7. Ключарев А.Ю. Синтез сингулярно-возмущенного адаптивного управления нелинейным объектом с запаздыванием по состоянию // Вест. АГТУ. 2005. № 1(24). С. 20-29.

Астраханский государственный технический университет

18 октября 2005 г.

2