Результаты синтеза ансамблей двоичных последовательностей со свойством "не более одного совпадения", сформированных над простыми полями Галуа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391.15

В. Е. Гантмахер, И. С. Пашков

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

Результаты синтеза ансамблей двоичных последовательностей со свойством "не более одного совпадения", сформированных над простыми полями Галуа

Приведен анализ результатов синтеза оптимальных по объему ансамблей двоичных последовательностей со свойством "не более одного совпадения" при формировании последовательностей на основе одного класса степенных вычетов по простому модулю.

Синтез, двоичные последовательности, ансамбли, корреляционная функция, поля Галуа, вес,

Известно лишь одно регулярное правило формирования ансамблей двоичных последовательностей со свойством "не более одного совпадения" (далее ансамбли) [1]. Но сформированные по этому правилу ансамбли обладают редкой сеткой периодов и относительно малым объемом. В [2] синтезированы большие массивы двоичных последовательностей (ДП) со свойством "не более одного совпадения" над простыми полями Галуа; показана возможность выбора ансамблей из этих массивов, но не решен вопрос оптимизации объемов ансамблей. В [3] найдены границы максимального объема ансамбля и предложена методика оптимизации ансамбля, построенного на основе одного класса степенных вычетов по простому модулю. В [4] разработана программа для ЭВМ, реализующая эту методику.

Настоящая статья посвящена анализу результатов синтеза оптимальных по объему ансамблей, рассчитанных с помощью программы [4].

Пусть 9 - первообразный корень простого поля Галуа GF (p), p = Rd +1. Степени

9mj mod p, j = 0, d -1 образуют m-й класс степенных вычетов по модулю p . Если m-я двоичная последовательность X формируется по правилу кодирования (ПК):

где К (/) - функция, определяющая номер класса, которому принадлежит число /, то периодические автокорреляционные функции (ПАКФ) всех d последовательностей, формируемых по ПК (1), одинаковы с точностью до циклического сдвига, а взаимно корреляционные функции (ВКФ) в общем случае разные и определяются таблицей спектров разности классов вычетов (СРКВ) [2]. Задача состоит в том, чтобы отобрать из d последовательностей со свойством "не более одного совпадения" максимальное число Утях (р, R) таких последовательностей, ненормированная ВКФ которых также не превышает единицы. Семейство этих последовательностей будем называть оптимальными по объему ансамблями (оптимальные ансамбли) двоичных последовательностей со свойством "не более одного совпадения".

пик-фактор

(1)

© Гантмахер В. Е., Пашков И. С., 2009

Авторами статьи выполнен расчет оптимальных ансамблей для полей Галуа с характеристикой 7 < р < 65519. Это достаточно большой массив ансамблей, чтобы исследовать результативность методики синтеза, а также свойства синтезированных ансамблей.

Основные характеристики ансамбля и входящих в него двоичных последовательностей: р - период последовательности; R - вес последовательности; pf = р^ - пик-фактор последовательности; Утях (р, R) - максимальный объем ансамбля. Три первые характеристики связаны примерным соотношением

Р - R ■ р/, (2)

так как d = (р -1)/R.

В [3] найдены верхняя Ув и нижняя Ув границы максимального объема ансамбля.

Представляет интерес проверка достоверности этих границ. Из сопоставления графиков на рис. 1 хорошо видно:

• что и верхняя, и нижняя границы достаточно точно апроксимируются прямыми линиями;

• с увеличением веса последовательностей угол наклона аппроксимирующих прямых как верхней, так и нижней границ уменьшается;

• с увеличением периода реальные максимальные объемы не пересекают границ, но с изменением веса последовательностей "зазор" между реальными объемами ансамблей и границами изменяется.

На основании изложенного можно сделать вывод, что найденные в [3] границы требуют уточнения с учетом веса ДП синтезируемых сигналов, но для оценочных расчетов границ максимальных объемов ансамблей они применимы.

Из приведенных графиков также следует, что с увеличением пик-фактора объемы ансамблей монотонно увеличиваются. Следовательно, по предложенной в [2], [3] методике можно синтезировать ансамбли произвольных веса и объема.

Представляет интерес оценка оптимального объема ансамбля для заданных веса, пик-фактора или периода последовательностей.

В [3] получены формулы оценки верхней и нижней границ максимального объема ансамбля:

Р

Р

1200

2400 Рис. 1

3600

Р

0

Гв = d/(R -1) = р/(R2 -1); Ун = 8d|(R2 + 7 ) = 8р/(R3 + R2 + 7R + 7) Тогда

8d/(R2 + 7)< Гтах (р, R)< d|(R -1) . (3)

Неравенство (3) определяет достижимые значения оптимального объема ансамбля для заданных значений R . Так как pf — d, из этого же неравенства можно найти граничные значения пик-фактора по заданному значению Гтах (р, R) :

Гтах (р, R) (R -1) < pf < (18) Гтах (Р, R) (R2 + 7) . (4)

Зависимость объема ансамбля от веса последовательностей при фиксированном пик-факторе представляет ветвь гиперболы. В качестве примера на рис. 2 приведен график зависимости для pf = 384. С ростом веса последовательностей при фиксированном пик-факторе объем ансамбля уменьшается обратно пропорционально весу.

Результаты синтеза показывают, что число ансамблей растет пропорционально числу последовательностей d .

На рис. 3 представлен график зависимости числа ансамблей от периода для последовательностей с фиксированным весом R = 15. Как видно из графика, разброс значений Гтах (Р, R) достаточно велик.

Суть исследуемой методики синтеза заключается в отборе Гтах (р, R) последовательностей из d = (р -1)/R, причем для больших периодов Гтах (р, R) « d . Возникает вопрос о том, является ли ансамбль с максимальным объемом единственным, или из оставшихся d - Гтах (р, R) последовательностей можно сформировать другие ансамбли с таким же или незначительно меньшим объемом.

Для решения этого вопроса учтем следующие положения. Во-первых, если последовательности, соответствующие номерам классов ^ъ т2, т3, тГ }, представляют собой

ансамбль, то согласно [2] любой набор ДП с номерами классов |т1 + А, т2 + А, т3 + А, •, mR + А} также является ансамблем. Далее циклически зависимые ансамбли будем называть подобными. Это означает, что каждому ансамблю с максимальным объемом Гтах (р, R) соответствует еще d подобных, циклически зависимых ансамблей с таким же

Г 45 30 15 0

27 Рис. 2

Я

631 3241 5851

Рис. 3

11461

Р

объемом. Если из d подобных ансамблей исключить те, которые содержат хотя бы одну последовательность с одинаковым номером класса, то оставшиеся ансамбли будут непересекающимися. Обозначим их число Л(р,R). Кроме того, если таблица СРКВ построена по первообразному корню 9, то все первообразные корни 9/, для которых выполняется равенство К (9/) = К (9), имеют ту же таблицу СРКВ и, следовательно, тот же объем ансамбля. При

этом последовательности, входящие в ансамбль, будут иметь структуру, отличающуюся от ДП, сформированных по первообразному корню 9 . Такие ансамбли будем называть циклически независимыми. Например, при р = 7723, Я = 9 и d = 858, Утах (7723,9) = 100 . Циклически зависимых ансамблей с таким же объемом 858. Из них непересекающихся Л( р, Я) = 8. Циклически независимых ансамблей с оптимальным объемом 18.

На рис. 4 представлены кривые графиков зависимости количества циклически независимых ансамблей при Утах (р, Я) = 20 : V (р, Я) = 0.9Утях = 18 и Р2 (р, Я) = 0.8Утях = 16 . Из сравнения кривых видно, что, если снизить требования к объему ансамбля, их количество существенно увеличивается.

Проведенный анализ результатов синтеза оптимальных по объему ансамблей двоичных последовательностей со свойством "не более одного совпадения" для характеристик простого поля Галуа р < 65 519 показал, что методика синтеза весьма продуктивна. Вес последовательностей 3 < Я < 103. Оптимальные объемы ансамблей обратно пропорциональны весу и прямо пропорциональны характеристике поля Галуа (периоду последовательностей). Для относительно небольших весов оптимальный объем ансамблей составляет несколько тысяч. Число ансамблей с оптимальным объемом определяется требованиями к циклической и структурной независимости ДП. Ранее определенные границы оптимальных объемов ансамблей требуют уточнения, но могут быть применены для приближенной оценки.

Библиографический список

1. Свердлик М. Б., Мелешкевич А. Н. Синтез ансамблей импульсных последовательностей со свойством "не более одного совпадения" // Радиотехника и электроника. 1976. № 7. С. 1443-1451.

2. Гантмахер В. Е., Быстров Н. Е., Чеботарев Д. В. Шумоподобные сигналы. СПб.: Наука и техника, 2005. 96 с.

3. Пашков И. С., Гантмахер В. Е. Эффективный алгоритм синтеза ансамблей со свойством "не более одного совпадения" над простыми полями Галуа // Современные проблемы радиоэлектроники: сб. науч. тр. Красноярск: ИПК СФУ, 2008. С. 56-59.

4. Пашков И. С., Гантмахер В. Е. Программа по машинному конструированию оптимальных по объему ансамблей двоичных последовательностей со свойством "не более одного совпадения" // Зарег. в Роспатенте. Реестр программ для ЭВМ. Рег. № 2 008 615 954 от 12.12.2008 г.

Рис. 4

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 1======================================

V. E. Gantmakher, I. S. Pashkov Yaroslav-the-Wise Novgorod state university

Synthesis results ensembles of binary sequences with characteristic "not more one coincidences" formed on simple Galua fields

Analysis of result synthesis ensembles of binary sequences with characteristic "not more one coincidence " with arbitrarily big volume sequences formed on the base of residue classes on simple module is shown.

Synthesis, binary sequences, ensembles, correlation function, Galois fields, weight, top-factor

Статья поступила в редакцию 26 февраля 2009 г.

УДК 621.391.2

М. А. Райфельд

Новосибирский государственный технический университет

Использование устойчивых показателей зависимости наблюдений при адаптации ранговых критериев

Рассмотрена адаптация непараметрических критериев в условиях зависимых исходных данных. Предложен подход к решению задачи адаптации, заключающийся в использовании специальных показателей зависимости наблюдений, устойчивых к изменению вида распределения исходных данных, к оценке этих показателей и к нахождению распределения рангов с учетом полученных оценок.

Ранг, ранговая статистика, непараметрический алгоритм, достаточная статистика, вариационный ряд, выборка, функция распределения

В научной литературе, посвященной непараметрическим алгоритмам, в качестве их основного недостатка указывается утрата непараметрического свойства (независимости распределения ранговой статистики от вида распределения исходных наблюдений) даже при выполнении условия однородности исходной выборки [1], [2]. Реальные помехи, на фоне которых происходит обнаружение полезного сигнала в системах радиолокации, навигации, связи, являются процессами с зависимыми отсчетами. Таким образом, использование ранговых обнаружителей полезного сигнала (распределение которого отличается например, сдвигом или масштабом от распределения помехи) по критерию Неймана -Пирсона в условиях помех с зависимыми отсчетами невозможно, поскольку не удается стабилизировать вероятность ложной тревоги при гипотезе Ho . Тем не менее некоторые полезные робастные свойства ранговых статистик (например, их инвариантность к монотонным нелинейным преобразованиям) заставляют искать возможности стабилизации вероятности ложной тревоги и в условиях зависимости наблюдений [3].

Ранговые обнаружители Неймана - Пирсона обычно строятся на основе двухвыбо-рочного рангового критерия. Одна из выборок исходных наблюдений Y = {yj, y2, ..., ym} называется рабочей и может состоять из смеси полезного сигнала и шума (альтернатива Hj) либо содержать только шумовые отсчеты (гипотеза Ho). Другая выборка

© Райфельд М. А., 2009