Синтез оптимальных импульсных последовательностей со свойством "не более одного совпадения" над расширенными полями Галуа второй и третьей степени Текст научной статьи по специальности «Математика»

Список литературы

1. Морская радиолокация / В. И. Винокуров, В. А. Генкин, В. И. Щербак и др.; под ред. В. И. Винокурова. Л.: Судостроение, 1986. 256 с.

2. Варакин Л. Е. Теория сложных сигналов. М.: Сов. радио, 1970. 375 с.

3. Вакман Д. Е., Седлецкий Р. М. Вопросы синтеза радиолокационных сигналов. М.: Сов. радио, 1973. 312 с.

4. Свердлик М. Б. Оптимальные дискретные сигналы. М.: Сов. радио, 1975. 200 с.

5. Ипатов В. П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 152 с.

6. Быстров Н. Е. Синтез амплитудно-фазоманипулированных сигналов по критерию минимума средне-квадратического уровня боковых лепестков функции неопределенности в ограниченном диапазоне задержек и доплеровских сдвигов частоты // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2004. Вып. 3. С. 3-12.

7. Гантмахер В. Е., Быстров Н. Е., Чеботарев Д. В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.

N. E. Bystrov, I. N. Zhukova

Novgorod state university n. a. Yaroslav-the-Wise

Synthesis and analysis of multiphase coherent-pulse signals

The procedure of synthesis of multiphase coherent-pulse signals using criteria of minimum volume of ambiguity function in local range of delays and Doppler frequencies is proposed. Suppression of ambiguity function side lobes depends on optimization area size. The procedure does not impose rigid constrains on the phase set, length and off-duty factor of synthesized coherent-pulse signals.

Radar systems, clutter immunity, complex discrete signals synthesis and analysis, ambiguity function analysis.

Статья поступила в редакцию 17 сентября 2009 г.

УДК 621.391.15

В. Е. Гантмахер, С. М. Платонов

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

Синтез оптимальных импульсных последовательностей со свойством "не более одного совпадения" над расширенными полями Галуа второй и третьей степени

Предложены простые для реализации на вычислительной технике методы синтеза оптимальных по длине двоичных последовательностей со свойством "не более одного совпадения" над расширенными полями Галуа второй и третьей степени. Приведены результаты синтеза.

Синтез, двоичные последовательности со свойством "не более одного совпадения", поля Галуа, оптимальность

В [1] предложено два метода синтеза оптимальных по длине двоичных последовательностей (ДП) со свойством "не более одного совпадения". В первом методе ДП формируется

над расширенным полем Галуа второй степени GF (q2 ), во втором - над полем третьей степени GF (q3 ). Каждый из методов состоит из двух этапов. Первый этап заключается в построении разностного множества, сбалансированного на два уровня {0,1}, названного авторами множеством со свойством "не более одного совпадения" (МОС), а второй - в построе-

© Гантмахер В. Е., Платонов С. М., 2009 31

нии оптимального множества со свойством "не более одного совпадения" (ОМОС). В обоих

случаях q = рт , р - простое число. Недостатком предложенных методов является использование матричного аппарата построения МОС и, как следствие, проведение вычислений с двух- и трехкоординатными векторами, что представляет трудности при реализации алгоритма синтеза последовательностей с большой базой. Кроме того, в [1] не достаточно четко определено правило выбора "подобных векторов". И, наконец, если во втором методе для

построения МОС требуется вычислить только q элементов поля Галуа GF (q3 ), то в первом

методе для этих же целей требуется вычислить все элементы поля Галуа GF (q2 ) .

Цель настоящей статьи состоит в упрощении методов синтеза оптимальных двоичных последовательностей со свойством "не более одного совпадения", предложенных в [1].

Поставленная цель достигается обработкой одного цуга М-последовательности, построенной в расширенном поле Галуа. МОС в поле GF (q2 ) соответствует номерам позиций, на которых расположен один (любой) из символов q-ичной М-последовательности.

МОС в поле GF (q3 ) соответствует номерам позиций, на которых расположены нулевые символы q-ичной М-последовательности. При этом цуг М-последовательности может быть сформирован любым из известных методов: операторным - на основе рекуррентного соотношения [2], на автономной линейной последовательностной машине [3], с помощью сопровождающей матрицы [4], как это сделано в [1], или любым другим способом.

Входными данными алгоритма являются: простое число р, степень первого расширения т, степень второго расширения п, поля Галуа GF (qn ), вес (число активных символов) ДП К. В результате действия алгоритма формируется оптимальная по длине двоичная последовательность с весом К, обладающая свойством "не более одного совпадения".

Алгоритм синтеза оптимальных ДП включает в себя следующую последовательность действий:

• поиск примитивного полинома над расширенным полем Галуа второй или третьей степени, например по таблице [4];

• формирование по выбранному полиному цуга М-последовательности любым из известных способов;

• построение МОС сопоставлением номеров позиций с соответствующими символами М-последовательности;

• построение всех неинверсно-изоморфных МОС любым из известных способов, например домножением элементов МОС на изоморфный коэффициент по модулю, равному периоду [5];

• оптимизация найденных МОС по длине, например, так же, как это сделано в [1];

• выбор из полученных ОМОС К символов по критерию наименьшей длины.

Проиллюстрируем предлагаемый алгоритм синтеза на примерах.

2

Пример 1. Входные данные: р = 13, т = 1, п = 2, q = 13, N = q -1 = 168.

Примитивный полином над полем GF (q13 ) : х2 +12х + 2 (mod13) . Рекуррентное уравнение, записанное в операторной форме относительно фиктивной

2

переменной z, имеет вид z = 6D z + 7Dz , где D - оператор задержки Хаффмена. Сформируем цуги М-последовательности длиной N = ( q2 -1)/^ -1 = q +1 каждый по рекуррентному уравнению при начальных условиях 1; 0:

Z1 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

zi 1 0 6 3 5 1 11 5 10 9 6 5 6 7

Z2 i 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

zi 7 0 3 8 9 7 12 9 5 11 3 9 3 10

Z12 i 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168

zi 2 0 12 6 10 2 9 10 7 5 12 10 12 1

где Z1, Z2, ..., Z12 - первый, второй и т. д. цуги (количество цугов равно q -1); i = 0, N -1 - номер символа М-последовательности.

Последовательности цугов связаны между собой соотношением

Zj = 0 j-1Z1, (1)

где 0 - первообразный корень поля Галуа GF (q) . В рассматриваемом примере 0 = 7 .

Сформируем МОС из номеров позиций, на которых находится символ "1". В первом цуге номера этих позиций 0 и 5. Чтобы сформировать МОС, необходимо определить, на каких номерах позиций будет стоять "1" в цугах Z2, Z3, ..., Z12. Во втором цуге "1" должна быть на позициях, на которых в первом цуге стоит символ "2", так как, согласно

(1), 7-1 = 2 (mod13) . Поскольку символ "2" в Z1 отсутствует, в Z2 не будет символа "1".

В Z3 "1" должна быть на позициях, на которых в первом цуге стоит символ 7-2 = 4 (mod13) . В первом цуге и этот символ отсутствует. Следовательно, и в Z3 символа " 1" нет. В общем случае для того чтобы определить, на каких позициях в j-м цуге Zj находится символ "1",

надо найти, на каких позициях находится символ 7-j+1 mod q в Z1. В результате получим МОС: 0, 5, 59, 72, 80, 82, 104, 121, 130, 133, 137, 148, 167.

Для оптимизации МОС необходимо найти множество T, состоящее из чисел, взаимно простых c N = q2 -1 = 168: T = {1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 79, 83}. Оптимизируем по длине каждое МОС, полученное умножением на эти множители, перебором автоморфизмов, и выберем имеющее минимальную длину. Получим ОМОС: 0, 6, 18, 19, 23, 39, 49, 64, 71, 73, 100, 108, 111.

Двоичная последовательность, единичные символы которой расположены на позициях с номерами из ОМОС, имеет вес q = 13, оптимальную длину N = 111 и обладает свойством "не более одного совпадения".

3

Пример 2. Входные данные: p = 2, m = 2, q = 4, N = q -1 = 63, R = 4.

Примитивный полином над полем GF (q3 ) третьей степени:

х3 + x2 + x + а + 1mod(а2 +а +1,2). Сформируем один цуг М-последовательности по рекуррентному уравнению

z = а (D3z + D2z + Dz) mod (а2 + а +1,2) с начальными условиями 1; 0; 0:

Z1 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

zi 1 0 0 а а +1 а 1 0 1 0 а 1 1 а +1 1 1 1 а а +1 0 а

2

Цуг состоит из q + q +1 = 21 элемента. МОС формируется из номеров позиций, на которых располагаются нулевые символы М-последовательности: 1, 2, 7, 9, 19.

Множество T = {t}, состоящее из ф( N) = ф( 21) = 12 ( ф(-) - фи-функция Эйлера) чисел, взаимно простых с длиной цуга, может быть разбито на ф( N)/3n = 12/6 = 2 непересекающихся класса. Первый класс T содержит степени числа p: T = {p' mod N, i = 0, 3n -1} = {1, 2, 4, 8, 16, 11}. Второй класс T2 ={5, 10, 13, 17, 19, 20}. При использовании

в качестве изоморфного множителя элементов одного класса будут получены одинаковые результаты. Таким образом, лишь один элемент, например t = 5, может быть использован в качестве изоморфного коэффициента для формирования нового циклически независимого МОС: 5, 10, 14, 3, 11.

Приведем оба МОС к виду с нулевым первым элементом, упорядочим элементы МОС по возрастанию и найдем их автоморфные преобразования:

1, 2, 7, 9, 19 ^ 0, 1, 6, 8, 18 ^ 0, 5, 7, 17, 20 ^ 0, 2, 12, 15, 16 ^ 0, 10, 13, 14, 19 ^ 0, 3, 4, 9, 11. 5, 10, 14, 3, 11 ^ 0, 2, 7, 8, 11 ^ 0, 5, 6, 9, 19 ^ 0, 1, 4, 14, 16 ^ 0, 3, 13, 15, 20 ^ 0, 10, 12, 17, 19. В результате получено два ОМОС с минимаксными значениями N mm = 11: 0, 3, 4, 9,

11 и 0, 2, 7, 8, 11. Так как надо найти МОС с весом R = 4, выберем из двух ОМОС то, у которого разница между первым и четвертым символами меньше: 0, 2, 7, 8.

Таким образом, отличительные особенности предлагаемых методов синтеза опти-

GF ( q2 ) и GF ( q3 )

от

мальных по длине импульсных последовательностей над полями изложенных в [1] состоят в следующем:

• вместо матричного метода расчета МОС применен более простой и менее трудоемкий при реализации на компьютерах операторный метод;

• вместо операций над двухкоординатными и трехкоординатными векторами производятся операции над скалярными переменными и числами, что также упрощает реализацию предлагаемого алгоритма;

• формирование МОС осуществляется на основе одного цуга, который в q -1 раз короче М-последовательности.

Перечисленные особенности существенно упрощают программу генерации ОМОС и повышают ее быстродействие.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Для апробации алгоритма, оценки быстродействия программы и исследования свойств синтезируемых двоичных последовательностей проведены компьютерные расчеты оптимальных непериодических ДП с весом от 3 до 600.

Результаты синтеза оптимальных непериодических двоичных последовательностей. Сопоставление рассчитанных таблиц с приведенными в [5] результатами доказало корректность разработанных алгоритма и программы. Для R < 48 полученные результаты практически полностью совпадают с приведенными в [5]. Исключение составляют ОМОС для R = 13 и 47, незначительно превосходящие приведенные в [5] ОМОС по длине: синтезированные ДП имеют Nm¡n = 111 и 1804 соответственно против заданных в [5] Nm¡n = 114 и 1830. Наличие у синтезированных ДП свойства "не более одного совпадения" подтверждено.

Проанализируем зависимость пик-фактора pf = N¡R от веса синтезированных последовательностей. Вид этой зависимости приведен на рис. 1. В [5] приведена аппроксимация этой зависимости семейством линейных функций pf (RkR, k = 0.71...0.83 . Такая аппроксимация справедлива на интервале R = 15.50, но при увеличении веса коэффициент k изменяется. На основании исследования зависимости k(R) была установлена аппроксимирующая ее формула:

k (R) « 0.274(1 - e~R!40 ) - 0.787 [sin (0.13R)/R] + 0.697.

Для этой функции lim k (R) = 0.971. Таким образом

R

pf (R) « kR, k = 0.83. 0.97. (2)

На рис. 2 приведен график зависимости оптимальной длины синтезированных последовательностей от их веса. Из (2) и определения пик-фактора следует, что она может

быть приближенно описана формулой N(R) « kR2 , k = 0.83 . 0.97 .

Время синтеза последовательности т зависит от ее веса и производительности ком, . B

пьютера. Эмпирически было установлено, что т(R) « AR , где коэффициенты A, B зависят от производительности компьютера. Для компьютера, на котором проводились расчеты (Intel©Core™2 Duo 2.33 GHz, 2 Гб ОЗУ), A = 2-10-7, B = 3.6. График зависимости т(R) приведен на рис. 3. В частности на синтез оптимальной непериодической ДП с весом 10 требуется 0.8 мс, с весом 100 - 3.17 с, с весом 200 - 38.44 с. Расчет таблицы последовательностей с весами от 3 до 601 занял 12 ч машинного времени. Для синтеза одной опти-

35

мальной ДП с весом 1000 на компьютере средней производительности потребуется около четырех часов машинного времени.

Таким образом, предложенный алгоритм синтеза оптимальных по длине двоичных последовательностей со свойством "не более одного совпадения" обладает достаточно высоким быстродействием и позволяет синтезировать последовательности с базой до 106 на компьютере средней производительности.

Список литературы

1. Свердлик М. Б., Мелешкович А. Н. Синтез оптимальных импульсных последовательностей со свойством "не более одного совпадения" // Радиотехника и электроника. 1974. № 4. С. 721-729.

2. Цирлер Н. Линейные возвратные последовательности // Кибернетический сборник. 1963. № 3. С. 55-79.

3. Гилл А. Линейные последовательностные машины. М.: Наука, 1974. 287 с.

4. Гантмахер В. Е., Захарин Ю. В. Таблицы неприводимых над GF (pn) полиномов / Новгородский гос. ун-т. Новгород, 1995. 465 с. Деп. в ВИНИТИ 10.11.95, №3006-В95.

5. Свердлик М. Б. Оптимальные дискретные сигналы. М.: Сов. радио, 1975. 200 с.

V. E. Gantmakher, S. M. Platonov

Novgorod state university n. а. Yaroslav-the-Wise

Optimal pulse sequences with the property "Not more than one coincidence" synthesis over extended Galois fields to the second and third power

Simplicity for computer realization methods of the synthesis of binary sequences having optimal length and the property "Not more than one coincidence " over extended Galois fields to the second and third power are presented. The synthesis results are resulted.

Synthesis, binary sequences with the property of "not more than one coincidence", Galois fields, optimal

Статья поступила в редакцию 30 июля 2009 г.

УДК 621.391

А. Н. Леухин, А. Ю. Тюкаев, Н. В. Парсаев, Л. Г. Корнилова

Марийский государственный технический университет

Ансамбли квазиортогональных многофазных последовательностей

V V VI V 5

с идеальной периодической автокорреляционной функцией5

Решена задача синтеза бесконечного множества ансамблей квазиортогональных многофазных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков периодической автокорреляционной функции. Предложен алгоритм формирования ансамблей квазиортогональных многофазных последовательностей с идеальной периодической автокорреляционной функцией. Представлен пример синтеза ансамбля квазиортогональных многофазных последовательностей длины N = 25.

Синтез, многофазные последовательности, ансамбли, корреляционная функция, граница Вэлча

В современных системах связи множественного доступа с кодовым разделением широкое применение нашли ансамбли кодовых последовательностей, удовлетворяющих

5 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 09-07-00072-а.

36 © Леухин А. Н., Тюкаев А. Ю., Парсаев Н. В., Корнилова Л. Г., 2009