CC BY
59
ИНФОРМАТИКА И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 621.391.15
СИНТЕЗ ДВОИЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ПРОИЗВОЛЬНО ЗАДАННЫМ ВЕСОМ И СВОЙСТВАМИ «НЕ БОЛЕЕ ОДНОГО СОВПАДЕНИЯ» И «МИНИМАЛЬНОЙ АПЕРИОДИЧНОСТИ»
В.Е.Гантмахер, С.М.Платонов
Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого, gant@oktb-omega.ru
Предложены четыре варианта синтеза двоичных последовательностей с произвольно заданным весом и свойствами «не более одного совпадения» и «минимальной апериодичности». Все предложенные варианты синтеза проиллюстрированы примерами.
Ключевые слова: cuнтез, двоичные последовательности, «не более одного совпадения», «минимальная апериодичность»
Four variants of binary sequences synthesis are presented. The given sequences have arbitrarily given weight and «no more than one coincidence» and «minimal aperiodicity» properties. All the variants of synthesis are presented with examples.
Keywords: synthesis, binary sequences, more than one coincidence, minimal aperiodicity
Введение
В [1] предложен метод синтеза двоичных последовательностей (ДП) над расширенными полями Галуа второй и третьей степени, боковой лепесток ненормированной импульсной автокорреляционной функции (ИАКФ) которых не превышает единицы. Они названы авторами нерегулярными импульсными последовательностями (НИИ) со свойством «не более одного совпадения». В [2] предложено несколько способов синтеза как периодических, так и непериодических ДИ со свойством «не более одного совпадения». В [3] синтезированы оптимальные по длине НИИ со свойством «не более одного совпадения» и весом R < 47 . В [4] вес синтезированных оптимальных НИИ доведен до R < 97 . В [5] разработан эффективный алгоритм синтеза оптимальных НИИ. В [6] приведена программа, реализующая алгоритм, с помощью которой была рассчитана база данных с весом 3 < R < 997 [7]. Результаты работ [1-3,5-7] ориентированы на использование оптимальных НИИ в радиолокационных системах для формирования сложных зондирующих сигналов. В работе [4] оптимальные НИИ предлагается использовать в системах связи и передачи информации для построения кодирующих устройств, способных обнаруживать и исправлять ошибки. В [3] предложено формировать сложные зондирующие сигналы, позволяющие одновременно измерять как дальность, так и скорость, синтезировать такие НИИ, которые одновременно обладают и свойством «не более одного совпадения», и свойством «минимальной апериодичности». Такие сигналы названы авторами «кодами с минимальной апериодичностью» (КМА). В [3] приведена таблица синтезированных КМА с весом, равным простому числу до R = 47. К сожалению, предложенная методика синтеза КМА приме-
нима только для весов R < 13 . Результаты синтеза, приведенные в [3] для R > 13, получены каким-то другим способом, который в этой работе не раскрыт. Не доказаны оптимальность длины и квазипериода синтезированных КМА. В [8] предложен метод синтеза КМА с весом, равным простому числу. С помощью [9] был произвден расчет базы данных КМА с весом 3 < R < 997 [10].
Цель настоящего исследования заключается в разработке алгоритмов синтеза КМА с весом, отличным от простого числа.
Под оптимальными КМА мы будем понимать КМА, вес и квазипериод которых удовлетворяют выражению
TK (R) = Tk2(^ Tk 1(P) (R-P)+TK1,
P2 - P1
(*)
где P1, P2 — два соседних простых числа, P1 < Я <Р2; TK1 (Р1), Тк 2 (Р2) — оптимальные квазипериоды КМА с весами Р1, Р2 соответственно.
Ириведенный в [5] алгоритм состоит из двух этапов. На первом этапе для заданного веса Я = Р, Р — простое число, формируется множество номеров позиций с минимальным отклонением от квазипериода. На втором этапе последовательным увеличением квазипериода находят оптимальное значение квазипериода Тк (Р), при котором выполняется условие «не более одного совпадения».
Синтез КМА, удовлетворяющих (*), основан на следующем
Утверждении 1. Усеченное множество, полученное из множества со свойством «не более одного совпадения» (МОС) [5] путем исключения части элементов, сохраняет свойство «не более одного совпадения».
Вариант №1
Суть первого варианта синтеза КМА с произвольным весом R заключается в следующем:
1) построить множество с минимальным отклонением от квазипериода для веса Р2, квазипериод которого лежит в интервале [ТК1 (Р1 );ТК 2 (Р2)];
2) вычислить таблицу разностей (ТР) на каждой итерации увеличения квазипериода и зафиксировать разности 5г = аі - а}-, которые встречаются в ТР
дважды, а также номера позиций аі и а}-. Обозначим
число таких разностей на К-й итерации пК ;
3) если Р2 - R = пК , то согласно утверждению 1 усеченное на пК позиций множество будет обладать свойством «не более одного совпадения», но оно будет квазиапериодическим, так как не каждому квазипериоду будет соответствовать активный символ.
Проиллюстрируем первый вариант на примере синтеза последовательности с весом R = 16 .
Пример 1. Синтезировать КМА с весом R = 16 .
1) Результатом первого этапа синтеза является множество номеров позиций {А} = {а} = {0; 15; 37; 49; 68; 77; 93; 116; 129; 149; 159; 176; 200; 214; 235; 246; 264}.
2) Номера позиций, которые встречаются в ТР два раза на каждой из трех итераций синтеза оптимальной КМА с весом Р2 = 17, приведены в табл.1 в графе «Номера позиций».
Таблица 1
Номера позиций, встречающиеся в ТР два и более раз
к Максимум ИАКФ Номера позиций
0 2 93 - 37 = 56, 149 - 93 = 56
1 2 82 - 39 = 43, 212 - 169 = 43, 169 - 39 = 130, 212 - 82 = 130
2 1 —
3) Из табл.1 видно, что уже на первой итерации второго этапа синтеза КМА мы получили последовательность, у которой всего одна Р2 - R = 1 разность 51 = аі - а}- = 93 встречается в ТР два раза. Если в
полученной на первой итерации последовательности исключить единичный символ на позициях с номерами аі или а}-, то этому множеству будет соответствовать двоичная последовательность, обладающая свойством «не более одного совпадения» и свойством «квазиапериодичности», так как одному из квазипериодов не будет соответствовать единичный символ. Вес такой ДП равен 16, длина N = 265 и квазипериод
Тк (16) = 17,6 близок к оптимальному (Тк (16)) ор1 = 17 . Заметим, что синтезированная последовательность с весом Я = 16 имеет меньшую длину и меньший квазипериод, чем оптимальная КМА с весом Я = 17 N = 297 и Тк = 18,5).
К достоинствам этого метода следует отнести малые вычислительные затраты и близкие к оптимальным значения квазипериода синтезируемых последовательностей. Недостатком же является сущест-
й ■ Т ± Тк
вование таких значений ¡, что на интервале ик
отсутствует активный символ. Строго говоря, условие «минимальной апериодичности» не выполняется.
Вариант №2
Согласно утверждению 1 КМА с весом Я < Р2 можно получить, усекая множество номеров позиций, соответствующих КМА с весом Р2 путем исключения последних (самых больших номеров позиций). Бесспорным достоинством этого варианта является простота реализации, а недостатком — практически постоянство квазипериода и, как следствие, неопти-мальность длины.
Ироиллюстрируем этот вариант синтеза на примере усечения оптимального КМА с весом Р2 = 17.
Пример 2. Синтезировать КМА с весом Я = 16 .
В табл.2 приведены параметры, полученных с помощью этого варианта последовательностей.
Таблица 2
Пример синтеза КМА с R Ф р
R 17 16 15 14 13
N 297 277 264 241 225
Тк (R) 18,5 18,4 18,8 18,5 18,7
(Тк (К))оР< 18,5 17 15,5 14 12,5
Тк - Ткх К )| 0 1,4 3,3 4,5 6,2
264
Тк (16) = ^ = 17,6.
Согласно (*) квазипериод
Из табл.2 видно, что модуль разности между оптимальным квазипериодом и квазипериодом синтезированной по этому варианту последовательности растет с увеличением веса.
Ири исключительной простоте этого варианта его недостатком является то, что он применим только для малых значений ст = Р2 - Я исключаемых позиций.
Вариант №3
Пусть {А} = {0,а1,а2,...,аЯ-1} — множество номеров позиций, соответствующее оптимальному КМА с квазипериодом (Тк (Я))ор(. Его можно записать так:
{Aopt }={0, Тк +^1,2ТК +Д 2 ,...,(Я -1)ТК +Д Я-1}, где
|Д ¡1 < Тк/ 2.
Вариант №3 основан на следующем утверждении.
Утверждение 2. Из оптимального КМА можно получить бесконечное множество неоптимальных КМА путем увеличения квазипериода. Причем все ДП, полученные таким образом, будут иметь одно и то же множество отклонений от квазипериода {Д} = {0,Ді,Д2,...,Дr—і}.
Суть третьего варианта синтеза КМА с весом, отличным от простого числа, заключается в следующем:
1) синтезировать КМА с весом P1, множеством отклонений {Д} = {Д0,Д1,Д2,...,ДP—1} любым из известных методов [8,9] или выбрать из базы данных [10];
2) из (*) определяем оптимальный квазипериод Т (R ))oPt;
3) сформировать множество
{A}Pi = {i -(Tk (R ))opt +Д t\i = ОІЛ—Ї}
4) добавить ко множеству {A}Pi v = R - P1
символов таким образом, чтобы сохранялось свойство «не более одного совпадения».
Проиллюстрируем этот вариант на примере P1 = 13 . Пример 3. Синтезировать КМА с весом R = 14 .
1) Выбираем из базы данных [10] множество номеров позиций, соответствующих КМА с весом
P = R-1 = 13, (TK )opt =12,5
({A}13 )opt = {0, 11, 27, 35, 48, 66, 76, 91, 98,
110, 127, 136, 150};
{Д}13 = {0; -1,5; 2; -2,5; -2; 3,5; 1; 3,5; -2; -2,5;
-1,5; 0}
2) Находим из (*) (Тк (14 ))opt = 13,5.
3) Формируем множество {А}13 = {0, 12, 29,
38, 52, 71, 82, 98, 106, 119, 137, 147, 162}.
4) Добавляем активный символ на позицию с номером 194, что не нарушает свойство «не более одного совпадения»:
{А}14 = {0, 12, 29, 38, 52, 71, 82, 98, 106, 119, 137, 147, 162, 194}.
Получили множество позиций {А}14, соответствующее КМА с весом Я = 14, квазипериодом Тк (14 ) = 14,9, длиной N = 195. Согласно (*) оптимальный квазипериод КМА (Тк (14))ор( = 13,5. Таким
образом, квазипериод синтезированной последовательности отличается от оптимального на 1,4 , что составляет 10% от (Тк (14)) .
Достоинством этого варианта синтеза является универсальность: его можно использовать при синтезе с заданными ограничениями как на длину, так и на квазипериод и на максимальное отклонение от квазипериода. К недостаткам стоит отнести сложность процедуры «наращивания» при больших значениях V .
Вариант №4
В основе четвертого варианта синтеза КМА с весом, отличным от простого числа, лежит также утверждение 1, из которого следует, что для получения КМА можно использовать известные методы построения множеств со свойством «не более одного совпадения». Иредпосылкой, определяющей такую возможность, является сравнение пик-факторов оптимальных КМА и МОС (см. рис.).
Ири одном и том же весе двоичные последовательности, соответствующие оптимальным МОС, имеют значительно меньший пик-фактор, чем КМА. Это
Pf
2000
КМА 0<^° .о**’0
d»*0
Оо°°о
000<РО
--------------------------------------------1---------------------------------------------------------------1------------------------------
0 400 800 R
Сравнение пик-факторов оптимальных МОС и КМА 25
означает, что без потери свойства «не более одного совпадения» можно удалить значительную часть позиций, чтобы получить КМА. Выбор позиций, которые следует удалить, определяется требованиями к синтезу. Таким образом, суть варианта №4 заключается в следующем:
1) любым известным способом [2,4] сформировать подходящие МОС, воспользоваться программой [6] или выбрать из базы данных [7];
2) определить число «лишних» элементов множества и область возможных значений квазипериода по графикам, представленным на рис., или по формуле (*);
3) построить множество равноудаленных позиций с интервалом Тк (Я) для каждого из допустимых значений квазипериода;
4) рассчитать множество отклонений для каждого из допустимых значений квазипериода;
5) исключить из дальнейшего рассмотрения те множества, которые не удовлетворяют свойству «ми-нимльной апериодичности» (|Д г- |)тах < Тк/ 2;
6) выбрать то из решений, которое в большей степени соответствует требованиям синтеза.
Пример 4.
Ироиллюстрируем этот вариант на примере синтеза КМА с весом Я = 12 и минимально возможной длиной.
1) Ближайшие простые числа Р1 = 11, Р2 = 13. Возьмем из [7] МОС с весом Я = Р2 = 13: {0, 11, 27, 35, 48, 66, 76, 91, 98, 110, 127, 136, 150}. В соответствии с требованием на синтез для минимизации длины исключаем из МОС последний символ.
2) Ио формуле (*) находим (Тк (12)) = 11,5 и
допустимые значения квазипериода {10,5; 11,5; 12,5}.
3) Множества равноудаленных позиций для допустимых значений квазипериода:
a) Тк = 10,5, {0; 10,5; 21; 31,5; 42; 52,5; 63; 73,5; 84; 94,5; 105; 115,5};
b) Тк = 11,5, {0; 11,5; 23; 34,5; 46; 57,5; 69; 80,5; 92; 103,5; 115; 126,5};
c) Тк = 12,5, {0; 12,5; 25; 37,5; 50; 62,5; 75; 87,5; 100; 112,5; 125; 137,5}.
4) Отклонения от квазипериода:
a) {0; 0,5; 6; 3,5; 6; 13,5; 13; 17,5; 14; 15,5; 22; 20,5; 24};
b) {0; -0,5; 4; 0,5; 2; 8,5; 7; 10,5; 6; 6,5; 12; 9,5;
12};
c) {0; -1,5; 2; -2,5; -2; 3,5; 1; 3,5; -2; -2,5; 2; -1,5;
0}.
5) Критерию «минимальной апериодичности» (|Дг 1)тах < Тк / 2 удовлетворяет только значение Тк = 12,5.
6) Таким образом, получаем множество позиций {0, 11, 27, 35, 48, 66, 76, 91, 98, 110, 127, 136}, на которых необходимо разместить активные символы, чтобы получить КМА со следующими параметрами:
Тк = 12,5, N = 137 и (|Дг |)тах = 3,5.
Этот вариант синтеза является наиболее трудоемким, но позволяет синтезировать КМА с заданными ограничениями на все три основных параметра.
Заключение
Итак, предложено четыре варианта синтеза двоичных последовательностей, обладающих как свойством «не более одного совпадения», так и свойством «минимальной апериодичности». Определены области применимости каждого из вариантов. Отличие предложенных методов синтеза от известных состоит в том, что они позволяют синтезировать последовательности, вес которых не простое число.
1. Свердлик М.Б., Мелешкович А.Н. // Радиотехника и электроника. 1974. №4. С.721-729.
2. Гантмахер В.Е., Быстров Н.Е., Чеботарев Д.В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.
3. Свердлик М.Б. Оптимальные дискретные сигналы. М.: Сов. радио, 1975. 200 с.
4. Meshkovsky K.A., Miller F., Kuznetsov V.S., Arkhipkin V.Ya., Sokolov A.G. // IEEE ISSSTA’96. Fourth International Symposium on Spread Spectrum Techniques & Applications. Electoral Palace, Mainz, Germany. September 22-25, 1996. Vol.2/3. Р.523-529.
5. Гантмахер В.Е., Платонов С.М. // Известия вузов. Радиоэлектроника. 2009. №6. С.31-36.
6. Программа синтеза оптимальных импульсных последовательностей со свойством «не более одного совпадения»: Свид-во о гос. регистрации программы для ЭВМ №2009616270 / НовГУ им. Ярослава Мудрого; Платонов С.М., Гантмахер В.Е. Заявл. 21.09.2009, зарег. 13.11.2009.
7. База данных оптимальных импульсных последовательностей со свойством «не более одного совпадения»: Свид-во о гос. регистрации базы данных № 2009620525 / НовГУ им. Ярослава Мудрого; Платонов С.М., Гантмахер В.Е. Заявл. 20.10.2009, зарег. 11.01.2010.
8. Разработка методов синтеза и обработки сложных сигналов с большой базой для радиолокационных станций с квазинепрерывным режимом работы: Отчет по НИР, выполняемой по проекту №2.1.2/2714, 2009 г. Науч. руко-вод. В.Е.Гантмахер.
9. Программы синтеза оптимальных импульсных последовательностей со свойствами «не более одного совпадения» и «минимальной апериодичности»: Свид-во о гос. регистрации базы данных №2010610081 / НовГУ им. Ярослава Мудрого; Платонов С.М., Гантмахер В.Е. За-явл. 11.01.2010, зарег. 05.03.2010.
10. Базы данных оптимальных импульсных последовательностей со свойствами «не более одного совпадения» и «минимальной апериодичности»: Свид-во о гос. регистрации базы данных №2010620024 / НовГУ им. Ярослава Мудрого; Платонов С. М., Гантмахер В. Е. Заявл. 11.01.2010, зарег. 03.05.2010
