Резонансы Фано в электронном транспорте через квантовое кольцо с примесями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.935

М. А. Кокорева, В. А. Маргулис, М. А. Пятаев

РЕЗОНАНСЫ ФАНО В ЭЛЕКТРОННОМ ТРАНСПОРТЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВОЕ КОЛЬЦО С ПРИМЕСЯМИ1

Аннотация. Исследован электронный транспорт в одномерном двухтерминальном кольце Ааронова - Бома при наличии нескольких короткодействующих рассеивателей на кольце. Получено выражение для кондактанса системы в зависимости от энергии электрона, потока магнитного поля через кольцо и положения рассеивателей. Для моделирования рассеивателей и точек контактов используется теория потенциалов нулевого радиуса. Показано, что зависимость коэффициента прохождения от энергии электрона содержит асимметричные резонансы Фано. Изучено поведение резонансов в зависимости от положения примесей и от величины магнитного поля. Показано, что при определенных параметрах системы может наблюдаться коллапс резонансов Фано. Ключевые слова: потенциал нулевого радиуса, кондактанс, резонансы Фано.

Abstract. Electron transport in a two-terminal Aaronov - Bohm ring with a number of short-range scatterers on it is investigated. An analytical expression for the conductance as a function of the electron Fermi energy is obtained using the zero-range potential theory. The dependence of the conductance on magnetic flux and positions of scatterers is studied. We have found that the conductance exhibits asymmetric Fano resonances at certain energies. The dependence of Fano resonances on magnetic field and positions of impurities is investigated. It is found that collapse of the Fano resonances appears at certain conditions.

Keywords: zero-range potential, кондактанс conductance, Fano resonances.

Введение

Кольцевые квантовые интерферометры различной геометрии изучаются теоретически [1-9] и экспериментально [10-15] уже на протяжении нескольких десятилетий, начиная с пионерской работы [1]. Интерес к этим системам обусловлен обнаружением в них ряда интересных физических эффектов, таких как осцилляции Ааронова - Бома [16, 17], незатухающий ток [18], эффект захвата электронов при наличии магнитного поля [19] и т.д. В последние годы интерес к квантовым кольцам вновь усилился в связи с экспериментальным обнаружением [14, 15] в них резонансов Фано [20] в электронном транспорте. Изучению этих резонансов в электронном транспорте через различные системы посвящено большое количество работ [21-25].

Простейшая модель кольцевого квантового интерферометра представляет собой одномерное кольцо с двумя присоединенными к нему одномерными проводниками. Эта модель исследовалась в целом ряде работ [1-5], в которых были получены зависимости кондактанса двухтерминального кольца от потока магнитного поля, изменения фазы в прошедшей волне, длин плеч кольца при различных параметрах системы.

Наличие в интерферометре дополнительных рассеивателей, например квантовой точки или примеси в одном из плеч, открывает дополнительные

1 Работа выполнена при поддержке федеральной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)», грант № 2.1.1/2656.

возможности для управления электронным транспортом [4-6]. В работе [5] исследовался электронный транспорт и незатухающий ток в одномерном кольце с двумя проводниками, присоединенными диаметрально противоположно, при наличии примеси в одном из плеч. Контакт между проводниками и кольцом описывался с помощью априорно задаваемой энергонезависящей матрицы рассеяния. Было показано, что при наличии примеси в одном плече могут появляться резонансы Фано в добавление к резонансам Брейта - Вигнера, а при определенном положении примеси и значениях магнитного поля может происходить коллапс части резонансов Фано.

Однако, несмотря на большое количество проведенных теоретических исследований, в большинстве случаев рассматривается лишь симметричное присоединение проводников к кольцу и до настоящего момента не проводился детальный анализ электронного транспорта в квантовом кольце при наличии нескольких рассеивателей. В то же время следует ожидать, что положение рассеивателей относительно контактов и их взаимное расположение будут существенным образом влиять на поведение резонансов Фано, поскольку эти резонансы имеют интерференционную природу и чувствительны к изменению фазы волновой функции электрона.

Целью настоящей работы является исследование электронного транспорта в квантовом кольце при наличии нескольких короткодействующих рассеивающих центров, в роли которых могут выступать одиночные примеси или квантовые точки малого размера. В работе рассматривается модель одномерного квантового кольца с присоединенными к нему одномерными проводниками. В этом случае в системе реализуется одномодовый режим электронного транспорта и все транспортные характеристики системы определяются единственным коэффициентом прохождения электрона. Нахождение коэффициента прохождения в настоящей работе основано на подходе, использовавшемся в работах [26-29]. В этих работах контакты между различными частями наноструктуры описываются с помощью граничных условий, общий вид которых определяется на основе теории расширения симметрических операторов [30-32].

Отметим, что численно исследовались модели колец конечной ширины [7-9]. Сравнение результатов работ [7, 8] с результатами, полученными в рамках одномерной модели, позволяет говорить о том, что одномерная модель качественно верно описывает основные особенности электронного транспорта в рассматриваемых системах, в частности, интерференционные эффекты. Заметим, что одним из необходимых условий применимости одномерной модели является малость отношения ширины кольца к его радиусу [9].

1. Гамильтониан и коэффициент прохождения наноустройства

Рассмотрим систему, состоящую из кольца 5р радиуса р с прикрепленными к нему одномерными проводниками Wl и ^ (рис. 1). Введем полярную систему координат на кольце. Точки контактов между проводниками и кольцом обозначим ^ и ^ . Рассмотрим случай, когда на кольце имеется N короткодействующих рассеивающих центров. Удобным средством для моделирования короткодействующих примесей и точек контактов является метод потенциалов нулевого радиуса, который позволяет использовать еди-

ный подход для описания всех точечных возмущений с помощью граничных условий, накладываемых на волновую функцию. В связи с этим удобно использовать сквозную нумерацию для всех точечных возмущений на кольце. Углы, задающие положения возмущений, будем обозначать ф,, при этом индексы , = 1,2 соответствуют контактам, а , = 3,..., N + 2 - примесям. Проводники Wj будем моделировать положительными полуосями х > 0 . Кольцо

считаем помещенным в магнитное поле В, перпендикулярное плоскости сис-

2

темы. Поток магнитного поля через кольцо обозначим Ф = лр В .

Рис. 1. Кольцо Ааронова - Бома с двумя присоединенными проводниками и примесями на кольце (Aj - точки соединения проводников

с кольцом, р - точки нахождения примесей)

Невозмущенный гамильтониан электрона в кольце имеет хорошо известный вид

Яр =

Р о * 2

2т р

(1)

где т - эффективная масса электрона; ^ = Ф / Ф0 - число квантов потока магнитного поля через кольцо; Ф0 = 2кНе /|е| - квант магнитного потока.

Электронный энергетический спектр гамильтониана Нр также хорошо

известен и определяется выражением Ет = Й ут + ^) /2т р , где т - магнитное квантовое число.

Гамильтониан электрона в каждом проводнике Wj имеет вид

Н =Л4 <?>

-1 2т* йх2

Волновая функция наноустройства может быть записана в виде одностолбцовой матрицы ^ = (\|/р,^1,^2) , где ^р - волновая функция электрона в кольце ^р , а ^, - волновые функции в проводниках Wj .

Точечные возмущения, создаваемые примесями, будем задавать с помощью линейных граничных условий для волновой функции в точках ф, :

¥р (ф,) = -“"[^р (Ф, + 0)-у'р (ф, - 0)] , , = ^..^ N + 2, (3)

/ * 2 2 где ¥р (ф,) - производная волновой функции по углу; V, = 2т р V, / Й -

безразмерная величина, определяющая силу точечного возмущения.

Точки контакта проводников с кольцом будем моделировать с помощью теории потенциалов нулевого радиуса [26-30]. Для этого рассмотрим невозмущенный примесями и контактами гамильтониан Н0 , который является прямой суммой гамильтонианов частей Н0 = Нр © Н1 © Н2. Гамильтониан системы Н получается из гамильтониана Н0 путем наложения линейных граничных условий в точках нахождения всех возмущений.

В наиболее общем виде граничные условия в точках контактов можно записать с помощью уравнений [30]

¥р (ф,) =—[¥'р (ф, + 0) - ¥'р (ф, - 0) ] + а,¥, (0),

< аР (4)

¥,(0) = -р[¥р (ф, + 0) -¥р (ф, - 0)] + с,¥, (0),

где , = 1, 2, ¥, (0) - производная ¥ по х; а, - комплексные, а Ь, и с, -

действительные коэффициенты, имеющие размерность длины. Каждый контакт в рамках рассматриваемой модели характеризуется четырьмя действительными параметрами.

В настоящей работе мы ограничимся случаем, когда одномерная волновая функция непрерывна в точке контакта, что соответствует одинаковой эффективной толщине кольца и проводников. В этом случае, как следует из уравнения (4), параметры контакта а, Ь, и с, должны быть одинаковыми.

Удобно выразить их через безразмерную константу связи и, по формуле а, = Ь, = с, =р / и, . Тогда граничные условия в точках контактов можно записать в виде

¥,(0) = ¥р(ф,) = —[¥'р(ф, + 0)-¥р(ф, -0)] + р¥у(0), , = 1,2. (5)

и,

Для получения коэффициента прохождения электрона необходимо найти решение уравнения Шредингера, которое в первом проводнике является суперпозицией падающей и отраженной волн, а во втором представляет собой прошедшую волну. Пусть по первому проводнику распространяется падающая на кольцо волна ехр(-/кх), где к = V2т*Е / Й - волновое число электрона (рис. 1). Тогда волновая функция электрона в проводнике И имеет вид ¥1 (х) = ехр(-/кх) + г ехр(/кх), а в проводнике волновую функцию элек-

трона можно записать в виде ¥2(х) = ^ ехр(Укх), где г и t - амплитудные коэффициенты отражения и прохождения соответственно. Поскольку возмущения исходного гамильтониана являются точечными, волновая функция ¥р (ф) электрона в кольце может быть выражена через функцию Грина

Ор (ф, ф,; Е) невозмущенного гамильтониана Нр :

N+2

¥р (ф, Е) = ^ А, (Е) Ор (ф, ф,; Е), (6)

,=1

здесь А, (Е) - коэффициенты, определяемые из граничных условий.

Функция Грина гамильтониана Нр хорошо известна [3] и может быть записана в виде

ехр(У(ф, - ф ± л)(^ - кр)) ехр(У(ф, - ф ± л)(^ + кр))

8Ш я(- кр) 8Ш я( + кр)

, (7)

где знак «плюс» берется, если ф>ф,, и знак «минус» - в противоположном случае.

-г-2 *

Й т р

Обозначим Qij (Е) = —— Ор (фу, ф,, Е) и а, =—— А, . Подставив волно-

т*р Й

вые функции¥1(х), ¥2(х) и ¥р (ф,Е) в граничные условия (5), получим систему ( + 4) уравнений. Выразим в ней г и t через а, (коэффициент прохождения в этом случае выражается через а2 : t = 2а2 / (и2 - Укр)), и запишем новую систему:

N+2

^[дл - Р, 5] а, = £5,1, , = 1,..., N + 2, (8)

I=1

здесь

р. (Е)={2/(- ikр),j=12, ] |2/V,, , = 3,...,N + 2;

£( Е) = - 2кр

Укр - и1

Решение системы (8) можно представить в виде

А

где А = аег ^<2,1 -р, 5 ,I ] - главный определитель системы;

Ап = det [(2,1 - Р, 5,1 )(1 -5п,) + £5,15п/ ] - определитель матрицы, получаю-

щейся из основной матрицы системы заменой п -го столбца на столбец свободных членов.

С учетом (9) амплитудный коэффициент прохождения можно записать в виде

t (Е) = —2— А2. (10)

и2 - Укр А

Из системы уравнений (8) следует, что для выбранной модели коэффициент прохождения Т(Е) = ^(Е)| оказывается функцией ( + 2) независимых вещественных параметров. Далее ограничимся случаем одинаковых контактов (и = и2 = и) и примесей ^3 = ... = VN+2 = V). Отметим, что формула (10) применима при любых положениях и параметрах примесей и произвольных значениях магнитного поля.

2. Случай одной примеси и симметричного присоединения контактов

Рассмотрим подробно случай одной примеси. При этом система (8) будет состоять из трех уравнений. Подставив соответствующие функции Грина в выражение (10), получим формулу для коэффициента прохождения электрона при диаметрально противоположном присоединении контактов и произвольном положении примеси

,М = Р'(к •Л) + ^ ^фз) ; (11)

' 1 ^(М,«) + vF4(k•U•фз) ' '

здесь

F3(£, r, u) = 4kp

3 3

F[(k,r) = -\6ik p cosлгsinлkp ; (12)

F2 (k, r, Ф3) = 8ik 2p2e-mr| sin [(л-Аф) kp] sin (Дфk p); (13)

(2 2 2 \ 2

-u + 2iukp + 5k p ) sin rckp - 4ikp(iu + kp) sin 2rckp

-16k 3p3sin лг; (14)

F4(k,u,Ф3) = 2kp(u - ikp)|2cos2лkp- cos(2Афkp) - cos[2(л-Аф)kp]J +

+2(u - ikp)2 sin лkp cos [(л - 2Дф) p] + (k 2p2 + 2ikpu - u2 jsin2лkp, (15) где Дф = ф3 -ф2 .

Если выразить параметр u через длину рассеяния X по формуле u = -2p/ X и положить v = 0, то формула (11) переходит в выражение для

коэффициента прохождения кольца без примесей, полученное в работе [3]. Как видно из формул (11)-(15), коэффициент прохождения является периодической функцией магнитного потока с периодом, равным кванту потока. При особых значениях магнитного поля, а именно при целом и полуцелом потоке через кольцо, поведение коэффициента прохождения существенно изменяется.

Рассмотрим сначала общий случай ненулевого магнитного поля (с нецелым потоком). Из формул (11)-(15) видно, что в отсутствие примеси (v = 0) в числителе формулы (11) остается одно слагаемое, обращающееся в нуль при целых значениях kp, знаменатель же при ненулевом магнитном потоке содержит действительную и мнимую части, не обращающиеся в нуль одновременно. Поэтому коэффициент прохождения T(k) в отсутствие примеси имеет нули в точках kр = т , где m - целое. При наличии примеси нули сохраняются только при sin тДф = 0.

Зависимость коэффициента прохождения от безразмерного параметра kp показана на рис. 2. Как видно, коэффициент прохождения осциллирует как функция энергии электрона. Осцилляции связаны с интерференцией электронных волн, испытывающих многократные отражения в точках контактов проводников и кольца. В отсутствие примеси зависимость T (k p) содержит асимметричные резонансы в окрестности точек kp = m, пик которых доходит до единицы, а провал до нуля. Наличие примеси может приводить к нарушению полного отражения и прохождения в системе, в результате пики коэффициента прохождения не доходят до единицы, а провалы - до нуля.

kp kp

а) б)

Рис. 2. Зависимость коэффициента прохождения T от безразмерной величины kp при наличии магнитного поля ^ = 0,14 в отсутствие примеси (а) и при наличии примеси в точке фз = 4п /3 (б). При наличии примеси в кольце нули резонансов остаются только при тех значениях km , для которых sin (Дфkmp) = 0 (здесь и далее графики построены для u, v = 10)

Интерес представляет поведение коэффициента прохождения при энергиях, близких к E^m , в окрестности которых возможно возникновение резонансов Фано. Для исследования коэффициента прохождения вблизи E = Em

разложим числитель и знаменатель формулы (11) в ряд Тейлора по Е - Ет и ограничимся членами первого порядка малости. После несложных преобразований получим оценку для коэффициента прохождения в окрестности точек Е = Е

0

t (E) = 2/(-1)и

nm cos

(n^)AE + vEme тл sin2 тДф

nm (2/т - 2u - v )ДЕ + 4mEm sin n^

(16)

где ДЕ = E - Em .

Из (16) видно, что в общем случае, когда sin mДфФ 0, коэффициент

прохождения не обращается в нуль при E = Em, т.е. примесь приводит к исчезновению нулей. Но при определенных положениях примеси ^П^Дф = 0) нули вблизи m -го уровня сохраняются. Вблизи этих нулей амплитудный коэффициент прохождения можно записать в виде

E - E

E - E,^г) - /Г

Здесь введены следующие обозначения:

(17)

М m

(-1)m 2/m cos n^

2/m - 2u - v

EÍr) = e°

1 + -

4(2u + v)sin n^

n

(2u + v) + 4m2

Г =-

m

8mEm sin2 n^

n

(2u + v) + 4m2

(18)

(19)

Из формулы (17) видно, что T(Е) в окрестности значений Em имеет

форму резонанса Фано [20].

На комплексной плоскости энергии пикам резонансов Фано соответствуют полюсы амплитуды рассеяния в точках Em¡) + /Tm, где E^f^) - энергия, определяющая положение резонанса; rm - полуширина резонанса, при этом

0

нули находятся на действительной оси в точках Em .

Как видно из формулы (19), полуширина резонанса Фано пропорцио-

2

нальна sin , поэтому при стремлении потока магнитного поля к целому значению происходит коллапс резонансов Фано, при этом максимум и нуль

коэффициента прохождения сближаются E

О)

0

а ширина резонанса

стремится к нулю Г m

0.

Теперь рассмотрим зависимость Т от к в случае нулевого магнитного поля (или целого значения потока). В отсутствие примеси имеются осцилляции коэффициента прохождения [3], максимумы которых достигают единицы (рис. 3,а). Наличие примеси приводит к тому, что на графике появляются до-

полнительные резонансы (рис. 3,б), причем при определенных положениях примеси на кольце возможен коллапс части резонансов.

£р

£р

а) б)

Рис. 3. Зависимость коэффициента прохождения Т от безразмерной величины кр

в отсутствие примеси (а) и при расположении примеси в точке фз = 1,475п (б).

Магнитное поле отсутствует. Вблизи значений ктр, кратных двум, при наличии примеси видны резонансы

Как видно из рис. 3,б, при наличии примеси на графике Т (к р) имеются нули слева от точек кр = т . Обозначим кт значения волнового вектора, при которых коэффициент прохождения обращается в нуль. Как следует из формул (12) и (13), значения кт определяются из уравнения

2крsin(пкр)- vsin[(я;-Дф)кр]sin(Дфкр) = 0 .

(20)

В случае особых положений примеси Дф = Iп / т (т и I - целые числа), для которых величина sin(Дфкp) мала, из формулы (20) можно получить приближенную оценку для корней:

2

т v sin тДф р

(21)

2птр

а из нее - энергию электрона, соответствующую нулю коэффициента прохождения:

N2

(22)

Emz ) =

т _ *

й2

(

2т

2т*р

т --

2

v sin тДф

2пт

Исследуем поведение коэффициента вблизи значений кт в случае, когда sin тДф является малой величиной. Для этого разложим числитель и зна-

менатель t(k) в формуле (11) в окрестности точек кт в ряд Тейлора и ограничимся слагаемыми первого неисчезающего порядка по sin тДф. В результате для амплитудного коэффициента прохождения в окрестности его нулей получим оценку

t(k,0) ,----------------2ИЧГ1 ^ — кт) 2 , (23)

nmp(v — 2i)(k — кт) + v(u — т) sin тДф

где ^ = т / р - волновое число электрона, при котором энергия электрона совпадает с энергетическим уровнем спектра кольца в отсутствие магнитного поля.

Обозначив

и =_ 2(_1)mm E(r) = Eo

r*m / rs.\ ? ^m

(v _ 2i )

( 2

1 2v(vu + 2m) sin тДф

яда2 (v2 + 4)

(24)

г _ 2Emv(vm _ 2u)sin тДф (25)

Г m 2 ( 2 \ ’ (25)

nm ( v + 4)

получим следующую формулу для коэффициента прохождения:

E _ E( z )

t(E) ^m-----------ÔTm-----------------------------• (26)

E _ Emr) _/Гm

Из уравнения (26) видно, что коэффициент прохождения имеет форму резонанса Фано в окрестности точки Effl . Как видно из формул (24) и (25),

положение и ширина резонансов Фано в отсутствие магнитного поля опреде-

(г )

ляются положением примеси. Если sin mДф = 0, то полюс Eym + /Гm и нуль E^) амплитуды рассеяния совпадают и сокращаются. В результате происходит коллапс резонанса Фано в окрестности точки Em (рис. 4).

Отметим, что аналогичный результат был получен в работе [5] с использованием энергонезависящей матрицы рассеяний для контактов. Таким образом, при расположении примеси в точке фз = lя / n ( l и п - целые) в от-

E 0

сутствие поля пропадают резонансы в окрестности всех Em , для которых m кратно n . При включении поля резонансы в окрестности данных точек возникают снова, но при этом одновременно исчезают нули во всех остальных значениях Em0 . Отметим, что при наличии магнитного поля, когда поток

отличен от целого и полуцелого, резонансы появляются и в отсутствие примеси.

Теперь подробнее остановимся на случае полуцелого потока. В этом случае при диаметрально противоположном присоединении контактов к кольцу в отсутствие примеси коэффициент прохождения равен нулю для всех энергий электронов. Наличие примеси приводит к возникновению отличного от нуля коэффициента прохождения. Действительно, при ц = п + 0,5

(n - целое) в числителе формулы (11) для коэффициента прохождения F[(k,^) = 0 , остается только одно слагаемое, связанное с наличием примеси:

v8k2р2 (- 1)n sin [(я-Аф) kp! sin (Amkp) t(k, 0,5) =-------—— ---------------------------------------^-V ' . (27)

F3 (k, 0,5, u) + vF4 (k, u, Ф3)

кр кр а) б)

Рис. 4. Зависимость коэффициента прохождения Т от безразмерной величины кр в отсутствие магнитного поля. При наличии примеси в точке фз = 1,475п наблюдается резонанс слева от значения кр = 4 (а). При нахождении примеси в точке фз = 1,5 п происходит коллапс резонанса (б)

Как видно из выражения (27), при наличии примеси коэффициент прохождения не равен нулю тождественно. Это можно объяснить следующим образом. При наличии магнитного поля волновые функции электронов, прошедших по разным полукольцам, приобретают разные фазы п(кр + ц) и

п(кр -ц), поэтому в точке А2 (рис. 1) разность этих фаз равна 2пц . При по-луцелом потоке разность фаз становится кратна нечетному числу п, и на выходе из кольца волновые функции электронов компенсируются при любом к . Таким образом, без примесей данное устройство представляет собой идеальное электронное зеркало. При наличии примеси фазы электронов претерпевают изменения, и при Ц = 0,5 на выходе из кольца компенсации волновых функций уже не происходит. Как следствие, коэффициент прохождения наноустройства оказывается отличным от нуля.

Теперь рассмотрим зависимость коэффициента прохождения от магнитного поля (рис. 5,а). Из формулы (11) видно, что Т (к, ц) является периодической функцией потока Ц с периодом, равным кванту потока. В зависимости от положения примеси и энергии электрона на периоде может наблю-

даться один или два максимума. Зависимость коэффициента прохождения от энергии электрона и от магнитного поля показана на рис. 5,б.

Ф/Ф,

Ф/Ф„

а)

Рис. 5. Зависимость коэффициента прохождения от величины потока магнитного поля через кольцо для ф1 = 0, ф2 = п при различных положениях примеси (а).

Сплошная кривая 1 соответствует фз = 1,02 п, штриховая 2 - фз = 1,033п, пунктирная кривая 3 - фз = 1,06 п. Зависимость коэффициента прохождения от величины потока магнитного поля через кольцо и волнового числа электрона (б) при ф1 = 0, ф2 = п и при фиксированном положении примеси в точке фз = зп /2

Как видно из рис. 5, при изменении энергии электрона максимумы на зависимости T(л) могут сближаться и сливаться в один при целых либо по-луцелых значениях потока или же могут расходиться и исчезать. Аналогичная картина наблюдается на зависимости коэффициента прохождения от магнитного потока и положения примеси при фиксированной энергии.

3. Случай несимметричного присоединения контактов

Теперь рассмотрим случай несимметричного расположения контактов Ф2 — Ф1 ^ п. В этом случае амплитудный коэффициент прохождения может быть записан в виде

t(k,„) = F1(k,Л,ф2) + vF2(k,1,ф2,ф3) , (28)

í=3(k, Л, u, Ф2) + vFt(k, u, Ф2, Фз)

здесь

F1 (k,Л,Ф2) = —8ik3p3e—^ jsin [(2я — Ф2)kp] + е2отг| sin (Ф2kp)J; (29)

F2(k,Л,Ф2,Фз) = 8ik2p2e—''Ф2'Л sin[(2я — Ф3)kp]sin(Афkp); (30)

F?(k, л, и, ф2) = 2k p|u2 cos2rckp + (iu + k р)2 cos [2 (я-ф2 )kp] + kpx

X[4kpcos2n^ -(2iu + 5kp)cos2nkp + 4(u - ikp)sin2nkpJJ ; (31)

F4 (k, u, Ф2, Ф3) = 2ik p(iu + k p)|cos [2 (я-Дф) kp] + cos [2 (я - Ф3) k p] -

-2cos2nkp} + (iu + kp)2 |sin [2(я-фз )kp] - sin [2(я-ф2 )kp] -

- sin [2 (я-Дф)kp]} + ^5k2p2 + 2ikpu - u2 jsin2nkp . (32)

Рассмотрим вначале зависимость T (kp) в отсутствие примеси и магнитного поля. Тогда амплитудный коэффициент прохождения равен

t (k ,0) = Fi(k ,0, ф2)/ F^3(k ,0, u, ф2),

где F_(k,0,ф2) = -16ik3p3 sinrckpcos[(я-ф2 )kp] .

Из F1(k,0, ф2) видно, что нули T(kp) имеются в точках, когда либо sin rckp = 0, либо cos [(-ф2 )kp] = 0, за исключением тех точек, в которых

функция F обращается в нуль.

Можно отметить сходство формы дополнительных осцилляционных пиков, возникающих при несимметричном подключении контактов к кольцу, с формой осцилляций, возникающих в случае симметричного расположения контактов на кольце при наложении магнитного поля. Это связано с тем, что магнитное поле сдвигает фазу волновой функции электрона. Таким образом, разность фаз у волновых функций электронов, прошедших по разным полукольцам, можно создать либо магнитным полем, либо несимметричным присоединением контактов к кольцу, либо введением примесей в кольцо.

Наличие примеси на кольце приводит к сдвигу нулей коэффициента прохождения от точек kp = n (рис. 6,a). Их положения в этом случае определяются уравнением

-2kp sin rckp cos [(я-ф2 )kp] + v sin [(2я-ф3 )kp ] sin (Дфkp) = 0, (33)

из которого видно, что при наличии примеси при значениях kp = n и kp = (l + 2n)/[2(я-ф2)], n = 0,1,..., нулей уже не имеется. При фиксированном положении примеси Дф = ±пя / m при целых kp нули будут только в точках kp, кратных m .

Магнитное поле при наличии примеси в кольце приводит к исчезновению нулей коэффициента прохождения, как показано на рис. 6,б. Следует отметить, что в отсутствие примеси пропадают нули в точках kp = n , но сохраняются нули при тех значениях k , при которых cos [(я - ф2 )kp] = 0 .

Если в отсутствие поля примесь расположена на середине одной из дуг, соединяющих контакты, то высота максимумов коэффициента прохождения является наибольшей, а для электронов с малой энергией равна единице. От-

метим, что при таком положении примеси пропадают некоторые нули, которые были при несимметричном расположении примеси. При этом соответствующий провал коэффициента прохождения сохраняется, но его глубина уменьшается. Если проводники присоединены таким образом, что возмущения от контактов разные, то коэффициент прохождения уменьшается по сравнению с одинаковыми контактами.

кр кр

а) б)

Рис. 6. Зависимость коэффициента прохождения Т от безразмерной величины кр

при несимметричном подключении проводников к кольцу ф! = 0 , Ф2 = 14л /15,

Фз = 1,1л в отсутствие магнитного поля (а) и при наличии магнитного поля с потоком ^=0,05 (б)

Заключение

В работе исследован электронный транспорт в двухтерминальном квантовом кольце, помещенном в магнитное поле и содержащем несколько короткодействующих примесей. С помощью теории потенциалов нулевого радиуса в работе получены аналитические выражения для коэффициента прохождения электронов и исследована зависимость электронного транспорта от энергии электронов, величины внешнего магнитного поля и положения примесей. Показано, что зависимость коэффициента прохождения от энергии электронов носит осцилляционный характер. Осцилляции связаны с интерференцией электронных волн, многократно рассеянных на примесях и контактах. Наличие примесей приводит к изменению режима электронного транспорта, при этом возможно не только уменьшение кондактанса, но и его увеличение вследствие разрушения деструктивной интерференции. В частности, при диаметрально противоположном положении контактов и полуцелом значении магнитного потока через кольцо система без примесей ведет себя как идеальное электронное зеркало. Наличие примесей приводит к появлению ненулевой вероятности прохождения.

Проведенный анализ показывает, что зависимость коэффициента прохождения от энергии электронов содержит вблизи дискретных энергетических уровней квантового кольца резонансы Фано, состоящие из близко расположенных нуля и пика коэффициента прохождения. Необходимым условием существования резонансов является частичное нарушение симметрии системы либо с помощью несимметричного расположения контактов, либо с помощью примесей, либо с помощью магнитного поля. Резонансы возникают в результате взаимодействия распространяющихся электронных волн с локализованными состояниями дискретного спектра при совпадении их энергий. При определенных положениях примесей и значениях магнитного поля возможен коллапс резонансов Фано. При этом полюс и нуль амплитуды рассеяния совпадают и сокращаются. В частности, при диаметрально противоположном положении контактов в отсутствие магнитного поля коллапс резонанса Фано вблизи т -го уровня происходит, когда на кольце имеется единственная примесь, положение которой определяется из уравнения sin (тДф)= 0. При наличии магнитного поля резонанс Фано вблизи m -го

уровня возникает снова, а при приближении потока к целому числу квантов потока происходит коллапс резонансов.

Также в системе возможен другой механизм исчезновения нулей коэффициента прохождения, при котором нуль сдвигается с действительной оси в комплексной плоскости энергии. В этом случае уменьшается не ширина, а глубина соответствующего провала. Отметим, что коллапс резонансов Фано сопровождается повышением симметрии системы, в то время как при сдвиге нулей симметрия понижается. Таким образом, при изменении магнитного поля, взаимного расположения примесей и контактов на кольце можно получать системы с различными транспортными режимами.

Список литературы

1. Büttiker, M. Quantum oscillations in one-dimensional normal-metal rings / M. Büt-tiker, Y. Imry, M. Ya. Azbel // Phys. Rev. A. - 1984. - V. 30. - P. 1982.

2. Li, J. Resonant transport properties of tight-binding mesoscopic rings / J. Li, Z.-Q. Zhang, Y. Liu // Phys. Rev. B. - 1997. - V. 55. - P. 5337.

3. Гейлер, В. А. Транспорт в двухтерминальном кольце Ааронова-Бома /

B. А. Гейлер, В. В. Демидов, В. А. Маргулис // ЖТФ. - 2003. - Т. 73. - № 6. - С. 1.

4. Voo, K.-K. Fano resonance in transport through a mesoscopic two-lead ring / K.-K. Voo, C. S. Chu // Phys. Rev. B. - 2005. - V. 72. - P. 165307.

5. Vargiamidis, V. Fano resonance and persistent current in mesoscopic open rings: Influence of coupling and Aharonov-Bohm flux / V. Vargiamidis, H. M. Polatoglou // Phys. Rev. B. - 2006. - V. 74. - P. 235323.

6. Nakanishi, T. Theory of Fano effects in an Aharonov-Bohm ring with a quantum dot / T. Nakanishi, K. Terakura, T. Ando // Phys. Rev. B. - 2004. - V. 69. - P. 115307.

7. Ткаченко, О. А. Электростатический потенциал, энергетический спектр и резонансы Фано в кольцевом баллистическом интерферометре на основе гетеропереходе AlGaAs/GaAs / О. А. Ткаченко [и др.] // Письма в ЖЭТФ. - 2000. - Т. 71. -

C. 366.

8. Быков, А. А. Транспортные свойства кольцевого GaAs/AlGaAs интерферометра в туннельном режиме / А. А. Быков [и др.] // Письма в ЖЭТФ. - 2000. - Т. 71. -С. 631.

9. Pichugin, K. N. Aharanov-Bohm oscillations of conductance in two-dimensional rings / K. N. Pichugin, A. F. Sadreev // Phys. Rev. B. - 1997. - V. 56. - P. 9662.

10. Баграев, Н. Т. Интерференция носителей тока в одномерных полупроводниковых кольцах / Н. Т. Баграев [и др.] // ФТП. - 2000. - Т. 34. - № 7. - С. 84б.

11. Быков, А . А . Магнетотранспортные свойства кольцевого баллистического интерферометра на основе GaAs квантового колодца с высокой концентрацией двумерного электронного газа / А. А. Быков [и др.] // Письма в ЖЭТФ. - 2000. -Т. 72. - С. 300.

12. Yacoby, A. Coherence and phase sensitive measurements in a quantum dot / A. Yacoby [et al.] // Phys. Rev. Lett. - 1995. - V. 74. - P. 4047.

13. Ryu, C. Phase evolution of the transmission coefficient in an Aharonov-Bohm ring with Fano resonance / C. Ryu, S. Y. Cho // Phys. Rev. B. - 1998. - V. 58. - P. 3572.

14. Kobayashi, K. Tuning of the Fano effect through a duantum dot in an Aharonov-Bohm interferometer / K. Kobayashi [et al.] // Phys. Rev. Lett. - 2002. - V. 88. -P. 25б80б.

15. Kobayashi, K. Fano resonance in a quantum wire with a side-coupled quantum dot / K. Kobayashi [et al.] // Phys. Rev. B. - 2004. - V. 70. - P. 035319.

16. Pedersen, S. Observation of quantum asymmetry in an Aharonov-Bohm ring /

S. Pedersen [et al.] // Phys. Rev. B. - 2000. - V. б1. - P. 5457.

17. Liu, J. Correlations between Aharonov-Bohm effects and one-dimensional subband populations in GaAs/AlxGa1-xAs / J. Liu [et al.] // Phys. Rev. B. - 1993. - V. 48. -P. 15148.

18. Mailly, D. Experimental observation of persistent currents in a GaAs-AlGaAs single loop / D. Mailly, C. Chapelier, A. Benoit // Phys. Rev. Lett. - 1993. - V. 70. - P. 2020.

19. Liu, J. Cyclotron trapping, mode spectroscopy, and mass enhancement in small GaAs/AlxGa1-xAs rings / J. Liu [et al.] // Phys. Rev. B. - 1993. - V. 47. - P. 13039.

20. Fano, U. Effects of configuration interaction on intensities and phase shifts / U. Fano // Phys. Rev. B. - 19б1. - V. 124. - P. 18бб.

21. Ким, Ч. С. Туннелирование через дискретные уровни в континууме / Ч. С. Ким, А. М. Сатанин // ЖЭТФ. - 1999. - Т. 115. - С. 211.

22. Ким, Ч. С. Коллапс резонансов в квазиодномерных квантовых каналах /

Ч. С. Ким [и др.] // ЖЭТФ. - 1999. - Т. 11б. - С. 2б3.

23. Ким, Ч. С. Резонансы Фано и локализация электронов в гетеробарьерах /

Ч. С. Ким, А. М. Сатанин, В. Б. Штенберг // ЖЭТФ. - 2000. - Т. 118. - С. 413.

24. Ким, Ч. С. Интерференция квантовых состояний в электронных волноводах с примесями / Ч. С. Ким [и др.] // ЖЭТФ. - 2002. - Т. 121. - С. 1157.

25. Clerk, A. A. Fano resonances as a probe of phase coherence in quantum dots / A. A. Clerk, X. Waintal, P. W. Brouwer // Phys. Rev. Lett. - 2001. - V. 8б. - P. 4б3б.

26. Гейлер, В. А. Баллистический транспорт в наноструктурах: явнорешаемые модели / В. А. Гейлер, И. Ю. Попов // ТМФ. - 199б. - Т. 107. - № 1. - С. 12.

27. Geyler, V. A. Localization in a periodic system of the Aharonov-Bohm rings / V. A. Geyler, A. V. Popov // Reps. Math. Phys. - 1998. - V. 42. - P. 347.

28. Гейлер, В. А. Резонансное туннелирование через двумерную наноструктуру с присоединенными проводниками / В. А. Гейлер, В. А. Маргулис, М. А. Пятаев // ЖЭТФ. - 2003. - Т. 124. - С. 851.

29. Кревчик, В. Д. Примесное поглощение света в структурах с квантовыми точками / В. Д. Кревчик, Р. В. Зайцев // ФТТ. - 2001. - Т. 43. - № 3. - С. 504.

30. Brüning, J. Scattering on compact manifolds with infinitely thin horns / J. Brüning, V. A. Geyler // J. Math. Phys. - 2003. - V. 44. - P. 371.

31. Базь, А. И. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов. - М. : Наука, 19бб. - 340 с.

32. Демков, Ю. Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике / Ю. Н. Демков, В. Н. Островский. - Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. - 240 с.

Кокорева Мария Алексеевна аспирант, Институт физики и химии, Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева

E-mail: maria-kokoreva@yandex.ru

Маргулис Виктор Александрович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики, Институт физики и химии, Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева

E-mail: theorphysics@mrsu.ru

Пятаев Михаил Анатольевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра теоретической физики, Институт физики и химии, Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева

E-mail: pyataevma@math.mrsu.ru

Kokoreva Mariya Alekseevna Postgraduate student, Institute of physics and chemistry, Mordovia State University named after N. P. Ogarev

Margulis Viktor Alexandrovich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of theoretical physics, Institute of physics and chemistry, Mordovia State University named after N. P. Ogarev

Pyataev Mikhail Anatolyevich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of theoretical physics, Institute of physics and chemistry, Mordovia State University named after N. P. Ogarev

УДК 538.935 Кокорева, М. А.

Резонансы Фано в электронном транспорте через квантовое кольцо с примесями / М. А. Кокорева, В. А. Маргулис, М. А. Пятаев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 1 (13). - С. 109-125.