CC BY
161
Финансовый рынок
УДК 330.4
резонансные явления
на финансовых рынках*
В. П. СЕМЕНОВ, доктор экономических наук, профессор кафедры высшей математики
E-mail: emf@rea.ru
Ю. П. СОЛОВЬЕВ, доктор экономических наук, профессор кафедры экономико-математических методов E-mail: emf@rea.ru Российский экономический университет
им. Г. В. Плеханова
В статье предлагается модель финансового рынка, основанная на механических аналогиях в духе эконофизики. Обсуждается возможность связать параметры модели с индикаторами и методами, используемыми в техническом анализе для идентификации состояний реального фондового рынка. Показано, что финансовый рынок является резонатором информации, т. е. инструментом, выделяющим из общего потока информации отдельные информационные гармоники, совпадение частот которых с собственными частотами рыночных колебаний приводит к взлетам цен на отдельные активы, что зачастую являет собой ложные сигналы, подаваемые рынком реальной экономике.
Ключевые слова: эффективный рынок, ценовой процесс, фондовые индексы, волновая теория, гармонический осциллятор, периодическая информация, резонанс, собственные колебания, информационная гармоника, деривативы.
В 1930-х гг. появилось несколько работ, в которых проводился эмпирический анализ различных
* Статья подготовлена при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда (проект №10-02-00386а).
финансовых характеристик в целях получения ответа на вопрос: предсказуемо ли движение цен? Среди этих работ, написанных статистиками, следует назвать прежде всего работы А. Каулеса и Г. Воркинга. Первый оперировал с данными рынка акций, второй - с ценами товаров. Эти работы содержали неожиданный вывод, что скорее все-
N
го приращения А, = 1п —— логарифмов цен N.
N
k -1
(К=1, 2, 3...) являются независимыми. Но ни экономисты, ни практики не обратили на эти работы должного внимания. Видимо, это связано с тем, что
утверждение: последовательность
=!А ,
носит .
j=1
характер «случайного блуждания» (сумма независимых случайных величин), не согласовывалось с бытующим среди практиков мнением, что цены следуют некоторым ритмам, циклам, трендам., выявление которых, вероятно, могло дать основу для прогнозирования их движения. После этих работ и до 1953 г., когда вышла в свет знаменитая работа М. Кендала [7], с которой начался современный этап исследования эволюции финансовых характе-
ристик, никаких принципиально новых публикаций на эту тему, по-существу, не было.
После работы Кендала проявился интерес к углубленному изучению динамики финансовых показателей и построению вероятностных моделей, объясняющих наблюдаемые эффекты, такие, например, как кластерность. Отметим работы Г. Робертса и М. Осборна, содержащие эвристические аргументы в пользу гипотезы «случайного блуждания» (ГСБ).
Эта мысль получила блестящее развитие в работе П. Самуэльсона [10], внедрившего в финансовую теорию и практику геометрическое (или, как он предпочитал, экономическое) броуновское движение.
В 1965 г. Самуэльсон сформулировал гипотезу «эффективного рынка», показав математически, что ожидаемые цены меняются случайным образом. Используя предположения о рациональном пове-дениии трейдеров и об эффективности рынка, он продемонстрировал, что ожидаемая величина цены актива в момент t+1 связана с предшествующими величинами цен N0, Nj... Nt поредством соотношения Е {Nt+1/N0, N .Nt} =N (левая часть равенства - условное математическое ожидание.) Статистические процессы, подчиняющиеся этому вероятностному условию, называются мартингалами. Понятие мартингала есть интуитивно-вероятностная модель «справедливой игры». В применении к ценовым изменениям, наблюдаемым на финансовом рынке, «справедливая игра» означает, что не существует способа получения прибыли на актив посредством использования истории ценовых флуктуаций. Вывод этой «формулы» эффективного рынка состоит в том, что ценовые изменения невозможно предсказать по историческому временному ряду изменений этих цен за прошлые периоды времени.
Эффективность рынка ассоциируется с отсутствием арбитражных возможностей, что с необходимостью приводит к появлению мартингалов [6], т. е. на «справедливом» рынке не может быть выигрыша у одних и проигрыша у других. Выигрыш равен нулю. Первым, кто для описания эволюции цен активов финансового рынка применил концепции теории вероятностей, был Л. Башелье (ученик великого А. Пуанкаре). Идея использования ГСБ была высказана Л. Башелье в его диссертации в 1900 г. «Теория спекуляции» (Theorie de la speculation). Он считал, что цены акций: N(S) = N® (более точно было бы оперировать не ценами, а логарифмами цен) меняют
свои значения в моменты времени 5; 28;..., причем
так что цена и™ = N + ^ + +... + ^ (где ^5 -независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения ±с\/3 с вероятностями S). Тем самым:
Е{<5)} = М0; D{Ntj(f } = с-(*5),
где Е и D - операторы математического ожидания и дисперсии соответственно. Полагая к=1/5 (где ¿>0), Башелье предельным переходом получает, что ценовой процесс с
N = Нт^((33)3 имеет вид:
N = М0 + сЩ, где Ж=Ж(есть то, что теперь принято называть стандартным (Ж0 = 0; Е{Щ} = 0 ; D{Wt} = Е{Щ2} = г) броуновским движением или винеровским процессом, т. е. случайным процессом с независимыми гауссовскими (нормальными) приращениями и непрерывными траекториями. Проблема распределения ценовых изменений в дальнейшем рассматривалась различными авторами, начиная с 1950 г., когда математики начали проявлять интерес к моделированию цен на фондовых рынках. Исходное предположение Башелье о гауссовском распределении было скоро заменено моделью, в которой цены акций имели логнормаль-ное распределение, т. е. в экономическом броуновском движении гауссовское распределение имеет разности логарифмов цен. Однако и эта модель дает только первое приближение к тому, что наблюдается при анализе реальных данных. По этой причине был предложен ряд альтернативных моделей [8].
Эмпирические исследования для проверки ГСБ показали, что корреляция между ценами очень мала, что подтверждало гипотезу. Однако в 1980-х гг. было показано, что использование информации, представленной во временных рядах, таких как отношение прибыль/цена, позволяет прогнозировать доходность актива на достаточно длительное время (порядка месяца). Эти результаты побудили применить более жесткие требования к доказательству концепции эффективного рынка. В настоящее время можно считать доказанным, что ценовые изменения невозможно прогнозировать, если исходить только из временного ценового ряда. Сказанное не означает, что реальный рынок идеально эффективен. Ценовые ряды финансовых активов чутко реагируют на любые значимые новости. Они несут в себе громадное количество информации. И в силу
того, что информации чрезвычайно много, трудно выделить воздействие на цены фундаментальных экономических факторов.
Сложность прогнозирования связана с чрезмерным количеством информации, а отнюдь не с ее недостатком. Когда конкретная информация влияет на рыночную цену, рынок уже не вполне эффективен. Это позволяет выявить во временном ряде цен влияние такой информации. В подобных случаях может быть выработана определенная арбитражная стратегия, и она будет оставаться прибыльной до тех пор, пока рынок не станет близким к эффективному в результате использования трейдерами всей новой информации в процессе формирования цены. Новые арбитражные возможности непрерывно появляются и обнаруживаются на рынках. Когда они начинают использоваться, цены выравниваются и арбитражные возможности исчезают.
В любых действующих рынках всегда имеют место неэффективности. Поиск и использование арбитражных возможностей является одним из методов снятия рыночной неэффективности.
Анализируя картину изменений на рынке ценных бумаг на уровне фондовых индексов, можно отметить определенную цикличность. Это не противоречит ГСБ, ибо поведение этих усредненных статистических конструкций заведомо не укладывается в рамки гипотезы. Анализ ковариационных матриц прибылей и доходностей активов показывает существенные корреляции между отдельными парами активов, торгуемых на рынке. Это обстоятельство необходимо брать в расчет при моделировании рынка. Ключевой вклад здесь принадлежит Г. Мар-ковицу [9], создавшему математически обоснованную стратегию диверсификации при формировании портфеля ценных бумаг.
Итак, цикличность изменений на фондовом рынке наблюдаема и непротиворечива. Проблема состоит в том, чтобы правильно идентифицировать цикличное развитие. В экономике существует огромное число циклических процессов от минутных колебаний фондового рынка до пятидесятилетних циклов Н. Кондратьева. Получение на их основе правдоподобной информации для построения прогноза является трудной, до конца не решенной задачей.
Одна из самых ранних попыток описать эволюцию рыночных цен акций с учетом цикличности была предпринята Ч. Доу на рубеже Х1Х-ХХ вв. Термин «Теория Доу» появился уже после смерти ее
автора, одного из основателей известных индексов Доу-Джонса. Теория была создана для прогнозирования движения индексов на рынке ценных бумаг. Она базируется на нескольких постулатах, и главный из них гласит: движение индексов учитывает все. Сила теории состоит в ее логике, направленной на то, чтобы сделать рынок измеряемым. Некоторые ее положения нашли отражение в современных методиках, используемых на финансовых рынках, а индекс фЛА) обессмертил имена его создателей. Однако сама теория Доу имеет все же скорее философскую, чем практическую ценность. Рассмотрим ее дальнейшую эволюцию.
Основателем оригинальной и хорошо разработанной (по сравнению с теорией Доу) волновой теории рынка является Р. Н. Эллиот. Изучая движение индексов, Эллиот смог найти определенную структуру внутри этих движений. Шаги и способы достижения ценами новых максимумов (минимумов) всякий раз повторялись, т. е. он обнаружил волновую структуру ценовых движений акций. Основой волновой теории является предположение о том, что рынок развивается пятью волнами в направлении главного тренда с последующей коррекцией из трех волн. Первые пять волн как единое целое называются импульсивной волной, а три оставшиеся - коррекционной волной. В свою очередь эти волны также подразделяются на импульсивные и корректирующие. Волны 1, 3, 5 в первой пятиволновой последовательности называются импульсивными, а волны 2 и 4 - корректирующими. Для трехволновой последовательности волны А и В являются импульсивными, а волна С -. корректирующей.
Одно из главных правил волновой теории заключается в том, что каждая из основных волн может состоять из более мелких подволн, которые следует анализировать как самостоятельные волны Эллиота. Самый маленький цикл может длиться минуты, а самый большой - продолжаться в течение нескольких лет. При этом степень вложенности и подразделения на более мелкие волны может быть чрезвычайно высокой. По сути, это одна из демонстраций фундаментальной закономерности мироустройства: мелкие части по форме и сути повторяют форму и сущность объемлющего (фрактальность) [6]. Система очень трудна для применения, так как волны отличаются по длине, интенсивности и времени. Их распознавание становится самой большой проблемой анализа. Система Эллиота включает в
себя волны внутри волн, внутри новых волн и т. д. Поэтому маленькие ошибки при подсчете и идентификации могут приводить к принципиально неверным выводам о текущем состоянии рынка (рис. 1). Разработав весьма громоздкий и запутанный алгоритм, Эллиот, тем не менее, не мог объяснить, почему его система работает именно таким образом. Позднее он совместно с Ч. Колинзом доработал систему, сопоставив ее с рядом Фибоначчи1.
Наиболее интересное употребление числа Фибоначчи находят при расчете уровней отката (retracement) или отскока (rebound). Эти часто встречающиеся на рынке явления представляют собой частный случай волн Эллиота. Так как цены не могут непрерывно расти или падать после каждого их изменения, существует той или иной величины откат в противоположную сторону. Особенно ярко это явление видно после сильного и продолжительного движения. По теории Доу коррекция основного движения осуществляется на величины 1/3 - 33 %; 1/2 - 50 %; 2/3 - 66 % от величины предыдущей
1 С легкой руки Р. Эллиота в технический анализ вошли числа Л. Фибоначчи, средневекового итальянского математика. Сейчас эти числа применяются в физике, биологии, психологии и других областях знаний. Если в естествознании использование этих чисел имеет четкое обоснование, то в техническом анализе его нет, кроме статистического и психологического подтверждения. Числовой ряд: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21..., где каждое последующее число является суммой двух предыдущих, Фибоначчи построил, решая задачу о размножении в клетке пары кроликов. Нам более импонирует модель подъема по ступенчатой лестнице, когда каждый шаг мы делаем или на следующую ступень, или перешагивая через одну ступеньку. Легко подсчитать, что на лестницу из 3-х ступеней можно подняться тремя способами, из 4-х ступеней - уже пятью способами, а на 5-ступенчатую - восемью. Количество способов попасть на к-ю ступень, очевидно, равно сумме способов поднятия на к-1 и на к-2 ступени. Выбор способа подъема -это уже в чистом виде психология. Он зависит от характера, настроения, самочувствия и т. п. того, кто совершает подъем. Вместе с числами Фибоначчи в систему Эллиота вторгается психология, массовая психология поведения толпы. Известно, что на рынках с малым количеством участников система работает хуже или вообще не работает. На тех же рынках, где число участников велико, она работает более успешно. Психология участников рынка подчиняется определенным циклическим законам: экспансия, энтузиазм, успокоение, упадок. Подобная цикличность развития известна уже давно. Развитие любого явления, будь то философское учение или коммерческая фирма, проходит стадии зарождения, расцвета, стабилизации и спада. Ценность идеи Эллиота в том, что кроме цикличности, он ввел числовые характеристики циклов, используя последовательность Фибоначчи. Отметим некоторые интересные свойства этого ряда. Француз Ж. Бине нашел формулу для произвольного члена ряда Фибоначчи:
Рис. 1. Основная волна Эллиота и мелкие подволны
волны. При этом откат 33 % наиболее вероятен, а откат 66 % наименее вероятен. Использование последовательности Фибоначчи позволяет увеличить наиболее вероятную нижнюю границу с 33 до 38,2 % (число Фибоначчи 0,382) и в то же время уменьшить наименее вероятную границу с 66 до 61,8 % (число Фибоначчи 0,618). Достижение уровня 38,2 % происходит часто, что обусловлено огромной популярностью теории Эллиота (рис. 2).
Действительно, поскольку большинство участников рынка ожидает такой откат, именно он и происходит. Откаты и отскоки действуют как на главных трендах, так и на вторичных и краткосрочных. Их можно наблюдать как на недельных, так и на часовых графиках. Знание о существовании откатов и умение вычислить их возможную вели-
(ф)* - (--)*
_ф_
где ф (число «фи» в честь древнегреческого скульптора Фидия) - отношение «золотого сечения». Это число является решением задачи о разделении отрезка на части так, чтобы отношение длины отрезка к большей части равнялось отношению большей и меньшей частей
разделенного отрезка ф = ^ +1 «1,618. Используя формулу Бине, легко доказать следующие свойства чисел
a a
Фибоначчи: lim—- = 0,618 = 1/ф; lim—- = 1,618 = ф;
kak +1 kak-
lim ak-1 = 0 382- limak±L = 2,618. Таким образом, из
k — at+i ' ' kat-i
последовательности Фибоначчи получается набор интересных чисел: 4,236=2,618+1,618; 2,618; 1,618; 0,618; 0,382; 0,236=0,618-0,382; еще нужно добавить к ним 0,5 и 1,0. Эти числа «всплывают» во многих областях естествознания. Эллиот применил их в техническом анализе рынка ценных бумаг.
Рис. 2. Возможные уровни отката цен
Цена (индекс)
20,000 19.000 18.000 17.000 16,000 15,000 14,000 13,000 12,000 11.000 ю.ооо
9,000 8.000 7,000 6.000
03.10.1988
02.10.1989
01.10,1990
01.101991
рис. 3. Волновая теория Эллиота
компьютерных показателей для задания их временных периодов [1].
Значение идей Эллиота - велико. Его теория составляет фундамент современного технического анализа рынка ценных бумаг (рис. 3).
В данной работе авторы предлагают модель финансового рынка, основанную на механических аналогиях в духе модной теперь эконофизики2.
Рассмотрим вначале физическую модель: колебание грузика на упругой пружине (рис. 4).
После отклонения грузика массой т от положения равновесия он будет совершать вертикальные гармонические колебания. Отклонение грузика от положения равновесия будем обозначать через х, причем положительному значению х соответствует отклонение вниз. При отклонении груза на величину х на него будет действовать возвращающая сила / = кх, равная разности силы деформации пружины и силы тяжести. Уравнение движения груза массой т имеет вид:
тХ = -кх. (1)
Здесь .. ё2 х
01.10.1992 01,10.1993
Время
Х = -
где
ё 2
Л 2
оператор второй производной по вре-
рис. 4. Собственные колебания грузика на упругой пружине (Р - сила упругости пружины; т§ - сила тяжести)
чину существенно помогает при торговле. Глубина реального отскока является дополнительной характеристикой силы тренда и дает информацию для анализа.
С помощью последовательности Фибоначчи можно пытаться прогнозировать и временные интервалы между очередными максимумами (минимумами) цен. Хотя это менее точные прогнозы, чем расчет отката, но как вспомогательные подстра-ховочные прогнозы их можно рассматривать. Числа Фибоначчи часто используются при составлении
мени.
Уравнение (1) - это уравнение движения одно" 3
мерного линейного гармонического осциллятора3. Решение уравнения (2) представляет колебательный процесс:
2 В последние десятилетия появилось новое научное направление, в рамках которого сделана, наверное, очень своевременная попытка трактовать экономику как естественную (точную) науку. Это привело к созданию нового раздела экономики, который чаще всего называют «Эконофизика». В целом под эконофизикой сейчас понимается расширение идей и математических методов физики (в основном статистической физики, но не только) по исследованию экономических процессов, допускающих количественный анализ.
3 Задача об одномерном линейном гармоническом осцилляторе является одной из важнейших в теоретической физике. Она находит применение при построении простейшей теории колебаний, имеющей значение в самых разнообразных областях физики (в механике, классической электродинамике, оптике, атомной и ядерной физике), а также в других научных дисциплинах (в химии, биологии, экономике, технике).
2
х = А соэ(ю ^ + ф), (2)
где А и ф - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий; ю - параметр (есть круговая (циклическая) собственная частота гармонического колебания
г ГкЛ
V т
Величина ю • I + ф называется фазой. Параметр ф - начальная фаза (в момент ^ = 0). Процесс повторяется с периодом Т. Очевидно, что смещение
грузика х и его скорость Х = ^^^ будут теми же,
если фаза изменится на величину 2п, т. е. 2п = юТ. Максимальное отклонение от положения равновесия А называется амплитудой. Амплитуда зависит от величины первоначального отклонения от положения равновесия. Это отклонение предполагается не слишком большим. В противном случае решение (2) - уже не справедливо. Закон движения грузика становится нелинейным и его движение будет периодическим, но негармоническим [3].
Именно эту физическую модель колебаний авторы используют в качестве аналога для модели финансового рынка.
Предположим, что на рынке появилась информация, приведшая к увеличению спроса на те или иные акции. Это вызывает их подорожание. В преддверии заметного роста цены актива другие участники рынка также присоединяются к движению покупок, увеличивая спрос. Лавинообразное усиление процесса, естественно, может привести к переоцениванию актива (в соответствии с теорией рефлексивности Д. Сороса [4] участники рынка воздействуют усиливающим или ослабляющим образом на изменение будущих цен, особенно на спекулятивных финансовых рынках). Как следствие - разворот тренда. Стоимость актива начинает снижаться и, поскольку участники однородны в своих целевых установках, к процессу продаж присоединяется все большее их количество. Цена актива может достаточно сильно упасть. Почувствовав новый разворот тренда, трейдеры начинают скупать дешевые акции, вызывая их подорожание. С уменьшающейся ценовой амплитудой движение может неоднократно повториться, пока цены не вернутся к некоторому «равновесному» уровню и трейдеры займутся поисками новых возможностей арбитража. Налицо наличие колебательного процесса.
Авторы предполагают, что описанный сценарий на уровне рыночных цен актива может быть
смоделирован с помощью уравнения4:
NN = -Ш - ий. (3)
Каков экономический смысл параметров к и И?
Параметр к (его размерность равна 1/ (ед. времени) 2) - коэффициент жесткости рыночной пружины, от которого зависит величина «возвращающей силы», возникающей вследствие отклонения цены от положения равновесия и направленной к положению равновесия. На взгляд авторов, значение к является функцией объема торгуемого актива и его ликвидности. Под объемом авторы понимают долю стоимости акций актива в капитализации всего рынка. Ликвидность актива означает возможность его быстрой реализации без существенного снижения стоимости5. Параметр И (его размерность равна 1/ (ед. времени)) - коэффициент рыночного трения. Его величина зависит от издержек или помех, препятствующих спросу и предложению активов. Связанные с «трением» затраты приводят к тому, что либо покупатель должен платить больше, либо продавец - получать меньше. Для финансового рынка «трение» реализуется в виде комиссионных, выплачиваемых брокерам, или спрэда цен покупки/продажи, присваемого дилером. Сюда же входят правительственные налоги и трансфертные платежи. Авторы допускают, что на значение И оказывает влияние и психология участников рынка. При совершении операций арбитража настроение участника последовательно проходит стадии энтузиазма, эйфории, успокоения, усталости, может быть, депрессии. Если бы удалось найти аналитический закон, формирующий параметр И, то, возможно, в формуле присутствовала бы и последовательность чисел Фибоначчи. В настоящий момент возможно только пытаться оценить интервалы, в которых находятся параметры модели.
4 Из самых простых опытов с гармоническими колебаниями (колебания маятника, грузика на пружине и т. п.) видно, что периодический процесс, возникающий после первоначального отклонения, постепенно затухает. Происходит это потому, что при движении возникают силы трения и механическая энергия, которую сообщили при начальном возбуждении колебаний, постепенно переходят в тепловую форму. Силы трения, когда начальное отклонение невелико и скорость по абсолютной величине мала, пропорциональны скорости.
5 До настоящего времени нет единого определения ликвидности. Дж. Тобин предложил толковать ликвидность и неликвидность с помощью потерь, которые может понести продавец, если он желает совершить сделку немедленно без поисков встречных предложений. Иногда мера ликвидности определяется как спрэд цен покупки и продаж плюс комиссионные. Чем эта величина больше, тем больше риск ликвидности.
Решение уравнения (3) имеет вид: N = Ле~5' • соб(ю^ + ф),
(4)
где А - амплитуда колебания;
5 - коэффициент затухания (¿=Л/2); ю 1 - циклическая частота колебания
(ю,
Ф - начальная фаза.
Движение цен представляет собой затухающие «синусоидальные» колебания (рис. 5). Колебания с течением времени ослабевают, и огибающая графика колебаний не выходит за пределы кривых ± Ле~ы. Величина Т = 2л/ш1 - период затухающего колебания. При И=0 (рыночное трение отсутствует) ю, = л/к = ю (является собственной частотой ценовых колебаний. При этом закон ценовых колебаний актива есть незатухающее гармоническое движение: N = А • соб(ю^ + ф).
Для оценки длительности процессов вида (4) введем величину т = 1 / 5 , имеющую размерность времени и называемую временем релаксации. Очевидно, что за время т отклонение цены от положения равновесия уменьшится в е раз (~ в 2,72 раза). Само по себе время релаксации не характеризует колебательную систему. В самом деле, при разных частотах за одно и то же время т разные системы совершают различное число колебаний. Поэтому для оценки затухания системы в зависимости от числа колебаний введем безразмерный коэффи-Т /
циент: 9= у =8Т1, называемый декрементом.
Величина, обратная декременту, 1/ 9 = д указывает, сколько колебаний совершает система, прежде чем размах колебаний уменьшится в е раз. Легко показать, что
9 = 1п-
N
где а=1. 2....п.
Рис. 5. Затухающие синусоидальные ценовые колебания
Таким образом, декремент равен натуральному логарифму отношения величин двух последовательных крайних отклонений в одну сторону. Отсюда получается соотношение, на основании которого декремент может быть определен экспериментально. А именно:
9 = 11п А,
т Nm
где Nm - отклонение, которое имеет место через т колебаний после отклонения N1. Подсчитав из ценового графика время релаксации т (размах колебаний за время т уменьшится в е. раз), можем найти коэффициент затухания 5 = 1/ т и, следовательно, коэффициент рыночного трения h = 25. Определив декремент, находим период затухания колебаний Т =т / 5 и, следовательно, его частоту = 2п / Т1. Зная частоту и коэффициент трения, находим коэффициент рыночной жесткости
актива к = ю2 + .
Однако ценность данных построений значительно снижается, как только будет осуществлена попытка адаптировать предлагаемую модель к исследованию колебаний на фондовом рынке. Ведь реальные ценовые графики (см. рис. 3) имеют достаточно отдаленное сходство с аккуратными «картинками», графически отображающими колебания маятника или грузика на пружине (см. рис. 5). Чтобы провести указанные ранее замеры, определяющие параметры затухающего колебания на реальном ценовом графике, прежде всего необходимо идентифицировать тот убывающий тренд, с которым далее будет проводиться работа. Таким образом, следует осуществить процедуру усреднения (сглаживания) мелких ценовых колебаний. Как это сделать? На взгляд авторов, ничего лучшего, чем волновой алгоритм Р. Эллиота для этой цели еще не придумано.
Отметим, кстати, любопытную деталь. Число Ф = 1,62 (число Фидия), алгебраической комбинацией которого определяется член последовательности Фибоначчи, удовлетворяет соотношению: фк^ё ~ 1,65. Равенство выполняется с точностью до 2-го знака после запятой, т. е. при расчете уровней отката, где числа Фибоначчи наиболее востребованы, можно с хорошей точностью выражать их значения
через различные комбинации числа е. К примеру, из —
соотношения: Нт(——) к 2,62 следует: 1/ (2,62) =
= 1/ (ф + 1) ~ 0,38 к 1/е* ~ 0,37. Границы отката в 38 % на рынке ценных бумаг достигаются наиболее часто, что связано с популярностью среди участников идей
Эллиота. Эти и некоторые другие аналогии наводят на мысль, что предлагаемая модель в какой-то мере адекватна теории Эллиота, что указывает путь к объяснению появления в последней чисел Фибоначчи и может оказаться полезной в техническом анализе. Здесь, однако, следует иметь в виду, что модель финансового рынка не может базироваться на одной аналогии с колебанием грузика на пружинке. Рынок представляет собой колебательную систему с большим числом степеней свободы, ибо количество представленных на рынке активов - велико. Если использовать механическую аналогию, то это - множество грузиков, колеблющихся на пружинах с разными коэффициентами жесткости. Причем каждый грузик множеством дополнительных пружинок связан со всеми остальными. Колебания одного из грузиков возбуждают колебания во всей системе. Процесс легко проиллюстрировать на примере двух связанных грузов. Если оттянуть 2-й из грузов, удерживая 1-й на месте, и отпустить систему, то вначале 2-й грузик будет колебаться так, как если бы первый мы удерживали, но пружина между ними заметно сжимается и разжимается. Сила пружины действует на 1-й грузик, и он постепенно начинает раскачиваться. Энергия, сообщенная 2-му грузику, будет передаваться 1-му и амплитуда 2-го груза будет постепенно убывать, а амплитуда 1-го - нарастать. Это будет продолжаться какое-то время до тех пор, пока. 2-й грузик не остановится, а 1-й (если потери на трение малы) будет колебаться почти с той же амплитудой, как и 2-й в самом начале. Затем грузики поменяются ролями и процесс повторится. Механическая энергия будет все время почти полностью переходить от одного грузика к другому, пока она не превратится в тепловую и грузики остановятся. Такие колебания называются биениями, а время, в течение которого грузы обмениваются энергией, - периодом биений. Легко показать, что при любых начальных условиях колебания каждого грузика состоят из суммы двух колебаний с частотами ю1 и ю2 - собственными час-
I рис. 6. Колебания 1 двух грузиков и двух маятников, соединенных ^ пружинами
тотами данной системы грузов, причем циклическая частота биений равна ю5 =|ю1 -ю2| (рис. 6).
Если рассматривать систему нескольких грузиков или маятников, где каждый связан пружинами с остальными, то анализ колебаний такой системы уже представляет громоздкую вычислительную операцию, а к примеру при «=20, подобный анализ требует привлечения сложных компьютерных программ и значительных затрат «машинного времени». На реальном фондовом рынке колеблются не грузики, а цены активов, причем жесткость связывающих их «рыночных пружин» определяется прежде всего взаимными корреляциями доходностей активов. При этом каждый актив обладает еще своими коэффициентом жесткости и коэффициентом трения по отношению к рынку в целом. Число активов, представленных на рынке, -от нескольких десятков до многих сотен. На рынке возникают ценовые колебания какого-то актива, при этом они моментально возбуждают колебания во всей системе. Можно наблюдать сложнейшую картину ценовых биений, определяемых наличием громадного числа собственных частот колебаний активов. Следует еще иметь в виду, что появление информации, влияющей на спрос на те или иные акции, есть случайное событие, а цены и ценовые доходности - случайные величины. Это требует для построения модели привлечения вероятностных и статистических методов. Кроме того, параметры модели (коэффициенты жесткости и трения) также неизвестны. Оценить их, как говорилось ранее, можно на основе волнового алгоритма Эллиота. В принципе, реализация подобного проекта - возможна. Однако построение на этой основе модели реального финансового рынка потребовало бы очень больших временных и интеллектуальных затрат. При этом следует помнить, что волны Эллиота, конечно же, не являются гармоническими колебаниями. Поэтому даже если бы «полная» модель была создана, к следующим из ее анализа выводам следовало бы относиться с известной настороженностью. То, что предлагают авторы в исследовании, - это предельно упрощенный вариант общей модели финансового рынка. Однако в нем присутствуют все характерные признаки колебательного процесса, что позволяет даже на базе столь простой модели получить некоторые представляющие интерес следствия.
Сразу отметим, что представление модели с помощью уравнения (3) не является вполне удачным. Ведь цены колеблются не вокруг нуля, а
относительно некоторого равновесного уровня Удобнее ввести нормированную величину У=N/N0. Уравнение (3) при этом будет иметь вид:
У = -кУ - №.
Использованная ранее переменная N вводится авторами только из соображений наглядности.
Интерпретировать У можно по-разному. Под N можно понимать рыночную капитализацию акций всех представленных на рынке компаний на текущую дату, а под N0 - рыночную капитализацию на базовую дату. Тогда У=3 - есть фондовый индекс. При этом доходность по рынку за период |0; п\ оп-
ределяется как in = -
N - N
N
= Y -1.
Под N можно также понимать рыночную стоимость отдельно взятого актива в момент ^ = п, при условии, что в момент ^ = 0 его цена равнялась
Эмпирически установлено, что при воздействии на систему внешней периодической силы в ней возникают вынужденные колебания с частотой изменения внешней силы. В применении к ценовым колебаниям фондового рынка уравнение колебаний запишем на основании физической аналогии:
У + 257 + ю2У = F0cosyt, (5)
где 5 = Ь/2; ю = л/к;
F0 - амплитуда внешней силы; у - частота ее колебаний. В отличие от Ньютоновской механики, под силой понимается информация, влияющая на цену рыночных активов. Тогда F0 - это значимость для рынка поступающей информации.
Будем различать четыре категории доступной информации:
1) информация, содержащаяся в прошлых значениях цен;
2) информация, обусловленная «несовершенством понимания» участников рынка (несовершенным понимание участников становится вследствие того, что их мышление влияет на саму ситуацию, к которой оно относится. Фактически ход событий уже включает в себя мышление участников [4]);
3) информация, содержащаяся в публично доступных источниках (газеты, библиотеки, телевидение, радио, интернет, и т. д.);
4) вся мыслимая информация6.
6 Для уточнения понятия «информация», следуя работе [6], будем исходить из того, что «неопределенность», возникающая на рынке, может быть охарактеризована как «случайность» в рамках некоторого вероятностного пространства (А, Р, Р).
Будем считать, что информация, определенная в позициях 1 и 2, является в некотором смысле внутренней информацией системы (рынка). Она ответственна за «собственные» ценовые колебания рыночных активов и рынка в целом. Информацию, означенную в позициях 3 и 4, будем считать внешней по отношению к системе (к рынку). Ее воздействие на рыночные цены отображается правой частью уравнения (5).
Проанализируем теперь ценовую модель, в основу которой положено уравнение (5). Его общее решение имеет вид7:
Y = Ле~ы • соб(ю1^ + ф) + В соб(у^ + Р). Первое слагаемое экспоненциально убывает со временем, так что через некоторый промежуток времени в решении остается только второй член: Y = В соб(у^ + Р). (6)
Подставляя функцию (6) в уравнение (5), находим [2]:
25у
B =
Р= arctg~ 2
Y -ю 7(ю2 -у2)2 + 452у2
(7)
(8)
Формула (8) показывает, что амплитуда вынужденных колебаний всегда пропорциональна амплитуде «действующей силы» (значимости для рынка поступающей внешней информации), кроме того имеется сложная зависимость от частоты.
Амплитуда В вынужденного колебания хотя и возрастает при приближении частоты у к ю, но не обращается в бесконечность, как это было бы в отсутствии трения. Амплитуда максимальна при частоте у = -\/ю2 - 252. При 5<<ю это значение отличается от ю лишь на величину второго порядка малости.
Рассмотрим подробнее, как изменяется в зависимости от частоты у соотношение между различными «силами» при вынужденных колебаниях.
После подстановки в уравнение (5) функции (6) получим:
Вю2 cos(Yt + Р) - By2 cos(Yt + Р) -
-25yB sin(Yt + Р) = F0 cos Yt. (9)
Это соотношение следует интерпретировать как уравнение информационного баланса, т. е. вся внешняя информация поглощается рынком.
Здесь А - пространство исходов (пространство элементарных
событий); F - алгебра подмножеств в fl; Р - вероятностная
мера на fl, F.
7 Общее решение линейного неоднородного уравнения - это общее решение линейного однородного уравнения плюс частное решение неоднородного уравнения.
Однако на рынке поступившая информация группируется в три различных кластера.
Первый кластер (первое слагаемое в левой части выражения (9) - это информация, формирующая величину «возвращающей силы», стремящейся вернуть цену актива к положению равновесия) Вю2 cos(yt + ф) = ю2Г, где rn2Y - 3-е слагаемое в уравнении (5). Второй блок информации - это информация, ответственная за величину рыночного трения. Она представлена третьим слагаемым в выражении (9): -25уВsin(yt + Р) = 257 (где 257 - 2-е слагаемое в уравнении (5). Третий информационный блок - информация, обусловливающая «раскачку» системы, определяющая ускорение ценовых колебаний. Это информация, представленная вторым слагаемым в выражении (11): -By2 cos(yt + в) = Y (где Y - 1-е слагаемое в уравнении (5). Первые два блока информации стремятся уменьшить амплитуду ценовых колебаний, снизить волатильность рынка. Авторы предлагают назвать эти кластеры «консервативными силами». Наоборот, третий информационный блок - ответственен за увеличение рыночной волатильности.
При у<<ю (т. е. при очень малых частотах поступления информации) «сила трения» и «раскачивающая сила» также малы, поэтому внешняя информация влияет только на «возвращающую силу»: Вю2 cos(yt + Р) « F0 cos yt.
Следовательно, Р=0, т. е. при малых частотах внешняя информация находится в фазе с ценовыми смещениями и рынок колеблется почти так, как если бы действовала только одна возвращающая сила. (Если бы цены на нефть «застыли» где-нибудь на уровне 70 долл. за баррель, меняясь на ± 5 долл. с периодом в 1/2 года и в мире не возникали бы какие-либо пренеприятнейшие сюрпризы, то российский фондовый индекс «болтался» бы где-то в «боковике», трейдеры «рыскали» в поисках возможностей для спекуляций, цены активов находились бы в состоянии умеренной волатильности, вызывая досаду «мастеров арбитража», а капитализация рынка медленно колебалась с частотой изменения «нефтяных» цен.)
При у>>ю, у>>5 над остальными параметрами в выражении (9) будет преобладать второе слагаемое:
- By cos(yt + в)« F0 cos yt. В свзи с этим Р = 1800 и В:
т. е. при
фазе и колебания рынка происходят так, как если бы цены активов колебались только под воздействием внешней информации. Амплитуда колебаний была бы сравнительно небольшой при очень сильной волатильности. Это та самая ситуация, которую Б. Бернанки недавно охарактеризовал как состояние «необычайной неопределенности». Самое интересное происходит при средних (у«ю) частотах колебаний внешней информации. Очевидно, что при у=ю первые два слагаемых в выражении (9) уравновешиваются, и внешняя информация воздействует только на силу рыночного трения:
-25уВ sin(yt + в) = F0 cos yt. (10)
В связи с этим Р = - 900.
Эта ситуация - состояние резонанса. Амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает при приближении частоты внешней силы к частоте собственных колебаний системы (рис. 7).
В применении к рынку соотношение (10) означает, что внешняя информация дезавуирует информацию, ответственную за наличие рыночного трения. При резонансе система совершает как бы собственные колебания (почти без трения), а внешняя информация только их «подталкивает». Существенно, что при резонансе совпадение частот (у=ю) должно происходить с жестким временным лагом (1/4 периода). Ценовые колебания всегда отстают от колебаний внешней информации на 900. Из соотношения (10) при Р= - 900 следует:
В
F F
резонанс ^ г. 7
25га па
При достаточно малом трении (й^-0) амплитуда ценовых колебаний может быть очень велика. Резонансные колебания цен с очень большой амплитудой могут быть опасными, так как способны привести к коллапсу торговой фондовой системы. Для всех мировых фондовых площадок регуляторами приняты решения о приостановке торгов при снижении рыночного индекса более чем на определенное число процентов.
очень частом поступлении информации ценовые смещения и «внешняя сила» находятся в противо-
Рис. 7. Резонансная кривая
Из формулы (7) следует, что сдвиг по фазе ß изменяется с частотой у примерно так, как показано на рис. 8. Для низких частот ценовые колебания происходят в фазе с внешней силой, при резонансе колебания отстают по фазе на 900, при высоких частотах колебания цен и внешняя сила находятся в противофазе. С уменьшением силы рыночного трения (коэффициента затухания 5) резонансный пик становится значительно острее, амплитуда вблизи резонанса резко возрастает, изменение фазы колебаний, при малом затухании, на резонансной частоте происходит очень резко. Если на колебательную систему действует не одна, а несколько гармонических сил разной частоты, то каждая из них вызывает вынужденные колебания со своей частотой. Таким образом, результирующее колебание будет сложным и негармоническим, система одновременно будет совершать несколько колебаний с различными частотами, частотами внешних гармонических сил. Причем каждая сила вызовет такое вынужденное колебание, какое вызвала бы в отсутствие остальных сил.
В математике доказана теорема: если функция f(t) с периодом 2п имеет на сегменте [-п;п] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то она разлагается в свой ряд Фурье в каждой точке, в которой она дифференцируема. Это означает, что внешняя сила типа: acos (yt) +bsin (yt) может быть представлена суммой гармонических функций, периоды которых равны T/n (где n=1,2,3...) Так, например, периодическая сила, показанная на рис. 9 а, может быть представлена суммой двух гармонических сил: f=f + f3, которые изображены на рисунке 9 б, 9 в, т. е. 2п 6п
f = Ъх Sin(~Yt) + Ъз s^—t)
Силы f и f называются гармониками силы f. Гармоника f является основной. Под воздействием
ft ZfJ&d
Рис. 8. Изменение фазы в зависимости от частоты колебаний внешней силы
Рис. 9. Представление негармонической внешней силы в виде суммы двух гармонических сил
каждой из гармоник в системе возникнут вынужденные гармонические колебания: под действием
силы / возникнут колебания с частотой у1 = 2^Т, под действием силы / - колебания с частотой
Уз = • Если частота одной из гармоник совпадает с собственной частотой системы (допустим Уз=ю), то колебания, вызываемые силой /3, будут преобладать над колебаниями, вызываемыми основной гармоникой.
Система, на которую действует сила / в данном случае является резонатором - инструментом, выделяющим из сложного колебания /те колебания, которые соответствуют/3 с частотой, примерно равной ю. Чем острее резонансная кривая, чем меньше затухание собственных колебаний резонатора, тем ближе к гармоническим будут резонансные колебания и тем лучше резонатор выделит колебания той частоты, которая близка к его собственной. Конечно, колебания, вызываемые остальными гармониками, всегда будут присутствовать, но при малом затухании они будут очень незначительны. Такое избирательское свойство резонатора широко используется в целом ряде технических устройств. Если имеется совокупность резонаторов с различными собственными частотами, то по колебаниям этих резонаторов можно судить о составе силы, действующей на систему, можно анализировать сложное воздействие и выделять из него колебания определенной частоты.
Таким образом, реальный финансовый рынок -это колоссальный резонатор. Точнее, это система, состоящая из громадного числа резонаторов. Каждый из них колеблется со своей собственной частотой, ибо цены активов реагируют на любую информацию, на
рынке возникают отклонения от состояния эффективности и рассасывание рыночных неэффективностей порождает колебательные процессы. Эти процессы во многом обусловлены «внутренней» информацией рынка: психологией трейдеров, текущим состоянием рынка, ожиданиями участников рынка, статистикой с других фондовых «площадок», информацией о прошлых ценах. На систему «падает» поток внешней информации. Появление значительной доли этой информации обладает достаточно четко выраженной периодичностью (периоды выхода информационных программ на телевидении и радио, периоды обновления определенной части новостного фона в Интернете, периодичность выхода газет и журналов, периодичность выпусков информационных бюллетеней, научных изданий, периодичность появления разнообразных статистических отчетов и т. д.) Есть информация, появление которой является редким случайным событием (извержения, землетрясения, другие природные катаклизмы, банкротства, громкие судебные процессы, народные волнения, «цветные» революции, локальные войны и т. п.). Но по большому счету эту информацию также можно считать квазипериодической, просто обществу не известны законы распределения случайных величин, заданных на множестве этих событий. (Еще Е. Слуцкий в 1927 г. [5] показал, что сумма нескольких случайных функций может быть периодической функцией.) Все указанные доли в общем потоке внешней информации - это гармоники глобальной воздействующей на рынок внешней информационной «силы»8. Среди поступающей информации, наверняка, имеются новости, под воздействием которых спрос на тот или иной рыночный актив или группу сходных активов может повышаться или снижаться. Как следствие, в ту или иную сторону будет меняться и рыночная цена актива. В большинстве случаев частота колебаний информационной гармоники, воздействие которой приводит к ценовым колебаниям актива, еще не известна. Курс американской валюты неожиданно значительно вырос по отношению к евро. Почему? Можно высказать множество объяснений произошедшего. Но возможная причина состоит в том, что частота информационной
8 Строго говоря, употребление термина «гармоника» является здесь некорректным. Информационные «гармоники», конечно же, не являются гармоническими колебаниями. То, что представлено в исследовании, является математической моделью явления. Возможно, эта модель в чем-то адекватна реальной картине происходящего. Если это так, то авторам остается только благодарить судьбу, что она позволила сделать маленький шаг к познанию истины.
гармоники, содержащей весьма значительную для спроса на доллар информацию, постепенно меняясь, совпала с частотой собственных колебаний доллара на рынке FOREX. Возник резонанс, курс доллара взлетел. Если имеется информация, на основании которой можно оценить собственную частоту ценовых колебаний пары доллар-евро на валютном рынке, то из ее совпадения с частотой внешней информации можно выделить в общем информационном фоне ту частоту, с которой поступает значимая для доллара или евро информация, и на основании этого отследить то конкретное воздействие, которое привело к росту долларовой котировки.
Совпадение частот различных информационных гармоник перманентно происходит на финансовом рынке. Ценовой рыночный рельеф «разукрашен» резонансными пиками. Но рынок является индикатором состояния реальной экономики. Взлет цен на акции какой-либо компании означает, что она на подъеме, что развитие данной формы бизнеса обладает перспективами, что оно стимулирует рост ВВП. На основании этого увеличиваются инвестиции, сокращается безработица, в конечном итоге происходит рост благосостояния народа. Другими словами, виртуальную энергию, содержащуюся в поступившей информации, рынок трансформирует в реальную физическую энергию, т. е. услышав и зафиксировав информационный сигнал, рынок стимулирует к изменению состояния реального сектора экономики. Таким образом, для реальной экономики рынок выполняет роль своеобразного компаса, указывающего пути ее развития в соответствии с характером поступающей информации. Но, разумеется, имеет место и обратный процесс. Развивающаяся по своим внутренним законам экономическая система, производящая все продукты, необходимые для существования и прогресса цивилизации, в процессе своего функционирования сама излучает информационные волны, воздействующие на состояние финансового рынка. Однако между этими процессами нет взаимнооднозначного соответствия. Информационные сигналы, подаваемые рынку экономикой, являются объективными. Их объективность заключается в том, что, исключая случаи наличия каких-либо коррупционных схем, они являются информацией о реальных изменениях в сфере производства всей номенклатуры продуктов, необходимых обществу. Наоборот, информация, сообщаемая финансовым рынком экономике, далеко не всегда объективно отражает истинное состояние той или иной компании, того или иного сектора реальной экономики. Таким образом, среди
сигналов, подаваемых рынком экономике, которая может воспринимать их со всей серьезностью, имеется значительное количество ложных. Совпадение частоты, воздействующей на рынок информации, с частотой собственных рыночных колебаний приведет к росту амплитуды ценовых колебаний, что увеличит спрос на акции какой-то компании, цены их возрастут, но этот феномен может оказаться никак не связанным с улучшением деятельности самой компании. Таким образом, для реального сектора экономики сигнал рынка окажется дезинформацией.
Убедительной иллюстрацией к сказанному, на взгляд авторов, служит разразившийся в 2007 г. и до настоящего времени продолжающийся мировой финансовый кризис. Ключевым элементом этого кризиса является кризис банковской системы. Еще в конце 1980-х гг. нобелевские лауреаты по экономике М. Скоулз и Р. Мертон, основываясь на стратегии диверсификации портфеля ценных бумаг Г. Марко-вица, показали, что портфель ипотечных закладных можно сформировать таким образом, что его риск окажется сравнительно малым, и это при том, что риски вложения в отдельные портфельные активы могут быть весьма значительны. На этой базе были созданы математические модели, из анализа которых следовало, что при «правильной» диверсификации ипотечных векселей высокой (и не очень) степени надежности и выпуске на основе таких портфелей вторичных ипотечных облигаций, надежность их будет высока. Научное экономическое сообщество признало эти результаты правильными. Основываясь на моделях Скоулза и Мертона, крупнейшие рейтинговые агентства «Мудиз», «Фитч», «Стандарт энд Пурз» начали присваивать ипотечным деривативам высокие рейтинги надежности, начиная с высшего ААА. На базе вторичных облигаций последовал выпуск третичных и т. д. деривативов. Фондовый рынок прямо-таки расцветал резонансными ценовыми взлетами. Экономика охотно воспринимала столь оптимистические сигналы. Эти облигации покупали (из-за их высокого рейтинга) как физические лица, так и корпорации, а банки США и других стран выдавали под них новые кредиты. По оценкам американских экономистов, в мире с конца прошлого века выпущено деривативов на 540 трлн долл., годовой оборот этого рынка превысил 60 трлн долл. И это при том, что мировой ВВП в 2007 г. оценивался примерно также в 60 трлн долл. Очень существенную роль в наращивании «деривативной пирамиды» сыграли именно ипотечные облигации. Подобное умноже-
ние сущностей сверх всякой необходимости могло «взорваться» в любой момент. Это и произошло, разразился глобальный финансовый кризис. Конца ему не видно, последствия его - не ясны.
Однако это уже другая история. Авторы хотят подчеркнуть, что изложенное представляет собой наглядный пример, как ложная, переданная рынком экономике информация, трансформируясь в реальную физическую энергию, влияет не только на систему экономических отношений, но и на стабильность мирового сообщества в целом.
И еще один вывод, который следует из изложенного: меняя частоту и содержание поступающей информации, возможно воздействовать на финансовый рынок, переводя его в тот или иной режим функционирования. Таким образом, «вбрасывая» в рынок нужную информацию, можно повышать или понижать спрос на определенные активы. Главное при этом, чтобы частота и значимость внешних информационных воздействий требуемым образом коррелировались с собственными колебаниями рынка. И если все-таки режим воздействия удалось «нащупать», то ценами акций можно управлять в определенной степени и посредством финансового рынка манипулировать состоянием реальной экономики.
Список литературы
1. Берзон Н. И., Буянова Е.А., Кожевникова М.А., Чаленко А. В. Фондовый рынок. М.: Вита-Пресс. 1999.
2. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теоретическая физика. Механика. Т. 1. М.: «Наука». 1965.
3. Стрелков С. П. Механика. М.: Изд-во «Наука». 1975.
4. Сорос Дж. Алхимия финансов. М.: ИНФРА-М. 1999.
5. Слуцкий Е. Е. О сложении случайных величин как источнике циклических процессов. Вопросы конъюнктуры. Т. III / под ред. Н. Д. Кондратьева. М., 1927.
6. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Факты. Модели. Т. 1. М.: ФАЗИС. 1998.
7. Kendall M. G. The analysis of economic time-series. Part 1. Pnces // Journal of the Royal Statistical Society. V. 96. 1953. P. 11-25.
8. MandelbrotB. B. The Variation of Certain Speculative Pnces // Journal Business. V. 36. 1963. P. 394-419.
9. Markowitz H. Portfolio selection: Efficient Diversification of Investments. New-York: Wiley. 1959.
10. Samuelson P.A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. V. 6. 1965. P. 13-31.
