CC BY
46
Д-р экон. наук В. П. Семенов
КВАНТОВЫЙ ХАРАКТЕР ИНФОРМАЦИИ И ВЕРОЯТНОСТЬ ЦЕНОВЫХ ВЫБРОСОВ НА ФИНАНСОВЫХ РЫНКАХ1
В статье предлагается модель, в основе которой лежит гипотеза о квантовой природе воздействия информации на финансовые рынки. Показано, что на информационно насыщенных, волатиль-ных финансовых рынках ценовые выбросы реально ожидаемы.
Ключевые слова и словосочетания: финансовые рынки, цены активов, ценовые выбросы, риски, квантовый характер информации, резонансные явления, плотность вероятности, волновая функция, квантовый осциллятор.
Проблеме исследования причин крахов финансовых рынков и методам их прогнозирования посвящено множество работ, выполненных как финансовыми аналитиками, так и математиками. Сама тема провоцирует подчас на эффектные заявления и выводы, зачастую не имеющие под собой каких-либо убедительных оснований. Однако существует и ряд серьезных подходов, позволивших получить в последние годы обнадеживающие результаты. Большинство из них так или иначе связаны с эконофизикой - областью экономики, смежной с физикой. В русле данного направления лежит и предлагаемая нами статья, развивающая неожиданный аспект решения проблемы.
В недавно опубликованной статье «О возможном механизме информационного воздействия на экономику посредством фондового рынка»2 мы в качестве модели, описывающей ценовые колебания активов фондового рынка, на основании физической аналогии предложили следующее уравнение:
y + 25у + ю2у = F0 cos jt, (1)
где y = d2у/dt2 ; y = dy/dt - соответственно вторая и первая производные по времени;
5 = а/ 2, где параметр а (его размерность 1/ед. времени) - коэффициент рыночного трения. Его величина зависит от издержек или помех, препятствующих спросу и предложению активов;
ю = д/р - круговая (циклическая) собственная частота гармонического
колебания; параметр в (его размерность 1/ед. времени2) - коэффициент жесткости «рыночной пружины», от которого зависит величина «возвращающей силы», возникающей вследствие отклонения цен активов от положения равновесия и направленной к положению равновесия. Значение в является функцией объема торгуемого актива и его ликвидности;
1 Статья подготовлена по результатам научно-исследовательской работы, проведенной при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда, проект № 13-02-00289а.
2 См.: Семенов В. П., Соловьев Ю. П. О возможном механизме информационного воздействия на экономику посредством фондового рынка // Вестник Российского экономического университета имени Г. В. Плеханова. - 2012. - № 2 (44).
у(1) = ¡п(Ып) - ¡п(Ы0) , где N = + А/) - рыночная стоимость отдельно взятого актива в момент /0 + А/ = п при условии, что в момент ¿0 его
цена равнялась N0
Е0 - амплитуда внешней периодической силы (информации) (степень воздействия информации на финансовый рынок);
у - частота колебаний внешней периодической силы (информации).
Выбор у(0 как разности логарифмов связан прежде всего с тем, что приращения Нк = \п(Ык1Ык_^ логарифмов отношений цен являются независимы-
п
ми случайными величинами и их сумма = 2 \ носит характер случайного
к=1
блуждания. То есть ценовой процесс у = уг имеет вид у = у0 + аЩ , где Wt есть то, что принято называть стандартным броуновским движением (Ж0 = 0; М[Ж} = 0; В(Щ} = М[Ж?} = 0 или винеровским процессом - случайным процессом с независимыми гауссовскими (нормальными) приращениями и непрерывными траекториями. Здесь М и В - соответственно операторы математического ожидания и дисперсии.
Эмпирически установлено, что при воздействии на физическую систему внешней периодической силы в ней возникают вынужденные колебания с частотой изменения внешней силы. В применении к ценовым колебаниям на финансовом рынке уравнение колебаний имеет вид (1).
В отличие от ньютоновской механики под силой мы понимаем информацию, влияющую на цену рыночных активов.
Различаются четыре категории доступной информации:
1) информация, содержащаяся в прошлых значениях цен;
2) информация, обусловленная несовершенством понимания участников рынка (несовершенным понимание участников становится вследствие того, что их мнение влияет на саму ситуацию, к которой оно относится; фактический ход событий уже включает в себя мышление участников);
3) информация, содержащаяся в публично доступных источниках (газеты, журналы, телевидение, радио, Интернет и т. д.);
4) вся мыслимая информация1.
Будем считать, что информация, определенная в пунктах 1 и 2, является, в некотором смысле, внутренней информацией системы (рынка). Она ответственна за собственные ценовые колебания рыночных активов и рынка в целом. Информацию, означенную в пунктах 3 и 4, будем считать внешней по отношению к системе. Ее воздействие на рыночные цены отображается правой частью уравнения (1).
Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) есть общее решение линейного однородного уравнения плюс частное решение неоднородного уравнения:
1 Для уточнения понятия «информация» будем исходить из того, что неопределенность, возникающая на рынке, может быть охарактеризована как случайность в рамках некоторого вероятностного пространства (А, Е, Р). Здесь А - пространство исходов (пространство элементарных событий); Е - алгебра подмножеств в А; Р - вероятностная мера на (А, Е).
Y = Aestcos(®it + ф) + B cos(yt + v). (2)
Здесь ю = Vю2 - 52 ; A, ф - постоянные интегрирования. Первое слагаемое экспоненциально убывает со временем, так что через некоторый промежуток времени остается только второй член:
Y = B cos(yt + v). (3)
Подставляя (3) в (1), находим
B = . Fo ; v = arc tg . (4)
^(ю2 - у2)2 + 452у2 Y — ю
Амплитуда вынужденного колебания хотя и возрастает при приближении у к собственной частоте колебаний цены актива ю, но не обращается в бесконечность, как это было бы в отсутствии трения. Амплитуда достигает
максимума при частоте y = Vю2 — 52 . При 5 << ю это значение отличается от ю лишь на величину второго порядка малости.
В вышеуказанной статье мы подробно рассмотрели три предельных случая: у << ю; у >> ю; у ~ ю. Наибольший интерес представляет третья возможность. Это состояние резонанса. Амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает при приближении частоты внешней силы к частоте собственных колебаний. В применении к рынку это означает, что внешняя информация дезавуирует информацию, ответственную за наличие рыночного трения. При резонансе цена актива совершает как бы собственные колебания (почти без трения), обусловленные внутренней информацией рынка, а внешняя информация только их подталкивает. Существенно, что при резонансе совпадение частот ( y = ю) происходит с жестким временным лагом (четверть периода).
Здесь, однако, следует иметь в виду, что модель финансового рынка не может базироваться на одной аналогии с колебанием грузика на пружине. Рынок представляет собой колебательную систему с большим числом степеней свободы, ибо количество представленных на нем активов велико. Если использовать механическую аналогию, то это множество грузиков, колеблющихся на пружинах с разными коэффициентами жесткости. Причем каждый грузик множеством дополнительных пружинок связан со всеми остальными. Колебания одного возбуждают колебания во всей системе.
На реальном фондовом рынке колеблются не грузики, а цены активов, причем жесткость связывающих их «рыночных пружин» определяется прежде всего взаимными корреляциями доходностей активов. При этом каждый актив обладает еще своим коэффициентом жесткости и коэффициентом трения по отношению к рынку в целом. Число активов, представленных на рынке, составляет от нескольких десятков до многих сотен. В рынке возникают ценовые колебания какого-то актива, при этом они моментально возбуждают кол е-бания во всей системе рынка. Мы наблюдаем сложнейшую картину ценовых биений, определяемых наличием громадного числа собственных частот кол е-баний активов.
На систему падает поток внешней информации. Появление этой информации обладает достаточно четко выраженной периодичностью (периоды вы-
хода информационных программ на телевидение и радио, обновления новостного фона в Интернете, периодичность выхода газет и журналов, появления разнообразных статистических отчетов и т. д.). Есть информация, появление которой является редким случайным событием (извержения, землетрясения, другие природные катаклизмы, банкротства, громкие судебные процессы, народные волнения, «цветные революции», локальные войны и т. п.). Но эту информацию также можно считать квазипериодической.
Еще Е. Слуцкий в 1927 г. показал, что сумма нескольких случайных функций может быть периодической функцией. Это означает, что внешняя информация может быть представлена суммой гармонических функций (рядом Фурье), частоты которых равны ут = my , где у = 2я/ T - основная частота, T - период колебания:
F(t) = 2 O^cos (myt) + bm sin( myt)). (5)
m=1
Под воздействием каждой из гармоник в системе возникают вынужденные колебания: под воздействием гармоники f - с частотой у1 = у; под воздействием гармоники f - с частотой у2 = 2у и т. д. Таким образом, результирующее колебание будет сложным и негармоническим, система (рынок) одновременно будет совершать множество колебаний с различными частотами внешних информационных сил. Причем каждая информация вызовет вынужденное колебание, какое вызвала бы в отсутствии остальных сил. Если частота одной из гармоник совпадает с собственной частотой системы (допустим yk = ю), то колебания, вызываемые информацией fk , будут преобладать над колебаниями, вызываемыми остальными гармониками. Система, на которую действует информация F(t), реально присутствующая в правой части уравнения (1), является резонатором - инструментом, выделяющим из сложного колебания F(t) колебания, соответствующие f , с частотой, примерно равной юк. Если мы имеем совокупность резонаторов с различными собственными частотами, то по колебаниям этих резонаторов можно судить о составе информации, действующей на систему, можно анализировать сложное информационное воздействие и выделять из него информацию на определенной частоте.
Реальный финансовый рынок - это колоссальный резонатор, точнее, это система, состоящая из громадного числа резонаторов. Каждый из них колеблется со своей собственной частотой, ибо цены активов реагируют на информацию, на рынке возникают отклонения от состояния эффективности, и рассасывание рыночных неэффективностей порождает колебательные процессы.
То, что предлагаем мы в данной статье, - это предельно упрощенный вариант модели рыночных ценовых колебаний. Однако в нем присутствуют все характерные признаки колебательного процесса, что позволяет даже на базе столь простой модели получить представляющие интерес следствия.
Существует важный аспект, который необходимо обсудить в связи с представленной здесь моделью колебаний финансового рынка. Присутствующие в ней ценовые приращения (у) являются значениями случайной величины (СВ). Закон движения рыночных доходностей типа уравнения (3) с учетом всей имеющейся у рынка информации выполняется лишь на уровне средних
(ожидаемых) значений. Реальные же доходности флуктуируют относительно математического ожидания (МО) в соответствии с функцией плотности вероятности (ФПВ), характеризующей распределение значений СВ. Какова эта функция? Будем считать, что колебания происходят в резонансном режиме (впрочем, это условие не является обязательным, в любом случае закон колебаний имеет вид (3)). То есть
y = B cos roí, (6)
где го ~ у; B = Врезон ~ F / 25го = F0 / а го.
ФПВ этой случайной функции y(t) можно характеризовать модулем обратной величины ее скорости y, так как в тех ценовых областях, где скорость меньше, пребывание y(t) будет более продолжительным, нежели в областях с большими скоростями.
Следовательно, вероятность нахождения y(t) в ценовых интервалах с более быстрыми ценовыми изменениями будет меньше, чем в интервалах, где скорость меняется медленнее.
y У
Для гармонического осциллятора (6) — = cos roí; -= sin roí. Возводя
B Bro
1 1 2 2 -1
оба равенства в квадрат и складывая их, находим P(y)--- — (B — y ) 2 .
I y I ro
i
c —
То есть P(y) = — (B — y ) 2 . Постоянную c находим из условия нормировки ro
B
J P(y) dy = 1:
Р(у) = , 2 2 . (7)
Пу] в - у
Здесь Р(у) = ФПВ случайной величины y^ При этом М(у) = 0;
у) = В2/2; о = Л/ОД) = в/л/2 ; Р(-о < у < о) = 12 ; у е (-В; В) . Другими
словами, если на временном интервале задается гармонически осциллирующая случайная функция (например, логарифмическая доходность акции), а мы «чисто случайно» выбираем ее мгновенные значения уь то они будут распределены в соответствии с уравнением (7).
П. Самуэльсон в 1965 г. сформулировал и обосновал гипотезу эффективного рынка. Используя предположение о рациональном поведении трейдеров, он продемонстрировал, что ожидаемая цена актива в момент ^ + 1 связана с предшествующими значениями цен посредством соотношения М[Ы+1 / N, N1, ..., N1} = N Левая часть равенства - условное математическое ожидание. Статистические процессы, подчиняющиеся этому условию, называются мартингалами. Понятие мартингала есть интуитивно-вероятностная модель «справедливой игры». В применении к фондовому рынку это означает, что не существует способа получения прибыли на актив посредством использования истории ценовых флуктуаций.
B
Другими словами, эффективность рынка ассоциируется с отсутствием арбитражных возможностей. Эффективный рынок - это идеализированная система. Когда конкретная информация влияет на цену актива, рынок уже не вполне эффективен. Это позволяет во временном ряде цен выявить влияние такой информации. В подобных случаях может быть выработана определенная арбитражная стратегия, и она будет оставаться прибыльной до тех пор, пока рынок снова не станет близким к эффективному. Новые арбитражные возможности перманентно появляются и обнаруживаются на рынках. Когда они начинают использоваться, цены выравниваются и арбитражные возможности исчезают.
В применении к рассматриваемой задаче это означает, что логарифмическая доходность у рыночного актива начиная с некоторого значения у0 (для простоты положим у0 = 0) под воздействием поступающей информации в моменты времени Д/, 2Д/, ... скачкообразно меняется, причем так, что
УпА = 4 А/ + 42А + - + 4кА + - + 4пА > (8)
где Ъш - независимые, одинаково распределенные СВ.
При этом
М(4г) = 0 ; М(42) = ) = о2; М(| 4г |3) = р < . (9)
Функция плотности вероятности процесса (9) Р{уиД^} = Р{у(пА/)} есть
функция времени, а Р{Ъгм} зависит от статистических характеристик случайной величины Ъг = 4^. Как же изменяется форма Р{у(пД/)} со временем? В предположении независимости Ъ1 и Ъ2 это
Р{(2А/)} = Р(4А/) ® Р(42А/), (10)
где ® означает свертку функций.
Результатом последовательного применения алгоритма (10) будет то, что в момент времени кД/ ФПВ случайной величины уш, т. е. Р{у(кД/)}, может значительно отличаться от распределения Гаусса - ФПВ эффективного рынка. Можно допустить, что при достаточно больших п с помощью информационного процесса (8) ФПВ нормального распределения логарифмических доход-ностей у перейдет в ФПВ резонансных ценовых колебаний (7).
Предположим теперь, что поступившая информация, под влиянием которой цены актива, к примеру, росли, усвоена рынком, ее значимость снижается, цена актива падает. Происходит откат. Это означает, что процесс пойдет в обратном порядке.
При этом в соответствии с центральной предельной теоремой (ЦПТ) при выполнении требований (9) ФПВ случайной величины упАг при п ^ да стремится к ФПВ нормального распределения, т. е.
1 2
р{у (пА0) > ■— ехр^}. (П)
V 2по 2а
Полученная рынками информация трейдерами «отработана», цена актива возвратилась к равновесному уровню, рынок снова стал эффективным.
Хотя вероятностные распределения вида Р{у(пА()} (процесс (8)) изменяются как функции п (т. е. времени), наблюдается различие между тем, имеют ли СВ Ъш, скажем, равномерное распределение или распределены в соответствии с ФПВ Гаусса. ФПВ Р{у(кАt)} при равномерном распределении каждого из слагаемых в (8) меняется при увеличении к и масштабно, и по форме, в то время как гауссиан, не изменяясь по форме, меняется только в масштабах (при возрастании становится шире, как бы «расплывается»). Если функциональная форма Р{у(кА0} совпадает с формой Р(Ъш}, то такой процесс называется устойчивым. Таким образом, гауссовский процесс является устойчивым, хотя в общем случае стохастические процессы таковыми не являются.
И здесь мы сталкиваемся с противоречием. Нам известна ФПВ начального состояния - ФПВ нормального распределения (рынок находится в состоянии эффективного равновесия) и ФПВ конечного состояния (это распределение типа (7)). Но поскольку нормальное распределение является устойчивым, то с помощью процесса «информационной накачки» (8) мы, в принципе, не можем получить ФПВ конечного состояния колебаний в резонансном режиме (7), хотя обратный процесс в силу справедливости ЦПТ возможен.
Это противоречие связано с гипотезами, подразумеваемыми в предельной теореме, а именно: 1) независимость СВ{Ък}; 2) идентичность распределений СВ{£к}. Первая гипотеза хорошо статистически проверяема на временных горизонтах от нескольких минут до нескольких лет, в то время как вторая гипотеза вообще непроверяема эмпирическими наблюдениями, хотя бы потому, что, например, стандартное отклонение ценовых изменений заметно зависит от времени.
Более подходящие предельные теоремы были доказаны Берри и Эссеном, а также А. Хинчиным. Они основаны только на предположении независимости СВ{Ък}и не требуют идентичности распределений. В условиях этих теорем нормальное распределение уже не следует считать устойчивым, и, следовательно, от распределения Гаусса с помощью процесса типа (8) можно перейти к ФПВ (7) и с помощью обратного процесса вернуться к ФПВ эффективного рынка.
При этом возникает ключевой вопрос: каков механизм таких переходов? В основу модели, которую мы предлагаем, положены следующие постулаты:
1. Процесс передачи информации является квантовым. То есть информация передается порциями, кратными некоему кванту информации. В количестве, меньшем, чем информационный квант, информация ни передана, ни поглощена быть не может. Следовательно, при испускании и поглощении информации возникают дискретные информационные уровни, при этом объем информации конкретного уровня обязательно кратен кванту информации. Ситуация аналогична таковой, имеющей место в физике, где существует квант «действия» (постоянная Планка И) и количество излученной или поглощенной энергии всегда пропорционально И (Е = И^, где V - частота излучения).
Предположение о дискретном характере информации не является чрезмерно революционным. В самом деле, наиболее эффективным способом передачи информации является передача с помощью электромагнитных сигналов, т. е. посредством квантов электромагнитного поля - фотонов. Минимальная информация, которая, в принципе, может быть передана, - это информация,
связанная с испусканием и поглощением одного фотона. Меньшее количество информации передать нельзя. В теории информации существует наименьшая единица измерения степени неопределенности опыта (информация об исходе) - это неопределенность, связанная с опытом, имеющем два равновероятных исхода, другими словами, выяснение ответа «да» или «нет» на вопрос, по поводу которого однозначно ожидается, что ответ будет утвердительным или отрицательным. Такая единица информации называется двоичной единицей, или битом (binary digit - двоичная цифра). Конечно, мы не можем утверждать, что квант информации - это один бит. Возможно, он измеряется определенным их количеством. Единственное, что можно сказать с уверенностью, - это очень малая величина. В дальнейшем информационный квант будем обозначать через h0.
2. Функция плотности вероятностей для каждого информационного ценового уровня P(y) = Y • Y = Y2 (y), где Y(y) назовем волновой функцией цен
(вфц).
3. ВФЦ может быть определена как решение уравнения
d2! + *< Е _ «V )Y = 0 (12)
dy h0 2
с определенными граничными условиями. Здесь
2 • 2 2 tí2 2 TÍ2 2 т~»2
«y y « В 2 . , « В ■ 2 . « B + ^ n E =--1--=-cos юt +--sin юt =-= const > 0,
2 2 2 2 2
где y определяется соотношением (6).
Уравнение (12) является аналогом квантово-механического уравнения Э. Шрёдингера для определения волновой функции квантового осциллятора \ где Е - полная энергия осциллятора (кинетическая + потенциальная).
В нашей постановке задачи Е - полный объем информации, определяемой уровнем доходности актива y, включающий в себя как внутреннюю информацию системы (рынка), так и внешнюю по отношению к рынку информацию.
Приступим к анализу уравнения (12).
Введем обозначения: V(y) = ю2y2 ¡2; G(y) = E - V(y). Отметим, что G(y) может быть как больше, так и меньше нуля. Полагая в (12) а = 2Е/й2 ;
в = ю/h ; а/в = К = 2Е/h0ю и вводя новую переменную р = y^/p , приведем (12) к виду
Y" + (К - р2)Y = 0. (13)
Здесь Y" = d2! dp2 . Прежде вcего найдем асимптотическое поведение ВФЦ. При р ^ ±: , когда X по сравнению с р2 можно пренебречь,
y:- р 2!ш= 0. (14)
1 См.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Квантовая механика (нерелятивист-
ская теория). - М. : Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1963.
Решение этого уравнения ищем в виде = еЕЦ . Учитывая, что
= (4е2 + 28}еЕЦ = 4е2еЕЦ , находим: е = ± 1.
Следовательно, = се ^ ^2 + с2е^ ^ . Поскольку при ^ ВФЦ
должна быть ограниченной, коэффициент с2 следует положить равным нулю; С можно считать равным единице, так как волновая функция еще не является нормированной. Таким образом, асимптотическое решение для ВФЦ будет
иметь следующий вид: = е ц . Общее решение (13) будем искать в виде
¥ = • и = е 2 • и с учетом особенности поведения на бесконечности. Подставляя это в (14) и замечая, что • и}" = (и"- 2ци' + (^2 - 1)и)е~ц ^, получим для и(ц) следующее уравнение:
и" - 2\ш ' + (А — 1}и = 0. (15)
Его решение ищем в виде ряда
Щ^) =1 Ък ^. (16)
к=0
Подставляя это в (15), находим
2Ъ \к(к — 1)^к—2 — (2к +1 — А)цк )= 0 .
к=0
Производя преобразование индекса суммирования таким образом, чтобы сгруппировать члены с одинаковыми степенями ц, и приравнивая к нулю коэффициенты при цк, найдем рекуррентное соотношение между ними:
(2к +1 — А)
к+2 = Ък ,, .лп . (17) (к + 2)(к +1)
Отсюда видно, что если ряд (16) не ограничить некоторой максимальной степенью, то начиная с к > (А - 1) / 2 он перестает быть знакопеременным и, следовательно, при больших ц будет расходиться, приводя при ц ^ да ко второму асимптотическому решению: ¥асимп ~ ец 2, которое было отброшено, поскольку является расходящимся. Поэтому чтобы удовлетворить граничным условиям для волновой функции на бесконечности, нужно потребовать, чтобы ряд (16) обрывался при некотором ктах = п, т. е. потребовать, чтобы Ьп Ф 0; Ьп + 2 = 0. Принимая во внимание эти соотношения, находим А = 2п + 1. Откуда
2Е
с учетом введенного ранее обозначения А =-получаем
Я0 ю
Еп = \ю(п +1) , (18)
где п = (0, 1, 2, ...). Только при этих условиях ВФЦ на бесконечности обращается в нуль.
При п = 0 имеет место нулевой информационный уровень. На нулевом уровне доходность актива устанавливается при информационной обеспеченности Е0 = \ ю/2.
Прежде чем найти ВФЦ, приведем некоторые соображения о ее характере. Представим графически V(y).
Из графика (рис. 1) видно, что в области потенциальной ямы (Е > V) решения для ¥ имеют тип гармонических функций. В области же вне потенциального барьера (Е < V) решения будут содержать две части: экспоненциально убывающую и экспоненциально возрастающую. Очевидно, что решение задачи сводится к нахождению таких условий, при которых экспоненциально возрастающее решение будет отсутствовать. Это возможно лишь при дискретных уровнях информации. Найдем теперь волновую функцию квантового гармонического осциллятора (КГО) финансового рынка. Рекуррентное соотношение (17) для коэф-
Рис. 1. Волновая функция квантового гармонического осциллятора цен при произвольном значении информации
фициентов bk при X = 2n + 1 принимает следующий вид:
bk-2 = ~bk
k (k - 1) 2(n - k + 2)
(19)
Полагая коэффициент при максимальной степени ц равным Ьи = 2n , на-
ходим
bn-2 =-2n-2n(n- 1)/l! ; bn-4 =-2n-4n(n-1(n-2)(n-3)/2! и т. д.
Конечный степенной ряд для функции £Дц) образует многочлен, называемый полиномом Эрмита Нп(ц):
п п(п -1) п_2 п(п -1)( п - 2)( п - 2) 4 [Ьп и, (п нечетн.)
и (и) = Нп (и) = (2Ц)п - -(-1 (2и)п 2 + -(-)(-)(-1 (2Ц)п 4 + Г, .). (20)
1! 2! [ Ь0( п чета.)
В частности, Н0 (и) = 1; Н (и) = 2ц ; Н (и) = 4р.2 - 2 ; Н3 (и) = 8ц3 -12ц . Полиномы Эрмита Hn (ц) можно представить в замкнутой форме:
2 Нп(е~и2)
Нп (и) = (-1) пеи • ^ . (21)
dцп
Из (21) следует, что Нп(ц) будут решениями уравнения (15), если в последнем положить X = 2п + 1:
H'' -2цН' + 2nH = 0 .
n n n
(22)
Таким образом, решение уравнения (12) для волновой функции КГО имеет следующий вид:
^n = ^ 2 Hn (ц).
(23)
При этом ц связано с y соотношением ц = у^/р = у/у0 , где у0 = l/^/P . Коэффициент Cn определяется из условия нормировки:
2
Ц
IP(y)dy = J^2(y)dy = y£l Jе"" H„2(^ = 1. (24)
— ад — ад —ад
Подставляя в (24) замкнутую форму Hn(ц) (21) и совершая n раз интег-
-г 2 ад _ —ц2 dn (Hn (Ц)),
рирование по частям, находим yC2 J е Ц - -dц = 1.
d^ n
п
—ад
Принимая во внимание, что согласно (20) dп (Hn (p,))/d^n = 2n • n!, а
ад _ 2 .—
также J е Ц d^ = v п , находим
Cn =17^- (25)
^2 пЧпУо
И окончательно
Ш (У) = ТР^ е 1(УУо )2 • Hn (ü). (26)
д/л/п 2nn! y0 y0
Отсюда с учетом (21) следует условие ортонормированости:
ад
J^n'-^ndy = 5 nn-, (27)
—ад
где 5nn - символ Кронекера: 5nn = 1 (n = n'), 5nn = 0 (n Ф n'). В области малых квантовых чисел n = 0, 1, 2 имеем
, 1 — y/yo)2 1 —( у! о)2
n = 0; Eo = -,ю/2; Щ, е2 ; Po (y) = -,=- е2 , (28)
Vvnyo
где о = yJ42 .
Таким образом, при n = 0 случайная функция y = y(í) при каждом значении t распределена с ФПВ P0(y) (нормальное распределение). При этом
2 72
M(y) = 0; D(y) = ^ = -°г ; о( y) =
2 2ю V2
Случай n = 1:
E = ^; Ш = У2"*'; P(y) = )2е-<»У0)!.
2 пу0 Уо А/пУо Уо
Случай n = 2:
E = . ш = (2(У/Уо)2 —1) Л(У/У0)2. P (У) = (2(У/Уо)2 —1)2 е-(у/уо)2 E2 = , ; ш 2 = I-7= е ; P2(y) = е .
2 V2V п У0 Vn 2 У о
Из рис. 2 видно, что распределения плотности вероятностей КГО Pn(y) = ^n2 (y) будут значительно отличаться от ФПВ классического гармонического осциллятора цен. Только в области больших квантовых чисел (n ^ да), как и следовало ожидать, ¥n2 ^ Pn(y), где Pn(y) определяется уравне-
ад
нием (7) (рис. 3). То есть процесс (8) перехода от ФПВ нормального распределения к ФПВ типа (7) реализован. При этом частота излучения или поглощения информации, определяющей цену актива, при переходе с одного информационного уровня на другой определяется соотношением, вытекающем из формулы (18):
ш„„,= (Еп - В, )/Ао. (29)
Рис. 2. Графики функций плотностей вероятности квантового гармонического осциллятора цен при малых значениях квантовых чисел (п = 0, 1, 2) и сравнение с классической теорией (см. пунктирные линии р0, рь р2 )
Рис. 3. Сравнение результатов квантовой и классической теорий для квантового гармонического осциллятора цен в области больших значений квантовых чисел (здесь п = 10)
Используя условия ортонормированности (27), находим правила отбора для квантовых чисел:
Ап = п - и'=±1. (30)
Они свидетельствуют о возможности квантовых переходов только между соседними информационными уровнями (рис. 4). При этом частота излучения совпадает с частотой колебания рыночного ценового осциллятора (6). Следовательно,
ш
'со
о;
/
Еь/Ь Ез/Ь Е,/Л
ЕоА
Рис. 4. Разрешенные переходы квантового гармонического осциллятора цен
процесс последовательного перехода от ФПВ (^) из области больших квантовых чисел (в пределе от ФПВ типа (7)) к ФПВ нормального распределения также реализован без привлечения требования идентичности случайных величин .
у
Функция распределения вероятностей (ФРВ) для КГО Р (у) = | Рп ^
имеет следующий вид:
ад _f.fi \2
Р(у) = С2|е^Н2^)^. (31)
—ад
Для любого значения у на основании ФРВ имеет место
Рп (4 < у) = Рп (у) ,
где Рп (4 < у) - вероятность, что СВ имеет значение, меньшее чем у. Отсюда следует
Рп к < 4 < у2} = Рп (у2)—Рп (л).
Математическое ожидание для КГО финансового рынка определяется
как
ад 2
м(у) = Сп2 |уе-(у/у0) н2(у/у0^у. (32)
п
—ад
Нетрудно показать, что при любом п М(у) = 0. Дисперсия КГО определена соотношением
ад I 2 у Б(у) = о2 (у) = С2 Iу2еу/у0) Нп2 (+-)йу. (33)
—ад у0
В результате довольно громоздких вычислений с использованием формулы (21) находим
2
°2( уп ) = Я(уп ) = (2п +1) (34)
Откуда
а(уп ) = • = 72^+1 • аНорМ. (35)
В частности,
п = 0; ^СуО = V2 уо ; °(у0) = °норм = у0,
п = 1; Щу^ = 32 УО2 ; °(У1) = V3 • Онорм,
п = 2; р>( у 2) = V2 УО2 ; У1) = • Онорм. В области больших квантовых чисел
о(уп) ъ04п ~ а^л/^. (36)
Такая зависимость стандартного отклонения от времени является характерной для диффузионного процесса, т. е. имеет место явление информационной ценовой диффузии. Подобный стохастический процесс называется вине-
ад
ровским. Обычно предполагается, что в пределе п ^ да; А( ^ 0 стохастический процесс £,(0 является гауссовским, но, как следует из изложенного, это необязательно, могут быть отклонения от нормального закона. Проиллюстрируем сказанное.
Вероятность попадания логарифма ценового приращения в заданный интервал для КГО определяется соотношением
-(У-12
1 ^2 (у„ > , ,
Рп {у <У <У2} = -¡=~1-¡е 0 н1(у1у0)&у . (37)
~ ' 0 У1
л/П 2пп. у,
Положив у! = -оп ; у2 = оп, найдем вероятность того, что значение СВ у отклоняется от математического ожидания в ту или другую сторону на величину стандартного отклонения.
Случай п = 0 (нормальное распределение):
Но = 1; Р{- оо < у < Оо} = Ф(У2/оо) - Ф(уУОо) = 2Ф(1) = 0,6826,
1 2
где Ф(2) = —== |е 2 - функция Лапласа; о0 = онорм. л/2л 0
Положив у1 = -2а0; у2 = 2а0, находим
Р{- 2о0 < У < 2о0 } = 2Ф(2) = 0,9544.
При у1 = -3а0 и у2 = 3а0 имеем Р{- 3о0 < у < 3о0 } = 3Ф(3) = 0,9973, т. е.
правило трех сигм: вероятность того, что значение нормально распределенной СВ принадлежит интервалу (-3о0; 3о0), практически равна единице. Случай п = 1: НДу/у,) = 2(у/у0) . На основании (37) имеем
Р{У: < У < У2} = |Ф(—)-Ф(А)|-^- 0)21 . (з8)
[ °0 °0 ] чк [ V2©0 л/2©0 ]
пРи У1 = -°0 и У2 = °0
1 2
Р{- 00 < У < 00}= {Ф(1) -Ф(-1)}--^-^е12 « 0,1986. При У! = -2о0 и у 2 = 200
1 2 л/2
Р{-200 < У < 200}= {Ф(2)-ф(-2)}--=— « 0,7384.
л/я е
при У1 = -3°0 и У2 = 3°0
Р{- 3о0 < у < 300}= 2Ф(3) - * 0,9706.
л/л е '
То есть вероятность того, что значение СВ не попадает в интервал (-3о0; 3о0), - вполне заметная величина ~ 0,03. Другими словами, при
п = 1 правило трех сигм уже не работает и событие, крайне редкое с точки зрения распределения Гаусса, становится достаточно ожидаемым на информационно возбужденных ценовых уровнях (п = 1, 2, 3, ...).
Тем не менее вероятностная оценка отклонений от математического ожидания становится близкой к привычной, если в качестве меры разброса мы
возьмем стандартное отклонение для уровня п = 1: ^ = *^3°Норм = >/3о0. При у = —и у2 = О! с помощью уравнения (38) находим
р{— ^ < У < ^ }= 2Ф(л/3) —^^ « 0,608.
л/ле '
При у = —2^ и у2 = 2^ имеем р{— 2^ < У < 2^}= 0,9960. При у = —3о! и у2 = 3^ имеем р{— 3^ < У < }= 0,9999. То есть правило трех сигм работает, но уже не для распределения Гаусса, а для распределения вида (31) при п = 1 (см. рис. 2).
Случай п = 2: Н2(у/у0) = 4(у/у0) — 2. На основании уравнения (37) имеем
1 I —( У2 )2 —( У )2
р{у < у < у2}={Ф(У2/С0) — Ф(Ух/о0)}—"Т е 1/250 — (^)3е ^
л/П I л/2оп л/2(
Оп
1 I —
1 Ло0 — (_^)е ^ I . (39)
2л/л I л/2о0 л/2о
пРи Ух = —о 0 и У 2 = °0
1 2 1 7
<• 2 1 , —1 2 —1
Р{— о0 < у < о0}= 2Ф(1) —^(-р)3е Л ^"ГТе * 0,1987.
л/л л/2 л/л л/ 2
При у1 = —2о0 и у2 = 2о0
Р{— 2о0 < у < 2о0 } = 2Ф(2) —2 (л/2)3 е—р л/2е~2 « 0,4145.
л/л л/л
пРи У1 = —3^0 и У 2 = 3°0
2 3 13
Р{— 3о0 < у < 3о0 }= 2Ф(3) е—^(~Т)е~4'5 « 0,8682.
л/л л/2 л/л л/2
То есть вероятность того, что значение СВ не попадает в интервал (-3о0; 3оо), равна ~ 0,138. При п = 2 правило трех сигм не работает еще в большей степени, чем при п = 1, и событие, редчайшее для нормального распределения, является здесь вполне ожидаемым. Однако вероятностная оценка отклонений от математического ожидания при п = 2 становится относительно
0
близкой к оценке при п = 0 (распределение Гаусса), если в качестве меры разброса мы возьмем стандартное отклонение для уровня п = 2: о2 = л/5 • о0, т. е.
Р{-02 < у < 02} = 0,3705;
Р{-2о2 < у < 202} = 0,9785;
Р{-3о2 < у < 302} = 0,99999998.
Другими словами, правило трех сигм работает, но уже для распределения вида (31) при п = 2.
Сказанное иллюстрирует рис. 2. Отклонение приращения логарифма цен от ожидаемого значения до значения у0 при п = 2 (ось Е2) представляет собой не очень редкое событие, реализуемое с вероятностью ~ 0,02. Однако с точки зрения нормального распределения п = 0 (ось Е0) такое отклонение от математического ожидания является редчайшим событием, реализуемым с вероятностью ~ 10-7.
В финансовом мире Башелье - Самуэльсона, в котором приращения логарифмов цен распределены по закону Гаусса, все события масштабированы по фундаментальной единице измерения - стандартному отклонению о0. В связи с этим становится ясно, что является нормальным, а что - аномально согласно модели Гаусса. Падение цен на американском фондовом рынке 19 октября 1987 г. на 22,6% и отскок 21 октября 1987 г. на 9,7%, согласно Гауссу, - события, которые не должны происходить. Они, по существу, невозможны.
Тот факт, что они произошли, говорит, что рынок может значительно отклоняться от нормы. Эти события являются выбросами, они лежат вне того, что является возможным для остальной части множества приращений. Вероятность падения цен на 22,6% - порядка 10-7, что выводит этот феномен далеко за пределы интервала 3онорм. Согласно оценкам Д. Сорнетте1, время ожидания такого события ~ 7 тыс. лет. Большую по порядку величины временную оценку имеем для повторения трех самых больших выбросов на американском фондовом рынке в ХХ столетии (1914, 1929, 1987). Суммарно ~ 3 трлн лет, а в действительности три краха произошли в одном столетии. Это говорит о том, что финансовые выбросы формируют собственный класс, который проявляется в их статистических характеристиках. Они отличаются от остальной совокупности, формирующей динамический ценовой ряд, и для своего объяснения требуют новой модели, отличной от модели Гаусса.
Сказанное актуально хотя бы потому, что рыночный крах, одновременно происходящий на большинстве фондовых рынков по всему миру, как было продемонстрировано в октябре 1987 г. или в сентябре 2008 г., представляет почти мгновенное испарение триллионов долларов.
Наиболее обнадеживающие попытки объяснения загадочной природы выбросов связаны с искусственным «вшиванием» в асимптотику закона Гаусса «толстых хвостов», распределенных по степенному или показательному закону. Этот метод представляется нам довольно искусственным, ибо связан с подгонкой параметров распределения к эмпирическим данным. Однако спра-
1 См.: Сорнетте Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков: критические события в сложных финансовых системах : пер. с фр. - М. : И-Трейд, 2008.
ведливости ради следует признать, что на этом пути получены некоторые интересные результаты1. Развиваемый в данной статье подход представляется более гармоничным. При этом рассматривается модель, в основе которой лежит предположение о квантовой (прерывистой) природе воздействия информации на финансовые рынки. Как следствие, стоимости активов, изменяясь, последовательно переходят с одного дискретного информационного уровня на другой, причем каждый их них соответствует определенной величине информационной обеспеченности Еп (п = 0, 1, 2...).
Иерархия информационно-ценовых уровней автономна в том смысле, что каждый из них имеет свою отдельную вероятностную конституцию - различные функции плотности распределения вероятностей. При этом нормальное распределение имеет место только при п = 0. Для всех других п = 1, 2, 3. ФВП отличны от гауссовых.
Как следствие, вероятность попадания логарифма ценового приращения в заданный интервал при росте п все больше отличается от таковой, вычисленной в предположении справедливости для данного уровня нормального распределения. То есть масштаб измерения риска на «ценовой линейке», определяемый стандартным отклонением о(уп ), для каждого информационного уровня будет свой и при росте п он меняется по закону: °(Уп ) = ^2п +1 • он « . Зависимость стандартного отклонения от времени известна в финансах как волатильность.
Из сказанного следует, что событие, редчайшее в масштабе нормального распределения, имеет достаточно заметную вероятность уже в масштабах уровней Е2 или Е3. Следовательно, на информационно насыщенных, вола-тильных финансовых рынках ценовые выбросы реально ожидаемы.
Список литературы
1. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теоретическая физика. Квантовая механика (нерелятивистская теория). - М. : Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1963.
2. Мантенья Р. Н., Стенли Г. Ю. Введение в экономику. Корреляции и сложность в финансах : пер. с англ. - М. : Либроком, 2009.
3. Семенов В. П., Соловьев Ю. П. О возможном механизме информационного воздействия на экономику посредством фондового рынка // Вестник Российского экономического университета имени Г. В. Плеханова. - 2012. -№ 2 (44).
4. Сорнетте Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков: критические события в сложных финансовых системах : пер. с фр. - М. : И-Трейд, 2008.
5. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики // Факты. Модели. - Т. 1. - М. : ФАЗИС, 1998.
1 См.: Мантенья Р. Н., Стенли Г. Ю. Введение в экономику. Корреляции и сложность в финансах : пер. с англ. - М. : Либроком, 2009.
