CC BY
31
может в отдельных случаях иметь преимущества по сравнению с традиционной методикой.
ВЫВОДЫ
1. Ускоренный вариант итерационной процедуры ГЛМ, основанный на использовании метода окаймления для решения СЛАУ, позволяет ускорить процесс восстановления профиля. Использование ускоренного варианта вместо обычного является тем более выгодным, чем большее количество итераций метода требуется для полного восстановления.
2. Предложена модификация метода ГЛМ, позволяющая скорректировать искажения в восстановленном профиле, вызванные расходимостью зондирующего луча. Выполняемая коррекция является тем более точной, чем менее контрастным является ПДП.
3. Для структур с потерями энергии показано преимущество спектрального анализа как способа получения ИХО перед способом получения, основанным на экстраполяции ЧЗКО до нулевой частоты с использованием линейного предсказания и последующим выполнением ДПФ.
4. При наличии шума метод получения ИХО на основе экстраполяции данных измерений в частотной области может давать более точные значения диэлектрической проницаемости по сравнению со случаем применения параметрического спектрального анализа.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Аки К. Количественная сейсмология. Теория и методы. Т. 2 / К. Аки, П. Ричардс ; пер. с англ. А. В. Калинина. - М. : Мир, 1983. - 360 с. : ил.
2. Андреев М. В. Модернизация метода Гельфанда - Левитана для решения одномерной обратной задачи с помощью метода Прони / М. В. Андреев, О. О. Дробахин, А. Г. Новомлинов, В. Г. Короткая // Системы технологи. Системи i процеси обробки ¡нформаци та управлшня. - 2003. - Вып. 5 (28). - С. 59-63.
3. Андреев М. В. Модификация метода Гельфанда - Левитана для решения одномерной обратной задачи с помощью метода пучка матриц / М. В. Андреев, О. О. Дробахин, А. Г. Новомлинов, В. Г. Короткая, А. В. Сазонов // Радюелектрошка, шформатика, управлшня. - 2002. - № 2. - С. 9-13.
4. Форсайт Дж. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений / Дж. Форсайт, К. Молер ; пер. с англ. под ред. Г. И. Марчука. - М. : Мир, 1969. - 168 с.
5. Дробахин О. О. Определение зависимости амплитуды отраженного импульса в методе синтезирования огибающей радиоимпульса / О. О. Дробахин // Дефектоскопия. - 1994. - № 4. - С. 48-55.
6. Andreev M. V. Rational Representation in Spectrum Conjugate Domain for Parameters Determination of Reflecting Structures / M. V. Andreev, V. F. Borulko, O. O. Dro-bakhin, D. Yu. Saltykov // 10th Int. Conf. Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, September 14-17, 2004 : Proc. - Dniepropetrovsk. - 2004. - P. 449451.
Надшшла 21.04.2009
Роэглядаються maxi прикладш питания, пов'яэаш э використанням методу Гельфанда - Äeeimaua - Марченко, як пришвидшення imeрaцiйно'i процедури, cmciö отримання iмпульcно'i характеристики, урахування неплоского характеру xe^i, що эондуе, та вплив втрат енергп в эраэку, що доcлiджуemьcя, на результат вiд-новлення профiлю.
Considered are applied problems related to the usage of Gelfand - Levitan - Marchenko's method as acceleration iterrational procedure, methods to obtain impulse characteristics, consideration of non-flat character of probing wave, influence of energy losses in a sample as to the result of the building-up of the profile.
УДК 621.372.22
0. О. Дробахин, П. И. Заболотный, Е. Н. Привалов
РЕЗОНАНСНЫЕ СВОЙСТВА МИКРОВОЛНОВЫХ РЕЗОНАТОРОВ В ВИДЕ СФЕРИЧЕСКОГО СЕКТОРА
Иccлeдовaно влияние на реэонажные cвойcmвa и cmрук-туру электромагнитного поля геометрии реэонаторов, выполненных в виде cфeричecкого ceкmорa и уceчeнного cфeричecкого ceкmорa. Покаэано, что раэличие между реэонажными чacmоmaми колебаний типа Н0ц, Ещ и E^j в большей мере опрeдeляemcя углом при вершине cфeри-чecкого ceкmорa. Выявлено, что в уceчeнныx реэонато-
© Дробахин О. О., Заболотный П. И., Привалов Е. Н., 2009
рах для Е типов колебаний с уменьшением объема резонатора его резонансная частота уменьшается.
ВВЕДЕНИЕ
Аксиально-симметричные микроволновые резонаторы широко применяются в современных электронных
приборах, например, волномерах, датчиках, СВЧ-фильтрах и т. п. [1]. Наиболее широкое распространение получили устройства на основе микроволновых цилиндрических резонаторов [2] с рабочим типом колебаний Н011. Однако, обеспечение гарантированно одномодового режима работы этих резонаторов сложно осуществимо и требует непростых технических решений, позволяющих предотвратить возникновение высших типов колебаний с резонансными частотами, попадающими в тот же частотный интервал, которому принадлежит и основной рабочий тип колебаний [2]. Особенно сложно устранять вырождение типов колебаний Н011 и Е111.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В ряде работ [3, 4] было показано, что в аксиально-симметричных резонаторных системах, содержащих участки с конической образующей, вырождение типов колебаний Н011 и Е111 устраняется. При этом были рассмотрены случаи резонаторов в виде конуса и усеченного конуса, то есть предполагалось наличие плоских оснований. Анализ полей проводился в сферической либо в цилиндрической системах координат (для малых углов наклона конических образующих). Определение собственных резонансных частот сводилось к поиску корней уравнений, содержащих функции Бесселя и присоединенные функции Лежандра.
Представляет интерес исследовать структуру электромагнитного поля и поведение собственных резонансных частот при замене плоских оснований на сферические, то есть перейти к резонаторам в виде сферического сектора и усеченного сферического сектора. Целью таких исследований является оценка влияния кривизны оснований, а, следовательно, и угла при вершине конического сектора, на снятие вырождения типов колебаний Н011, Е111, трансформацию других типов колебаний с близкими частотами.
Для изучения особенностей поведения резонансных частот были рассмотрены резонаторы в виде:
- сферического сектора со сферической формой торца (рис. 1, а);
- усеченного сферического сектора с двумя сферическими торцами (рис. 1, б).
При оценке влияния изменения геометрических размеров рассматриваемых резонаторов на снятие вырождения ближайших к Н011 типов колебаний ограничимся поиском решений для типов колебаний Е111 и Е112. При этом будем рассматривать собственные колебания без учета влияния элементов возбуждения и связи.
Резонансные частоты резонаторов будем находить на основе решения уравнений Максвелла в сферической системе координат [3] для поперечно-электриче-
ских ТЕп т р (г, ф, 8) и поперечно-магнитных ТМп т р (г, ф, 8) колебаний. Под г, ф, 8 понимаются координаты в сферической системе координат.
Для получения уравнения, корни которого и определяют резонансные частоты резонатора в виде сферического сектора радиуса К со сферической формой торца, необходимо воспользоваться граничными условиями для электрического поля Е на металлической поверхности [г0 х Е] = 0 (явный вид для которого приведен, например, в [3]), где г0 - единичный вектор нормальный к сферической поверхности.
С учетом известных соотношений [5] между сферическими и цилиндрическими функциями Бесселя уравнение для определения резонансных частот типов колебаний Е111 и Е112 принимает вид
й
й(кг)
[ ■ Jií+o.5(kг)]г=к = 0
2п - 1
/м>,5(£я) - ^(¿я) = 0,
а для колебаний Н011
Л+>,5(£к) = о,
(1) (2)
(3)
где ц и V порядок цилиндрической функции Бесселя /ц и для поперечно-магнитных и поперечно-электрических колебаний, соответственно; к = 2 ■ п ■ ((/с) -волновое число; / - резонансная частота; с - скорость света в вакууме.
Для определения порядков степеней ц и V присоединенных функций Лежандра, входящих в выражения для полей сферического резонатора, использовались граничные условия на конической поверхности сферического конуса при 8 = 80, сводящиеся к требованию обращения в нуль тангенциальной составляющей электрического поля (в данном случае Еф и Ег). С учетом одинаковой зависимости обеих компонент от угла 8, условие равенства нулю обеих компонент сводится к одинаковым уравнениям, а именно: для поперечно-магнитных колебаний Е11р
РЦ(со8(8)) = 0, (4)
а для поперечно-электрических колебаний Н011
-^(008(8)), (5)
а8
где рЦ, р присоединенные функции Лежандра первой степени порядка ц и V, соответственно.
Для удобства вычислений функций Бесселя значения 8 подбирались таким образом, чтобы они соответствовали целым порядкам функции Бесселя. Все
а) б)
Рисунок 1 — Вид исследованных микроволновых резонаторов: а - сферический сектор; б - усеченный сферический сектор
полученные результаты приводились к безразмерному виду. Геометрические размеры резонаторов нормировались к радиусу К торца основания сферического сектора. Частотные характеристики резонаторов представлялись через безразмерную величину к ■ К.
При рассмотрении резонатора в виде усеченного сферического сектора (рис. 1, б) граничные условия на сферических торцевых поверхностях при г = К1 и г = К2 и для конической поверхности при 8 = 80 задавались так же как и для микроволнового резонатора в виде сферического сектора со сферической формой торца. Геометрические размеры усеченных резонаторов нормировались к радиусу К2.
Соответствующее уравнение для резонансных частот для типов колебаний Е111 и Е112 принимает вид:
2п - 1
3п-1 (кт|) -^т— 3п(кП)
2кп
2п - 1
М^ОК) -2П-1 адя2)
2кК2
2п - 1 " /п-1(кК2) -^п-тг3п(кК)
2кК2
2п т 1
Мп-1(кп) - ^п-1 Мп(кп) 2кп
= 0,
(6)
а для типа колебаний Н011
]т(кп) ■ Мт(кК2) - ]т(кК) ■ Мт(кг) = о, (7)
где п = К1/К2, М}- - функция Неймана /-го порядка.
Исследование влияния геометрических размеров и формы резонаторов на структуру их электромагнитных полей, выполнялось путем численного расчета методом конечных элементов (МКЭ) [6]. Предполагалось, что резонаторы изготовлены из меди, а их внутренний объем заполнен воздухом. Для сокращения объема вычислений и, с учетом азимутальной симметрии, расчеты проводились в областях, ограниченных двумя продольными секущими плоскостями,
расположенными под углом 10° друг к другу. На поверхности секущих плоскостей задавались граничные условия, соответствующие идеальной электрической стенке. Максимальный линейный размер элементов расчетной сетки не превышал 0,05 радиуса К2 торцевой поверхности резонатора.
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ
На рис. 2 представлены рассчитанные с помощью уравнений (2)-(3) значения нормированных резонансных частот к ■ К для типов колебаний Н011, Е111 и Е112 в зависимости от угла 80 сферического сектора.
Как видно из представленных результатов, при увеличении угла 80 сферического сектора, начиная со значения, приближенно равного 4,3°, наблюдается рост разности значений резонансных частот для колебаний типов Н011, Е111 и Е112 и, соответственно, снимается вырождение рассматриваемых типов колебаний. Наиболее значительный рост разности значений резонансных частот между типами колебаний Н011 и Е111, а также Н011 и Е112, наблюдается в диапазоне изменения угла 80 сферического сектора от 4,3° до 60°.
Для оценки влияния формы торца резонатора на его параметры с помощью МКЭ были проведены расчеты резонансной частоты и добротности при различных значениях 80 для резонаторов с плоскими и сферическими торц ами. Часть полученных результатов приведена в табл. 1.
Из представленных в табл. 1 результатов видно, что нормированная резонансная частота резонатора со сферической формой торца имеет более низкое значение по сравнению с резонансной частотой резонатора с плоским основанием и разница между ними возрастает пропорционально росту 80. Добротность резонаторов со сферической формой торцевой поверхности, при углах 80 > 16° имеет более высокое значение по сравнению с добротностью резонатора с плоским торцом. Однако, при значениях угла 80 < 16°
х
X
X
X
кЛ 50
40 302010
1
О 20 40 60 80 100 вй, град.
— ■ —Е ; —*— II { —Д— Е ,
ИГ им' 112
а)
Рисунок 2 - Зависимость нормированных резонансных частот резонатора в виде сферического сектора для типов
колебаний Н011, Е111 и Е112 от угла 80 сферического сектора:
а - во всем исследованном диапазоне изменения 90; б - при малых значениях 90
Таблица 1 - Зависимость нормированной резонансной частоты к • Я и добротности 9 резонатора в виде сферического сектора от угла 80 сферического сектора и формы торца
90, град Сферический торец Плоский торец
к • Я 9 к • Я 9
16 19,01 22130 18,51 22320
21 14,95 25350 15,70 22410
26 12,85 27620 13,83 22540
30 11,45 29540 12,69 26350
34 10,47 31300 11,98 26940
38 9,77 32890 11,56 27330
41 9,22 34460 11,29 27570
а) б)
Рисунок 3 - Структура электрического поля в продольном сечении резонаторов с различной формой торцов: а - при 90 = 16°; б - при 90 = 38°
и одинаковых Я, добротности этих двух видов резонаторов приближенно одинаковы.
Данные в табл. 1 подтверждают представленные на рис. 3 результаты визуализации рассчитанной структуры электрического поля в продольном сечении ре-
зонаторов с плоскими и сферическими торцами для углов 90, равных 16 и 38 градусам.
Из представленных рисунков видно, что при малых углах сферического сектора структура электрического поля в случае плоского торца визуально идентична структуре поля резонатора со сферическим торцом. По мере увеличения угла 90 сферического сектора наблюдается рост степени отличий электрического поля резонатора, имеющего торец сферической формы, по сравнению с полем резонатора с плоским торцом.
На рис. 4 представлены результаты расчета резонансных частот резонатора в виде усеченного сферического сектора с 90 = 11° для всех рассматриваемых в данной работе типов колебаний. При изменении значения угла 90 наблюдается смещение частотного интервала, где возникают резонансы, однако характер зависимости резонансных частот от Я1/Я2 и взаимное расположение резонансных кривых для рассматриваемых типов колебаний остается практически неизменным.
Анализ зависимостей резонансных частот типов колебаний Е111 , Н011 и Е112 резонатора в виде усечен-
kR, 15 14 13 12
10
f
/
/
/
1
/ /
y
j^WWWwW™. s
-- -'-1-1- -"- -'-1-
0,5
<U>
0.7
0,8
0,9 RM-
—•—Е... : H... : —л— Е.
Рисунок 4 - Зависимость резонансных частот типов колебаний Е1И, Н011 и ЕИ2 резонатора в виде усеченного сферического сектора от отношения радиусов сферических торцевых поверхностей при 80= 11°
Рисунок 5 - Зависимость резонансных частот типа колебаний Ец-2 резонатора в виде усеченного сферического сектора от отношения радиусов сферических торцевых поверхностей для ряда углов 0О
ного сферического сектора от отношения радиусов сферических торцевых поверхностей, одна из которых показана на рис. 4, позволил выявить аномальный характер поведения резонансных частот для Е типов колебаний. Так для колебания Е111 это проявляется в том, что с уменьшением объема резонатора его резонансная частота уменьшается. Для типа колебаний Е112, помимо наличия падающего участка кривой, имеется еще и пологий минимум. Это хорошо видно при рассмотрении представленной на рис. 5 зависимости резонансных частот резонатора для колебаний типа Е112 от отношения радиусов сферических торцевых поверхностей при углах 90, равных 11°, 31,5° и 44,2°.
Возможным объяснением аномального характера поведения резонансных частот для Е типов колебаний может быть то, что при больших значениях отношения Я1/Я2 структура электрического поля стремится к структуре колебания Е110 (наблюдаемой в цилиндрическом резонаторе), для которой характерна возможность существования колебаний при расстояниях между торцевыми поверхностями намного меньших половины длины электромагнитной волны. Именно для типа колебаний Е110 характерно отсутствие зависимости резонансной частоты от длины резонатора и ее уменьшение с увеличением радиуса резонатора.
Таким образом, для усеченного сферического конуса уменьшение резонансной частоты с уменьшением резонансного объема можно трактовать, как и уменьшение резонансной частоты колебаний типа Е110 в цилиндрическом резонаторе при увеличении его радиуса, так как в усеченном коническом резонаторе при сближении торцевых поверхностей средний радиус резонансного объема увеличивается.
ВЫВОДЫ
Проведенный анализ резонансных явлений для типов колебаний Н011, Е111 и Е112 в резонаторах в виде сферического сектора показал:
- возможность снятия вырождения между типами колебаний Н011, Е111 и Е112 в широком диапазоне изменения геометрических размеров резонаторов, причем разница резонансных частот в большей мере определяется углом при вершине сферического сектора;
- при малых углах сферического сектора структура электрического поля в случае плоского торца визуально идентична структуре поля резонатора со сферическим торцом;
- по мере увеличения угла 8 сферического сектора наблюдается рост степени отличия электрического поля резонатора, имеющего торец сферической формы, по сравнению с полем резонатора с плоским торцом;
- аномальный характер поведения резонансных частот для Е типов колебаний в усеченных резонаторах, проявляющийся в том, что с уменьшением объема резонатора его резонансная частота уменьшается;
- для колебаний типа Е 112 в резонаторах в виде усеченного сферического конуса имеется пологий экстремум, содержащий участок с аномальным поведением резонансных частот.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Makimoto M. Microwave resonators for wireless communication. Theory, design and application // M. Makimoto, S. Yamashita. - Berlin : Springer - Verlag, 2001. - 162 p.
2. Дробахин О. О. Датчики перемещений на основе круглых цилиндрических СВЧ-резонаторов / О. О. Дробахин, П. И. Заболотный, Е. Н. Привалов // Техника и приборы СВЧ. - 2008. - № 2. - С. 24-29.
3. Harrington R. F. Time-harmonic electromagnetic fields. -New York : Wiley, 2001. - 480 p.
4. Van't Hof J. P. Eigenfrequencies of a Truncated Conical Resonator via the Classical and Wentzel-Kramers-Bril-louin Methods / J. P. Van't Hof, D. D. Stancil // Transactions on Microwave Theory and Techniques. - Vol. MTT-56. - 2008. - No. 8. - P. 1909-1916.
5. Справочник по специальным функциям / под. Ред. M. Абрамовица и И. Стиган. - М. : Наука, 1979. -830 с.
6. Григорьев А. Д. Электродинамика и микроволновая техника / А. Д. Григорьев. - СПб. : Лань, 2007. -704 с.
Надшшла 21.04.2009
Дослгджено вплив на резонанснг властивостг й структуру електромагттного поля геометрп резона-mopie, виконаних у виглядг сферичного сектора й усгче-ного сферичного сектора. Показано, що розходження
м1ж резонансными частотами коливань типу Н011, Enl i Ец2 у бiльшiй Mepi визначаеться кутом при eeprnuii сферичного сектора. Виявлено, що в усiчeнuх резонаторах для E тuпiв коливань 3i зменшенням об'ему резонатора його резонансна частота зменшуеться.
The influence of spherical and truncated spherical sector geometrical structure resonators on resonance frequency and em field structure is investigated. It has been shown that the resonance frequency discrepancies for H0ii, Enl and Eii2 modes are mainly defined by vertex angle of spherical sector. For E modes in truncated cavities an effect of resonance frequency diminishing with cavity volume reduction has been detected.
УДК 537.612, 537.635
i. В. Зависляк, Г. П. Головач, M. 0. Попов
М0ДИФ1К0ВАНА ЕЛ1ПТИЧНА СИСТЕМА КООРДИНАТ ДЛЯ ЗАДАЧ MATEMATH4H0Ï Ф1ЗИКИ З СИМЕТР16Ю ЕЛ1ПТИЧН0Г0
ЦИЛ1НДРА
Представлена оригтальна модиф^ована елттична система координат, розглянуто и властивостi, наведено кориснi спiввiдношення. Запропоновано застосовува-ти цю систему координат при розглядi задач матема-тичноЧ фiзики, якi мають симетрiю елiптичного цилiн-дра, зокрема, задач про знаходження власних хвиль i коливань в хвилеводах i резонаторах елттичного перерiзу та продемонстровано приклади и використання.
ВСТУП
Для розв'язання багатьох задач математично! ф1-зики необхщно використовувати елштичну систему координат. Так, для електродинамжи 1 техшки як НВЧ, так 1 оптичного д1апазошв значний штерес ста-новлять елштичш хвилеводи 1 резонатори, як1 займа-ють пром1жне положення м1ж сво!ми аналогами круглого та прямокутного перер1зу. В них, на в1дм1ну в1д кругло! геометрп, зшмаеться азимутальне вироджен-ня власних хвиль 1 коливань, фжсуеться поляризация, розширюеться робочий частотний диапазон хви-левод1в, розрщжуеться спектр резонаторов [1, 2].
В сп1нхвильов1й електродинам1ц1 ел1птична система координат застосовувалася в [3], де розглядалися магн1тостатичн1 хвил1 в ел1птичному цил1ндричному феритовому хвилевод1. Характерною особлив1стю розв'язку е те, що при цьому магштостатичний по-тенц1ал (1 магн1тне поле також) повинн1 бути пред-ставлен1 у вигляд1 неск1нченних ряд1в з функц1й Матье (ззовш зразка) чи модиф1кованих функций
© Зависляк I. В., Головач Г. П., Попов М. О., 2009
Матье (всередиш зразка). При цьому розв'язок характеристичного р1вняння можливий лише наближе-ними числовими методами.
Метою дано! роботи е запровадження нового ефек-тивного анал1тичного методу анал1зу електродинам1ч-них задач в системах з симетр1ею елштичного цилш-дра i демонстращя Г! ефективност на приклад1 пов-ного аналiтичного розв'язання спектрально! задачi для поверхневих магнiтостатичних коливань (ПМСК) в феромагнiтних системах з геометрieю елiптичного цилiндра.
МОДИФ1КОВАНА ЕЛ1ПТИЧНА СИСТЕМА
КООРДИНАТ
Зазвичай, при розв'язаннi задач математично! фь зики в областях, як мають симетрiю елiптичного цилшдра, використовуеться стандартна елiптична система координат [3, 4], у яко! одна iз координатних поверхонь е елiпсом:
х = с ■ ch^- cos п, У = c ■ shsin n, г = г, (1)
де ne [-п, п], £, e [0, г e (, с - нашвфо-2 2,2 . , . кальна вiдстань: с = a - b , де a i b - це вщповщно
велика i мала швом елшса, який вiдповiдаe £, =
= const.
На площиш ху замша змшних (1) перетворюе внутршню область елiпса з пiвосями a i b на прямо-
