Модель резонансной частоты колебания h011 цилиндрического объемного резонатора с учетом потерь в возмущающем объеме Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.4, 621.372.413

МОДЕЛЬ РЕЗОНАНСНОЙ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЯ Ноп ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ОБЪЕМНОГО РЕЗОНАТОРА С УЧЕТОМ ПОТЕРЬ В ВОЗМУЩАЮЩЕМ ОБЪЕМЕ

А.Л. Шаталов, М.А. Суслин, В.Ю. Прищепенко

В статье получена аналитическая модель резонансной частоты колебания Н011 цилиндрического объемного резонатора с учетом как действительной, так и мнимой диэлектрической проницаемости возмущающегося объема. Модель получена путем введения эквивалентной емкости резонатора с использованием моделирования методом конечных элементов в системе ЛЫБУБ. Уточненная модель может найти применение при контроле электрофизических характеристик, например, технических авиационных жидкостей, радиопоглощающих материалов

Ключевые слова: цилиндрический объемный резонатор, резонансная частота колебания Н011, действительная и мнимая диэлектрические проницаемости

Контроль электрофизических характеристик, в частности авиационных материалов, в процессе производства и перед непосредственным использованием достаточно актуален. К исследуемым объектам можно отнести различные технические жидкости (гидравлические, антиобледенительные, охлаждающие, технологические растворители), противо-водокристаллизационные присадки, исходные жидкие и конечные твердые образцы поглощающих покрытий.

Резонаторный метод определения комплексной диэлектрической проницаемости с использованием высокодобротного колебания Н0ц цилиндрического объемного резонатора (ЦОР) [1, 2] основан на уходе резонансной частоты и изменении добротности резонатора: действительная часть определяется по уходу резонансной частоты, а мнимая часть - по изменению добротности.

В известных методах расчетах возмущенной резонансной частоты [3, 4] - «малых возмущений» и «сшивания» учитывается только действительная часть 8 комплексной диэлектрической проницаемости е. Однако, в случае если мнимая часть е” становится соизмеримой с действительной, в моделях возникает существенная методическая погрешность.

Получим модель резонансной частоты колебания Н011 ЦОР с учетом потерь в возмущающем объеме. Вывод будем основывать на формальном введении эквивалентных емкостей для пустого и возмущенного резонатора.

Частоту колебания Н011 можно формально считать равной

= 1/л/1 э ■ С э , (1)

Шаталов Александр Леонидович - МГУИЭ, д-р техн. наук, профессор, тел. 8-916-806-28-86 Суслин Михаил Алексеевич - ВАИУ, канд. техн. наук, доцент, тел. (473) 222-89-81; 8-910-857-01-05 Прищепенко Владислав Юрьевич - ВАИУ, соискатель, тел. (473) 222-89-81; 8-920-418-42-85

где Сэ и Ьэ - эквивалентные ёмкость и индуктивность ЦОР как его характеристические параметры. Очевидно, что отношение частот возмущённого (частично заполненного) те и пустого резонаторов тп в случае немагнитного возмущающего объема

®в/ ®0 = V Сэп1Сэв , (2)

где Сэв, Сэп - эквивалентные ёмкости возмущённого и пустого резонатора.

Для всех типов колебаний в цилиндрическом объёмном резонаторе колебание Н0и обладает самой большой добротностью (без учёта потерь на ввод и вывод энергии - от 50000 до нескольких сот тысяч). Своеобразная структура электрического поля колебания Ноц (силовые линии электрического поля -замкнутые концентрические окружности, при этом поле максимально по середине длины и на расстоянии 0,48а от оси резонатора) приводит к тому, что нигде на стенках объёмного резонатора заряды не наводятся, хотя по ним течёт ток, на торцевых стенках - кольцевой ток, плотность которого равна нулю в центре и у боковых стенок. По боковым стенкам резонатора также течет кольцевой ток, плотность которого максимальна в среднем сечении ЦОР. При такой структуре поля нельзя говорить о периодической перезарядке некоего конденсатора поверхностными токами, текущими по стенкам объёмного резонатора, как, например, для колебания Е010. Однако, цилиндрический резонатор как колебательная система не может не обладать некоторой эквивалентной емкостью.

Эквивалентные емкости рассчитываются по следующей методике:

Сэ = я 2/2Ш , (3)

где я - интегральный поверхностный заряда внутри резонатора (по теореме Гаусса); Ш - энергия при резонансе.

В качестве формальной обкладки плоского конденсатора выберем выделенную плоскость АВСБ, проходящую через ось Ъ и радиус резонатора. Замкнутые электрические силовые линии Еф начинаются на одном конце бесконечно тонкой и проводящей плоскости и заканчиваются на другом его конце. Расчётная схема показана на рис. 1.

Рис. 1. Расчетная схема резонансной частоты колебания Н011

Правомерность введения бесконечно тонкой и проводящей обкладки подтверждает моделирование методом конечных элементов в системе ЛЫБУБ, рис.2 и рис.3. Как следует из рис. 2 и 3 проводящая обкладка, расположенная вдоль радиуса и по длине резонатора не изменяет структуру электрического поля колебания Н011: силовые линии электрического поля - это по-прежнему замкнутые концентрические окружности, при этом поле максимально по середине длины и на расстоянии 0,48а от оси резонатора. Частота пустого резонатора остается также прежней.

Собственная угловая частота колебания Н011 ЦОР в комплексном виде

Ъ = о’ + ]о" (4)

При этом максимальная амплитуда колебаний наблюдается на частоте [5]

^ = о' (1 - (О )2

V о

(5)

называемой резонансной частотой колебания в резонаторе.

Собственная добротность резонатора [5]

б =о

20

(6)

Величина (---) в выражении (5) на основа-

о

нии (6) равна (б)2 Если ПриНЇГЬ наг^уженн>ю

добротность Q f 500 , го с точностью до 0,0008% Ор = 0 (7)

Рис. 2. Поле моды Н011 в пустом резонаторе с проводящей обкладкой. Электрическое поле: вид с торца резонатора. Проводящая обкладка расположена от центра резонатора вдоль оси Х до боковой стенки ЦОР

Рис. 3. Поле моды Н011 в пустом резонаторе с проводящей обкладкой. Электрическое поле, вид сбоку. Обкладка от центра резонатора вдоль оси Х

Метод комплексных амплитуд пригоден всегда, когда векторы поля связаны линейной зависимостью. Мгновенные значения напряженности поля и вектора электрического смещения в конкретной точке, и их мгновенные комплексы приведены ниже. В среде с потерями между E(t) и D(t) существует сдвиг фаз .

E(t) = EmCOSa0t ^ Em (t( = Em1 ^ (8)

D(t) = Dm COs(o0t + ^1 ) Dm (t) =

= D l iJ°

(9)

Комплексные амплитуды связаны соотноше-

нием

Dm = (S'~ Js")Em

(10)

Метод комплексных амплитуд неприменим к определению квадратичных величин. Определим энергию поля через комплексные векторы. Вещественные величины выразим через комплексные и комплексно сопряженные с ними векторы:

*

Е () = Ет ( )+ Ет ( ) ,

Р() = -

Найдем произведение

Рт () + Р ()

Е ()• Р()= Е т Ет • т ()+Р ()

= 1 [Ет (Рт () + Ет (). Р() + Ет * Рт () + £т ()• Р„ ()

(11)

Первый и четвертый члены полученного выражения взаимно сопряженные, и их сумма равна 2Яв{Ет (( )• Ьт (()} сопряженными являются также второй и третий члены они дают в сумме

2Я.е\Ет()• ¿(4. Тогда

Е(). Р() = | Де|Ет ()Р()+ Ет ()Р(0} . (12)

Между составляющими напряженностей электрического и магнитного полей в объемном резонаторе имеется сдвиг по фазе ^ • Сдвиг по фазе на

^2 указывает на колебательный характер энергии в

резонаторе: электрическая энергия превращается в магнитную и обратно. Очевидно в тот момент, когда электрическая энергия максимальна, магнитная равна нулю, и наоборот. Следовательно, в каждый момент запасенная энергия в резонаторе, определяемая суммой электрической и магнитной энергии, будет равна максимальной электрической энергии.

В выражении (12) первый член представляет собой величину, изменяющуюся с двойной частотой (в произведение мгновенных комплексов будет вхо-

] Ъ! ] Ъ1 ] 2 йЪ \ т-\

дить множитель е е = е ). Взяв вещественную часть от второго слагаемого можно получить максимальную плотность энергии в точке

" = ^-/тРт = 1яе(ЕтЬ т) =

1 *

= -2Ке(Ет(є' + ]є”)Ет) .

Максимальная энергия в резонаторе

(13)

Ж

=1ГЕ2т 2 + є"2 • ооз(агЩ(?-))СУ • (14)

О с

Мощность потерь в резонаторе [6]

Р = -ЪР¡є''Е2тСУ .

2 Т7

Получим аналитическую модель резонансной частоты колебания Н011 при коаксиальном расположении исследуемой среды с потерями с учетом вышесказанного.

Пусть среда с параметрами ц0, є, протекает или находится в трубопроводе (радиус трубопровода - Ь), ось которого совпадает с осью 1 ЦОР, рис. 4.

Эквивалентная емкость возмущенного резонатора

2

С = , где а = Г ; (16)

эв 2Ж в * 9

Рис. 4. Расчётная схема резонансной частоты колебания Н011 с коаксиальным расположением исследуемой среды

Возмущенная энергия с учетом (14)

2Жв = £0 Г Е^У-

Г Е2т • л/є'2 + є"2 • соі'(агєїд(■Є—)СУ ;

* С

2п а І

,0- II Г Е^СгСфСЬ + л/є'2 + є є2 Х

9=0г=Ьі=0

п 2п І Ь

х cos(arctq(Є)) | | |Е^СгСдхСі ■ (17)

9=0г=0г=0

Выражение (17) записано с учётом того, что радиальная составляющая Еф электрического поля, параллельная поверхности трубопровода, не терпит разрыва в возмущённом объёме У1 (граничные условия для тангенциальной составляющей напряжённости электрического поля) и остается такой же как в пустом резонаторе. Последнее подтверждается моделированием методом конечных элементов в сис-

2

ЛВСР

+

теме ЛЫБУБ, рис. 5: поле максимально на расстоянии 0,48а от оси и равно нулю на оси резонатора.

Резонансная частота зависит от корня эквива-

2

лентнои емкости, т.е. не от ав, а от ав, поэтому запишем выражение для заряда на формально введенной обкладке

q в = (—

I и

(—- ) J J Evdrdz +

+ є

0 J J EAdz

z=0 r=b

(18)

Рис. 5. Поле моды Н011 в резонаторе с коаксиальным объемом с потерями, вид с торца

Согласно предложенной методике эквивалентная ёмкость пустого ЦОР при возбуждении в нём колебания Н011.

4 •1 -—0 •

Сэ

a

J ’ (gr )dr

(19)

J J¡ (gr )rdr

Подставив (17) и (18) в (16), получим

А

В+

■4 в 2 +—'2

cos\ arctg —

є0 V є

-1)D

¡4

; (20)

где

А +

A=í J\3J8:rr\dr, в=JJ

Єj—"

-1

С

В

3,832

a

r \rdr ■

J,

3,832

r \dr ■

Д = J J1

3,832

r \rdr ■

Выделим действительную и мнимую части

А +

'—"-1'

\Єо J

С - j — C = \(А +

є0

2 І i- jarctg

С)2 +

А +

C

Vo 0 J J

В +

V V

л/є' 2 + є" 2 cos\ arctg —є I - 1

V( + (—'- 1)C)2 + —" 2C21 JB2

В +

-\l—'2 + є" 2 • cos

r є”л arctg —

Ю011 = Ю0 - А -

є

-1

D

((/4 + (— - І))2 + є " 2C2 )b

Х С08

А + (—-1 Y.

+ ja0 • А x

(В +| •>/—'2 + є"2 -cos^arctg —”-|-1 |D ( + (—'- 1)C )2 +—'” 2C

x sinl -

А + (є'- 1)C

= a + ja

где для колебания Н011 §=3,832/а.

Тогда возмущенная резонансная частота с учетом потерь в возмущающем объеме

ю011 ~ю' = юд • А-

В+| —+Є - cos^rcíg—^-1 ((—-Pf)2 +— 2C2)

x cos\

А + (—-1)

(21)

В табл. 1 представлены экспериментальные и теоретические (по модели (21)) результаты резонансной частоты возмущенного резонатора. В эксперименте использовался ЦОР с коаксиальным возмущающим объемом: диаметр и высота резонатора соответственно - 15,2 см, 12,6 см, диаметры коаксиального возмущающего объема 6,5 и 4,6 мм. В качестве исследуемой жидкости использовались: вода, этиловый спирт с 70% и 30% содержанием воды. Комплексные диэлектрические проницаемости названных жидкостей при 1=20°С соответственно равны [7]: е = 78,2 + ¡13,1, е = 62,5 + ¡18,7 ,

е= 37,2 + ¡20,1. Резонансная частота колебания Н011 пустого резонатора равна 2707,32 МГц, а добротность - порядка 4500 (внутренняя поверхность посеребрена).

є

1

z=0 r=0

СО,,,, = со

011 w0

ь

x

є

2

r=0

3

п

ь

r=0

2

a

a

Таблица 1

Концентрация воды (объемная) в этиловом спирте, %

100 70 30

Абсолютное значение резонансной частоты (ной, МГц 2702,03 2705,25 2706,27

Абсолютный уход резонансной частоты А(нои, МГц 5,29 2,07 1,05

Абсолютный уход резонансной частоты А/но„ по модели (21), МГц 5,38 2,11 1,06

Таблица 2

Экспериментальные результаты для d=4,6 мм_______________________________

Концентрация воды (объемная) в этиловом спирте, %

100 70 30

Абсолютное значение резонансной частоты /но,„МГц 2703,71 2705,93 2706,78

Абсолютный уход резонансной частоты А/но„, МГц 3,61 1,39 0,54

Абсолютный уход резонансной частоты Д/нш по модели (21), МГц 3,68 1,41 0,55

В результате эксперимента можно сделать вывод - совокупная методическая и инструментальная погрешность не превышает 1,8%. Таким образом, разработанную модель (21) резонансной частоты колебания И0ц цилиндрического объемного резонатора можно использовать при контроле электрофизических характеристик жидких и твердых материалов с большими потерями.

Литература

1. Берлинер М. А. Измерение влажности. М.: Энергия, 1973.

2. Клюев В.В. Неразрушающий контроль и диагностика: справочник. М.: Машиностроение, 1995. 487 с.

3. Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. М.: Энергия, 1969. 307 с.

4. Каценеленбаум Б.З. Высокочастотная электродинамика. М.: Наука, 1966. 141 с.

5. Григорьев, А. Д., Янкевич В.Б. Резонаторы и резо-наторные замедляющие системы. М.: Радио и связь, 1984. 211 с.

6. Красюк Н.П., Дымович Н.Д. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Высшая школа, 1974. 536 с.

7. Ахадов Я.Ю. Диэлектрические свойства бинарных растворов. М.: Наука, 1977. 391 с

Московский государственный университет инженерной экологии Военный авиационный инженерный университет (г. Воронеж)

A MODEL OF THE RESONANCE FREQUENCY OSCILLATIONS N011 OF CYLINDRICAL

CAVITY RESONATOR SUBJECT TO THE LOSSES IN DISTURBING VOLUME

A.L. Shatalov, M.A. Suslin, V.Yu. Prischepenko

In this article an analytical model of the resonance frequency of oscillations N0n of cylindrical cavity resonator is obtained, taking into account both the real and imaginary dielectric permittivities of the disturbed volume. The model was deduced by introducing the equivalent capacitance of the resonator, using simulation by finite element method in ANSYS system. Refined model can be used for the control of electrophysical characteristics, such as aviation technical liquids, radar absorbing materials

Key words: cylindrical cavity resonator, resonance frequency of oscillations H011, actual and imaginary dielectric permittivities