Уравнение собственных частот и добротность цилиндрического резонатора со свободной приосевой областью и двумя независимыми элементами настройки Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.385.69

УРАВНЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ДОБРОТНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО РЕЗОНАТОРА СО СВОБОДНОЙ ПРИОСЕВОЙ ОБЛАСТЬЮ И ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ НАСТРОЙКИ

СЛИПЧЕНКО н.и._____________________

Решается граничная электродинамическая задача для резонатора с двумя настроечными элементами и свободной приосевой областью. Выводится дисперсионное уравнение относительно собственных частот. Приводится формула расчета добротности.

замкнутые цилиндрические резонаторы сложной формы как с коаксиально расположенными элементами [10], так и со свободной приосевой областью.

В [11] рассматривается электродинамическая система типа коаксиальный резонатор с диагностируемым изотропным веществом, размещенным в области укорачивающей емкости. Применительно к данной системе используется модифицированный метод Трефтца. Предложенный вычислительный алгоритм позволил провести анализ влияния элементов конфигурации резонатора и параметров среды на резонансную частоту основного типа и его добротность.

Несмотря на усовершенствование некоторых математических подходов по отношению к расчетам резонаторов сложной структуры, классические методы остаются востребованными [12-16].

2. Постановка и геометрия задачи

1. Введение

Фундаментальные исследования по генерации, излучению, рассеянию и распространению электромагнитных волн с применением полученных результатов к освоению диапазонов волн, а также исследования стационарных колебаний и нестационарных электромагнитных полей связаны с планами, обозначенными Генеральной Ассамблеей URSI еще в 1996 г. [1]. Составной частью многих современных технических устройств являются резонаторы. В связи с исследованием электромагнитных колебаний в закрытых резонансных объемах продолжается их изучение и усовершенствование. Создание резонаторов с заданными характеристиками связано с рассмотрением структур со сложной геометрией внутренней поверхности. Проблема заключается в выборе конфигурации резонансной системы и построении адекватной математической модели.

Изучению собственных колебаний и возбуждению объемных резонаторов разной геометрической конфигурации уделяется внимание во многих работах, начиная от фундаментальных, ставших уже классическими [2-6], и заканчивая рядом современных публикаций [7-9]. Обычно сначала решается задача на собственные значения, которая сводится к нахождению собственных полей и частот полого резонатора. При этом следует найти решение уравнений Максвелла в объемной области V, ограниченной поверхностью S, которое удовлетворяет соответствующим условиям на границе. На структуру и свойства электромагнитного поля в объемном резонаторе влияют его геометрические размеры, способ возбуждения, а также свойства среды, которой может заполняться резонатор.

В связи с исследованием электромагнитных характеристик полупроводниковых, магнитных и сверхпроводящих изотропных и анизотропных материалов применяется резонаторный метод измерений. В качестве моделей резонаторов с изменяющейся частотой колебаний используются, в частности,

Объектом исследования является электромагнитное поле в цилиндрическом резонаторе со сложной формой внутренней ограничивающей поверхности. Это дает возможность сформулировать граничную задачу для уравнений Максвелла, решение которой позволит определить собственные частоты в соответствии с геометрическими параметрами резонатора. Рассматриваемая структура представлена на рисунке.

Области резонатора определяются следующими интервалами изменения координат:

(I): 0 < z < l, d < г < d ,

(II): gi < z < l -Al, d < г < b, gi = g +1,

(III):0<z<g, d<г<a

и могут заполняться материалами с различными диэлектрическими константами s = sо (s' - js") . Компоненты электромагнитного поля определяются по формулам

E<m)(r,z) = -I-

j<DS

.2 >

п(m)(r,z), j = vn, (1)

2

k

18

РИ, 2004, № 4

H[pm)(r,z)

an (m)(r,z)

(2)

Erm)(r,z)

1 a2 n (m)(r,z) jras araz

m = I, II, III. (3)

Потенциальные функции П (m)(r, z) являются решениями скалярного однородного уравнения Гельмгольца и для трех областей резонатора определяются следующим образом:

т т т

Z AiZo(krir)cos(kziz), область I;

i=0

п H(r,z) = •

2 BiZ0! (kj|r) cos(kzIi (z - gi)), область II;

i=0

Z CiZ0II(kJ?Ir)cos(kzIiIz), область III;

,i=0

(4)

где kzt =лі/l, k! =%H І1 , k^ =%Hg, k(m) k2 _ (kin,))2 .

Цель работы — получить уравнение собственных частот и формулу вычисления добротности цилиндрического резонатора со свободной приосевой областью и двумя независимыми элементами настройки.

3. Метод решения и основное содержание работы

В связи с потребностями практики вознивает необходимость исследования все более сложных граничных задач. Учет новых электродинамических и геометрических факторов приводит к усложнению вида уравнений, при этом точные решения удается получить редко. В этих случаях используются приближенные методы, среди которых квазистационарный, метод “возмущений”, метод эквивалентных схем или импедансный, вариационный, метод факторизации [ 12-17]. Однако для учета геометрии областей на аналитическом уровне применяется метод частичных областей. Он основывается на разделении резонансных объемов на области более простой формы, для которых известны собственные функции, и строгом удовлетворении условий непрерывности поля на поверхности раздела частичных областей.

Для рассматриваемого резонатора необходимо учесть следующие условия: на границе раздела частичных областей электрическое и магнитное поля должны быть непрерывными; касательные составляющие вектора электрического поля должны обращаться в нуль на идеально проводящих стенках резонатора, т.е.

E

(I)

z

е!П), gi < z < (l -Al),

< 0,g < z < gb(gi + li)< z < l, е!Ш),0 < z < g,

(5)

h(e

ААф

Чп), gi < z < (l-Al),

>Г>0* z <g.

(6)

Составляющие Ez и Hф, определенные формулами (1)-(3), подчиняются граничным условиям (5), (6). В результате получается система функциональных уравнений, откуда следует бесконечная система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Ai, равный нулю определитель которой представляет собой искомое уравнение собственных частот:

det{xIZiI(xI)[5 ji(i + 5 j0)xIz0(xI)/(2ZI(xI))-

Si w

- 2-і £

i2(j,n)i2(i,n) xliIZ0I(xliI)

s 2 n=0 (i + S n0)li

zM)

_2£l у ii(j,n)ii(i,n) xnIIZ0II(xnII)1} = 0

в3 n=0 (i + Sn0)g Z1III(xnII) , (7)

где 5ij — символ Кронекера; xI = kj , x? = knd,

III

rj

III

j - kj.j d . функции Zg, ZSI, zSII в соответствующих частичных областях резонатора определяются как:

ZS(kIir) = Js(kkr),

Z^ (kjr) = Js (k^Ns (k Jb) - Js (k^Ns (kJiIr)

I

s ri

s ri

s ri

s ri

ZSII (kI^r) = Js(k^N (kI^a) - Js (A)^ (krIIr),

i,j = 0,i,2,...; s = 0,i. При мнимых значениях kr, т.е. k2 < 0 , имеет место kr =-jk'r = -j/kf^k2, тогда Z s являются модифицированными функциями Бесселя и Неймана:

Zn (kjr) =---exp(- jnn/2)In (krIr),

К

Zn (k^r) = --exp(- jnV2)[In(krIIr)K0(k^b) -%

- (-i)nI0(k(IIb)Ko(k(IIr)1,

Z^k^r) = — exp(- jnV 2) [In(k rIIIr)K0 (k rnIa) -%

- (-i)nI0(krIIIa)K0(krIIIr)1, n = 0,i,2.

Составляющие ii(j,n) и i2(j,n) вычисляются как определенные интегралы:

g

ii (j,i) = J cos(kzjz)cos(kzIjIz)dz

0

III

zj

l-Al

J

gi

І2 (j, i) = J cos(kzjz)coskzIj(z - gi)dz

РИ, 2004, № 4

19

4. Выражения для расчета характеристик резонатора

Добротность резонатора определяется формулой: Q = ^W/Py,

где а о — резонансная частота; W — сумма электрической и магнитной энергий W = We + Wm ; Ру — потери собственных колебаний на частоте юо • Электрическая и магнитная энергии согласно [17] вычисляются так:

лА2 і да ~ т ~

We =—тн—і ai2{(i+51o)(k;i)2 х 4sо®o Є11=0

x [(2/я)2 - (xI)2(Z02 (xj) + Z|2(xj))] +

+ (kZ1)2[(2/*)2 -(xJ)2(Z{2(xJ)-ZIo(xiI)z2(xJ))]}+

+ -rEBp{(1 + 5io)(kJI)2 X s2 1=0

:[(xII)2(Z0I2(xJI) + ZjI2(xIJ)) -(2/n)2]

c _ 1=0

Cj _

2 £ A1xIZI(xi)1i(1,j)

III III III

(1 + Sj0)gxj Zi (xj )

,j = 0,1,2,....

Потери в резонаторе определяются суммой диэлектрических потерь Pvd и потерь на нагревание Pvs:

Ру = Pvd + Pvs, где Pvd и Pvs задаются формулами:

III (е”

+ (kZi )2 [(xf )2 (ZI!2 (xf) - Z0I(xII )Z? (xf)) - (2 / я)2 ]}+

Pvd _ ® 0 Z ^ j Wej, здесь Wej определены формулой (8),

Pvs -Am{Z ZA1A j{R413(1, j)xIZI(xI)xIZI(xI) +

1=0j=0

+ (1 -51j)[(-1)1+jR2 + R5] x

_ (xI)2Z0(xI)xIZI(xI) -xiIZI(xiI)(xI)2ZI0(xI)

X ( I)2 ( K2

(x1) -(xj)

+ 51j[R1(1 + 510)(2/л)2(/1 /2b) + (R2 + R5)/2 x x [(2 / я)2 - (xI )2 (ZI2 (xI) - Z0 (xI )Z2 (xI))]]} +

+ 4^Cp{(1 + 510)(kIII)2 x

s3 1=0

x [(xP)2 (Z0II2 (xIII) + Z1nI2 (xIII))] +

+ (kZ1 )2[xIn2 (Z^2 (xfI) - Z0n (xfI )z2!I (xiIIX))]} =X Wej

j=I

ej,

(8)

W =

m

0Am 11 ^ * '2

4 1=0

{ Z A1 (1 + 510) x

x [(2 / я)2 - (xI )2 (ZI2 (xI) - Z0 (xI )Z2 (xI))] +

да 2

+11 ZB12(1 + 510) x

1=0

II 2 II2 II II II II II 2

x [(x1 ) (Z1 (x1 ) - Z0 (x1 )Z2 (x1 )) - (2/ %) ] +

да 2

+ g Z C12(1 + 510 )x

1=0

[( III)2(ZIII2( III) ZIII( III)ZIII( III))]} (Q) x[(x1 ) (Z1 (x1 ) - Z0 (x1 )Z2 (x1 ))]} • (9)

Здесь коэффициент Am, m = 0,1,2,... — произвольный нормирующий множитель; A1, B- , C1 — нормированные коэффициенты A1, B1, C1, соответственно:

2 2 A1x?Z[(x1)12(1,j)

Bj=-^

II II II , j 0,1,2V..,

(1 + 5 j0)/1xIIZII(xII)

+ Z Z B1 Bj{(1 -51j)[(-1)1+jR2 + R4] x

1=0j=0

xIIZII(xII)xIIZ0I(xII) - (xII)2Z0I(xII)xIIZ1I(xII)

X (xII)2 -j +

+ 51j[R3(1 + 510)(2/л)2 l1/2a + (R2 + R4)/2 x x [(xII )2 (ZII2 (xII) - Z0 (xII )Z2I (xII)) - (2 / я)2 ]]}

<X> . .

+ ZZ C1Cj{(1 -51j)[(-1)1+jR4 + R5] x

1=0j=0

x [xIIIZIII(xIII)(xIII)2z0II(xIII) --(xj^Z^xj^xf Z^xf Mx^)2 -(xIn)2 + ■81iRl±R5(xlIII)2 x

1j

2

III2 III III III III III X (Z1 (x1 ) - Z0 (x1 )Z2 (x1 ))} •

В выражении для Pvs величины Rk , k=1,2,3,4,5 вычисляются по формуле Rk =-\]®0 Цщ/2сk , где a k означает поверхностное сопротивление k-й частичной поверхности.

5. Выводы

1 • В строгой постановке решена задача отыскания собственных частот колебаний электрического типа в цилиндрическом резонаторе со свободной при-осевой областью и двумя независимыми элементами настройки.

20

РИ, 2004, № 4

2. Для рассматриваемой структуры получено дисперсионное уравнение, из которого определяются собственные значения. Оно представляет собой равный нулю определитель бесконечной системы. Его порядок зависит от необходимой точности расчетов. На основе [17] можно ожидать, что расчетная частота уже при порядке системы N > 7 и таком же количестве слагаемых должна хорошо согласовываться с экспериментальной.

3. Выведена формула для определения добротности и резонансного сопротивления структуры. Полученные точные аналитические представления дают возможность произвести необходимые численные расчеты, что представляет перспективу данного исследования. При вычислении добротности учитывается конечная проводимость разных участков поверхности резонатора.

Литература: 1. Ukrainian URSI Committee // Радиофизика и радиоастрономия. 1996. Т.1, №1. С. 125-158. 2. Вайнштейн Л.А., Маненков А.Б. Коаксиальные резонаторы // Радиотехника и электроника. 1973. Т.18. Вып.

9. С. 1777-1784. 3. Гапонов А.В. К теории тонких антенн в полых резонаторах // ЖТФ. 1955. Т. 25. Вып. 6. С. 10691084. 4. Гапонов А.В. Возбуждение полых резонаторов тонкими антеннами // ЖТФ. 1955. Т. 25. Вып. 6. С. 10851099. 5. Капица П.Л. Свободный плазменный шнур в высокочастотном поле при высоком давлении // ЖЭТФ. 1969. Т. 57. Вып. 6. С. 1801-1866. 6. Капица П.Л., Филимонов С.И. Установка для получения свободного плазменного шнура. Определение тока и сопротивления шнура // ЖЭТФ. 1971. Т. 62. Вып. 3(9). С. 1016-1037.

7. Кириленко А.А., Масалов С.А., Шестопалов В.П., Шинкаренко В. Ф. Исследование спектра собственных частот магнитных типов колебаний в цилиндрическом резонаторе с коаксиальным кольцевым выступом.

Харьков: Институт радиофизики и электроники АН УССР. Препринт №37. 1974. 53с. 8. Pournaropoulos C.L., Misra D.K. The coaxial aperture electromagnetic sensor ant its application in material characterization. Means. Sci. Technol. 8(1997). Р. 1191-1202. 9. Xu Y. and Basisio R.G. Nondestructive measurements of the resistivity of thin conductive films and the dielectric constant of thin substrates using an open-end coaxial line. IEE Proc. H 139, 1992. Р.500-506. 10. Третьяков О.А., Чумаченко С.В. Построение модового базиса для резонатора сложной формы // Радиоэлектроника и информатика. 1998. № 1. С. 12-18. 11. Слипченко Н.И., Костычев Ю.Г., Золотарев В.А. Оценка эффективности метода Трефтца при анализе электродинамических систем для СВЧ диагностики полупроводников и диэлектриков // Радиоэлектроника и информатика. 2001. № 1. С. 20-24. 12. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука, 1967. 320с. 13. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1978. 544с. 14. Орлов С.И. Расчет и конструирование коаксиальных резонаторов. М.: Сов. радио, 1970. 254 с. 15. Основы теории колебаний / В.В. Мигулин, В.И. Медведев, Е.Р. Мустель, В.Н.Па-рыгин / Под ред. В.В. Мигулина. М.: Наука, 1978. 392с.16. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с. 17. Kuhn E. Untersuchung eines kapazitiv belasteten koaxialen Hohlraumresonators//Archiv Der Elektrischen Ubertragung (A.E.U.). 1968. Band 22. №12. S.557-566.

Поступила в редколлегию 24.12.2004

Рецензент: д-р физ.-мат наук, проф. Чурюмов Г.И.

Слипченко Николай Иванович, канд. техн. наук, профессор, проректор по научной работе ХНУРЭ. Научные интересы: радиофизика и электроника. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 702-10-20.

РИ, 2004, № 4

21