Математическая модель электродинамических систем для СВЧ диагностики анизотропных полупроводников и диэлектриков Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАДИОТЕХНИКА

УДК621.317.799

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДЛЯ СВЧ ДИАГНОСТИКИ АНИЗОТРОПНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ

СЛИПЧЕНКО Н.И.___________________________

Модифицированный метод Трефтца применяется к расчету полой электродинамической системы коаксиального типа, содержащей среду с анизотропной диэлектрической проницаемостью. Предлагаются характеристические уравнения для резонансных частот и добротности резонатора. Исследуется влияние основных геометрических размеров и компонент тензора диэлектрической проницаемости на резонансные свойства системы. Обсуждается возможность применения разработанных математических моделей для диагностики полупроводниковых материалов на СВЧ.

1. Введение

В задачах моделирования СВЧ сенсоров для диагностики полупроводников, как правило, предполагается изотропный характер их электрофизических параметров, в частности, диэлектрической проницаемости и проводимости. Между тем, оценка влияния фактора анизотропии материалапредставляетзначительный интерес. Особую значимость этот вопрос приобретает в связи с необходимостью определения параметров современных материалов дл микро- и наноэлектроники. В связи с этим актуальна задача математического моделирования СВЧ резонансных систем, содержащих анизотропный полупроводник, в частности, легированный полупроводник, помещенный в магнитное поле.

2. Постановка задачи

Физическая модель рассматриваемой электродинамической системы (рис.1) конфигурационно аналогична исследованной в [1]. Резонатор имеет коаксиальную часть I и измерительную камеру II, частично заполненную образцом 1. Магнитное поле направлено вдоль оси.

Рис. 1. Коаксиальный резонаторный сенсор

Предполагается, что диэлектрическая проницаемость образца описывается тензором, компоненты которого, в общем, комплексные величины:

- Ша 0 N

S = isa Є 0

10 0 Sz у

(1)

Рассмотрим аксиально-однородные колебания низшего типа - квази ТЕМ.

3. Определение собственных колебаний резонатора

Решение основано на результатах общей теории цилиндрических волноводов с анизотропным заполнением [2]. Для определения собственных колебаний воспользуемся методом декомпозиции, в соответствии с которым весь объём условно разделим плоскостью z=0 на две ограниченные цилиндрические области. В подобластях 1 и 2 области II можно представить поля в виде кусочно-определенных поперечных векторных функций. В сечении z=0 эти функции имеют вид:

^±n ЧЕГ + ФоЕ ф

= - %

un(r)

+ Іф0к2Р4-

Cn^l (%nr)

1

vn(r) для 1

DnY1II(Xnr) для 2

Ьїл - r0Hr + Ф0Нф -

- 2 |vn(r) _

= - r)PnqWn \ п + i90Wn

[DnYn(Xnr)

ff>n(r) для 1 (2)

CnZatanr) для 2

Здесь un (r) = An s1n J1(T1nr) - Bn s2n J1(Y2nr);

vn(r) = An J1(Y1nr) - Bn J1(Y 2nr);

®n(r) An 4n J1(Y1nr) Bn^2nJ1(y2nr);

An = t2n[Y2n J0(Y2nS) ZII(Xn8) "Xn ^z ^(У2п8) Z0W)];

Bn = tta[Y1n J0(Y1n^(Xn8)-Xn ^ J1(Y1nS)Z0I(XnS)];

C ®n(§) . D vn(8) .

Cn MO.. S4; Dn лЧС ;

Zf(x n S)

Y1II(X n S)

ZkI(Xnr) = N0(xnR)Jk(Xnr) - J0(XnR)Nk(Xnr);

Y,kI(X nr) = N1(x nR)Jk(X nr) - J1(X nR)Nk(X nr); к = 0,1;

Wn = —°ctg(Pnh) - импеданс n-й волны анизотроп-

P n

ного волновода; %^ = kf, -рn;

4

РИ, 2007, № 4

s1,2n - коЄЦ-Рn -Уі22п; tl,2n - коЄ±Ц-Р2 -у2,2п;

ЄД

El = Е Rn ї JLn, n=1

Иї = Е Rnhlfn-

n=1

(6)

Уі,2п = ±1

к°ц(єz -В± ) -РП(^^ - 1) s

2

+q2 +

1

+—

2

k0q (sz + єд)-РП(1+—)

є

где pn - постоянная распространения n-й водної, определяемая из дисперсионного уравнения, возникающего при реализации условий для компонент Е и Н на границе между подобластями 1 и 2 области II:

det

W) І1(У 28) УЛ(У18) y2J0(y 28) t1J1(y18) t2J1(У28)

zii(xб * 8)

Y1n(xS) px Yon(xS) 0

^УЛ(У18) t2y2Jo(y28) szX Z^X8) 0

= 0.(3)

0

0

Возникающее из (3) множество значений jp^ j определяет множество частных решений {* U IL„)

уравнений Максвелла, удовлетворяющих всем граничным условиям в области II. Опуская относительно несложный, но весьма громоздкий вывод соотношения ортогональности, представим его результат для

частных решений

, являющихся функци-

ями только координаты г:

R ^ ~

J[^Дс х h!„]rdr

0

-8k„Nn,

(4)

В области I аналогичное базисное пространство возникает как совокупность Е - и Н - частных решений уравнений Максвелла при соответствующих граничных условиях. Привлечение Н - решений в области I вызвано необходимостью обеспечения полноты системы частных решений, посредством которых и представляется искомое решение в области I. В сечении z=0 указанные функции имеют вид:

^ ДЕп = ?0ZI(X Enr).

Е-решения: -1 і .

hДЕп - !90WEn Z1(X Enr);

Енп = icP 0Y1I(X Hnr). 1

Н-решения: h 1h = f0wHnY;<xH„r);l (8)

где „ = 1,2,..; zI(XE„r) = ?1(r) ; Y1I(xmr) = B''(r) ;

VMEn VMHn

BE(r) = N0(XEnR0)J1 (XEnr) _ J0(XEnR0)N1(XEnr) ;

BhM = N1(XHnR0)J1(XHnr) _ J1(XH„R0)N1(XHnr) ;

WE„ =:k^ctg(PEng); WH„ =-^Hnctg(PH„g);

Pe„ ’ k0

Pe,H„ - k2 _Xe.

Hn

• MEn = J BE(r)rdr-

Mh„ = J BH(r)rdr.

R

R

где N„ = W„M„,

1 б R

M„ = -Ju„(r)ro„(r)rdr + C° JZII2(X„r)rdr +

є 0 б

+ P°k2p q2

б R

Jv°(r)rdr +pD„ JY1II2(x„r)rdr

0 б

(5)

Условимся в дальнейшем считать функции І ^„, h5„ нормированными путем деления их на т/ЙЛ и в правой части (4) вместо M„ введем S„ = M„/|M„|.

Множества (Хеп}, (Xип} порождаются уравнениями

Z0(xEnp) = 0 , Y1i (х Hn р) = 0 соответственно, и полностью определяют соответствующие базисные функции. Среди возможных частных Е-решений имеется еще одно, упоминавшееся ранее, с собственным значением х Е0 = 0 :

^ДЕ0 - ?0 ■

VM

E0

hI - їй WE0 1

hДЕ0 - !ф0 '

д/M

E0

1

r

(9)

В работе [3] обосновано представление неизвестного поперечного поля в резонансной системе в области II

рядом Фурье в базисе Трефтца {ijL„,h5„}, которое в сечении z=0 имеет вид:

где ME0 = 1„—. W]E0 = ctg(k0g) .

P

Также имеет место соотношение ортогональности между различными элементами функционального пространства для обоих типов решений [4]:

РИ, 2007, № 4

5

Ro

І

[^J_EHkn x hJ_EHkn] rdr - iSEHkn

P

W]jn,n = 0,1,2,... W]Hn,n = 1,2,...

.(10)

6 Ro

Gnm = J“n (r) Z1 (XEmr) r dr + Cn J Z?(Xnr) Z1 (XEmr) r dr P б

С учетом изложенного выше правомерно представление полей резонансной системы в области I для сечения z=0 в виде векторных рядов Фурье:

EJ_ - ЕFmJ_Em + ЕTnJ_Hn, m=0 n=1

HJ_ = E FmhJ_Hm + E TnhlHn. m=0 n =1

(11)

Представленные в (6) и (11) выражения для полей резонатора в соответствующих его частях должны описывать единое поле во всем объеме, тождественно совпадая на общем множестве точек в плоскости z=0, и удовлетворять граничному условию: E5 = 0 на отрезках [0,р], и [R.0,R]. Для реализации этого требования полагаем, что существует непрерывная функция |(r) = E^(r,0), обладающая свойством:

_ (0 на r є [0,р] u [R0,R],

l(r) = 1 I (12)

[Еі (r,0) на r є (p,R0). K ’

Поскольку EjI(r,0) представлено рядом Фурье (6), то, спроецировав его на нормированный базис ~±n и воспользовавшись соотношением ортогональности (4), получим:

R _ ~

- SnRn = J K(r) X h±n]z0rdr. (13)

0

При подстановке (12) в (13) сокращаем интервал интегрирования до (p,R0), поскольку на остальных участках (0,R) подынтегральная функция должна быть равна нулю. Но на интервале (p,R0) должно выполняться также и условие: ^(r) = Ej_(r,0), что позволяет вместо (13) записать:

- S

n

Rn

R0

I

[ЕІ х h±n]rdr.

р

(14)

Подставив в (14) первую формулу из (11), с учетом

(7) и (8), и h ^n, -согласно (2) (без множителя Wn), приходим к алгебраической форме:

SnR

n

ЕGnmFm + q ЕQnkTk, n _ 1,2: m=0 к=1

(15)

Далее потребуем удовлетворения равенства векторных функций магнитного поля H^ (r,0) и H^(r,0) на отрезке [p,R0], воспользовавшись их представлениями, приведенными в (6) и (11):

“ -1 “ -1 “ - II

Е Fmh_LEm + Е Tnh_LHn = Е RkhJ_k. (16)

m=0 n=1 k=1

Проецируя равенство (16) на элементы базиса 1 ij_H путем векторного умножения на них слева и учитывая (10), получаем линейные алгебраические формы:

W^Fs = Е WkGskRk, s = 0,1,2...;

k=1

- wHrTr = q E WkQrkRk, r k=1 0,1,2... (17)

Для удобства дальнейших преобразований представим алгебраические формы (15) и (17) в матричном виде:

- GF + qQf = SR, (18)

W]EF = Gwr, (19)

- wHT = qQwR, (20)

где G и Q - прямоугольные матрицы; G и Q -транспонированные матрицы G и Q; S, wE,wH,W -

диагональные матрицы; F,T,R - вектор -столбцы соответствующих неизвестных коэффициентов.

Полученная система матричных уравнений может быть разрешена двояко: либо путем исключения векторстолбцов F, T , либо исключением R .

В первом случае имеем:

[G(WE) _1G + q2Q(wH) _1Q + SW _1]R = 0. (21)

Во втором - приходим к системе 2-х матричных уравнений:

(WjE + GVG)F - qGvQT = 0,

- qQVGF + (WH + q2QVQ)T = 0,

(22)

где Qnk

рП

s

J Vn(r)Y1I(XHkr)rdr + P

R0 II I

+ Dn J Y1II(Xnr)Y1I(XHkr)rdr

где V = S 1W - диагональная матрица.

Из условия существования нетривиальных решений (21) и (22) возникают характеристические уравнения либо в импедансной формулировке

det

G(WE) _1G + q2Q(wH)_1 Q + SW _1

0, (23)

6

РИ, 2007, № 4

либо в адмиттансной

f WE + GVG - qGVQ ^ det

l- qQVG WHH + q2QVQ ,

которые позволяют определить частотный спектр собственных азимутально однородных колебаний и исследовать влияние параметров анизотропной диэлектрической нагрузки на резонансные характеристики.

0, (24)

Характеристическое уравнение для E - колебаний приводится к матричному виду либо в импедансной формулировке

det

G(wE) _1G + sw _1

= 0

либо в адмиттансной

(29)

det

wE + Gvg

= 0

(30)

Адмиттансная форма характеристического уравнения более предпочтительна, несмотря на повышенный порядок определителя, поскольку при определении поля в резонаторе позволяет выразить амплитуды высших «гармоник» поля в областях I и II через единичную амплитуду основной ТЕМ гармоники, которой, в основном, описывается структура поля низшего колебания. Из структуры матрицы в (24) видно, что наличие фактора анизотропии (q) приводит к возникновению связи между колебаниями E - и H -вида в коаксиальной части резонатора и, очевидно, к смещению резонансных частот невозмущенного резонатора. В предельном случае исчезающе малой анизотропии нагрузки (q=0) эти колебания не связаны. Из характеристических уравнений также следует, что изменение направления подмагничивания на противоположное не влияет на резонансные частоты системы.

В случае диагональной анизотропии диэлектрика (єa = 0, є ф єz) дисперсионное уравнение (3) распадается на независимые для Е 0П - и - волн соот-

ветственно:

УЛ(У^) ZII(x8)-srXJi(yi8)z0I(x8) = 0, (25)

У2І0 (У2§) Yin (%S) - ЦХ Ji (У28) Y(5I (%S) = 0, (26)

где матрицы W]E, V, S имеют прежний смысл, а элементы матрицы G вычисляются по формуле:

Gkm -

1

VMEk

б

J J1(yikr)Zl(XEmr)rdr +

0

+ ck J zII(Xkr)Zl(XEmr)rdr

Анало гичные постр оения для коле баний Н-типа дают выражения для собственных решений в области II:

^Hin = Іф0J1(y2nr) hHJ_n =-4)WnJ1(y2nrX

igln = i90DnYiII(Xnr),hH2^n =

-i0WnDnYiII(Xnr), (31)

где Dn

Ji(y2§)

YiII(X n 8)’

Mn = J J2 (У 2nr)rdr + Dn J[YlII (Xnr)]2rdr .

0 б

Характеристическое уравнение в импедансной формулировке имеет вид

2,2 o2 2 sz 2

где у2 - k0eE_P > Уі У2.

Є

Собственные решения для E0n -волн в сечении z=0 в (1) и (2) подобластях приобретают простые выражения:

*E±n = Л)1 J1(yinr), hEJ_n = ^0^1(У1п4 s

^Eln —^W), hE2_[n = ІФ0WnCnZIn(Xnr) , (27)

det

Q(WH) _1Q + SW _1

= 0

(32)

в адмиттансной соответственно

det

WH + QVQ

= 0

(33)

где элементы матрицы Q вычисляются по формуле:

Qkm -

y/M

Hk

U

J J1(y 2kr)Y1I(X Hmr)rdr +

1

где C n

Ji(yin 8)

z?(x n S)5

Wn

|°ctg(P nh) P n

+ Dk J Y^xkr)Y/(xHmr) rdr

б

R

Соотношение ортогональности (4) сохраняется, но выражение для величины Mn приобретает иной вид:

1 б R

Mn = -J J0(Уlnr)rdr + с2 J [Z?(X nr)]2rdr . (28)

є 0 б

Заметим, что характеристические числа E0m колебаний зависят от обеих компонент диагонального тензора диэлектрической проницаемости (є, єz), а характеристические числа H0m колебаний - лишь от одной - (є). Это обстоятельство имеет важное значение для целей СВЧ диагностики веществ соответствующего типа.

РИ, 2007, № 4

7

4. Результаты численного моделирования

Численное исследование электродинамической системы проведем для квази-TEM колебания путем решения характеристического уравнения (32) с диагонально -анизотропным диэлектрическим образцом. На основном виде колебаний (квази-TEM) коаксиальный короткозамкнутый отрезок интерпретируется как индуктивная реактивность, а нагрузка - как последовательно присоединенная статическая емкость. Это подтверждается результатами расчетов, представленными графиками зависимости характеристического числа на рис.2-6 для резонатора с базовыми размерами: Я=Ко=18мм, §=22,5мм, р = 8 =5мм, Ь=4,4мм. Очевидно, что увеличение радиуса диэлектрического образца приводит к возрастанию концентрации электрического поля колебания в его объеме, а значит, о бусловливает увеличение ёмкости нагрузки и уменьшение резонансной частоты (рис.2).

Увеличение радиуса металлического экрана R практически не влияет на резонансную частоту, что позволяет распространить получаемые результаты расчета на случай резонатора с коаксиальной апертурой при достаточно большой величине р /Ro (рис.2-4).

Рис. 2. Зависимость резонансной частоты от радиуса образца

Закономерен и рост резонансной частоты с увеличением толщины h диэлектрического образца, приводящий к уменьшению емкости диэлектрической нагрузки (рис.5), и уменьшение резонансной частоты при увеличении длины коаксиального отрезка.

Рис. 5. Зависимость резонансной частоты от толщины образца

Г рафики зависимости характеристического числа от компонент тензора є, є z диэлектрической проницаемости (рис .6-7) свидетельствуют о преобладании концентрации продольного электрического поля Ez над радиальным E r .

7,2 С =10,5

ш, є =11

ГГц _ .

6,0

10 10,5 11 ег 11,5

Рис.6. Зависимость резонансной частоты от продольной составляющей тензора диэлектрической проницаемости образа

6,73

ГГц

6.60

С =10,5 С,-11

fc=m=10

— fc=m=15

1,0 1,111

1,944

Рис. 3. Зависимость резонансной частоты от радиуса экрана образца

6 ------------------------------------------------------------

0 0,0356 ОД 111 0,1667 р/рч 0,2778

Рис.4. Зависимость резонансной частоты от радиуса 8 коаксиала

Рис. 7. Зависимость резонансной частоты от поперечной составляющей тензора диэлектрической составляющей образца

Это подтверждается также расчетами зависимостей резонансной частоты юо(є",eZ) и мнимой части собственного волнового числа koi(e ,ez) (рис.8), где є",&'Z - мнимые компоненты элементов тензора диэлектрической проницаемости.

РИ, 2007, № 4

Рис. 8. Зависимость резонансной частоты и постоянной затухания от мнимых компонент тензора диэлектрической проницаемости образца

ром и штрих-пунктиром, назовем особыми точками. Заметим, что характеристические уравнения (23) и (24) при значениях р2, удовлетворяющих (34), теряют смысл, поскольку матричные элементы матриц G и Q в этих точках не существуют. Следовательно, при поиске корня характеристического уравнения необходимо изолировать те значения волнового числа kos, при которых дисперсионные кривые собственных волн, используемых для представления поля в резонаторе, пересекаются с прямыми (34). Графики зависимостей рn(ko) помимо определения особых точек

позволяют определить предельное значение ko, до которого все собственные волны в волноводе с образцом являются запредельными (рП < 0). При условии є = єz,q2 << 1 особые точки расположены на

5. Сравнительная оценка возможностей резонаторного сенсора

Для сравнения возможностей резонатора с анизотропным диэлектриком (q Ф 0 ) предварительно проанализируем результаты решения задачи о круглом волноводе с неоднородным заполнением его поперечного сечения для построения системы собственных решений, которая затем используется для представления поля резонатора в области расположения образца.

С формальной точки зрения каждому значению по-стояннойраспространения рn при заданном значении

ko, удовлетворяющему дисперсионному уравнению (3), соответствует пара поперечных векторных функций І5n, h 5n, согласно (2). При отсутствии потерь

функции un(r),ron(r),vn(r) всегда вещественны и существуют на всем непрерывном множестве значений рn и ko, исключая подмножества, определяемые соотношениями:

ps = ko, Р2 = (1 + q) єр k2, P2

1 2 2

—q epko при s = sz

P2 = 1 -

/ \ Г / \21

q2 (1 + ^ 1 + 2q q2 4-- ]

1 sj ^ S і Є )

1

(34)

2

при q >

1

При указанных значениях p2 дисперсионное уравнение (3) обращается в тождество, так как при этом либо

у2s = 0 , либо Y1s = у2s. Указанные подмножества точек расположены на соответствующих прямых, а точки пересечения дисперсионных кривых Рn(ko) с этими прямыми, которые на рис.9 обозначены пункти-

прямой Ps

ут/єр qko

а остальные особые точки

находятся вне пределов существования квазистатических колебаний.

Рис. 9. Дисперсионные кривые для анизотропного волновода и особые точки характеристической функции

Собственные типы волн в волноводе с образцом представляют собой квази-TM и квази- TE волны и

при q = o вырождаются в TMno иTEno волны, соответственно. Поведение дисперсионных кривых с изменением q при малых значениях волнового числа k o представлено на рис .Ю. Видно, что в области значения ko = o.3 постоянные распространения, являющиеся мнимыми, изменяются незначительно, имея монотонный характер, до значений q < o.3 (рис. 11) и далее с ростом ko переходят в вещественную область значений.

РИ, 2oo7, № 4

9

Чіі

о

TNI lo 0+BJ

1,61 ТЕ ю

2fA\ TM 2D

3,2І

ТЕ IQ 4 fli ТМ зо 4T8i ТЕ ЗО 5,6І

коН^Зсм1 єг=11 с =10,5 0 ОД 0,2 03 0,4 q

1111

кТМю

КТЕю

кТМю

kTEjo

kTMjo

кТЕзо

Рис. 10. Дисперсионные кривые в анизотропном волноводе

Рис. 11. Дисперсионные кривые и интервалы существования характеристической функции

При q и 0.35 (рис.12) дисперсионные кривые для квази-TE10 и квази-TM20, квази-TE20 и квази-TM30 при определенных значениях волнового числа попарно «схлопываются» и превращаются в комплексные волны; затем, начиная с некоторых значений

k0, они снова возникают. При таком положении использование собственных волн анизотропного волновода для представления поля собственного колебания в резонаторе при больших значениях анизотропии

сомнительно из-за их неполноты. При є^єz,

q >

1

особые точки находятся в точках пересе-

чения дисперсионных кривых с графиками

Численные расчеты показали, что в квазистатическом случае, когда в анизотропном волноводе ни одна волна не является распространяющейся, параметр недиагональной анизотропии q не влияет на величину характеристического числа.

Рис. 12. «Схлопывание» дисперсионных кривых в сильно анизотропном волноводе

Соответствующие результаты расчетов приведены в таблице.

q 0,01 0,025 0,04 0,1 0,2 0,3

Ц>1 0,29378 0,29378 0,29378 0,29378 0,29378 0,2937

kp2 0,36384 0,36384 0,36384 0,36384 0,36384 0,3638

Это обстоятельство не позволяет использовать рассматриваемые колебания для установления ожидаемой связи между резонансной частотой и концентрацией свободных носителей заряда. С появлением анизотропии (q Ф 0 ) в резонаторе, как видно из таблицы, возникают два собственных колебания квази-TEM типа. Такое положение, очевидно, объясняется. усложнением структуры поля как в диэлектрическом образце, так и в коаксиальном отрезке, что приводит к «расщеплению» исходного колебания.

В заключение отметим, что в случае диагональной анизотропии диэлектрического образца (q = 0, є Фе) монотонный характер зависимости резонансной частоты (рис.13) для квази-TEM колебания позволяет решить практически задачу определения неизвестных компонент тензора диэлектрической проницаемости.

Ps

q

2

Черk0<

1 + ^-

S

-1

1/2 Для этого предварительно из уравнения (32) по экспериментально определенному значению резонансной частоты H01 колебания вычисляют величину є. Далее, > подставляя её значение и экспериментально определенную резонансную частоту квази-TEM колебания в уравнение (29), вычисляют величину є z. При этом «чувствительность» є z к изменению характеристического числа на порядок выше «чувствительности» є.

10

РИ, 2007, № 4

Рис. 13. Зависимость резонансной частоты от компонент тензора

6. Оценка погрешности

Для выяснения степени и характера влияния зазора между коаксиальной частью и диэлектрическим образцом рассмотрим электродинамическую систему, представленную на рис.14.

Рис. 14. Осевое сечение полой электродинамической системы с полупроводниковым образцом и воздушным слоем

Опуская промежуточные выкладки и полагая 5 = R , можно прийти к характеристическому уравнению для колебаний E0m -типа. Следует учитывать только то, что

1 _8d-V^tgcpm1 о yii _ ik pm1_____________

pmtg(pmh)+рт^(Рш о

NIJ

1 r*

R2

2

J1 (am),

где am - корни функции Jo (a), h = H и

D

mn

am

2 I2 Xm XEn

R

J0I am^l Z1(xEnR0) J0 [ «m £ | Z1(xEnP)

R0

R

„ (RIII)2 _ 2 _ k2 (RII )2 _ 2 _0 k2

где Xm „ ДРт ) Xm k0,(Pm) Xm edk0-

R

Нетрудно заключить, что отношение элементов диагональных матриц Y1IINm1 для случаев 0 и Q= 0 с

учетом того обстоятельства, что (рmm)2 < (Р “)2, выражается соотношением:

Следовательно, наличие воздушного зазора влечет незначительное увеличение резонансной частоты.

7. Выводы

В данной статье развита математическая модель резонаторного измерительного сенсора при использовании его для определения пар аметров полупроводника, диэлектрическая проницаемость которого при наличии внешнего магнитного поля является анизотропной. Научная новизна полученных результатов состоит в следующем.

1. Для расчета параметров полого резонатора коаксиального типа, содержащего среду с анизотропной диэлектрической проницаемостью, применен модифицированный метод Трефтца. Получены характеристические уравнения для резонансных частот и добротности резонатора.

2. Проведена проверка полученных выражений с использованием случаев, допускающих простую физическую интерпретацию.

3. Из рассмотрения альтернативных вариантов показано, что волны в круглых волноводах с образцом представляют собой квази-TM и квази- TE колебания. При больших значениях анизотропии их использование для оценки параметров полупроводников сомнительно, так как поведение дисперсионных кривых не позволяет применять рассматриваемые колебания для установления ожидаемой связи между резонансной частотой и концентрацией свободных носителей заряда.

4. Показано, что в случае диагональной анизотропии диэлектрического образца можно решить практически задачу определения неизвестных компонент тензора диэлектрической проницаемости. Для этого предварительно по экспериментально определенным значениям резонансных частот Н 01 и квази-TEM колебаний вычисляют сначала величину є, затем величину є z. При этом «чувствительность» є z к изменению характеристического числа на порядок выше «чувствительности» є.

5. Проведен анализ степени и характера влияния зазора между коаксиалом и диэлектрическим образцом, который показал, что наличие воздушного зазора не влечет значительного увеличения резонансной частоты и, следовательно, результирующей погрешности.

Литература: 1. Слипченко НИ., Костычев Ю.Г., Золотарев В.А. Оценка эффективности метода Трефтца при анализе электродинамических систем для СВЧ диагностики полупроводников и диэлектриков // Радиоэлектроника и информатика. 2001. №1. С.20-24. 2. ГуревичА.Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках. М.: Наука,1973. 591 с. 3. Никольский В.В. Автоматизированное проектирования устройств СВЧ. М.: Радио и связь, 1982. 272 с. 4. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Сов. радио, 1957. 367 с.

Поступила в редколлегию 03.11.2007 Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф.Чурюмов Г. А.

1+се d р m^ mh)

1+ CS d

(p m1)2

p is

< 1.

Cth(P mh)

Слипченко Николай Иванович, канд.техн.наук, профессор, проректор по научной работе ХНУРЭ. Адрес: Украина, 611бб, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. +38-057-702-10-13.

РИ, 2007, № 4

11