Модифікована еліптична система координат для задач математичної фізики з симетрією еліптичного циліндра Текст научной статьи по специальности «Физика»

4. Van't Hof J. P. Eigenfrequencies of a Truncated Conical Resonator via the Classical and Wentzel-Kramers-Bril-louin Methods / J. P. Van't Hof, D. D. Stancil // Transactions on Microwave Theory and Techniques. - Vol. MTT-56. - 2008. - No. 8. - P. 1909-1916.

5. Справочник по специальным функциям / под. Ред. M. Абрамовица и И. Стиган. - М. : Наука, 1979. -830 с.

6. Григорьев А. Д. Электродинамика и микроволновая техника / А. Д. Григорьев. - СПб. : Лань, 2007. -704 с.

Надшшла 21.04.2009

Дослгджено вплив на резонанснг властивостг й структуру електромагттного поля геометрп резона-mopie, виконаних у виглядг сферичного сектора й усгче-ного сферичного сектора. Показано, що розходження

м1ж резонансными частотами коливань типу Н011, Enl i Ец2 у бiльшiй Mepi визначаеться кутом при eeprnuii сферичного сектора. Виявлено, що в усiчeнuх резонаторах для E тuпiв коливань 3i зменшенням об'ему резонатора його резонансна частота зменшуеться.

The influence of spherical and truncated spherical sector geometrical structure resonators on resonance frequency and em field structure is investigated. It has been shown that the resonance frequency discrepancies for H0ii, Enl and Eii2 modes are mainly defined by vertex angle of spherical sector. For E modes in truncated cavities an effect of resonance frequency diminishing with cavity volume reduction has been detected.

УДК 537.612, 537.635

i. В. Зависляк, Г. П. Головач, M. 0. Попов

М0ДИФ1К0ВАНА ЕЛ1ПТИЧНА СИСТЕМА КООРДИНАТ ДЛЯ ЗАДАЧ MATEMATH4H0Ï Ф1ЗИКИ З СИМЕТР16Ю ЕЛ1ПТИЧН0Г0

ЦИЛ1НДРА

Представлена opuгiнaльнa мoдuфiкoвaнa eлinmuчнa система кoopдuнam, розглянуто и влaсmuвoсmi, нaвeдe-но кopuснi сniввiднoшeння. Зanponoнoвaнo зaсmoсoвувa-mu цю сuсmeму кoopдuнam npu poзглядi зaдaч мameмa-muчнo'i фiзuкu, якi мaюmь сuмempiю eлinmuчнoгo цuлiн-дpa, зoкpeмa, зaдaч npo знaxoджeння влaснux хвшь i т-лuвaнь в xвuлeвoдax i peзoнamopax eлinmuчнoгo nepepiзу ma npoдeмoнсmpoвaнo npuклaдu и вuкopuсmaння.

ВСТУП

Для розв'язання багатьох задач математично! ф1-зики необхщно використовувати елштичну систему координат. Так, для електродинамжи 1 техшки як НВЧ, так 1 оптичного д1апазошв значний штерес ста-новлять елштичш хвилеводи 1 резонатори, як1 займа-ють пром1жне положення м1ж сво!'ми аналогами круглого та прямокутного перер1зу. В них, на вщмшу в1д кругло'! геометрп, зшмаеться азимутальне вироджен-ня власних хвиль 1 коливань, ф1ксуеться поляризация, розширюеться робочий частотний диапазон хви-левод1в, розр1джуеться спектр резонаторов [1, 2].

В стнхвильовш електродинамщ1 елштична система координат застосовувалася в [3], де розглядалися магштостатичш хвил1 в ел1птичному цил1ндричному феритовому хвилевод1. Характерною особлив1стю розв'язку е те, що при цьому магштостатичний потенциал (1 магн1тне поле також) повинш бути представлена у вигляд1 неск1нченних ряд1в з функций Матье (ззовш зразка) чи модиф1кованих функций

© Зависляк I. В., Головач Г. П., Попов М. О., 2009

16

Матье (всередиш зразка). При цьому розв'язок характеристичного р1вняння можливий лише наближе-ними числовими методами.

Метою дано! роботи е запровадження нового ефек-тивного анал1тичного методу анал1зу електродинам1ч-них задач в системах з симетр1ею елштичного цилш-дра i демонстращя Г! ефективност на приклад1 пов-ного аналiтичного розв'язання спектрально! задачi для поверхневих магнiтостатичних коливань (ПМСК) в феромагнiтних системах з геометрieю елiптичного цилiндра.

МОДИФ1КОВАНА ЕЛ1ПТИЧНА СИСТЕМА

КООРДИНАТ

Зазвичай, при розв'язанш задач математично! фь зики в областях, як мають симетрiю елштичного цилiндра, використовуеться стандартна елiптична система координат [3, 4], у яко! одна iз координатних поверхонь е елiпсом:

х = с ■ ch^- cos п, У = c ■ shsin n, г = г, (1)

де ne [-п, п], £, e [0, г e (, с - нашвфо-2 2,2 . , . кальна вщстань: с = a - b , де a i b - це вщповщно

велика i мала швом елшса, який в^пов^ае £, =

= const.

На площиш ху замiна змiнних (1) перетворюе внутрiшню область елiпса з твосями a i b на прямо-

ISSN 1607-3274 «Радтелектрошка. Гнформатика. Управлшня» № 2, 2009

I. В. Зависляк, Г. П. Головач, М. О. Попов: МОДИФ1КОВАНА ЕЛ1ПТИЧНА СИСТЕМА КООРДИНАТ ДЛЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧНО1 Ф13ИКИ 3 СИМЕТР1СЮ ЕЛ1ПТИЧНОГО ЦИЛ1НДРА

л

1

-с

Рисунок 1 - Конформне перетворення областей при замн (1)

Ф=Зл/2

Рисунок 2 - Координатт поверхт та орти МЕСК

кутну область пе [-п, п], 5е [0, 50], 50 = 2- 1п^а + ^ або, враховуючи пер1одичн1сть зм1нно! п, на смугу

5 е [0, £,о] (рис. 1).

При цьому розр1з х е [-с, с] переходить у пряму 5 = 0, а поверхня ел1пса - в 5 = 50. Аналог1чно зов-н1шня частина простору переходить у смугу £,е

е [50,-).

Недол1ком ц1е! системи координат е незручний пе-рех1д до полярно' системи координат (ПСК). У цьому випадку с ^ 0, 5^—, в1дпов1дно, для певного ви-разу потр1бно знайти подвшну границю при 11ш(...)

с^0 5^—

»5

одночасному виконанн1 умови Нш-= р, р -

с^0 2

рад1ус в ПСК. Д1йсно, за цих умов 11ш(с ■ $КЕ) =

с^0

( св5

= 11ш(с ■ сН%) = 11ш| —- I ^ р, 1 формула (1) переходить у в1домий вираз для ПСК.

се5

Якщо тепер у (1) одразу зробити замшу — = р, то отримуемо:

2 2 X = (р +--) ■ С08ф, У = (р--) ■ 8Шф,

4р 4р

г = г,

фе [-п, п],

ре [-^, —], г е (-—,—).

(2)

При цьому перех1д до полярно' системи координат здшснюеться простою п1дстановкою с = 0. Перетво-

рення (2) будемо вважати означенням модиф1кова-но! ел1птично! системи координат (МЕСК) 1 надал1 використовуватимемо як замшу змшних для розв'яз-ку поставлено' задач1. МЕСК у багатьох в1дношен-нях схожа з ПСК, що робить отримаш результати б1льш наочними.

Розглянемо тепер детально властивост1 МЕСК. Як вже було сказано, зв'язок з декартово! системою координат визначаеться р1вняннями (2), зворотне перетворення задаеться формулами:

. 2 1 81П2ф = -г-Х

2с2

х (с2 - х2 - У2 + д/х2(х2 + 2у2 - 2с2) + (у2 + с2)2 \

1

р =Т

X у ■ + ■

2 1 СОБф БШф

(3)

Конкретний кор1нь першого р1вняння системи (3) обираеться, виходячи з1 знак1в зм1нних х та у.

Координатн1 поверхн1 являють собою наб1р кон-фокальних ел1пс1в (р = Я = сошО, як1 описуються

р1внянням

У

Я + -

4Я

Я--

4Я

■ = 1, та г1пербол

х2 2

(ф = Ф = сошО: 2 Х 2---2 У 2— = 1, зображених

с2со82Ф с^1п2Ф

на рис. 2.

Ел1псу з п1восями а 1 Ь у дан1й систем1 координат а + Ь

в1дпов1дае значення р = —-—.

2

X

+

2

2

2

2

с

с

Розрахуемо масштабн1 множники Ламе для МЕСК:

дхТ+|дУ Т =

Эр) 1 Эр) ^

, с2 V с2 . 2

1--т- I +--т- Б1П2ф,

4р2 ) р2

Для того, щоб розглянути трансформац1ю областей, зробимо допом1жн1 перетворення:

и = р С08 ф, V = р 81П ф. Тод1 отримуемо:

(5)

, =, | эх I2+|Т =

Эф| 1 Эф

(' с2 | ( с2 | ^

1--г- I С082ф + | 1 +-г- I 81п2ф

4р2 I 1 4р2 I ^

кг = 1.

= ркр,

(4)

Бачимо, що при с = 0, формули (4) переходять у вирази для цил1ндрично1 системи координат (кр = 1, кф = р, кг = 1), як 1 мае бути. Якоб1ан МЕСК мае виг ляд:

Э(х,у,г)

Э(р,ф, г)

= р| 1 + —---^г С08(2ф)

Н| 16р4 2р2 ^

Якоб1ан дор1внюе нулю лише в двох точках: р = = с/2, ф = 0 та р = с/2, ф = п.

Скориставшись загальним виглядом оператора Лапласа в дов1льн1й кривол1н1йн1й систем1 координат [4]

ДУ = ■

1

к1к2к3

Э ( к2к3 ЭУ | + _д_ (_к3к1_ЭУ | + Э ( к1к2 ЭУ

Эх1 1 к1 Эх1 I Эх2 1 к2 Эх2 I Эх3 1 к3 Эх3 можемо обчислити лаплас1ан в МЕСК:

ДУ = ■

1

кркф

( .ЭУ1 +1 ЭУ

Эр 1 Эр ) р Эф2

Э2У Эг2 '

Диференц1альн1 оператори в МЕСК визначаються наступними формулами

gradУ = 1 ( Э

(_!ЭУ Л.ЭУ эУл

кр Эр ' ркр Эф ' Эг

Э

ЭА

= ркт Г ^ (ркр^ + к Я + "Эг' ркр Эф Эг

ЭЛр 1 ЭА^ Эг кр Эр

(Г0Ъ4)г Г £ (ркр А )^ к А

(гоМ)ф =

1 ( Э

и с2 1 Г с2

X = и1 1 + —^-I, у = VI 1 -

4(и2 + V2)

Побудуемо в1дображення:

2 = х + гу = и| 1 +

4(и2 + V2) )

4(и2 + V2)

+ ¿V! 1 -

с

с (и - ¿V) с

= и + гV +--т-т— = и + гV +

4(и2 + V2), 2

4(и2 + V2)

4(и + гV)

Позначивши W = и + гV, отримуемо, що

2 = W + ■

4W

(6)

Вираз (6) е в1домим конформним перетворенням, що переводить коло в ел1пс [5, 6]. Таким чином, перетворення зм1нних, що задаеться формулами (2), складаеться з двох частин: 1) конформне в1добра-ження (6); 2) перех1д в1д декартових зм1нних (и, V) до полярних (р, ф). В1дзначимо, що в [7], при роз-в'язанн! задач1 сп1нхвильово! електродинам1ки з си-метр1ею ел1птичного цил1ндра, використовувалися декартов! зм1нн1, зг1дно з (6). Це призвело до неф1-зично' розб1жност1 компонент магн1тного поля ПМСК у фокусах ел1пса 1 не дозволило авторам анал1тично побудувати розпод1л магн1тного поля. При викорис-танн1 МЕСК розб1жност1 у фокусах ел1пса не вини-кае.

Таким чином, при використанн1 (2) внутр1шня частина ел1пса з п1восями а 1 Ь переходить у смугу

Г с а + Ь! , . . ч

ре 2 —2— (з урахуванням перюдичноси по п) через пром1жну область у форм1 к1льця з внутр1шн1м 1 с 2

область - у смугу р е а + Ь, —^ (рис. 3).

Наведен1 вище сп1вв1дношення створюють п1дГрун-тя для використання МЕСК в задачах математично' ф1зики з симетр1ею ел1птичного цил1ндра, зокрема для анал1зу металевих, д1електричних та г1ротроп-них хвилевод1в та резонатор1в ел1птичного перер1зу.

СПЕКТРАЛЬНА ЗАДАЧА

ДЛЯ ФЕРОМАГН1ТНИХ СТРУКТУР

З СИМЕТР16Ю ЕЛ1ПТИЧНОГО ЦИЛ1НДРА

Продемонструемо метод розд1лення зм1нних на ос-нов1 застосування модиф1ковано' ел1птично' системи

с а + Ь . о •

зовшшшм рад1усами - та —-—, в1дпов1дно. Зовн1шня

18

1607-3274 «Радтелектрошка. 1нформатика. Управл1ння» № 2, 2009

2

р

2

с

2

с

Х

+

I. В. Зaвuсляк, Г. П. Гoлoвaч, М. О. Пonoв: МОДИФ1КОВАНА ЕЛ1ПТИЧНА СИСТЕМА КООРДИНАТ ДЛЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧНО1 Ф1ЗИКИ З СИМЕТР1СЮ ЕЛ1ПТИЧНОГО ЦИЛ1НДРА

1 э2г

Puсунoк 3 - Koнфopмнe nepemвopeння oблaсmeй npu зaмiнi (2)

В1докремимо функцию 2(г): —^ = -к , тод1:

2 дг

1 д { дЯЛ 11 д2Ф КН к2

--1 р— I +---Т + ¡:— = 0.

Я др | др) Ф р дф2 Ц

Подставивши в явному вигляд1 коеф1ц1енти Ламе, отримаемо:

1 д { дЯЛ к2 2|, с

I +--р2| 1 -

Я др | др

Ц

1 д2Ф к2с2

Ц

2

-81П2ф

4р2

= 0.

Ф дф2

Остаточно роздшивши зм1нн1, маемо:

1 д2Ф к2с2 . 2

Ф дф2

Ц

згп ф = -п ,

Я р др |р др ) + ц р | 4р2

координат при розв язанш спектральних задач в маг-н1тостатичних резонаторах елштично! геометрп. Буде-мо виходити з р1вняння Уокера [8]:

d1v(ц grad ¥) = 0,

(7)

Зв1дки п1сля перетворень для першого р1вняння отримуемо:

д2Ф {{ 2 к2с2 Л „ к2с2

дф2

п+

2Ц

Л

- 2-

4Ц

ео82ф

Ф = 0.

(8)

тут ц - тензор магн1тно1 проникност1, що задаеться сп1вв1дношеннями:

(

Ц =

Ц - гЦа 01

гЦа Ц 0

0 0 1)

Це е р1вняння Матье [4], 2п - пер1одичними по змшнш ф розв'язками якого е парн1 та непарна фун-кци Матье першого роду (функци Матье з щлим

индексом) сет||ф, ^Ц") та зет{ф, ^^Ц-^). Друге р1вняння можна переписати в наступному вигляд1:

де Ц

(ю2 - ю2)

2_, Цй

—--2--, ю1 = юн(юн + юм),

(ю - Юн)

(Ю - Юн)

юм = у4пМ0, юн = уНец0, ю - частота, М0 - намаг-н1чен1сть насичення, неЯ0 - ефективне стале магн1тне поле, у - промагштне в1дношення. В формула (7) ¥ - магштостатичний потенциал, що уводиться зг1дно

з к = gradY, к - зм1нна складова магнитного поля. В МЕСК (7) набувае вигляду

1

Ц

кркф

А { +1 д др | др ) р дф2

д2^ п + = 0.

дг2

Для роздилення зм1нних п1дставимо ¥(р, ф, г) Я(р)Ф(фЩг):

1

кркф

1 А.{ дЯ| .11 д2ф

Я др |р др 1 Ф р дф2

+ - — = 0 + 2 дг2 .

д2 Я

др

1 дЯ

1 +--+

2 р др

—11 -Ц

4р2

, л

Я = 0.

(9)

Бачимо, що при с = 0, р1вняння (9) перетворю-еться у р1вняння Бесселя.

Запропонований математичний апарат було засто-совано для анализу власних поверхневих магштоста-тичних коливань в електродинам1чних структурах елштичного перер1зу: намагн1чених вздовж ос1 отвору у феромагнетику [9], феромагштному цил1ндр1 [9] та трубщ [10, 11], а також елштичних цил1н-дричних доменах у материалах з однов1сною ан1зотроп1ею [12]. Було знайдено в аналитичному вигляди вирази для резонансних частот та власних функций, про-анализовано поляризацию та просторовий розподил магнитного поля. Поривняння теоретичних частотно-польових залежностей з експериментальними показало 1х гарне узгодження. Також продемонстровано

2

+

+

+

2

2

=п

2

2

2

с

п

можлив1сть застосування побудовано!' Teopi'í для роз-paxyHKiB cneêTpiâ фepoмагнiтниx нанодропв.

висновки

В poбoтi була представлена оригшальна модифжо-вана eлiптичнa система кoopдинaт, poзглянyтo ïï ос-новш влacтивocтi, знайдено мacштaбнi множники Ламе, побудовано кoopдинaтнi пoвepxнi, записано ви-paзи для дифepeнцiaльниx oпepaтopiв гpaдieнтa, po-тopa, дивepгeнцiï та ornpaTOpa Лапласа. 3aпpoпo-новано викopиcтoвyвaти модифжовану eлiптичнy систему кoopдинaт пpи poзв'язaннi задач математично!' фiзики в системах з гeoмeтpieю eлiптичнoгo цилiндpa i наведено пpиклaди ycпiшнoгo застосування.

ПЕРЕЛ1К ПОСИЛАНЬ

1. Mahmoud S. F. Electromagnetic waveguides: theory and applications / S. F. Mahmoud. - London : Peter Peregri-nus Ltd., 1991. - 228 p.

2. Dyott R. B. Elliptical Fiber Waveguides / R. B. Dyott. -Norwood, MA : Artech House, 1995. - 217 p.

3. De Wames R. E. Magnetostatic surface modes in an axi-ally magnetized elliptical cylinder / R. E. De Wames, T. Wolfram // Appl. Phys. Lett. - 1970. - Vol. 16, № 8. -P. 305-308.

4. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров / А. Анго. - М. : Наука, 1965. - 779 с.

5. Иванов В. И. Конформные отображения и их приложения / В. И. Иванов, В. Ю. Попов. - М. : Едитори-ал УРСС, 2002. - 324 с.

6. Miyazaki Y. Radio Wave absorption analysis of coated elliptic cylinders with lossy magnetic ferrite films using conformal mapping method / Y. Miyazaki // 3rd International Symposium on Electromagnetic Compatibility. -Beijing (China), 2002. - P. 432-437.

7. Roussigne Y. Spin waves in stripe submitted to a perpendicular applied field / Y. Roussigne, P. Moch // J. Phys. Condense Matter. - 2005. - Vol. 17, № 10. -P. 1645-1652.

8. Гуревич А. Г. Магнитные колебания и волны / А. Г. Гуревич, Г. А. Мелков. - М. : Физматлит., 1994. -464 с.

9. Зависляк И. В. Поверхностные магнитостатические колебания в эллиптических отверстиях и цилиндрах / И. В. Зависляк, Г. П. Головач, М. А. Попов, В. Ф. Ро--манюк // РЭ. - 2006. - Т. 51, № 2. - С. 213-220.

10. Попов М. А. Поверхностные магнитостатические колебания в ферритовых трубках эллиптического сечения / М. А. Попов, И. В. Зависляк // Известия вузов. Радиоэлектроника. - 2006. - Т. 49, № 6. - С. 3-11.

11. Попов М. А. Modelling of the magnetostatic surface oscillations in elliptical nanotubes / М.А.Попов, И. В. Зависляк // УФЖ. - 2008. - Т. 53, № 7. -С. 706-711.

12. Попов М. А. Поверхностные магнитостатические колебания в эллиптических цилиндрических магнитных доменах / М. А. Попов, И. В. Зависляк // ФТТ. -2009. - Т. 51, № 1. - С. 81-84.

Надшшла 7.04.2009 Шсля доробки 28.05.2009

Представлена оригинальная модифицированная эллиптическая система координат, рассмотрены ее свойства, приведены полезные соотношения. Предложено использовать эту систему координат при рассмотрении задач математической физики с симметрией эллиптического цилиндра, в частности, задач про нахождение собственных волн и колебаний в волноводах и резонаторах эллиптического сечения, продемонстрированы примеры ее применения.

The original modified elliptical coordinate system is submitted, its properties are considered, useful relationships are given. It was suggested to use this coordinate system for mathematical physics problems with the symmetry of the elliptical cylinder, in particular for eigen-waves and eigen oscillations problems in waveguides and of elliptic cross-section resonators, the examples of application were demonstrated.

УДК: 538.935, 538.915, 538.953

V. V. Pogosov, E. V. Vasyutin, A. V. Babich

FEATURE OF MAGIC METAL NANOCLUSTERS IN MOLECULAR

TRANSISTOR

Effects of the charging and single-electron tunneling in a cluster structure are investigated theoretically. In the framework of the particle-in-a-box model for the spherical and disk-shaped gold clusters, the electron spectrum and the temperature dependence of the electron chemical potential are calculated. Difference between the chemical potentials of massive electrodes and island's one leads to its charging. We show that the effective residual charge is equal to the non-integer value of elementary charge e and depends on the cluster's shape. The equations for the analysis of the current-voltage characteristic are used under restrictions associated with the Coulomb instability of a cluster. For single-electron molecular transistors the nonmonotonic size dependences of current gap and its voltage

© Pogosov V. V., Vasyutin E. V., Babich A. V., 2009

asymmetry are computed. We suggest that an overheating of electron subsystem leads to the disappearance of a current gap and gradual smoothing of current-voltage curves that is observed experimentally.

1 INTRODUCTION

The nanodispersed systems are prospective object of nanotechnology [1, 2, 3, 4, 5, 6]. Transport of electrical charge across a nanoscale tunnel junction is accompanied by many effects, such as the Coulomb blockade of the average current, transfer of energy between elec-

20

ISSN 1607-3274 «Рaдioeлeктpoнiкa. Iнфopмaтикa. У^авл^ня^- № 2, 2009