Научная статья на тему 'Реверсивная математическая модель расчета осесимметричного деформированного состояния при штамповке'

Реверсивная математическая модель расчета осесимметричного деформированного состояния при штамповке Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
159
31
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ / ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ / МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Володин А. И.

Рассмотрена математическая модель на основе принципа возможных изменений деформированного состояния и метода конечных элементов. Модель позволяет рассматривать процесс штамповки в прямом и реверсивном направлениях.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Реверсивная математическая модель расчета осесимметричного деформированного состояния при штамповке»

УДК 621.73.079

А.И. Володин, асп., (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Липецк, ЛГТУ)

РЕВЕРСИВНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ ШТАМПОВКЕ

Рассмотрена математическая модель на основе принципа возможных изменений деформированного состояния и метода конечных элементов. Модель позволяет рассматривать процесс штамповки в прямом и реверсивном направяениях.

Ключевые слова: математическая модель, осесимметричное дeфoрмuяoванное состояние, метод конечных элементов.

Существующие пакеты прикладных программ для расчета напряженно-деформированного состояния предназначены для анализа деформации в направлении, совпадающем с реальным процессом штамповки. В ряде случаев, как покаано в работе [1] на примере плоской деформации, целесообрано рассмотреть процесс в обратном (реверсивном) направлении. Такой подход позволяет избежать многочисленные переборы вариантов моделирования пи определении конфигурации предварительного перехода штамповки.

Рассмотрим математическую модель деформированного состояния (ДС) на основе принципа возможного изменения ДС [2] и метода конечных элементов [3]. Функциона данного принципа для идеаьно пластической среды объемом V, ограниченной поверхностью 5*, состоящей из трех поверхностей 5 = и и 5р , имеет вид

J = р sHdV - \plvidS + \fVgdS, (1)

V 5р 5,

где Н = ^2в//в// - интенсивность скоростей деформации сдвига; ву - компоненты тензора скоростей деформаций; т , - напряжение деформации сдвига в условии идеаьной пластичности Т = т ,, Т = ^0.5- интенсивность касательных напряжений, 5^ - компоненты девиатора напряжений; ^ - контактная поверхность с инструментом, на которой действует трение скольжения; 5р - поверхность тела, свободная от контакта с инст-

*

рументом или на которой заданы поверхностные напряжения; р| - из*

вестные нормаьные напряжения на поверхности 5р; VI - скорости дви-жени частиц деформируемого тела; /т - модуль напряжений трения на поверхности ; V, - модуль вектора скольжени инструмента по металлу в плоскости, касательной к поверхности 5,. Вектор скольжени

V, = V. - У

I ’

ух - проекция вектора скорости инструмента на плоскость , Ут - проекция вектора скорости точек металла, находящихся в контакте с инструментом, на плоскость 5^;

(2)

* 2 * 2 Vs = \ ^ ТГ — Vтr ) + (^у — Vтy ) .

Таким обраом, задача определени деформированного состояния сводится к минимизации функционаа (1). Используемый для численной реаизации принципа метод конечных элементов предусматривает дискретизацию области пластической деформации.

В работе [4] покаано, что применение четырехугольного изопара-метрического элемента позволяет избежать переопределенности системы уравнений, выражающей требования условий несжимаемости (УН) для каждого элемента и граничных условий (ГУ) на поверхности.

Рассмотрим произвольный четырехугольный элемент в глобаьной системе координат (СК) г, у (рис. 1). Здесь 1, 2, 3, 4 - узлы конечного

элемента (КЭ), значком "х" обозначены точки интегрирования функций внутри КЭ по формуле Гаусса.

(г2.уг)

(11)

Н -1)

п

П1)

X X

(1) (2)

X X

(3) Щ

1) -1

£

И- 1)

Рис. 1. Четырехсторонний конечный элементе глобальной и локальной система координат

Значение любой функцииЕ(л) наконечном элементе записывается так:

Е(,л)=М(!,Л), I =1,2, 3,4, (3)

где Е" значение функции Е в узах элемента; N(,л)_ функции формы на четырехугольном конечном элементе. Здесь и далее по одинаковым ин-

4

дексам суммирование: FjNj = '^FjNj.

1=1

Функции формы принимаем в следующем виде:

N 1(5, л) = 4(1 -)(1 + л);

N 2(5, л) = 4(1 + 5)(1 +л);

N 3(5, л) = 4(1 -5)(1 -л);

N 4(5, л) = 4(1 + 5)(1 -л).

Вычисление интегралов. В осесимметричной постановке задачи в глобаьной СК г, у имеем:

(5)

N ^

(г, у^ = £ |Р(к (г, y)dV V к =Щ

где N - количество конечных элементов; к - номер конечного элемента; Е(к)(г,у)- значение подынтеграьной функции в к -м конечном элементе; Vk - объем конечного элемента.

Записав правую часть этого выражения в локаьной СК, получим:

N 1 1

2 Р Р (к )(5,л) -г(к)(5, л) -¿к (5, лУЗД. (6)

к=1-1-1

В цилиндрической СК элемент объема dV имеет вид dV =гdгdфdy. При переходе к локаьным координатам 5, л имеем

ЫЫу = гJd5dл = г(5, л)J(5,лМ5л. Здесь J (5, л)- якобиан преобраования СК г, у вСК 5, л:

дг дг

85 ^л ду ду 85 5л

J (5, л)

дг ду дг ду

85 д д 85

(7)

дг = уд/^(5п)) = £ г 8(5,л).

55 д5 ^1 55 ’

дд = £ г 8Ni (5, л),

5л 1=11 д ;

ду =х у

55 А 55 ’

ду = £ у.8 (5, л)

^ ¿иУг л ?

5 л |=1 5л

где ц,у!,! = 1,2,3,4 - координаты узлов КЭ в глобальной СК,

Л)

Э "

ЭМ 3(5, г) Э5 "

эы^, Л) а

аэ(м=

Эг)

Окончательно получим:

"4(1 + г) ~г) 4 (1 _

-т(1 —

ЭКЪГ) = 1(1 + г);

4(5 Г) =1(1 _г). Э5 4

^ =->(1+ 5);

аг 4

Э^(5, г) Эг

1

(1+ 5).

2*1 X 4к)з р Чк \

к=1 р=1

(10)

Л к)

где тр ' - значения координаты! т в р - й точке интегрирования к -го ко-

нечного элемента, вычисляемые по формуле (3) с учетом (4);

4

трк) = Х'/к)Ыр , т^к) - значение координаты: т в ! - м узе к -го КЭ; Ыр -

!=1

значение ! - й функции формы1 (4) в р -й точке интегрирования (1); мр -массив чисел, вычисляемый один ра в самом начае программы:, он одинаков для всех КЭ; ^рк) - значение подынтеграьной функции F в р - й

точке интегрирования к -го конечного элемента; Зр) - значение якобиана

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

в р - й точке интегрирования к -го КЭ. Вычисляется по формуле (7) с учетом (8), (9). Частные производные в (9) определяются в точках интегрирования.

Компоненты! тензора скоростей деформации В имеют вид:

В

аут

Эт

о

1 (аvт аV

2( ^У

+

У-

Эт

о

у_,_

т

0

аvy л

Г_ +_У_)

2 ду Эт

0

аv

У

Эу

( £тт 0 е ту У

0 ефф 0

К^еУт 0 е

(11)

Компоненты! вгу вычисляются в точках интегрирования р в каждом

КЭ:

,(к) р = V

(к) р

т( к) р

(12)

где у(к)р вычисляется по формуле (2) с учетом (3) и (1). При этом в (3)

Е, = Уу! , где Уу! значение скоростей Уг в , -м узле каждого КЭ.

Компоненты для (11) в любом КЭ вычисляются по формулам:

дУт = Д У (дМ‘ (5, у; дМ,(5,л) Ял-

¿Ут1 V +

дт

дУ

У

дт

дУ

¿Уу, (

д; дт дг| дт

ям, (;,л) д , ям, (;,л) ал

■+

);

(13)

, = 1У д дт д дт

_т = Х У (д (5, л) Я; | дМ, (5, л) Ул.

ду ¿1м а; ду йл ду

ду = Х У (дМ,(5,л) в; + у(;,л) дл ду ,=уД а; ду дл дул

где Ут, и у у, - компоненты скорости в узах КЭ.

Значения величин в формуле (13) вычисляются для каждого КЭ и в каждой р -й точке интегрирования в КЭ. При этом необходимо найти в

у у; у Эл о -

этих точках значения величин —, —, —, —1. В каждой точке ингегриро-

дт ду дт ду

вания к -го КЭ они находятся из обращения матрицы Якоби, которая ис-

пользуется в формуле (7).

Конечно-элементная аппроксимация функционала. Аппроксимация первого интеграла в функционале (1) основана на формулах (5) и (10) с использованием (11). Имеем

| 8ШУ = |т5л/ = |т^д/ 2(еГт + 2буу + е уу )йУ

V V

Из (14) с учетом (5) получим

N 4

V

'тУ \УУ

(14)

|X sHdV = |ls^¡2ë¡ëjdV = 2 лХ Е тФ)д12(еТт + 2 е2ут + ефф + еУу)тр^3рк)

V

V

к=1 р =1

В выражении (1) р 1=0, поэтому значение второго интеграла будет равно нулю.

Третий интеграл в правой части (1) вычисляется суммированием по КЭ, лежащим на поверхности контакта с инструментом. Пусть их будет М штук. Тогда

/Л УsdS = 2л| IУ

М

т1

п

у

к=1

/х к»У(к)

(т22(к) -т,2(к>)

п

(к)

у

(15)

где Пу- проекция внешней единичной нормали к плоскости контакта в точках контакта с осью У.

т

Условие несжимаемости четырехугольного элемента. Уравнение несжимаемости для осесимметричной деформации имеет вид

дут Ут дуу Л —-+—+—— = 0 . (16)

дт т ду

В среднем по объему КЭ уравнение несжимаемости (16) в локальной СК определяется равенством

í í

-1 -1

Из (17) получим

1 1 v

Уг

У/

Уу

'(,r J (, л)^У| = 0.

(17)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4 (yvr v~ y л()

z

p=1

Уг

'Г. + ir_ + .

y

Уу

rpJp = 0.

(18)

Здесь суммирование осуществляется по точкам интегрирования р; тр, 3р - равны соответственно т, 3 в точке интегрирования р. Из (13) для р - й точки интегрирования имеем

vrp) = ZNfv ,

i =1

где Api, Bpi, NP, вычисляются в точке p по формул

yv (J 4 yv r =z ApiVri;

i =1

Уг

yv(pJ 4

= ZBViv yi;

Уг

i =1

ам

A = yNi(,r) | У-Nife,r)r p У Уг dr Уг

Bp

pi У Уу

Подстав ля (19) в (18), получим

У fe,r) У _ УМ i fe,r) У Уг Уу

|

Z rpJt p =1

z

Vi=1

Api + Nf

4

vri1 Z Bpiv

i =1

pi yi

= 0.

откуда

Е М,Уу + Е йу = 0 ,

,=1 ,=1

где М, = Е тр 3р (¿р + М!р ), 0, = Е т?3рВрг

р =1 р=1

(19)

r

r

Выражение (20) является линейным уравнением, которое реализует условие несжимаемости в среднем по КЭ.

Задание граничных условий. Граничные условия в скоростях в формуле (15) могут приниматься по узлам или в среднем по стороне элемента.

Т~> к р. к , и

В зоне прилипания в первом случае имеем уг =0, у у = ±у , во втором -

У(ур = 0 У°у = ±Уи. В зоне скольжения соответственно

У • п^ +Уу- пу = ± У • Пу и УуупсР + уу пС^ = (± Уи )пс/ . Задание граничных

условий в среднем по стороне ячейки увеличивает степень свободы пластической деформации и, как следствие, число варьируемых параметров.

Граничные условия в напряжениях трения в зоне скольжения определяли по закону Зибеля т = 1|/^ т, где у- коэффициент трения.

Выбор приращения шага деформации осуществляли по выполнению условия несжимаемости в каждом элементе.

Модель позволяет решать прямые и реверсивные задачи. Алгоритм расчета и условия перехода метала со свободной поверхности на контактную в прямых задачах и с контактной поверхности на свободную в реверсивных задачах принимали согласно [1].

Илполъзование реверливной математичелкой модели. При проектировании многопереходных процессов штамповки важно определить конфигурацию предварительного ручья. По мнению профессора Г.П. Тетери -на: «...Проектирование предварительных ручьев скорее искусство, чем наука, так как очень мао литературы с информацией по количественному определению размеров чернового ручья...» [5].

Рис. 2. Определение радиуса предварительного перехода при реверсивном моделировании

В бесподпорных технологиях штамповки, позволяющих снизить усилие деформации в 1,6-2,2 раа, правильно выбранные форма и размеры полуфабриката определяют успех реализации процесса. Необходимо точно определить радиусы закругления предварительного штампа R, чтобы обеспечить формирование труднозаполнимых углов штампа (с малыми радиусами) на окончательном переходе. Решение реверсивной задачи позволяет определить радиус R при первом моделировании без перебора вариантов, что имеет место пи решении прямых задач. На рис. 2 представлен фрагмент решения реверси ной задачи.

Раработанна модель дает возможность решать прямые и реверсивные задачи определения деформированного состояния пи осесимметричной пластической деформации.

Библиографический список

1. Володин И.М. Моделирование процессов горячей объемной штамповки [Текст]: монография. М.: Машиностроение-1. 2006. 253 с.

2. Колмогоров, В.Л. Механика обработки металлов давлением [Текст]: 2-е изд., перераб. и доп. Екатеринбург: Издательство Уральского государственного университета. УПИ, 2001. 836 с.

3. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: монография. М.: Мир, 1975. 541 с.

4. Володин А.И. Степень свободы пластически деформируемой области // Сборник тезисов Всероссийской научно-технической конференции студентов и аспирантов «Современные технологии обработки металлов и средства ж автоматизации». Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. С. 46-48.

6. Тетерин, Г.П., Полухин П.И. Основы оптимизации и автоматизации проектирования технологических процессов горячей объемной штамповки. М.: Машиностроение, 1979. 284 с.

Volodin A.I.

Reverse calculating model of axial-symmetric strained state in stamping

The mathematical model based on the principle of possible change of the strained state and the finite element method in engineering science was examined (considered). The model allows us to consider the process of stamping in the forward and reverse directions.

Получено 05.08.09

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.