CC BY
1
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
2023, Т. 165, кн. 2 С. 132-142
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ
УДК 517.9 10.26907/2541-7746.2023.2.132-142
РЕШЕНИЯ ДИРИХЛЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА
Н. П. Евлампиев1, В. С. Мокейчев2, И. Е. Филиппов2
1ООО "Блиц-М", г. Казань, 420066, Россия 2Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Аннотация
Получены необходимые и достаточные условия существования решения Дирихле, разработан метод для вычисления решений Дирихле функционально-дифференциального уравнения с незапаздывающим линейным отклонением аргумента.
Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, решение Дирихле, опережение аргумента, линейное отклонение аргумента, символ псевдодифференциального оператора
Введение
Среди дифференциальных уравнений (кратко ДУ) одного аргумента, не являющихся обыкновенными, наибольшее развитие получили ДУ с отклонениями аргумента. Это ДУ вида
рММ)у(*) = Ф(Чу(Но(*)),...,у(п)(М*)}), * > 0, (1.1)
где
п-1
рМММ*) = у(п)(*) + £ с (*)у(0) (*),
о=о
Ф(*, Х1 ,...,ж„+1), С (*), Н0- (*) - известные функции, не зависящие от у. Функции Но (*) — * называются отклонениями аргумента. Если Н0- (*) — * < т < 0 при всех
* > 0, то говорят, что ДУ - с запаздывающим аргументом.
Теория ДУ с запаздывающим аргументом практически не отличается от теории линейных обыкновенных ДУ. Убедимся в этом.
Положим известными у(£) = ^о(£), ...,у(п)(£) = (С) при £ < 0. Чтобы вычислить у(*), * € [0, т], решим задачу Коши для обыкновенного ДУ
Р(ММ)у(*)=ф(^(Но(*)),...,^п) (Н„ (*))), * € [0, т], у(0)(+0) = уо,о,
2 = 0, ...,п — 1, в котором правая часть известна, а у00- произвольно зафиксированы. Найдем у(*), * € [0,т], и у(*) при * < т. Чтобы вычислить у(*), * € [т, 2т], следует использовать условия Коши у0)(т+0) = у0)(т—0), 2 = 0, ...,п— 1. Получим у(*) при * < 2т. Аналогично вычислим у(*), * < кт, к = 3,....
Если хотя бы одно отклонение не является запаздыванием, то проблема разрешимости ДУ (1.1) резко усложняется. Проблема разрешимости таких ДУ стала актуальной, когда появились математические модели, в которых одно из отклонений является опережением, то есть Ни(4) — 4 > 0. Методы решения таких ДУ изложены в [1]. Этого удалось добиться при 4 € (а, Ь) и конечных а, Ь после замены начальных условий Коши на (Ь — а) -периодические.
В случае Н^ (4) = Aj4 + а^, Aj, а^ - числа при всех отклонения называются линейными. Отклонение Aj4 — 4 аргумента 4 > 0 не может быть запаздыванием, если Aj > 1.
Во втором параграфе обзорной статьи [2] С. Адамс пишет, что уравнение f(дх) — f (х) = 0, отмеченное Беббиджем в 1815 г., является первым "д-разностным" уравнением, появившимся в литературе. Там же Адамс отмечает, что в 1924 г. П. Фламаном [3] было проведено единственное тщательно выполненное исследование (с точки зрения аналитических решений) разрешимости уравнения f(1)(х) = а(х^(дх) + Ь(х), |д| < 1, где а(х) и Ь(х) - аналитические в такой замкнутой односвязной области В, что дх € В при всех х € В. По-видимому, ДУ Амбарцумяна у(1)4) + у(4) = Ьу(А4), 4 > 0,А > 1, - первая математическая модель с линейным отклонением аргумента. Она построена в 1944 г. (подробности см. в [4, 5]). В этой модели у(4) - плотность распределения случайной величины. Поэтому к ДУ Амбарцумяна добавлялись условия у(4) > 0, § у (4)^4 = 1.
о
Полученную задачу мы называем задачей Амбарцумяна. Г. И. Русаков [5] записал решение задачи Амбарцумяна в виде функционального ряда. В работах [6-10] проведено дальнейшее изучение и обобщение задачи Амбарцумяна.
В настоящей статье изложена теория дифференциального уравнения
Р(¿/А)у(г) + (Р1(й/^4)у)(А4) = 0, Ь > 0,
в котором
Р(О = Г + а„-1Г-1 + ••• + ао, П > 1;
и
Р1 (0 = е + Ьд-1С9-1 + ••• + Ьо, д > 0,
- символы дифференциальных операторов Р(¿/¿4), Р1(й/й4), ((¿/¿¿)иу)(А4) = у(и)(А4), aj , Ь^- ,А > 1 - числа. Всюду N = тах(п, д).
1. Понятие А-независимости
Определение 2.1. Числа ¿1 ,¿2 называются А -независимыми, если не существует целого р, при котором ¿1 = Ар ¿2; в противном случае числа ¿1,^2 называются А-зависимыми; а числа ¿1, ...,йя - попарно А-независимыми, если
¿и = Ар^ при всех р € Z и всех к =
Здесь и далее Z - множество всех целых чисел.
Легко видеть, что в отличие от А-независимости свойство А-зависимости транзитивно, то есть если ¿1, ¿2 А-зависимы и ¿2, ¿з А-зависимы, то ¿1, ¿з А -зависимы.
Определение 2.2. Подмножество В1,...,В1 множества В = {¿1,...,йя| С Z называется А-разбиением В, если
1) Ви П Dj = 0 при к = ¿, и Ви = В;
и=1
2) из того, что dm G Dk ,dj G Dr, следует, что dm ,dj А -зависимы при k = r и А -независимы при k = r.
Теорема 1. Для каждого D существует А -разбиение.
Доказательство. Зафиксируем di G D и найдем все числа dri G D, А-зависимые от di. Полученное множество обозначим Di. Если D/Di не пусто, то зафиксируем d2 G D/Di и найдем все А -зависимые от d2 числа dr2 G D/Di. Полученное множество обозначим D2. Продолжив этот процесс, докажем теорему. Отметим, что в случае конечности D количество множеств Dr также конечно, причём А-разбиение единственно. □
Здесь и далее □ означает конец доказательства текущего результата.
2. Решение Дирихле уравнения P(d/dt)y(t) = Ьу(А£), t > 0
Определение 3.1. y(t) называется решением Дирихле уравнения, если
1) существует такое а, что
y(t) = ^ afc exp (аАйt), (3.1)
k=0
ak - некоторые постоянные;
2)
P(d/dt)y(t) = ^ P(d/dt)(ak exp (аАkt)) = by^t); (3.2)
k=0
3) ряд сходится при каждом t > 0.
Число а в (3.1) называется показателем решения Дирихле.
Для приложений интересен случай а < 0. Наиболее просто решения Дирихле уравнения (3.2) находятся в случае, когда степень Pi(£) равна нулю.
Теорема 2. Справедливы утверждения:
1) ДУ имеет решение Дирихле с показателем а < 0 ^ имеет решение линейная система алгебраических уравнений
P(аАД:)ak = bak-i, k = 0,1, 2,.... (3.3)
2) Количество линейно независимых решений Дирихле уравнения (3.2) равно количеству попарно А -независимых отрицательных корней символа P (£).
Доказательство. Пусть y0(t) - решение вида (3.1) уравнения (3.2). Докажем, что ak, k = 0,1,..., - решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (3.3).
В силу (3.2) имеем ^ ßk exp (аАД:t) = 0, где ßk = P(аАД:)ak — bak-i, a-i = 0,
k=0
причём |ßk | < C. Проинтегрировав это тождество q раз от 0 до , получим
Y^ ßkА-kq exp (аАД:t) = 0. Зафиксируем q так, чтобы ^ |ßk|А kq < Тогда
k=0 k=0 при каждом целом r > 0
ßkА-kq exp (а(А*: — Аг)t) ^ 0 при t ^
k=r + i
С другой стороны, во ви ехр (а(Аи — А0)4) = 0. После перехода к пределу при
и=1
4 ^ получим во = 0. Аналогично докажем, что в1 = 0, и так далее. Поэтому уо(4) ненулевое, если Р(аАи) = 0 при некотором к.
Обратно, пусть при некотором а < 0 существует (ао,а1,...) - ненулевое решение системы уравнений (3.3). Так как А > 1, а < 0, |Р(аАи)| ^ при к ^
то ряд аи ехр (аАи4) сходится, и его сумма - решение Дирихле для (3.2).
и=о
Отметим, что система уравнений имеет ненулевое решение только при тех показателях а , для которых
Р(аАи) = 0 хотя бы при одном целом fk > 0. (3.4)
Действительно, если Р(аАи) = 0, к = 0,1,..., то из равенств (3.3) и ао = 0 следует, что 0 = а1 = а2 = .... Итак, если Р (С) не имеет отрицательных корней, то у (3.2) отсутствуют решения Дирихле с отрицательным показателем. Изучим два случая.
1) Р(С) имеет единственный отрицательный корень ¿1. Положив а = ¿1,ао = 1,
/ п \ —1
получим решение системы уравнений (3.3): ао = 1, ап = Ьп( П Р(¿1Аи )) ,
Ь'=1 '
а значит, и решение Дирихле у^ (4) с показателем а = ¿1 для (3.2). Выясним, существует ли решение Дирихле с другим отрицательным показателем ао < 0.
Если уо(4) = ви ехр (аоАи4), то в силу теоремы 2 Р(аоАи)ви = Ьви—1, в—1 = 0,
и=о
к = 1,2,.... Так как Р(С) имеет единственный отрицательный корень ¿1, то аоАи° = при некотором целом ко > 1, и Р(аоАи) = 0, если к = ко. Тогда 0 = Ьви° — 1, ви°—2 = 0,..., во = 0, ви° = С2 - постоянная. Следовательно, ви° = аоС2, ви°+г = агС, г =1, 2,..., уа°(4) = б^у^ (4).
2) символ Р(С) имеет т > 2 отрицательных корней ¿1 > ¿2 > ••• > . В силу (3.4) система (3.3) имеет ненулевое решение только при следующих значениях показателя Дирихле: аг^ = ^А—г , = 1,..., т, г = 0,1, 2,....
Положим а = ¿1 и рассмотрим систему уравнений
Р(¿1)ао = 0, ...,Р(¿1Аи)аи = Ьаи—1. (3.5)
Если ¿1 попарно А-независимы от А2,..., Ат, то
Р(¿1Аи) = 0, к = 1, 2,.... (3.6)
Действительно, в случае Р(¿1Аи°) = 0 при некотором ко > 1 получим ¿1Аи° <¿1 и ¿1 Аи° = для некоторого г < т, то есть ¿1 - А-зависимы, что является противоречием.
В силу (3.6) система (3.5) имеет решение, определяемое равенствами (3.3) при а = ¿1,ао = 1, с помощью которого находится решение Дирихле у^ (4) с показателем ¿1. Как установлено в первом случае, каждое решение Дирихле с показателем ¿1А—р, где р € Z, имеет вид С3(4), С3 не зависит от 4.
Предположим, что ¿1 А-зависит от ^> 2. Обозначим /1 = {_?' : А-зависимы ¿1,^7}. Отметим, что 1 € /1, так как ¿1 = ¿1 Ао. Введём показатель Дирихле ¿о = тт ^. Если бы существовало ко > 1, при котором Р(¿оАи°) = 0, то получили бы (¿о = ¿оАи° < ¿о, причём А-зависимы. Тогда ¿1, (¿о А-зависимы, противоречие. Следовательно, Р(¿оАи) = 0 при к > 1. Поэтому решение систе-
/ п \ —1
мы (3.6), в которой ¿1 заменено на ¿о, имеет вид ао = 1, ап = Ьп( Р(¿оАи )) ,
Ь=1 У
и ему соответствует решение Дирихле yd0 (t) = 5^ ak exp(aAkt), так как имеет
k=0
вид (3.1). Как и ранее, легко проверим, во-первых, что соответствующие dj G Ii решения Дирихле уравнения (3.2) имеют вид yd3 (t) = Cjyd0 (t), Cj не зависят от t. Во-вторых, показатель Дирихле dj A-r не индуцирует нового решения Дирихле, то есть ydo (t) = Cjydjл-r (t) при целых r > 0,j G Ii.
Для завершения доказательства теоремы 2 осталось записать максимальное количество линейно независимых решений Дирихле. Выделим A-разбиение Di,..., Ds множества D = {di,...,dm} и зафиксируем наибольшее aj G Dj. Как было доказано ранее, все решения Дирихле, определяемые точками из Dj, с точностью до постоянного множителя совпадают c решением Дирихле yaj (t). Поэтому линейно независимыми могут быть только yai (t), ...,yas (t). Предположим, что Ciyai (t) + ••• + Csyas (t) = 0. Перепишем это равенство в виде
Ciao.i exp
(ait) + Ci ]Г
ak,i exp (aiAkt) + ^ Cj ^ ak,j exp (ajAkt) = 0,
k=i j=2 k=0
то есть
s
Cia0.i + Ci ^^ akji exp ((aiAk — ai)t) + ^^ Cj ^^ ak,j exp ((ajAk — ai)t) = 0. (3.7)
k=i j=2 k=0
В этих формулах 0 > ах > ••• > ая, ajАк — ах < 0 при всех к > 1, у > 1. Поэтому после перехода к пределу при I ^ в (3.7) получим Схаод = 0. Однако а0д = 0, следовательно, Сх = 0. Аналогично докажем С2 = ••• = Ся =0. □
Замечание 3.1. В теореме 2 указано не только количество линейно независимых решений Дирихле ДУ (3.1), но и установлен их явный вид: каждому подмножеству ^, у = 1,...,1, А-разбиения множества всех отрицательных корней символа Р (£) соответствует семейство решений Дирихле
k
с(exp (dj0t) bk П(P(j Aj))-1 exp(j Akt)),
k=i j=i
C - произвольно зафиксированная постоянная, и dj0 = min dk. В силу линей-
dk eDj
ности ДУ (3.2), если yi(t), ...,ys(t) - частные решения ДУ (3.2), то их линейная комбинация - также решение ДУ (3.2).
Замечание 3.2. Ненулевое решение Дирихле y(t) ДУ (3.2) знакопостоянное в случае sgnP(aAk) = sgn(b), k = 1, 2,..., поэтому существует решение Дирихле y(t),
для которого y(t) > 0, / y(t)dt = 1.
0
Замечание 3.3. Из приведенных рассуждений следует, что в (3.2) t можно считать комплексным аргументом: тогда вместо записи Re а < 0, t > 0 следует использовать Re(at) < 0.
Замечание 3.4. Пока неизвестно, существуют ли у ДУ (3.2) решения, не являющиеся решениями Дирихле.
3. Неоднородное ДУ
Речь пойдёт о ДУ
Р(¿/л)х(г) = Ьх(Аг) + f(г), А > 1, (4.1)
в котором Ь, А не зависят ни от х, ни от г, а f (г) не зависит от х(г).
Дг) = £) Л ехр(аАкг), Де(аг) < 0, ]Г |А-кп < (4.2)
к=0 к=0
Напомним, п - степень многочлена Р(£). Из предположения (4.2), в частности, следует, что аргумент в (4-1) можно считать комплексным.
Предположим, что х(г) = ^ вк ехр (аАкг) - решение ДУ (4.1), где вк не зави-
к=0
сят от г. Формальные действия приведут к равенствам
Р(аАк)вк = Ьвк-1 + Л, к = 0,1,..., (4.3)
где Дк не зависят от г. Так как |Р(£)| > |£Г/2 при |£| > Мо, то |Р(аАк)| > 2|Акп|, если к > М1. Следовательно,
в| < |2Ь| |А-кп| |вк-11 + ||А-к|
при всех к > М1, и
м м
5м,м! = Е |вк |< 2|Ь||А-М11 ]Т |вк-1| + 2|У^к||А-кп |,
к+М1 к=М1 -1
5м,м1 (1 - 2|Ь|А-М1) < 2|Ь|А-м |вм1-11 ^ ^^ 2|Ук||А-кп|.
к=0
Поэтому при всех достаточно больших М и некотором М1 имеем ^м,м1 < Ьм1,
где Ьм1 не зависит от М, то есть ряд ^ вк абсолютно сходится. Отсюда и из
к=0
ограниченности | ехр (аАкг)| следует сходимость ряда ^ вк ехр(аАкг), так как
к=0
Дв(аг) < 0. Таким образом, доказана
Теорема 3. Если выполняется (4-2) и система уравнений (4-3) имеет решение, то ДУ (4-1) имеет решение Дирихле с показателем а.
4. Общий случай
Речь пойдёт о ДУ
Р(¿/Л)у(г) = (Р1 (¿/Л)у)(Аг), г > 0, А > 1, п > д. (5.1)
Напомним, что п, д - степени многочленов Р(£), Р1 (£) соответственно. В случае п < д заменой Аг = т придём к уравнению "запаздывающего" типа.
В рассматриваемом случае под решением Дирихле с показателем а понимается функция
у(г) = Е ай ехр (аА*г), (5.2)
к=0
где а* не зависят от г и А и удовлетворяют условиям |а* | < А3 при некотором ],
Е Р(¿/¿г) (ак ехр (аА*г)) = ^ Р1 (¿/¿т) (ак ехр (аА*т)) |т=А4. (5.3)
к=0 к=0
Теорема 4. ДУ (5.1) имеет решение Дирихле с показателем а < 0 ^ разрешима система уравнений
Р(аАк)ак = Р1(аАк-1 )ак-1, а-1 = 0, к = 0,1, 2,.... (5.4)
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 2, докажем, что если ДУ (5.1) имеет решение Дирихле (5.2), то выполняются условия (5.4).
Предположим, что система (5.4) имеет решение. Очевидно, что при всех достаточно больших к > М выполняются оценки |Р(аА*)| > (1/2)|аА*|п, |Р1(аАк:)| <
2|аА*|9. Учитывая их и неравенство А > 1, получим ^ | < и сходимость
к=0
ряда из (5.2). Его сумма является решением Дирихле с показателем а для ДУ (5.1).
□
Ниже В = {¿10,..., ¿т.0} - множество всех отрицательных корней символа Р(£), и В1,...,В1 - его А-разбиение.
Теорема 5. Существуют (г),...,у^г(г) - линейно независимые решения Дирихле с отрицательными показателями ^ € Вз-= 1,..., 1.
Доказательство. Итак, Р(^) = 0. Зафиксируем наибольшее к3- так, чтобы Р(^А*3) = 0, Р(^А*) = 0 при к > к3- + 1. Легко проверить, что при а = ^ решением системы уравнений (5.4) будет
г
= 0 при к < к,--1; а^. = 1; а^. +г = П (Р1 (¿зА*' +8-1)/Р(^А*3 +8)), г =1, 2,....
8=1
(5.5)
Поэтому (г) = ехр (¿з А*3 г) + ак +г ехр(йк. А*3 +гг) - решение Дирихле для
г=1
ДУ (5.1) с показателем ^.
Пусть с € В3, то есть Р(с) = 0. Зафиксируем наибольшее кс, при котором Р(ЬАкс) = 0, Р(сАкс+Г) = 0, г = 1,2,.... В этом случае при а = с решением системы (5.4) будет
г
а* = 0 при к < кс-1; йкс = 1; ййс + = Ц (Р1 (^ А*с+8-1)/Р (^ А*с+8)), г = 1, 2,....
8=1
Так как , с А-зависимы, то с = А*0 при некотором целом к0. Поэтому Р А*с+к0) = 0, Р А*с+к0 +г) = 0, г = 1, 2,.... В силу (5.5) получим кс + к0 < к1. Если бы кс + к0 < к1, то в силу Р(сА*с +г) = 0, г =1, 2,..., при г = к1 — (кс + к0) получили бы Р(¿зА*1) = 0. Это противоречие. Следовательно, кс + к0 = к1, и
Ус(г) = (г).
Изменив ] , получим решения Дирихле у^ (£),-., у^ (4) с наибольшими к^, при которых Р(¿5Акз) = 0, Р(^Акз +г) = 0, г =1, 2,.... Докажем их линейную независимость.
Числа ¿хАк1, ...,Й;Ак различные, так как в противном случае получили бы попарную А -зависимость. Поэтому после перенумерации имеем
¿!Ак1 > ••• . (5.6)
I
Предположим, что С^у^ (4) = ^ Су^.(4), С не зависят от 4. Тогда
5=2
С = -Сх£ ехр (¿1 (Ак+Г - Ак )*) + ^ С ]Г
г = 1 5=2 г=0
Переходя здесь к пределу при 4 ^ и учитывая, что А > 1, ^ | < , и условие (5.6), получим С! = 0. Аналогично докажем, что С = 0 при > 2. □
Замечание 5.1. Так как ДУ (5.1) линейное, то Ау^ (4) + ••• + (4) -решение ДУ (5.1) при каждых постоянных Ах,..., А;.
Замечание 5.2. Если Р1(Й5-Ак-1 )/Р(^Ак) > 0 при каждом к > + 1, то ДУ (5.1) имеет решение у(4) = Су^. (4) с постоянной С, удовлетворяющее условиям у(4) > 0, / у(£)А = 1, то есть у(4) - плотность распределения случайной
0
величины.
Замечание 5.3. Введём псевдодифференциальные операторы опре-
деляемые символами ^1(С),С2(С). Это означает, что ^ ехр (£4) = (£) ехр (£4) при всех £,4, причём ^ (£) не зависят от 4. Если у символа $1(£) имеется конечное количество отрицательных корней, |$1(£)| ^ при £ ^ —то, $2(аАк-1)/$1(аАк) < (|£| + 1)с, где с < 0 не зависит от £, то всё вышесказанное переносится на псевдодифференциальное уравнение ^1у(4) = ($2у)(А4), А > 1.
Замечание 5.4. Для ДУ а,+ т0,5) = ^^ у(х + т119)
5=0 5=0
нениями аргумента символами являются
с откло-
ж=Л(
9
$1(0 = £ «5ехр (£Г0,Д), С2(£) = £ Ьдехр (£ти).
5=0 5=0
Заключение
Получены необходимые условия существования решения задачи Дирихле, разработан метод вычисления решения Дирихле для функционально-дифференциального уравнения с незапаздывающим линейным отклонением аргумента.
Благодарности. Работа выполнена за счет средств Программы стратегического академического лидерства Казанского (Приволжского) федерального университета ("ПРИОРИТЕТ-2030").
Литература
1. Мокейчев В.С. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1985. 221 с.
2. Adams C.R. Linear q-difference equations // Bull. Am. Math. Soc. 1931. V. 37, No 6. P. 361-400.
3. Flamant P. Sur la forme des solutions d'une equation différentielle fonctionelle // C. R. Acad. Sci., Paris. 1924. V. 137. P. 1595-1597.
4. Амбарцумян В.А. Научные труды в 3 т. Ереван: Изд-во АН Армян. ССР, 1960. Т. 1. 430 с.
5. Русаков Г.И. Флуктуация яркости Млечного пути // Учен. зап. Ленингр. ун-та. Сер. Матем. наук. 1949. Вып. 18. С. 53-79.
6. Мокейчев В.С., Евлампиев Н.П. О решении на полуоси дифференциально-q-разностного уравнения // Изв. вузов. Матем. 1991. № 4. С. 44-47.
7. Евлампиев Н.П., Мокейчев В.С., Филиппов И.Е. Плотность распределения яркости света в случае поглощающих облаков // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2012. Т. 154, кн. 4. С. 126-129.
8. Евлампиев Н.П., Сидоров А.М., Филиппов И.Е. Об одном обобщении уравнения Амбарцумяна // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2014. Т. 156, кн. 4. С. 25-30.
9. Евлампиев Н.П., Сидоров А.М., Филиппов И.Е. Об одном функционально-дифференциальном уравнении // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2016. Т. 158, кн. 2. С. 194-201.
10. Evlampiev N.P., Sidorov A.M., Filippov I.E. On a functional differential equation // Lobachevskii J. Math. 2017. V. 38, No 3. P. 588-593. URL: https://doi.org/10.1134/S1995080217030027.
Поступила в редакцию 1.04.2023 Принята к публикации 13.09.2023
Евлампиев Николай Петрович, директор ООО "Блиц-М"
ул. Владимира Кулагина, д. 1, г. Казань, 420054, Россия Мокейчев Валерий Степанович, доцент кафедры прикладной математики и искусственного интеллекта Института вычислительной математики и информационных технологий
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: Valery.Mokeychev@kpfu.ru Филиппов Игорь Евгеньевич, доцент кафедры прикладной математики и искусственного интеллекта Института вычислительной математики и информационных технологий Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: Igor.Filippov@kpfu.ru
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2023, vol. 165, no. 2, pp. 132-142
ORIGINAL ARTICLE
doi: 10.26907/2541-7746.2023.2.132-142
Dirichlet Solutions of Functional Differential Equations without Delay N.P. Evlampieva , V.S. Mokeichevb*, I.E. Filippovb**
aOOO Blits-M, Kazan, 420054 Russia bKazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: * Valery.Mokeychev@kpfu.ru, **Igor.Filippov@kpfu.ru
Received April 1, 2023; Accepted September 13, 2023 Abstract
Necessary and sufficient conditions for the existence of a valid Dirichlet solution were obtained. A method was developed to find Dirichlet solutions of the functional differential equation with non-delayed linear argument deviation.
Keywords: functional differential equation, Dirichlet solution, advance of the argument, linear deviation of the argument, pseudo-differential operator symbol
Acknowledgments. This study was supported by the Kazan Federal University Strategic Academic Leadership Program (PRIORITY-2030).
References
1. Mokeichev V.S. Differentsial'nye uravneniya s otklonyayushchimisya argumentami [Differential Equations with Deviating Arguments]. Kazan, Izd. Kazan. Univ., 1985. 221 p. (In Russian)
2. Adams C.R. Linear q-difference equation. Bull. Am. Math. Soc., 1931, vol. 37, no. 6, pp. 361-400.
3. Flamant P. Sur la forme des solutions d'une equation différentielle fonctionelle. C. R. Acad. Sci., Paris, 1924, vol. 137, pp. 1595-1597. (In French)
4. Ambartsumyan V.A. Nauchnye trudy [Research Works]. Vol. 1. Yerevan, Izd. Akad. Nauk Arm. SSR, 1960. 430 p. (In Russian)
5. Rusakov G.I. Fluctuations in brightness of the Milky Way. Uch. Zap. Leningr. Univ. Ser. Mat. Nauk, 1949, no. 18, pp. 53-79. (In Russian)
6. Mokeichev V.S., Evlampiev N.P. Solution of a differential-q-difference equation on the semi-axis. Sov. Math. (Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved.), 1991, vol. 35, no. 4, pp. 42-45.
7. Evlampiev N.P., Mokeichev V.S., Philippov I.E. Density of distribution of light intensity in the case of absorbing clouds. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2012, vol. 154, no. 4, pp. 126-129. (In Russian)
8. Evlampiev N.P., Sidorov A.M., Philippov I.E. On a generalization of Ambartsumyan's equation. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2014, vol. 156, no. 4, pp. 25-30. (In Russian)
9. Evlampiev N.P., Sidorov A.M., Filippov I.E. On some functional-differential equation. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 2, pp. 194-201. (In Russian)
10. Evlampiev N.P., Sidorov A.M., Filippov I.E. On a functional differential equation. Lobachevskii J. Math., 2017, vol. 38, no. 3, pp. 588-593. URL: https://doi.org/10.1134/S1995080217030027.
Для цитирования: Евлампиев Н.П., Мокейчев В.С., Филиппов И.Е. Решения Ди-/ рихле функционально-дифференциальных уравнений не запаздывающего типа // \ Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2023. Т. 165, кн. 2. С. 132-142. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2023.2.132-142.
For citation: Evlampiev N.P., Mokeichev V.S., Filippov I.E. Dirichlet solutions of / functional differential equations without delay. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universi-\ teta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2023, vol. 165, no. 2, pp. 132-142. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2023.2.132-142. (In Russian)
