Плотность распределения яркости света в случае поглощающих облаков Текст научной статьи по специальности «Математика»

_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 154, кн. 4 Физико-математические пауки

2012

УДК 517.929

ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЯРКОСТИ СВЕТА В СЛУЧАЕ ПОГЛОЩАЮЩИХ ОБЛАКОВ

Н.П. Евлампиев, B.C. Мокейчев, PI.Е. Филиппов

Аннотация

В статье обобщается модель В.А. Амбарцумяна о поглощении света в межзвёздном пространстве на случай, когда имеется n типов поглощающих облаков, равномерно распределенных в экваториальной плоскости Галактики и имеющих различные оптические прозрачности. При этом число облаков, обладающих заданной прозрачностью и расположенных в заданном направлении экваториальной плоскости до расстояния s от наблюдателя, является случайной функцией и при каждом фиксированном s имеет распределение Пуассона.

Ключевые слова: модель В. А. Амбарцумяна, поглощение света в межзвёздном пространстве, дифференциальное q-разностное уравнение.

В 1944 г. В.А. Амбарцумян, рассматривая задачу о поглощение света в межзвёздном пространстве [1], доказал, что плотность распределения у(х) полной яркости источника является решением задачи

у'(х) + у(х) = у(х/ц), х> 0, (1)

у(х) > 0, / у(х) (1х =1, (2)

0

где ц € (0, 1) - постоянная, характеризующая прозрачность поглощающих облаков. Г.И. Русаков [2] в 1949 г. выписал решение уравнения (1) в виде функционального ряда

д(х) = С(ехр(-х) + ^ехр(-х/цг)/(цг(1 - ц-1) •• • (1 - ц-4))-1). (3)

*=1

Однако вопрос о выполнении условий (2) остался открытым. Обоснование того, что решение уравнения (1), предложенное Г.И. Русаковым, является решением задачи (1), (2), приведено в [3]. В [4] решена более общая задача

у'(х) + Ьу(х) = ау(х/ц), х > 0, (4)

у(х) > 0, J у(х) йх = 1, (5)

0

где а, Ь — вещественные постоянные.

Нами обобщается модель В.А. Амбарцумяна на случай п типов поглощающих облаков, равномерно распределенных в экваториальной плоскости Галактики и имеющих оптические прозрачности ц1,..., цп, ц < 1, г = 1,..., п.

Пусть д = (^1,..., дп), т(в) = (т^в),..., тп(в)), где т&(в) - число облаков, обладающих прозрачностью , расположенных в заданном направлении экваториальной плоскости до расстояния в от наблюдателя .Случайная функция т^ (в) при каждом фиксированном в имеет распределение Пуассона

Р (тй(в) = г) = (^в)г ехр(-^ в)/г'!, г = 0, 1,..., (6)

где характеризует среднее число облаков прозрачности ^ в единице объема, р _ символ вероятности.

Облака, обладающие прозрачностью , ослабляют свет звезды, находящейся на расстоянии в, в (я) раз, поэтому суммарное действие всех облаков вызывает

ослабление света в д:(я) = раз. Тогда полная яркость I в данном

направлении будет равна

I = J д:(я)п^,

о

где п характеризует энергию излучения источника.

Обозначим через Р функцию распределения вероятностей этой яркости, то есть Р(ж) = Р(I < ж), через Я&(в) - событие, заключающееся в том, что случайный вектор т(в) примет значение к = (&!,..., кп) € .

Как обычно, через ^”(^+) обозначаем множество п-мерных векторов с целочисленными координатами (неотрицательными, целочисленными координатами). Если к = (к1?..., кп) - мультииндекс, то полагаем |к| = |к1| + • • • + |кп|.

Пусть £ > 0 - малая величина. Используя теорему умножения для независимых событий, в силу (6) получим

П П

Р(Но(£)) = ЦР(т*(£) = 0) = ^(1 - ^£) + о(£),

Р(яй(£)) = ^£^(1 - ^£) + о(£), |к| = 1 (к, = 1, к* = 0, г = Д

Р(Як(£))= 0(£), |к|> 2.

Применяя формулу полной вероятности и пренебрегая членами о(£), получим

Р(ж) = Р(Но(£))Р(I < ж|Но(£)) +53 Р(Як(£))Р(I < ж|Я*(£)) =

|й| = 1

= (1 - (^1 + ••• + ^„)£)Р ^ I д:(а) п^ + I д:(а)п^ <ж|Яо(£)^ +

(У £ СЮ \

( / д:(а)п^ + / д:(а) < ж!:^^

^ о £ '

следовательно,

Р(ж) = (1 - ^£)Р I У д:(8)-:(£)п ^ < ж - £П I +

+ ^3 V,- £Р | qj I д:(я)-:(е) < ж - £0,п ) , (7)

5=1

п

128

Н.П. ЕВЛАМПИЕВ И ДР.

V = V! +-----+ ^п, 0 < 0, < 1, у = 1,...,п.

В силу равномерности распределения поглощающих облаков

Р ^У д:(я)-:(е)п^ < ж^ = Р ^£ д:(я)п^ < ж^ .

Отсюда и из (7) следует, что

п

Р (ж) = (1 - V£)Р (ж - £п) + V, £Р ((ж - £0, п)/д,).

,= 1

Предполагая Р достаточно гладкой и пренебрегая членами о(£), последнее уравнение запишем в виде

п

Р(ж) = (1 - V£)Р(ж) - £пР7(ж) +

£Р (ж/д,).

,= 1

Поэтому

п

(n/v)p/ + Р (ж) = Е(^'/v)Р (ж/д,). (8)

,= 1

Сделав замену переменной £ = vx/n и продифференцировав (8), окончательно

получим

п

у/ + у(£) = Е ь^у(£/дй), £> 0, (9)

&=1

где у(£) = Р/(£) - плотность распределения яркости, числа Ъ^ удовлетворяют соотношениям

п

Ъ^ > 0, к = 1, 2,...,п; ^ Ъ^ = 1.

&=1

Легко видеть, что уравнение В.А. Амбарцумяна (1) получается из (9) в случае п = 1.

Пусть составляют геометрическую прогрессию: А^ = Ай, к = 1,2,..., п. Рассмотрим уравнение

п

У / + яу(£)=^ Ъ,у^£), £> 0, (10)

,=1

где а > 0, А, > 1, Ъ, € Я.

Уравнение (10) имеет решение

у(£) = С^в& ехр(-аА^), £> 0, (11)

&=о

где С - произвольная постоянная, коэффициенты в& удовлетворяют рекуррентным соотношениям

п

во = 1, в: = (а(1 - А:))-1^ Ъйв:-^ (вг = 0, г < 0). (12)

&=1

Очевидно, что решение Г.И. Русакова (3) получается из (11).

Summary

N.P. Evlampiev, V.S. Mokeichev, I.E. Philippov. Density of Distribution of Light. Intensity in the Case of Absorbing Clouds.

In this article we consider a generalization of the Ambartsumyan's model 011 the absorption of light in the interstellar space for the case when there are n types of absorbing clouds uniformly distributed in the equatorial plane of the Galaxy and having different optical transparencies. It is also supposed that the number of clouds having a preassigned transparency and located in a preassigned direction of the equatorial plane to the distance s from an observer is a random function and for every fixed s has Poisson distribution.

Key words: Ambartsumyan’s model, absorption of light in interstellar space, q-difference differential equation.

Литература

1. Амбарцумян В.А. Научные труды: в 3 т. Ереван: Изд-во АН Арм. ССР, 1960.

Т. 1. 430 с.

2. Русаков Г.И. Флуктуации яркости Млечного пути // Учен. зап. Лепипгр. ун-та. Сер. матем. паук. 1949. Вып. 18 С. 53 79.

3. Евлампиев Н.П., Филиппов И.Е. Нахождение функции распределения поглощения света в межзвёздном пространстве // Тез. докл. Десятого чехослов.-сов. совещ. «Применение функциональных методов и методов теории функций к задачам математической физики». Стара-Тура, 1988. С. 51.

4. Мокейчев B.C., Евлампиев Н.П. О решении па полуоси дифферепциалыю-разпост-

пого уравнения // Изв. вузов. Матем. 1991. Л'! 4. С. 44 47.

Поступила в редакцию 22.06.12

Евлампиев Николай Петрович директор ООО «Иптек плюс», г. Казань.

Мокейчев Валерий Степанович кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры прикладной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаіІ: Valery.MukeychevQksu.ru

Филиппов Игорь Евгеньевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры прикладной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.