Об одном обобщении уравнения амбарцумяна Текст научной статьи по специальности «Математика»

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 156, кн. 4 Физико-математические науки

2014

УДК 517.929

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ УРАВНЕНИЯ АМБАРЦУМЯНА

Н.П. Евлампиев, А.М. Сидоров, И.Е. Филиппов

Аннотация

В статье рассмотрено функционально-дифференциальное уравнение

П

y(t) + ay(t)=^2 bjy(Ajt), t> 0,

где a> 0, bj E R, A > 1. Такое уравнение возникает при обобщении модели В.А. Амбарцумяна поглощения света в межзвёздном пространстве. Доказано существование решения этого уравнения, которое может быть записано в виде ряда.

Ключевые слова: уравнение Амбарцумяна, функционально-дифференциальное уравнение, рекуррентное соотношение, теорема существования.

В работе [1] была рассмотрена задача о поглощении света в межзвёздном пространстве в случае, когда имеются n типов поглощающих облаков, равномерно распределенных в экваториальной плоскости Галактики и имеющих различные оптические плотности. Было показано, что плотность распределения яркости y(t) удовлетворяет уравнению

где qi,... ,qn - оптические прозрачности, 0 < qj < 1, bj > 0 - некоторые числа, j = 1,... ,n. При n =1 уравнение (1) является уравнением В.А. Амбарцумяна [2]. Разрешимость этого уравнения была исследована в [3] (см. также [4, 5]).

В настоящей работе рассматриваются решения более общего уравнения

где a > 0, Xj > 1, bj Е R. Под решением уравнения (2) будем понимать дифференцируемую на (0, +гс>) функцию, обращающую его в тождество.

Вид решения этого уравнения зависит от арифметических свойств чисел Xi,..., Xn . Рассмотрим три случая.

1. Геометрически разностное уравнение.

Пусть Xj = Xj , X > 1 , j = 1, . . . , n, то есть числа Xj составляют геометриче-

скую прогрессию. Уравнение (2) в этом случае называется дифференциальным геометрически разностным:

t > 0,

(1)

n

y'(t) + ay(t) = ^2 bjy(Xjt), t > 0,

(2)

n

y(t) + ay(t) = ^2 bjy(Xjt), t > 0,

(3)

25

26

Н.П. ЕВЛАМПИЕВ И ДР.

Теорема 1. Уравнение (3) имеет решение

Ж

y(t) = cJ2@k e-aXt, t> 0, (4)

k=0

где c - произвольная постоянная, а коэффициенты pk удовлетворяют рекуррентным соотношениям

p0 1? pm

л(1 - Am)

^ ' bkpm — k,

(5)

k=i

в которых pr =0 для r < 0.

Доказательство. Предположим, что ряд (4) сходится и его сумма y(t) является решением уравнения (3). Подставив ряд (4) в уравнение (3), получим

J^apk (1 - Ak )e-aXt = ^2 bjJ2 в

e-axr+t,

k=0

j=1 r=0

откуда

oo / n

J2aPk (1 - Ak)e-aXt = 52 [52 bj в— I e

k=1 \j=1

— aXkt

(6)

k=1

, k .

Сравнив коэффициенты при членах с одинаковыми e-a в (6), мы видим, что

коэффициенты pk ряда (4) удовлетворяют рекуррентным соотношениям (5).

Докажем, что сумма ряда (4), коэффициенты которого удовлетворяют (5), является решением уравнения (3). Для этого нужно доказать, что этот ряд и ряд, полученный из него путем почленного дифференцирования, равномерно относительно t сходятся на множестве (0, +то). Пусть b = max { |b11,..., \bn\ }. Поскольку bn

lim ,-----— = 0, то найдется такое ко G N, что при k > ko справедливо нера-

k^-ж a(Xk — 1) венство

bn

< 1.

a(Xk - 1)

Положим p = max{\b1\,..., \bko\}. Используя (5) и (7), имеем

(7)

\pko+1\ <

1

i(Ako+1 - 1)

'У \bj \ ■ \pko + 1-j \ <

bnp

j=1

i(Ako+1 - 1)

< p.

Пусть при j = 1,... ,m справедливы неравенства \pk0+j\ < в. Тогда

1 n bnp

\pko+m+1 \ ^

l(Ako+m+1 - 1)

У ] \bj \ ■ \pko+m+1-j \ <

j=1

i(Ako+m+1 - 1)

<p.

Значит, \pk \ < \p\ для всех к G N. Отсюда следует, что для всех к G N

\pk \ < M

Ak 1

(8)

1

где M

---. При t > 0

a

pke

aXk t

< \ pk \ <

M

Ak - 1.

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ УРАВНЕНИЯ АМБАРЦУМЯНА

27

Ряд £

М

к=1

Лк - 1

сходится, поскольку Л > 1. Значит, ряд (3) равномерно схо-

дится на множестве (0, +гс>). На этом множестве равномерно сходится и ряд

Ж

'^/вк(-аЛк)e-aX(k')t. Действительно, применив (8), получаем, что для t > 0 при

к=0

всех k G N

вк (-аЛк)e~a^t < 1} Е ЬI • \вк-о I <

V / j=i

ЬМЛк

<

£-

<

ЬМЛк n

Лк-1 j= Лк- - 1 (Лк - 1)(Лк-п - 1)'

Из

Ж ЬМЛк n ^

сходимости ряда > -—---------------- следует необходимое утверждение. □

(Лк - 1)(Лк-п - 1)

1

2. Случай несоизмеримых показателей.

Определение 1. Ненулевые действительные числа zi,...,zm называются несоизмеримыми, если уравнение в целых числах zixi + • • • + zmxm = 0 имеет лишь решение xi = ... = xm = 0.

Рассмотрим уравнение (2), в котором Лj = Лгj, j = 1,... ,n, ri,... ,rn - целые положительные числа, Л > 1 , то есть уравнение

п

y'(t) + ay(t) =^2 bjУ(ЛГзt), t > 0. (9)

j=i

Через Z+ обозначим множество всех мультииндексов-наборов из n неотрицательных чисел. Если к = (ki,. .., кп) и l = (li,.. . ,ln) - мультииндексы, и и v -целые числа, то обозначим k • l = ki li + • • • + knln, uk ± vl = (uki ± vli,... ,ukn ± vln), |k| = ki + • • • + kn . Обозначим ej = (0,..., 0,1,0,..., 0), где единица стоит лишь на j-м месте, j = 1,... ,n, в = (0,..., 0) G Z+ .

Теорема 2. Пусть ri, ... ,Г2 - несоизмеримые числа. Тогда уравнение (9) имеет решение

Ж

y(t) = с £ вкe-atxk ", t> 0, (10)

| к | =0

где C - произвольная постоянная, k = (ki,. .. ,kn) G Z++, r = (ri,. .. ,rn), коэффициенты вк удовлетворяют рекуррентным соотношениям

1n

ве = 1, вк = a(1 л к г) £ bjвк-е,, (11)

j=i

в которых вь =0 для l = (li,... ,ln) G Z+ .

Доказательство. Подставим ряд (10) в уравнение (9):

£ авк(1 - Лк г)е

|k|=0

к-т\-аЫК^

J2bjJ2 вк

j=i |к|=0

aXkr+r3 t

£ I £ bjвк-е, I e

— at\kr

| k| =0 j=i

28

Н.П. ЕВЛАМПИЕВ И ДР.

Поскольку числа т\,... ,rn несоизмеримы, из этих равенств следует, что коэффициенты в к удовлетворяют рекуррентным соотношениям (11). Сумма ряда (10) с такими коэффициентами вк удовлетворяет уравнению (9), если этот ряд, а также ряд, полученный из него почленным дифференцированием, равномерно сходятся на множестве (0, +то). Как и при доказательстве теоремы 1, обозначим

bn

b = max{|biI,..., \bn\} и заметим, что lim ,^к r---— = 0. Существует такое

mo € N, что при |k| > mo

bn

а(Хк r — 1)

< 1. Положим в = max \вк\, где cpmo = a(\kr — 1) kepmo

{k € Z+, |k| < mo}.

Пусть k € ^mc+i. Тогда k — ej € pmo для j = 1,...,n, и

\вк | <

1

а(Хк r — 1) з

1) \bj | \вк ej | <

bnp

i(Xk •r — 1)

<в.

(12)

Предположим, что при некотором m € N для всех k € уmc+m справедливо неравенство \вк | < в. Поскольку k — ej € уm0+m для к € уm0+m+i, то \вк — ej | < в, j = 1,... ,n. Значит, для таких k справедливо (12), и, следовательно, \вк | < в для всех k € Z+. При t > 0 имеем

Ыв

а(\к• r — 1) < АТкГ■ k € Z+.

Отсюда следует, что на множестве (0, +то) ряд (10) сходится равномерно. На этом множестве для всех k € Z+

n+

вк(—аХкr )e-"- < bj \вк — ej\ < £

j=1 j=1

1

Х(к-ез )• r _ 1

< dк,

1 X^r b2n2 в 1

где ак = —;--------• —;---------, r0 = max гл.

A к Хк • r — 1 Хк •r—ro — 1 0 j = 1,...,n j

M ж

Поскольку ак ~ -гтгт при |k| ^ +rc>, ряд N ак сходится. Значит, ряд

Х\к\

\к\=0

Ж

''У^ вк(—аХк'r)e-atx равномерно сходится на множестве (0, +гс>). Теорема до-

□

\к\=0

казана.

3. Общий случай.

Определение 2. Пусть дано множество T С R. Базисом в T называется любое множество B С T несоизмеримых чисел такое, что добавив к B любое число из T \ B, мы получим множество чисел, не являющихся несоизмеримыми.

Пусть T = {ri,... ,rs,... ,rn} - заданное множество целых положительных чисел и множество B = {ri,... , rs} является базисом в T. Тогда числа rs+i,... ,rn представимы в виде линейных комбинаций элементов базиса:

S

rP У ^ ®P,jr j , (13)

j=i

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ УРАВНЕНИЯ АМБАРЦУМЯНА

29

где ap,j - рациональные числа, p = s+1,... ,n. Очевидно, что равенство (13) можно 1 s

записать в виде rp = ^ ^3 a'P,jгз, где A и apj - целые числа, p = s + 1,..., n.

j=i

Рассмотрим уравнение (9), в котором множество B является базисом в T. Решение этого уравнения будем искать в виде ряда

y(t) =

-at\kr

(14)

k 1=0

где c - произвольная постоянная, k = (ki,..., ks) G Z+, r = (ri,... ,rs), Ao = A1/a,

во = 1. Подставив (14) в уравнение (9), получим

n оо

Y авк(1 - Ak r)e-atx0'r = £ ви

| k | = 0 j = l |k|=0

e-at\k0rXrj .

(15)

Имеем, что A^r • Arj = a0k+Aej)r при j = 1,...,s и Akr • Arj = A|

(k+aj )r 0

при j

1s

= s + 1,... ,n, так как rj = ^ aj,iri

i=i

равенство (15) можно записать в виде

A

-, где a.j = (aj,i, .. ., aj,s). Поэтому

Y aeu(1 - Ak r)e-atx0

|k|=0

0

YbjY виe

j=i |k|=0

-at\,

(k + Aej ) • r

+

+ Y bj Yви

j=s+l |k|=0

(k + aj ) • r

e ~,'^o

Y, I $3bjek-Aej + Yzbjek-aj ie

|k|=0 \j = i j=s + 1

-atXk •r

Поскольку множество B состоит из несоизмеримых чисел, то, сравнивая коэффи-

_nt\k • r

циенты при членах с одинаковыми e 0 , находим

ek = a(1 _ Akr) ( 53 bj ek-Aej + Yz bj ek-aj 1 , (16)

^ 0 ' \j=1 j=s+1 J

где во = 1, вь =0 для l = (li, ...,ls) G Z+.

То, что сумма ряда (14), коэффициенты которого вk определены в (16), является решением уравнения (9), доказывается так же, как и в теореме 2. Таким образом, доказана

Теорема 3. Пусть множество {ri, ... ,rs} является базисом в множестве {ri,. .. ,rs, .. ., rn} . Тогда уравнение (9) имеет решение (14), где c - произвольная, постоянная, коэффициенты вk определены в (16).

Замечание 1. Пусть s = n, то есть все показатели {ri,..., rn} несоизмеримы. Тогда решение (14), (16) принимает вид (10), (11), если положить A =1.

Если же rj = j, j = 1,... ,n (геометрически разностное уравнение), то S = 1, A = 1, a,j = j, и, следовательно, равенства (16) переходят в (5).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-08-00392).

30

Н.П. ЕВЛАМПИЕВ И ДР.

Summary

N.P. Evlampiev, A.M. Sidorov, I.E. Philippov. On a Generalization of Ambartsumyan’s Equation.

The paper discusses the functional-differential equation

n

y(t) + ay(t)=^2 bj y(x31), t> 0,

j=i

where a > 0, bj e R, X > 1. Such equation arises from a generalization of Ambartsumyan’s model of light absorption in the interstellar space. The existence of the solution to this equation, which can be written in the form of a series, is demonstrated.

Keywords: Ambartsumyan’s equation, functional-differential equation, recurrence relation, existence theorem.

Литература

1. Евлампиев Н.П., Мокейчев В.С., Филиппов И.Е. Вывод уравнения для плотности распределения яркости света в случае различных облаков // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2012. - Т. 154, кн. 4. - С. 126-129.

2. Амбарцумян В.А. Научные труды: в 3 т. - Ереван: Изд-во АН Арм. ССР, 1960. -Т. 1. - 430 с.

3. Мокейчев В.С., Евлампиев Н.П. О решении на полуоси дифференциально-разностного уравнения // Изв. вузов. Матем. - 1991. - № 4. - С. 44-47.

4. Kato T., McLeod J.B. The functional-differential equation y'(x) = ay(Xx) + by(x) // Bull. Amer. Math. Soc. - 1971. - V. 77, No 6. - P. 891-937.

5. Русаков Г.И. Флуктуации яркости Млечного пути // Учен. зап. Ленингр. ун-та. Сер. матем. наук. - 1949. - Вып. 18 - С. 53-79.

Поступила в редакцию

23.07.14

Евлампиев Николай Петрович - директор, ООО «Интек плюс», г. Казань, Россия.

Сидоров Анатолий Михайлович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: Anatoly.Sidorov@kpfu.ru

Филиппов Игорь Евгеньевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: Igor.Filippov@kpfu.ru