Об одном функционально-дифференциальном уравнении Текст научной статьи по специальности «Математика»

2016, Т. 158, кн. 2 С.194-201

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

УДК 517.929

ОБ ОДНОМ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ

Н.П. Евлампиев1, А.М. Сидоров2, И.Е. Филиппов2

1ООО «Интек плюс», г. Казань, 420066, Россия

2Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия

Аннотация

В работе представлены условия существования и единственности решения задачи для функционально-дифференциального уравнения. Частным случаем этого уравнения является выведенное ранее авторами функционально-дифференциальное уравнение для плотности распределения яркости света в межзвездном пространстве в случае нескольких облаков, равномерно распределенных в экваториальной плоскости Галактики и имеющих различные оптические плотности.

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, теорема существования, единственность решения

Работа, являющаяся продолжением работы [1], посвящена изучению задачи

п

у'(Ь) + ау(г) = ^2 Ъзу(Хз*), *> 0, (1)

3 = 1

у(Ь) > 0, (2)

У у(ь) & = 1, (3)

0

где а > 0, Хз > 1, Ьз € К, ] = 1, • • • ,п. Решение задачи (1)—(3) ищется в классе Сх(0, .

В [2] было показано, что эта задача возникает при обобщении модели В.А. Ам-барцумяна [3] поглощения света в межзвездном пространстве в случае, когда имеется п типов поглощающих облаков, равномерно распределенных в экваториальной плоскости Галактики и имеющих различные оптические прозрачности д\, • • • ,дп, где дз < 1, ] = 1, • • • ,п. Именно, плотность распределения у(Ь) яркости источника света удовлетворяет уравнению

у'(*) + у(ь) = 3= Ьз, Ь > 0, (4)

п

где Ьз > 0, ] = 1, • • • , п, Ьз дз = 1. Для п =1 функционально-дифференциаль-

з=1

ное уравнение (1) рассматривалось в [4-6], уравнение (4) - в [7].

В [1] найдено решение уравнения (1). Приведем его. Пусть А- = Атз, где т\, ••• ,тп - целые положительные числа, А > 1. Предположим, что множество {г1, • • • т8} является базисом в множестве тх, • • • ,т8, • • • ,тп (определение базиса дано в [1]). Тогда (теорема 3 [1]) уравнение (1) имеет решение

œ

y(t)= Cj2@k exp-atA^), (5)

\k\ = 0

где C - произвольная постоянная, к = (ki, ••• ,ks ) G Z+, r = (ri, ••• ,rs), |k| = = ki + • • • + ks, к • r = kiri + • • • + ksrs, коэффициенты fî^, а также число Ao > 1 определены в [1].

В настоящей работе рассматривается вопрос о разрешимости задачи (1)-(3), а также о единственности её решения. Для n =1 эта задача изучалась в [8]. Обозначим T+ = {j G N„|6j > 0}, T- = {j G N„|6j < 0}, где Nn = {1, • • • ,n}.

Теорема 1. Для того чтобы задача (1) -(3) была разрешима, необходимо, чтобы

n 1

£ j S a, (6)

и достаточно, чтобы

n i.

£ j S a. (7)

Доказательство. Необходимость. Пусть y(t) - решение задачи (1)-(3). Интегрируя (1) от 0 до t > 0 и переходя к пределу при t ^ , получим

t Xi t t

lim f y'(t) dr = lim f у(т) dr — a lim f у(т) dr,

t—J —^ \j t—J t—J

0 j=1 0 0

b •

lim y(t)= y(+0) + J2 j — a.

j=1 J

Из сходимости интеграла / y(t) dt следует, что lim y(t) = 0. Поэтому

/ t—

Ь—

0

!1 Ь -

0 < у(+0) = а — 2, —, и неравенство (6) доказано.

л Аз

з=1 -1

Достаточность. Пусть выполнено неравенство (7). Рассмотрим функцию у(Ь), определенную равенством (5) при С =1. В [1] для этой функции установлено, что у(Ь) непрерывно дифференцируема и интегрируема на (0, . Запишем у(Ь) в виде

/ \ у(1) = ехр(—аЬ) 1 + ^ вк ехр ( — аг(Хк0'т — 1)) .

|к| = 1 '

Поскольку Ао > 1, т- > 0, у = 1, •• • ,в, то Ак'т > 1. Значит, функция у(Ь) положительна при всех достаточно больших Ь. Пусть ¿о =0 таково, что у (¿о) = 0 и у(Ь) > 0 при Ь > ¿о. Подставим у(Ь) в (1) и проинтегрируем полученное равенство от ¿о до :

+ ТО п +ТО

/' Ь I'

у(Ь) & = А- I у(*) (8)

Л 3 Ь0

to j = 1 ' Xjt

Запишем последнее равенство в виде

+ ^ А3 ¿0

(а - Е у) / у^ л + Е 3 /А = Е 3 / у(*) ^ (9)

4 ^ /о ' ¿0 Е- ¿0

Мы полагаем, что при Т- = 0 правая часть равенства (9) равна нулю. Если Т- = 0, то

Е I у(<) о-

3ЕТ- ¿0

Левая часть равенства (9) в силу (7) и выбора ¿о неотрицательна. Полученное противоречие доказывает, что для функции у(Ь) выполнено условие (2). Положим

(+ТО ч -1

J у(1) . Функция С ■ у(1) является решением задачи (1)-(3). Теорема

доказана. □

Замечание 1. Задача (1)-(3) разрешима, если Т- = (мы полагаем

А*

£ 3 = о >.

3Е0 3

Замечание 2. Задача (4), (2), (3) о распространении света разрешима, поскольку выполнено условие (7).

Теорема 2. Пусть выполнены условие

тах А3 < тт Аз (10)

3ЕТ- оЕТ+

и условие (6). Тогда задача (1) -(3) разрешима.

Доказательство. Снова возьмем функцию у(¿), определенную равенством (5) при С = 1. Нужно доказать, что функция у(Ь) удовлетворяет условию (2). Предположим, что существует ¿о = 0, для которого у (¿о) = 0, и при £ > ¿о справедливо неравенство у(Ь) > 0. Положим

+ ^ А^ ¿о Аз ¿о

А1 = / у(£) А2 = тт / у(1) А3 = тах у(Ь) А. ¿0 ¿0 ¿0 Из (10) следует, что А1 > А2 > Аз > 0 .С помощью равенства (8) получаем

4 - Е ■ + А2 Е ■ + А Е ■ <(« - Е ■ С л+

\ 3=1 Ч 3ЕТ+ 3 ЗЕТ- 3 \ з=1 Ч ¿0

Аз ¿0

п ъ ■ с /* п Ь ■ Р

^Е у(*)аь =а у(*)3* ^Е у(*)аь = 0-

3=1 3 7=1 3

¿0 ¿0 Х6 ¿0

Значит,

4 а - Е ■ + А2 Е ■ + Аз Е ■ < 0- (11)

V 3 = 1 Ч 3ЕТ+ 3 ЗЕТ- 3

Однако это невозможно. Действительно, записав левую часть неравенства (11) в виде

п Ь Ь

а^1 — £ - А — Аз) + £ - А — А3),

з=1 3 3ет+ 3

п Ь • п Ь •

получим, что она положительна, если • < 0. Если же 0 < ^^ — < а, то

3=1 А 3=1 А

А1 (а — £ —) + А2 £ — + Аз £ — =

\ з=1 3 ) зет+ 3 зет- 3

п Ь Ь

= аА1 — (А1 — Аз)^ 3 + (А2 — Аз) £ 3>

3=1 3 3ет+ 3

> аА1 — (А1 — А3)а + (А2 — Аз) £ 3 = аАз + (А2 — Аз^ £ 3 > 0.

3ет+ 3 3ет+ 3

Полученное противоречие показывает, что функция у(г) удовлетворяет условию (2). Теорема доказана. □

Теорема 3. Если решение у (г) задачи (1) -(3) имеет конечные моменты

Цш = J ¿ту(Ь) ¿г, т £ N (12)

о

то оно единственно.

Доказательство. Умножим обе части уравнения (1) на тш и проинтегрируем от 0 до г > 0:

Ь Ь п Х3 Ь

гшу(г) = т | тш-1у(т) ¿т — а| тшу(т) ¿т + £ 3 / тшу(т) ¿т. (13)

о

3 = 1 3

Поскольку интегралы (12) сходятся, то из (13) следует, что lim tmy(t) = 0.

t—

Перейдя в (13) к пределу при t ^ , получим

/ m b ^ X"1

Mm = mla -V" тт+T • m e N,

=1

где

Значит,

Mo = J y(t) dt = 1.

Mm = m' ^ IT ^a - £ .

Достаточным условием однозначного соответствия между числами ¡лт и у(Ь) является условие Карлемана [9]

ж i

У -;- =

m=a 2V

1 ае

Но это условие выполнено, так как -~ — при т ^ ж. Теорема доказана. □

тйт т

Теорема 4. Задача (1) -(3) имеет единственное решение, если

Е 3 < а- (14)

3ЕТ+ 3

Доказательство. В силу теоремы 1 из условия (14) следует разрешимость задачи (1)—(3). Пусть у(Ь) - решение этой задачи. Функция

v(t)=j У(т) dT, t> 0,

удовлетворяет уравнению

п ъ

Ух(*) = У2 3 У1(А3¿) - ау1(г). (15)

3 = 1 А

Легко видеть, что У1(Ь) > 0 и существует такое ¿1, что на промежутке (¿1, функция у1(Ь) является убывающей. Из равенства (15) получаем

у1 (*) = ^ 3 У1(А3а < х^ а У1(*)= = А3 У1(¿) а< А3 а

откуда, интегрируя от ¿1 до 2 > ¿1, находим, что

ь тй_ <( е 3 - \ (^ - ¿1),

У1(г1) \3ЕТ+ А3 )

i(t) <yi(ti)exp ^ j - ^^^

Vi(t) <vi(ti)exp(( - аМ- (16)

jT j

Поскольку v(t) = -Vi (t), то из (14) и (16) следует lim tmy(t) = 0, m G N.

t—

Значит, решение задачи y(t) имеет конечные моменты ¡лт, m G N, и по теореме 3 единственно. Теорема доказана. □

Повторяя с очевидными изменениями доказательство предыдущей теоремы, убеждаемся в том, что справедлива

Теорема 5. Решение y(t) задачи (4), (2), (3) о распространении света един-

t

ственно, если сходится интеграл J (1 — F(t)) dt, где F(t) = j у(т) dT .

Замечание 3. В теореме 5 условие сходимости интеграла У (1 — ¥(£))

о

можно заменить на существование первого момента функции у(Ь). Действительно, пусть существует = ty(t) А. Имеем

ж

1

1 - F(t) = J у(т) dT < t J ту(т) dr, t > 0.

t 0

Значит, lim t(1 — F(t)) = 0. Переходя к пределу при t ^ в равенстве

t—^

t t j(1 — F(т)) dr = (1 — F(t))t + j ту(т) dr,

00

получим, что сходится интеграл У (1 — F(т)) d\т.

Литература

1. Евлампиев Н.П., Сидоров А.М., Филлипов И.Е. Об одном обобщении уравнения Ам-барцумяна // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2014. - Т. 156, кн. 4. -С. 25-30.

2. Евлампиев Н.П., Мокейчев В.С., Филиппов И.Е. Вывод уравнения для плотности распределения яркости света в случае различных облаков // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2012. - Т. 154, кн. 4. - С. 126-129.

3. Амбарцумян В.А. Научные труды: в 3 т. - Ереван: Изд-во АН Арм. ССР, 1960. -Т. 1. - 430 с.

4. Kato T., McLeod J.B. The functional-differential equation y'(x) = ay(Xx) + by(x) // Bull. Am. Math. Soc. - 1971. - V. 77, No 6. - P. 891-937.

5. Fox L., Mayer D.F., Ockendon J.R., Tayler A.B. On a functional differential equation // J. Inst. Math. Appl. - 1971. - V. 8, No 3. - P. 271-307.

6. Carr J, Dyson J. The matrix functional differential equation y' (x) = Ay(Xx) + By(x) // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. - 1976. - V. 74. - P. 165-174.

7. Русаков Г.И. Флуктуация яркости Млечного пути // Учен. зап. Ленингр. ун-та. Сер. матем. наук. - 1949. - Вып. 18. - С. 53-79.

8. Мокейчев В.С., Евлампиев Н.П. О решении на полуоси дифференциально-разностного уравнения // Изв. вузов. Матем. - 1991. - № 4. - С. 44-47.

9. Carleman T. Les fonctions quasi-analutiques. - Paris: Gauthier-Villars, 1926. - 116 p.

Поступила в редакцию 22.09.15

Евлампиев Николай Петрович, директор ООО «Интек плюс»

ул. Чистопольская, д. 7, г. Казань, 420066, Россия

Сидоров Анатолий Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: [email protected]

Филиппов Игорь Евгеньевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: [email protected]

ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI

(Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)

2016, vol. 158, no. 2, pp. 194-201

On Some Functional-Differential Equation N.P. Evlampieva, A.M. Sidorovb*, I.E. Filippovb**

a "Intek Plus", Kazan, 420066 Russia bKazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: *[email protected], **[email protected]

Received September 22, 2015 Abstract

The necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of a solution of the problem for the functional-differential equation are established. The special case of this equation is the functional-differential equation deduced previously by us for the distribution density of light brightness in the interstellar space when there are some absorbing clouds distributed uniformly in the equatorial plane of the Galaxy and having different optical transparency.

Keywords: functional-differential equation, existence theorem, uniqueness of solution

References

1. Evlampiev N.P., Sidorov A.M., Philippov I.E. On a generalization of Ambartsumyan's equation.

Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2014, vol. 156, no. 4, pp. 25—30. (In Russian)

2. Evlampiev N.P., Mokeichev V.S., Philippov I.E. Density of distribution of light intensity

in the case of absorbing clouds. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2012, vol. 154, no. 4, pp. 126—129. (In Russian)

3. Ambartsumyan V.A. Scientific Works. 3 Vols. Yerevan, Izd. Akad. Nauk Arm. SSR, 1960, vol. 1. 430 p. (In Russian)

4. Kato T., McLeod J.B. The functional-differential equation y'(x) = ay(Xx) + by(x). Bull. Am. Math. Soc., 1971, vol. 77, no. 6, pp. 891-937.

5. Fox L., Mayer D.F., Ockendon J.R., Tayler A.B. On a functional differential equation./. Inst. Math. Appl., 1971, vol. 8, no. 3, pp. 271-307.

6. Carr J., Dyson J. The matrix functional differential equation y'(x) = Ay(Xx) + By(x). Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. , 1976, vol. 74, pp. 165-174.

7. Rusakov G.I. Fluctuations in brightness of the Milky Way. Uch. Zap. Leningr. Univ., Ser. Mat. Nauk, 1949, vol. 18, pp. 53-79. (In Russian)

8. Mokeichev V.S., Evlampiev N.P. Solution of a differential-difference equation on the semi-axis. Izv. VUZov. Mat., 1991, no. 4, pp. 44-47. (In Russian)

9. Carleman T. Les Fonctions Quasi-Analutiques. Paris, Gauthier-Villars, 1926. 116 p. (In French)

/ Для цитирования: Евлампиев Н.П., Сидоров А.М., Филиппов И.Е. Об одном ( функционально-дифференциальном уравнении // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-\ матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 2. - С. 194-201.

For citation: Evlampiev N.P., Sidorov A.M., Filippov I.E. On some functional-differential equation. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 2, pp. 194-201. (In Russian)