О вариантах разрешимости в квадратурах одного уравнения Вольтерра в трехмерном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА.

_ СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

2016, Т. 158, кн. 4 С. 557-569

ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

УДК 517.968.2

О ВАРИАНТАХ РАЗРЕШИМОСТИ В КВАДРАТУРАХ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

И.М. Шакирова

Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия

Аннотация

Изучается линейное интегральное уравнение достаточно общего вида с тремя независимыми переменными, для которого известен частный случай этого уравнения с указанием определенных возможностей построения его решения в квадратурах. В статье отыскиваются новые варианты таких случаев путем развития методики, применявшейся ранее к подобным уравнениям с двумя независимыми переменными.

На первом шаге рассуждений предлагается способ редукции исходного интегрального уравнения к дифференциальному, граничные значения Гурса для которого вычисляются в квадратурах при определенных условиях. Затем к полученной задаче Гурса применяются два подхода: непосредственное построение ее решения на основе уже известных результатов и использование факторизации левой части дифференциального уравнения с помощью операторов первого и второго порядка. Каждый из этих подходов приводит к выделению определенного класса разрешаемых в квадратурах интегральных уравнений рассматриваемого вида.

Ключевые слова: уравнение Вольтерра, задача Гурса, решение в квадратурах, факторизация

1. Исходное уравнение и его редукция к задаче Гурса

В области Т = {хо <х <х\, у о < у < у\, го < г < г\} рассмотрим уравнение

X

и(х,у,г) + ! Л(£,у,г)и(£,у,г) +

Хо

У г

+ 1 В(х, п,г)и(х,п,г) йц + J С(х,у,()и(х,у,() +

У0 Z0

x y x z

+ JJ D(^,V,z)u(^,V,z)dVd^ +j J E(Z,y,C)u(Z,y,C) dCdt +

x0 y0 x0 z0

У z x У z

+ J j F (x, n, Z )u(x, n, Z )d(dn + j j j G(tnÄ) d(dVd£ = <i>(x,y,z), (1)

У0 zo Хо У0 zo

где Ayz, B xz, СХУ , Dz, еу, Fx, G, $xyz & C(T).

В [1] были указаны некоторые условия на коэффициенты уравнения (1), обеспечивающие построение его решения в квадратурах. Целью настоящей работы является отыскание новых подобных случаев на основе развития методики из [2], где речь шла об уравнениях с двумя независимыми переменными.

д3

Применив к (1) оператор —— , получим дифференциальное уравнение тре-

дхдудг

тьего порядка

пХуг + апХу + Ьпуг + впхг + ¿пх + вПу + ¡иг + ди = ФХуг, (2)

где

а = С, Ь = А, с = В, в = в + Су + Г, в = Аг + Сх + Е,

(3)

/ = Ау + Вх + В, д = В хг + Ауг + Сху + В г + Еу + Гх + С.

Из (1) вытекает, что граничные значения Гурса и(хо,у,г) = у1(у,г), и(х,уо,г) = ф2(х,г), и(х,у,го) = уз(х,у) для уравнения (2) удовлетворяют соотношениям

у г

уо го

у г

+ ] ] Г(хо, П, С) = Ф(х0,у,г),

уо го

Ф2(х,г) + ! А(£,уо,г)ф2(£,г) + ^ С(х,уоX)у2(х,() +

хо го

х г

+ ! [ Е(£,уо,ОЫ€,0 вС % = Ф(х,уо,г), (4)

х у

уз(х,у) + ! А(^,у,го)уз(^,у)в^ + ! В(х, ц, го)<рз(х,ц)

уо

х у

хо уо

д2

Применяя к первому соотношению (4) оператор ———, получим

дудг

Ф1у* (у, г) + С(хо, у, г)^1у (у, г) + В(хо, у, (у, г)+

+ [Су (хо, у, г) + В г (хо, у, г) + Г (хо ,у, г)]у1(у, г) = Фуг (хо,у,г). (5)

Из (4) также следуют формулы

г

у1(уо,г) = Ф(хо,уо,г) С(хо,уо,С)у1(хо,уоХ)

У

¥1 (у, го) =Ф(хо,у,го) - J В(хо,п, го)<Р1(хо,П,го) ¿п,

Уо

которые порождают два обыкновенных линейных дифференциальных уравнения первого порядка с известным начальным значением (хо,уо):

(у, го) + В (хо, у, го)¥1(у, го) = Фу (хо, у, го),

¥1* (уо, г) + С(хо,уо,г)ф1 (уо,г) = Фг(хо,уо,г), ¥1(уо, го) = Ф(хо,уо, го). Решая их, найдем

¥1(у,го) = М1(у)ехр I В(хо,п,го) ¿п I ,

\ уо /

¥1(хо,г) = М2(г)ехр I С(хо,уоХ) ¿С

(6)

где

У / п \

М1(у) = ! Фп(хо,п,го)ехр В(хо,П1, го)йп1\ ¿п + Ф(хо,уо, го),

"п

Уо У

г / С

М2(г) = ! Фс(хо, уо, С)ехр С(хо,уо,С1Ж1| < + Ф(хо,уо,го).

го \г /

Равенства (6) задают граничные значения для задачи Гурса (5). Аналогично,

д2 ( д2 \

применяя ко второму (третьему) уравнению (4) оператор а , придем

дхдг \дхду I

еще к двум задачам Гурса:

(x, г) + C(x, Уо, г)¥2х(x, г) + Л(x, уо, г)¥2*(x, г)+

+ [Сх(х, уо, г) + Лг(х, уо, г) + Е(х, уо, г)] V2(х, г) = Фхг(х, уо, г), (7)

¥2(х,го) = Ы1(х)ехр I ^У Л(£,уо,го) I ,

\ Хо /

¥2(хо,г) = ^(г)ехр I С(хо,уо,С) I ,

(8)

где

X

^(х) = ! Ф5(£,уо,го)ехр А(£ь уо, го)^1 I + Ф(хо,уо, го),

Хо \х /

N2 (г) = J Фс (хо,уо,С )ехр С (хо, уо, С1Ж1 I + Ф(хо,уо ,го),

е

(я, у) + У, го)фзх (я, у) + В{х, у, го)фзу (х, у)+

+ [Лх(х, у, го) + Ву(х, у, го) + В(х, у, го)]фз(х, у) = Фху(х, у, го), (9)

Vз(х,Уо) = Р!(х)ехр I ^У Л(£,уо,го) ^

\ Х0 /

<Рз(хо,у) = Р2(у)ехр I ^у В(хо,п,?о) ¿п I ,

(10)

у0

где

РЛх) = IФ^(£,уо,го)ехр ^ Л(&, уо, I + Ф(хо,уо, го),

Х0 \х )

У / П \

Р2 (у) = J Фп (хо,П,го)ехр |У В(хо,П1^о)^А ¿п + Ф(хо,уо, го)-

у0

2. Варианты условий определения граничных значений задачи Гурса в явном виде

Для отыскания каждой из функций ф1, V2, фз мы получили задачу Гурса, связанную с уравнением вида

0Ху + авх + ¡Зву + 7в = 5,

(11)

где можем (и будем) считать в пробегающей значения фк, к = 1, 2, 3, а коэффициенты находятся путем решения (5), (7), (9).

Известно [3, с. 172], [4, с. 14], что решения таких задач записываются через соответствующие функции Римана. Например, для в = VI получается формула

ф1(у, г) = Ъ(у, го, у, г)ф1(у, го) + И1(уо, г, у, г)ф1(хо, г)-К^уо, го, у, г)ф1(уо, го)+ у

+ I

д

в(п, го)К1(п, го, у, г) - — К1(п, го, у, г) дп

+

а(уо,С)К1 (го, С, у, г) - —кЛуо,(,у, г)

ф1(п, го) ¿п+ ф1(хо,С) ¿С+ + ! ! К1(п, С, у, г)5(п, С) ¿(¿п,

уо ^0

в которой граничные значения определены в (6), а К1 - функция Римана. При этом для функции Римана имеются случаи ее построения в явном виде (см. [4,

и

2

с. 15-16] [5, 6]). В указанных работах обеспечивающие эти случаи условия представляются через коэффициенты уравнения (11):

1) ах + ав - 7 = 0;

2) ву + ав - 7 = 0;

3) ах = ву, 1 - ах - ав = Со(х)по(у) = 0;

4) ву - ах = ах + ав - 7 = Ь(х)п1(у) = 0;

5) ах - ву = ву + ав - 1 = С2(х)П2(у) = 0;

6) тах - ву = тву - ах = (т - 1)(ав - 7);

7) ш = (2 ^и^н )]2 , [5(х)+ *(у)]*'(ху (у) = 0.

(2 - т)[в(х) + Цу)]2

Здесь Со, По € С, Ск, Пк € С1, к = 1, 2, в,Ь,т € С2, причем т зависит лишь от одной из переменных (х, у) и не принимает значения 2. В остальном указанные функции произвольны, а коэффициенты а, в, 1 имеют гладкость, обеспечивающую корректность записанных соотношений: например, в случае 6) достаточно, чтобы они были из С1о, С01, С°° соответственно. Предполагается также, что классы гладкости задаются на замкнутых множествах определения соответствующих функций. Каждого из тождеств 1), 2) и наборов 3)-5) достаточно для получения явного вида функций Римана. Формулами же 6), 7) следует пользоваться совместно: функцию Римана при выполнении набора 6) можно построить в случаях, когда левая часть хоть одного из соотношений 1), 2) имеет вид ш, указанный в 7). Следовательно, мы имеем по семь вариантов условий разрешимости в квадратурах каждой из трех полученных нами задач Гурса. Для всех случаев виды функций Римана можно найти в [4-6]. Любой вариант из 1)-7) обеспечивает разрешимость задачи Гурса для (11) в квадратурах.

Адаптируем теперь соотношения 1)-7) к вышеуказанным задачам Гурса. Для (5), (6) получаем

^ [СВ - Вг - Р\хо,у,г) = 0;

2) [СВ - Су - Р](хо,у,г) = 0;

3) Су\{хо,у,г) = Вг\(xо,y,z), [СВ - Вг - Р\хо,у,г) = Со1(у)По1(г) = 0;

4) [Вг - Су](хо,у,г) = [СВ - Вг - Р](хо,у,г) = Си(у)пи(г) = 0;

5) [Су - Вг }(хо,у,г) = [СВ - Су - Р}^ ,у,г) = С21(х)П21(у) = 0;

6) [т1Су - Вг ](хо,у,г) = [тВ-Су }(хо,у,г) = (т1 - 1)[СВ-Су - Вг-Р }(хо,у,гУ;

7) = (2-( )]2 , *'1(уК(г)=0, .Ч(у)+ Ш=0.

(2 - т1)[в1{у)+ Щг)]2

(12)

(13)

(14)

Для (7), (8) имеем

1) [СЛ - Л2 - Е](хууо,2) = 0;

2) [СЛ - Сх - Е](хуо,2) = 0;

3) Сх\(х,уо,г) = \(х,yо,z), [СЛ - - Е](х,уо,2) = Ы(х)по2(г) = 0;

4) [Л2 - Сх](х,уо,2) = [СЛ - - Е](х,уо,2) = Ы(х)п12(г) = 0;

5) [Сх - -^-2 ](х,уо ,2) = [СЛ - Сх - Е](х,уо,2) = £22(х)п22(х) = 0;

6) [т2Сх ](х,уо,2) = [т2Л2-Сх](х,уо,2) = (т2 -1)[СЛ-Л2 - Сх-Е](х,уо,2);

7) ш2 = Г2-( )п , 4(у%(г) = 0, 32(у)+ 12(г) = 0

(2 - Ш2)[в2(у) + t2(г)]2

И, наконец, для (9), (10) следует, что

1) [ВЛ - Лу - Б](х,у,2о) = 0;

2) [ВЛ - Вх - В]{ху2о) = 0;

3) Вх\(х,у,2о) = Лу\(х,y,2о), [ВЛ - Лу - В](х,у,2о) = Ы^Щз^ = 0;

4) [Лу - Вх](х,у,2о) = [ВЛ - Лу - В](х,у,2о) = Ы(х)тз(у) = 0;

5) [Вх - Лу }(х,у,2о) = [ВЛ - Лу - Щх,у,2о) = €23(х)п23(у) = 0;

6) [тзВх - Лу ](х,у,2о) = [тзЛу-Вх](х,у,2о) = (т3 -1)[ВЛ-Лу-Вх-В](х,у,2о);

7) ш3 = (2-2^3)(+), ( , з'з(у%(г)=0, зз(у)+ 1з(г)=0

(2 - тз)[яз(у)+ гз(г)]2

Из вышеизложенного вытекает

Лемма 1. Построение функции (ф2 или фз) в квадратурах обеспечивается тем, что в наборе (12) ((13) или (14)) удовлетворяется хотя бы один вариант условий:

- имеет место одно из тождеств 1), 2);

- существуют такие функции т1, в!, (т2, в2, t2 или тз, $з, 1з) и при к = 0,1,2 €к1, пк1 (€к2, пк2 или €кз, пкз) указанных выше классов, что либо выполнена одна из групп соотношений 3) -5), либо вместе с тождествами 6) левая часть одного из тождеств 1), 2) представляется в виде и1 (и2 или из) из 7).

Под «указанными выше» здесь понимаются классы, указанные ранее к соотношениям (3)-(7) в п. 1: в (12)-(14) функции т1, т2, тз, и1, и2, из играют те же роли, что и т,и в (3)-(7) из п. 1, а п с двойными индексами - роли €к, Щ, к = 0,1, 2, из аналогичных соотношений в п. 1.

3. Условия непосредственного построения формулы решения задачи Гурса

Для отыскания всех трех функций ф1, ф2, фз необходимо и достаточно выполнения в каждом наборе из (12)-(14) одного из упомянутых в лемме 1 вариантов 1)-7). Условия разрешимости уравнения Вольтерра будут определены, если удастся построить в квадратурах решение задачи Гурса для уравнения (2) с граничными

условиями ^к, к = 1, 2, 3. В [5] и [7, с. 169] сформулированы достаточные условия, обеспечивающие возможность такого построения. В терминах коэффициентов уравнения (2) они имеют вид

ах = Ъг, Ьу = сх, сг = ау, ах + аЪ - е = 0, сх + Ъс - / = 0,

(15)

ау + ас - ! = 0, !х + Ъ! - д = \(х)р(у)и(г),

где последнее соотношение понимается в том смысле, что существуют функции А,

V, определяющие структуру стоящей в левой части конструкции.

Подставив в (15) значения а, Ъ, с из (3), получим

Ау = Вх, Аг = Сх, В г = Су. (16)

Тогда остальные коэффициенты уравнения (2), вычисляемые согласно (3), преобразуются в

! = 2В г + Р, е = 2Аг + Е, / = 2В х + В, д = 3Вхг + Вг + Еу + Рх + С.

Поэтому в терминах коэффициентов исходного уравнения (1) тождества (15) заменяются на (16) с присоединением к ним следующих:

Аг - АС + Е = 0, Вх - АВ + В = 0, Су - ВС + Р = 0, (17)

Вхг - 2АВг + В г + Еу - АР + С = А(х) ((уУ(г).

Последнее соотношение путем замены в нем Вхг на его значение, получаемое дифференцированием по г второго тождества в (17), переходит в

ВАг - АВг + Еу - АР + С = А(х)р(уМг). (18)

Таким образом, соотношения (15) в терминах коэффициентов уравнения (1) преобразуются в совокупность тождеств (16)-(18).

Поэтому верна

Теорема 1. При выполнении тождеств (16), (17) для разрешимости уравнения (1) в квадратурах достаточно существования функций А, V, удовлетворяющих условию (18).

Нетрудно указать способ отыскания коэффициентов уравнения (1), которые удовлетворяют условиям теоремы 1. Действительно, (16) будут выполнены, если взять любую функцию Ж € С(1,1,1)(Т) и определить А = Жх, В = Жу, С = = . После этого В, Е, Р можно найти по формулам (17). Тогда будет известна функция П = АгВ - АВг + Еу - АР, и для выполнения (18) достаточно просто выбрать А(х), ((у), V(г) и задать С в виде С = А(х)((у^(г) - П. Очевидно, функции Ш, А, V можно выбирать по-разному. Поэтому теорема 1 описывает целый класс разрешимых в квадратурах уравнений вида (1).

4. Использование факторизации

Рассмотрим еще один способ, позволяющий найти другие варианты разрешимости уравнения (1) в квадратурах. Он основан на факторизации левой части (2) дифференциальными операторами первого и второго порядков. В [8, 9] условия такой факторизации записаны относительно выражений:

Н1 = ах + аЪ - е, Н2 = ау + ас - !, Нз = Ъу + Ъс - /, к4 = Ъг + аЪ - е,

Нв = Сх +Ье-/, к6 = с*+ас—с!, Нт = ¿х+Ъй-д, Н% = еу+се-д, Нд = ¡*+а/—д, к\ = Ьу* + аЬу + сЬ* +Ьс1—д, к2 = сх* +асх +Ьс* + се—д, кз = аху + сах+Ьау + а/ — д. Если подставить в эти конструкции значения а,... ,д из (3), то они запишутся так:

Н1 = АС — А* — Е, Н2 = СВ — В* — Е, Н3 = АВ — Вх — Б, Н4 = АС — Сх — Е, Н5 = АВ — Ау — Б, Н6 = С В — Су — Е, Нт = А(В* + Су + Е) — Ау* — Б* — Еу — С, = В (А* + Сх + Е) — Вх* — Б* — Ех — С, Нд = С (Ау + Вх + Б) — Сху — Еу — Ех — С, кг = (АС )у + (В А)* + АЕ — Вх* — Сху — Б* — Еу — Ех — С, к2 = (СВ)х + (АВ)* + ВЕ — Ау* — Сху — Б* — Еу — Ех — С, к3 = (СВ)х + (АС )у + СБ — Вх* — Ау* — Б* — Еу — Ех — С. Возможности факторизации видов

(19)

д

— + K ) (uyz + Luy + Puz + Qu),

( д2 д д {-Эдг + Ld~y + Рд + Q) ^ + Ku)

(20)

обеспечиваются соответственно требованиями hi = h5j = h? = 0 и hs = = ki = = 0 .В обоих случаях K = A, L = C, Р = B, Q = Bz + Cy + F. Аналогично, для

д \

— + K (uxz + Lux + Puz + Qu),

ду J

(21)

д2 д д [äXdZ + Ld~x + PdZ + Q) (uy + Ku)

достаточно, чтобы выполнялись h2 = hs = h% = 0, h5 = h6j = k2 = 0 соответственно, причем K = B, L = C, P = A, Q = Az + Cx + E. Наконец, левая часть (2) есть

— + K ) (uxy + Lux + Puy + Qu) (22)

д2 д д ( + L— + P— + Q ) (uz + Ku),

у дхду дх ду

когда Н4 = Нб = Нд = 0 или Н\ = Н2 = кз = 0, а коэффициентами будут К = С, ь = В, Р = А, д = Ау + Вх + Б.

Каждая из факторизаций в (20)-(22) позволяет редуцировать задачу Гурса для (2) к двум: одна задача - для уравнения первого порядка, другая - для второго. Например, в случае первой формулы (20) имеем

Ух + Ку =0, ь(хо,у,г) = (фу + ь^1у + + Яф1)х=х0, (23)

иу* + Ьиу + Ри* + ди = у(х, у, г), и\у=у0 = ф2(х,г), и\*=*0 = р3(х,у). (24)

или

(25)

Решение задачи (23) проводится путем непосредственного интегрирования уравнения по х . Поэтому нам достаточно решить в квадратурах лишь задачу вида (24) относительно уравнения (11). Рассуждаем по схеме п. 2, используя при этом случаи 1)—7), относящиеся к (11). В данном случае а = С, /3 = В, 7 = Вг + + Су + Р, а роль (х,у) играют (у, г). Очевидно, вместо (12) имеем

1) ВС - Вг - Р = 0;

2) ВС - Су - Р = 0;

3) Су = В г, Су - ВС + Р = Со(х,у)по(х,г) = 0;

4) Вг - Су = ВС - В г - Р = Ы.х, у)п1(х, г) = 0;

5) Су - В г = ВС - Су - Р = &(х, у)п2 (х, г) = 0;

6) тСу - Вг = тВг - Су = (т - 1)(ВС - Вг - Су - Р);

7) * = тт.—^^уу))+ )]2, Кху) + ЧхФу(ху%(х,г) =

(2 - т)[в(х, у) + Цх,г)\2

Здесь, в отличие от (12), Ск, Пк, я, т зависят уже от двух переменных (т зависит либо от (х,у), либо от (х,г)), так как в данном случае мы полагаем. что коэффициенты в уравнении, играющем роль (11), зависят от х как от параметра. Аналогичные наборы для факторизаций (21) и (22) имеют соответственно виды

1) АС - Аг - Е = 0;

2) АС - Сх - Е = 0;

3) Сх = Аг, Аг - АС + Е = &(х, у)по(г, у) = 0;

4) Аг - Сх = АС - Аг - Е = & (х, у)т (г, у) = 0;

5) Сх - Аг = АС - Сх - Е = &(х, у)п2(г, у) = 0;

6) тСх - Аг = тАг - Сх = (т - 1)(АС - Аг - Сх - Е);

7 * = {2 -тх^х,у +гу1у)\2, [а(х,у)+ *(г,у^х(х,у%(г,у) = 0,

1) АВ - Ау - В = 0;

2) АВ - Вх - В = 0;

3) Вх = Ау, Ау + В - АВ = &(х, г)по(у, г) = 0;

4) Ау - Вх = АВ - Ау - В = С1(х, г)п1(у, г) = 0;

5) Вх - Ау = АВ - Вх - В = &(х, г)п2(у, г) = 0;

6) тВх - Ау = тАу - Вх = (т - 1)(АВ - Ау - Вх - В);

7) * ^х(х;г)1у(уг ,12 , [8(х, г) + г(у, г)\8х(х, г)1у(у, г) = 0,

При этом функция т в (26) зависит либо от (х,у), либо от (г, у), а в (27) - либо от (х, г), либо от (у, г).

Для вариантов 1)-7) из (25)-(27) верна лемма 1, если ее видоизменить путем замены ф1 (ф2, фз) на решение и(х,у,г) уравнения (1).

и

Наряду с (25)-(27) условия разрешимости в квадратурах задач типа (24) будут, кроме того, содержать еще указанные выше условия, накладываемые на конструкции к8, к8 из (19) в соответствии с видом факторизации, которую они обеспечивают. Например, для первой факторизации (20) эти условия имеют в терминах коэффициентов уравнения (1) вид Н\ = Н5 = Нт = 0 или

А* — АС + Е = 0, Ау — АВ + Б = 0, А(В* + Су + Е) — Ау* — Б* — Еу — С = 0, а для второй - Н3 = Н4 = к\ = 0 или

Вх — АВ + Б = 0, Сх — АС + Е = 0, (АС )у + (АВ)* + АЕ — Вх* — Сху — Б* — Еу — Ех — С = 0. Первой и второй факторизациям в (21) соответствуют наборы тождеств В* — ВС + Е = 0, Вх — АВ + Б = 0, В(А* + Сх + Е) — Вх* — Б* — Ех — С = 0

и

Ау — АВ + Б = 0, Су — ВС + Е = 0, (АС )у + (АВ)* + АЕ — Вх* — Сху — Б* — Еу — Ех — С = 0. Наконец, для факторизаций (22) роль (25) играют соотношения

Сх — АС + Е = 0, Су — ВС + Е = 0, С (Ау + Вх + Б) — Сху — Еу — Ех — С = 0, а роль (26) - тождества

А* — АС + Е = 0, В* — ВС + Е = 0, (ВС )х + (АС )у + СБ — Вх* — Ау* — Б* — Еу — Ех — С = 0.

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

Из вышеизложенного следует, что решение каждой из задач типа (24) в квадратурах равносильно решению исходного уравнения (1) также в квадратурах. Под задачами типа (24) здесь понимается сама задача (24) и ее аналоги, отвечающие второй формуле (20) и каждой из двух формул, связанных с факторизациями (21), (22).

Для реализации хотя бы одного способа факторизации из шести перечисленных в (28)-(33) достаточно обеспечить выполнение тройки тождеств, соответствующих этому способу. Здесь возможны различные подходы. Мы остановимся на варианте, когда во всех тройках (28)-(33) имеют место первые два тождества, а в одной из этих троек дополнительно осуществляется третье соотношение. Тогда в (25)-(27) выполняются оба случая 1), 2), являющиеся обобщениями тех же случаев из (12)-(14), ибо последние получаются путем фиксирования в первых значений х = хо, у = уо, г = го соответственно. Данное обстоятельство обеспечивает в силу леммы 1 вычисление в квадратурах функций ф2, фз, а следовательно, возникает задача Гурса для уравнения (2) с возможностью применения к ее решению указанной выше факторизации. Из вышеизложенного следует

Теорема 2. Для разрешимости в квадратурах уравнения (1) достаточно, чтобы хотя бы в одном из наборов (28) -(33) имели место все три тождества, а в каждом из остальных пяти наборов выполнялись бы только два первых тождества.

Здесь аналогично тому, как это сделано в конце п. 3, можно указать способ построения коэффициентов уравнения (1), которые удовлетворяют условиям теоремы 2. Для этого достаточно сначала в качестве А, В, С задать любые достаточно гладкие (например, из класса С(111) (Т)) функции, затем по ним положить, например, В = АВ - Ау, Е = АС - Аг, Р = ВС - Вг. Тогда последний коэффициент С определяется с помощью третьего соотношения в одном из оставшихся пяти наборов из (28)-(33).

Таким образом, опять получаем описание целого класса уравнений вида (1), разрешимых в квадратурах. При этом понятно, что он отличается от класса, определяемого в теореме 1. Например, здесь можно не вводить для подбора А, В, С вспомогательной функции Ш, которая была использована там (см. текст сразу после формулировки теоремы 1). Кроме того, искомая функция и(х,у,г) там запи-

к

сывается через обобщенную гипергеометрическую функцию оР2(1,1; а) =

к=о(к!)3

(см. [7, с. 169], [10, с. 183]), а здесь это может быть сделано вообще без использования специальных функций (см. функции Римана в формулах (1.22), (1.23) из [4]).

Литература

1. Жегалов В.И. Решение уравнений Вольтерра с частными интегралами при помощи дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. - 2008. - Т.44. — № 7. — С. 874—882.

2. Шакирова И.М. Условия разрешимости в квадратурах двух уравнений типа Вольтерра // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. наук. — 2013. — Т. 155, кн. 4. — С. 90—98.

3. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1982. — 336 с.

4. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшим частными производными. — Казань: Изд-во Казан. матем. о-ва, 2001. — 226 с.

5. Жегалов В.И. К случаям разрешимости гиперболических уравнений в терминах специальных функций // Неклассические уравнения математической физики.— Новосибирск, 2002. — С. 73—79.

6. Жегалов В.И., Сарварова И.М. К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах // Изв. вузов. Матем. — 2013. — № 3. — С. 68—73.

7. Жегалов В.И., Миронов А.Н., Уткина Е.А. Уравнения с доминирующей частной производной. — Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. — 385 с.

8. Шакирова И.М. О разрешимости трехмерной задачи Гурса в квадратурах // Тез. докл. Междунар. науч. конф. «Дифференциальные уравнения и математическое моделирование».— Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2015. — С. 113—114.

9. Шакирова И.М. К условиям разрешимости трехмерной задачи Гурса в квадратурах // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. — 2015. — Т. 51. — С. 476—478.

10. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. — М.: Наука, 1973. — 448 с.

Поступила в редакцию 28.03.16

Ш^акирова Инна Маратовна, аспирант кафедры дифференциальных уравнений Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: inna.sarvarova@yandex.ru

ISSN 1815-6088 (Print)

ISSN 2500-2198 (Online)

UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI

(Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)

2016, vol. 158, no. 4, pp. 557-569

On Variants for Solvability of a Three-Dimensional Volterra Equation in Quadratures

I.M. Shakirova

Kazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: inna.sarvarova@yandex.ru

Received March 28, 2016 Abstract

A linear integral equation of the general type with three independent variables, for which the special case of this equation is known, has been studied along with indication of certain variants of solving it in quadratures. In this paper, new variants of such cases have been found by developing the technique used previously by the author for similar equations with two independent variables.

In the first step of reasoning, a method has been suggested for reduction of the original integral equation to a differential one, the Goursat boundary values for which are calculated in quadratures under certain conditions. Then, two approaches have been applied to the Goursat problem: direct construction of its solutions based on the already known results; factorization of the left side of the differential equation by using the first- and second-order operators. Each of these approaches allows to single out a particular class of integral equations of the considered type that are solved in quadratures.

Keywords: Volterra equation, Goursat problem, solution in quadratures, factorization

References

1. Zhegalov V.I. Solving Volterra partial integral equations using differential equations. Differ. Uravn., 2008, vol. 44, no. 7, pp. 874-882. (In Russian)

2. Shakirova I.M. Solvability conditions in quadratures of two Volterra equations. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2013, vol. 155, no. 4, pp. 90-98. (In Russian)

3. Bitsadze A.V. Equations of Mathematical Physics. Moscow, Nauka, 1982. 336 p. (In Russian)

4. Zhegalov V.I., Mironov A.N. Differential Equations with Higher Partial Derivatives. Kazan, Izd. Kazan. Mat. O-va., 2001. 226 p. (In Russian)

5. Zhegalov V.I. Nonclassical Equations of Mathematical Physics. K sluchayam razreshimosti giper-bolicheskikh uravnenii v terminakh spetsial'nykh funktsii [On the Cases of Solvability of Hyperbolic Equations in Terms of Special Functions]. Novosibirsk, 2002, pp. 73-79. (In Russian)

6. Zhegalov V.I., Sarvarova I.M. Solvability of the Goursat problem in quadratures. Russ. Math., 2013, vol. 57, no. 3, pp. 56-59. doi: 10.3103/S1066369X13030080.

7. Zhegalov V.I., Mironov A.N., Utkina E.A. Equations with Dominant Partial Derivative. Kazan, Izd. Kazan. Univ., 2014. 385 p. (In Russian)

8. Shakirova I.M. On solvability of three-dimensional Goursat problem in quadratures. Tez. dokl. Mezhdunar. nauch. konf. "Differentsial'nye uravneniya i matematicheskoe modelirovanie" [Proc. Int. Conf.: Differential Equations and Mathematical Modeling]. Ulan-Ude, Izd. VSGTU, 2015, pp. 113—114. (In Russian)

9. Shakirova I.M. On solvability of three-dimensional Goursat problem. Tr. Mat. Tsentra im. N.I. Lobachevskogo, 2015, vol. 51, pp. 476—478. (In Russian)

10. Bateman H., Erdeyn A. Higher Transcendental Functions. Vol. 1. Moscow, Nauka, 1973. 448 p. (In Russian)

/ Для цитирования : Шакирова И.М. О вариантах разрешимости в квадратурах ( одного уравнения Вольтерра в трехмерном пространстве // Учен. зап. Казан. ун-та. \ Сер. Физ.-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 4. - С. 557-569.

/ For citation : Shakirova I.M. On variants for solvability of a three-dimensional Volterra ( equation in quadratures. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Mate-\ maticheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 4, pp. 557-569. (In Russian)