МЕТОД ФУРЬЕ В ПРОСТРАНСТВЕ $\phi_{B}$-РАСПРЕДЕЛЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

2023, Т. 165, кн. 1 С. 68-81

ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ

УДК 517.9 10.26907/2541-7746.2023.1.68-81

МЕТОД ФУРЬЕ В ПРОСТРАНСТВЕ фв-РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

В. С. Мокейчев, А. М. Сидоров

Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия

Аннотация

Понятие фв -распределений со значениями в банаховом пространстве, введенное нами предыдущих работах, позволило по-новому взглянуть на теорию разрешимости линейных задач, что важно для дифференциальных уравнений в частных производных и, особенно, для уравнений с отклоняющимися аргументами. В настоящей работе дан обзор теории таких распределений и предложен новый подход к обоснованию метода Фурье для нахождения решений линейных задач, записана корректно разрешимая задача для системы дифференциальных уравнений в частных производных с отклоняющимися аргументами.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, метод Фурье, фв -распределение, (ф,У, А, X) -решение.

Введение

При построении решений задач для дифференциальных уравнений (обыкновенных, в частных производных, с отклоняющимися аргументами либо без них, с обычными либо операторными коэффициентами) часто используется метод Фурье [1-4]. Его идейная сторона проста:

1) фиксируются такие множество функций ф = {фи(х), к € N} и банахово пространство В, что фи (х) удовлетворяет заданным линейным условиям (в дальнейшем обозначаемым 1г = 0), при всех ии € В можно вычислить Р(х, П)(иифк(х)), где Р(х, Б) - дифференциальный оператор;

2) рассматривается объект

^ Р(х,Б)(икфи (х)) (1.1)

к

и находится пространство У, в котором определена сумма Б(х) объекта (1.1);

3) предлагается смысл равенства Б(х) = /(х) (он обозначается А);

4) с использованием равенства Б(х) = /(х) либо находятся неизвестные ии € В, либо доказывается их существование (если это возможно);

5) вводится в рассмотрение объект

^иифк(х); (1.2)

если корректно определено пространство X, в котором объект (1.2) имеет сумму и(х), то и(х) называется (ф, У, А, X)-решением задачи

Р(х, Б)и(х) = /(х), 1и = 0, (1.3)

построенным методом Фурье;

6) при невозможности установить хотя бы один элемент набора (ф, Y, A, X) объявляется об отсутствии (ф, Y, A, X)-решения у задачи (1.3).

Замечание. Для существования (ф, Y, A, X)-решения задачи (1.3) необходимо

и достаточно, чтобы ряды (1.1), (1.2) сходились соответственно в Y, X, а равенство

f (x) = P(x, D)(ukф^(ж)) выполнилось в смысле А. k

Придание приведенным выше формальным рассуждениям корректного смысла является обоснованием метода Фурье.

Не будет серьёзных проблем при обосновании метода Фурье тогда, когда N -конечное множество, то есть N = {1, 2,..., M}. Действительно, можно положить

M м

X = VjФj(x) Vj € в|, Y = P(x, D)(vjфj(x)) Vj € b|, а равенство S(x) = j=i j=i f (x) означает, что оно выполняется либо в смысле Галёркина [5], либо в смысле минимума величины ||S(x) — f (x)||2 (метод наименьших квадратов), либо S(xj) = f(xj) для конечного набора xj (численный метод).

Ниже изучен случай, когда N - бесконечное подмножество множества всех n-мерных векторов k = (ki,...,kn) с целочисленными координатами, при этом положим |k| = |ki| + • • • + |kn|. В этом случае объекты (1.1), (1.2) - функциональные ряды с элементами, принадлежащими B при каждом x. В том случае, когда Y задано, будем предполагать f (x) G Y и S(x) = f (x) - равенство элементов в Y и вместо (ф, Y, A, X)-решение будем записывать (ф, Y, X)-решение.

Предположим, что Y - пространство, каждый элемент которого представим в виде ^P(x,D)^Vkфк(x)^ (при некоторых Vk G B); существование uk, удовлетворяющих условию S(x) = f (x) G Y, становится очевидным, и проблема обоснования метода Фурье сводится к проблеме существования пространства X, в котором сходился бы ряд (1.2). Как показывает пример 1, приеденный ниже, построить пространство X нелегко даже тогда, когда Y - пространство, "хорошее" в некотором смысле. Желательно, чтобы пространство X было наиболее широким.

Пример 1. Речь идёт о вынужденных 2п-периодических колебаниях струны, закреплённой на концах 0 и п. Математическая модель имеет вид

U(2) — c2 = f (t,y), U(r)(0,y) = U(r)(2n,y), r = 0,1, U (t, 0) = U (t,n)=0.

Пусть f (t,y)= £(1 + k2 + k^j exp(íkit) sin(k2y), m ^ 0, ki пробегает все ki,k2

целые числа, k2 пробегает 1,2,..., c - иррациональное число, i - мнимая единица.

Для решения методом Фурье следует положить ф = {exp (ikit) sin (k2y)}. Тогда ряды (1.1), (1.2) примут вид

k2 + c2k2)u(k1,k2) exp (ik 1 t) sin (k2y), ^ «(ki,k2) exp (ik 1 t) sin (k2y).

При каждых известных Y окажется (—k2 + c2k|)M(kljk2) = (1 + k2 + k^)-m. Поэтому возникает вопрос: существует ли X, в котором сходится ряд

\ Í \ —™ 1 + k 2 + k2) (—k 2 + c2k2) — 1 exp (ik 1 t) sin (k2 y),

поскольку = с2^2?

Если существует пространство Хо, в котором сходится ряд, то сумма ряда называется решением в Хо математической модели; в противном случае задача объявлялась неразрешимой.

В [6] доказано: если с - число Лиувилля [7], то ряд не сходится даже в пространстве обобщённых 2п-периодических функций, значит, математическая модель оказалась неразрешимой, что противоречит физике процесса. По определению, с -число Лиувилля, если при каждом г > 0 существует бесконечно много взаим-

' Р

но простых чисел р, д, для которых

< д г. В том случае, когда В = М,

с —

д

упомянутое выше пространство X построено в [6].

Ниже предположим, что ир - элементы банахова пространства. В частности, это позволяет обосновать метод Фурье для систем уравнений. Наибольшее внимание будет уделено ответу на вопрос: можно ли построить наиболее широкие пространства У и X, в которых сходились бы соответствующие ряды (1.1), (1.2)? На данный момент наиболее широкими являются пространства обобщённых функций (распределений Шварца). Однако пример 1 показывает, что и в этом случае не всегда удаётся обосновать метод Фурье.

1. Построение пространств X, У

Построение X в случае, когда система ф имеет биортогональную систему. Предположим, что существует линейное множество Но со скалярным произведением (•, •}, в котором система ф = {фи(х), к € N С Zп} имеет биортогональную ф* = {фи(х),к € N}. Это предположение нельзя назвать жёстким, ибо в методе Фурье, как правило, используются ортонормированные системы. Подчеркнём, что существование ф* автоматически означает, что фи (х), фр(х) при всех к,р принадлежат Но. Важно отметить, что функции фи(х) могут принадлежать более широкому пространству.

Пример 2. Пусть фи (х) = с(х) ехр (гк о х), где с(х) = 1 при х € [—п,п]п = О, к о х = кххх + ••• + кпхп. Очевидно, что в Но = Ь2(2п) (в пространстве

п

27г-периодических функций со скалярным произведением (/,,) = //(*Ш<Ь)

—п

система ф* = {^(х)ехр(гк о х),к € N} будет биортогональной к ф, если Л.(х) = (2п)— п при х € О. Однако с(х) € Но, если с(х) не 2п-периодична.

Этот пример указывает на то, что пространств Но и систем ф* может оказаться много. Поэтому ниже они фиксированы.

Здесь и далее, если особо не оговорено, запись означает, что суммирование

|и|<М

осуществляется по всем к € N удовлетворяющим условиям |к| < М. Сходимость ряда (1.2). Обозначим через Ьф* множество

{ ^ ак ф* (х)|аи € С,М = 0,1, 2,...},

|и|<м

где С - множество всех комплексных чисел.

Введем множество (Ьф* )* всех линейных отображений Ьф* ^ В; его элементы называются фв -распределениями. Так как В фиксировано, то вместо записи фв -распределения будем использовать запись ф-распределения.

Очевидно, что каждая функция фи(х), где € В, порождает

| и| <т

ф-распределение V, определяемое равенством «[-0] = ^^ (—, фи(х)}, где (,} -

| и| <т

скалярное произведение в Но. Такое ф-распределение называют регулярным, при

этом полагается г ^^ г^(ж). Напомним, что Но - то линейное пространство,

| <т

в котором ф и ф* биортогональны.

Определение 1. Последовательность {ит € (Ьф*)*, т = 1, 2,...} называ-ся сходящейся, если существуе при т ^ для каждой ф € Ьф*.

ется сходящейся, если существует и € (Ьф*)*, для которого ||ит[ф] — и[ф]|| ^ 0

Здесь и далее, || • || - символ нормы в В, и[ф] - значение ф-распределения и на функции ф. Пространство ^Ьф*^ с введённым понятием сходимости обозначим Вф.

Теорема 1. Пространство Вф полное.

Доказательство. Следует доказать, что фундаментальная последовательность {ит € Вф, т = 1,2, 3,...} сходится в Вф. Пусть для каждой фиксированной ф € Ьф* фундаментальна последовательность {ит[ф], т = 1,2,...}, то есть ||ит[ф] — и^) [ф]|| ^ 0 при т ^ , ] ^ Поскольку В - банахово

пространство, то существует г^ € В, для которого ||ит[ф] — г^|| ^ 0 при т ^ Обозначим и[ф] = г^. Очевидно, что и - линейное отображение Ьф* ^ В. Поэтому

и € Вф.

Теорема 2. В Вф сходятся все ряды ^^ гкфк(ж).

Доказательство. В силу теоремы 1 достаточно доказать фундаментальность последовательности {£т ^^ г&ф&(ж), т = 1, 2,...}, то есть доказать, что

| <т

Тт,з = ||£т[ф] — [ф]|| ^ 0 при т ^ ] ^ для каждой ф € Ьф*. Не нару-

т

шая общности, можно считать т > В этом случае Тф^ = || г^ (ф, фй (ж))||.

Так как ф € Ьф*, то существует М, при котором ф ^^ сдф* (ж), причём

|д|<М

М не зависит ни от т, ни от В этом случае при |к| > М имеем (ф, фй(ж)) =

т

сд(ф*(ж), (ж)) = 0, то есть = 0, если > М.

/ у 9 V

|д|<М

Здесь и далее вместо (ж), (ж) часто будем использовать записи , . Запись 0 будем использовать и для числа нуль, и для нулевого вектора, и для нулевого элемента пространства; по смыслу всегда будет понятно, что понимается под записью / = 0.

Так как ф* € Ьф*, то можно вычислить и9 = и[ф*] - коэффициент Фурье по системе ф для и € Вф.

Теорема 3. Каждое ф-'распределение 'разлагается в ряд Фурье по системе ф; каждый абстрактный элемент, разлагаемый в некотором смысле в ряд Фурье по ф, является ф -распределением.

Доказательство. Пусть и € Вф. Вычислим и9 = и[ф*], д € N, и соста-

вим ряд идфд(ж). В силу теоремы 2 ряд сходится в Вф. Пусть г - его сумма. Следует доказать, что и = г, то есть и[ф] = г[ф] при каждой ф € Ьф*. Имеем г[ф*] = Ит > ий(ф*, ) = и9 = и[ф*] при каждом д € N. С другой

| <т

стороны, — ^^ си фи, и М зависит только от значит, у[—] = сиуф ] = |и|<М |и|<М

сии[фи] = и[—] при каждой Это означает, что у = и.

|и|<М

Пусть имеется пространство X, элементы которого разлагаются в ряд Фурье по системе ф, то есть выполняется равенство Н ^^ адфд (х), и это представление единственное. Очевидно, что функционал и^ : ] ар(—, фр} является ф-распределением, ибо в {(—, фр}} - конечное множество ненулевых чисел. Как и в пространстве обобщённых функций, и^ называется продолжением элемента Н до ф-распределения, и полагается Н = и^.

Из теорем 1-3 следует: если линейную задачу решаем методом Фурье и системы ф, ф* биортогональны относительно некоторого скалярного произведения, то всегда можно положить X = Рф.

Понятие фв -распределения было введено и изучалось в [8,9]. Задача о колебании струны, рассмотренная в примере 1, не имеющая обощенного решения, если с - число Лиувилля, как установлено в [8], корректно разрешима в пространстве

X = Рф.

В [10] в пространстве X = Рф рассмотрен процесс, описываемый задачей для дифференциального уравнения общего вида с частными прозводными. Приведены условия, при которых процесс является динамическим.

Введение фв -распределений позволило по-новому взглянуть на понятие решения дифференциальных уравнений в частных производных с отклоняющимися аргументами [9]. Это продолжило исследования, начатые в [11].

Выделим случай, когда пространство X можно построить без предположения существования биортогональной системы.

Теорема 4. Пусть ф^) = {фи(х),к € N1} имеет биортогональную систему в Н1, причём N1 С N N = {к € N к € N1} - конечное множество, фи(х) € Н1 для к € N2.

Тогда при произвольно заданных уи € В ряд ^^ уи фи (х) сходится в Рф .

Доказательство. Как отмечено выше, каждый элемент у € Н1 можно считать ф(1) -распределением, определяемым равенствами у[—] = (—, у}1 для всех — € Ьф* . Поэтому при произвольных у € Н1 и и € Рф корректна запись у + и (как сумма двух ф(1)-распределений), и существуют уи :

У^ иифи (х) = ^ иифи(х) + ^ иифи (х) = ^ уи фи (х) Уии € В. ие№ ие^2 ие^

Следовательно, можно положить X = Рф .

Так как для системы ф общего вида неизвестно, существует ли пространство, в котором она имеет биортогональную систему, то запись ад ^^ иифи (х) нельзя

назвать разложением в ряд Фурье по системе ф для т. ие№

Всюду ниже X - такое полное пространство, в котором сходятся все ряды Еиифи(х), ии € В.

Сходимость ряда (1.1). Предположим, что

Р(х, Р)^иифи (х)) = (р(х, Р)фи (х)^ ии Уии € В Ук

либо

Р(х,Р)(иифи (х)) = ииР(х, Р)фи (х) Уии € В Ук.

Введём систему функций

д = {Р(ж,В)фй(ж), к е N}.

Она только обозначениями отличается от ф. Поэтому всё сказанное о ф с естественными изменениями переносится на д. При этом следует иметь в виду, что из существования у ф биортогональной системы не следует существование биортого-нальной системы у д. В частности, справедлива

Теорема 5. Предположим, что после удаления нулевых и конечного множества ненулевых элементов из д оставшаяся система дх имеет биортогональную систему в некотором линейном пространстве Н2 со скалярным произведением элементов, причём удалённые элементы принадлежат Н2 . Тогда У = В'д 1.

Напомним, через У обозначаем пространство, в котором сходятся все ряды Р(ж, В)(«дфд^ж)), «д е В. При этом Но и Н2 могут оказаться разными. По этой причине пространства Вф, Вд могут оказаться разными и равенство Р(ж, В)и(ж) = Аи(ж), где А - число, может оказаться бессмысленным, например тогда, когда Вф П Вд = {0}. Поэтому для сохранения понятий "собственное значение",

"собственная функция" следует использовать запись ^Р(ж, В) — А/^и(ж) = 0.

Дифференцируемость и интегрируемость элементов из Хф. Ниже через Хв обозначено множество, в котором при всех е В сходятся ряды ^^¿¡дв/д(ж). Ранее были рассмотрены случаи, когда в = ф либо в = д.

В случае, когда и е Хф, имеем и ^^гдфд(ж). Пусть каждая функция фд(ж)

имеет производную порядка а; введём систему функций Н = {фДа)(ж), к е N}; если существует пространство Х^, то в этом пространстве сходится ряд гдфДа)(ж). Его сумма га называется производной порядка а от и и обозначается через ифа). Очевидно, что в случае фДа) (ж) = бдфд (ж) при всех к е N, где 6д не зависят от ж, имеет место включение Хфа) С Хф.

Через ^ В(ж)(йж)а обозначим множество всех первообразных порядка а от

В (ж), то есть множество всех функций и>(ж), для которых почти всюду существует обычная производная -ш(а)(ж) и почти всюду -ш(а) (ж) = В (ж). В случае, когда

и>(ж) непрерывна, под записью У В(ж)(йж)а понимаем неопределённый интеграл.

Например, функция = — + сх при £ < 0, = — + с2 при £ > 0,

и и>(0) = сз, где с^- - постоянные, является первообразной первого порядка от В(£) = при £ = 0, а функция Н(£) = 2£1/2 + сх - неопределённым интегралом от функцис В(£) = £-1/2.

Всюду J В (ж)(йж)а - одна из первообразных порядка а для В (ж).

Введём множество 7 = | J фд (ж)(йж)а, к е . Пусть для некоторых пер-вообрасзных существует , то есть при любых 2д е В в Х7 сходятся ряды 2д J фд(ж)(йж)а . Если и е Хф, то вместе с равенством и ^^ гдфд(ж) выполняются и равенства гд J фд(ж)(йж)а = 27, гд ^ J фд(ж)(йж)а^ = и.

По определению производной сумма имеет производную порядка а, причём она равна и. Поэтому можно считать одной из первообразных от и, то есть

/ и(йж)а = .

1

2. Выбор ф в зависимости от "граничных" условий

В этом параграфе О С М", [а, 6] С О, Г - граница множества [а, 6], а = (ах,.. ., ап), 6 = (61, ..., 6п), а. < 6., к = (&1,. .., кп), и предположим, что существуют и^, для которых

^р(х,Р)Кфк(х)) = /(х) е У, х е О, (3.1)

а условие А означает равенство элементов в У. Поэтому вместо записи (ф, У, А, Х)-решение используем (ф, У, X)-решение.

Если не существуют и^, при которых выполнилось бы (3.1), то (ф, У, А, Хф)-решение отсутствует, и нет предмета для рассмотрения.

Ниже речь пойдёт о выборе ф в зависимости от области изменения х и граничных условий.

Явный вид ф

1. Пусть Т = (Т\, ...,Тп), Т. > 0, и речь идёт о Т-периодических условиях.

" I

.х.

.=1 ■ Т

В этом случае используем систему ф = = Ск(х) ^ ^ |, где к

п

пробегают множество всех целых чисел и С (х) = ^ Т. 1/2 при х е [а, а + Т].

Так как система ф ортонормирована в Но = Ь2([а, а + Т]), то можно положить ф* = ф. Если С (х) не зависят от х, то из равенств ф^ (х) = а^ф^ (х) легко следуют включения (Хф)(а) С Хф и для некоторых первообразных J Хф(йх)а С Хф.

(ф, У, Хф)-решение будем называть Т-периодическим решением, вычисленным методом Фурье.

2. Пусть условия 1и = 0 означают, что и на Г равна 0. Для такой задачи используем систему ф = ^фи(х) = Сь(х) йш^——= 1,2, ...,] = ...,

.= 1

и0 и,0

" 2

Сь(х) = 1 [ < /-- при х € [о, Ъ]. Очевидно, что система ф ортонормирована

/=1 V 6.М - а.,1

в Н0 = Ь2([а, 6]). Поэтому ф* = ф.

Пусть Ск (х) не зависят от х. Если все координаты у а - чётные, то фка)(х) = ад^адфд;(х), и числа ак,ад не обращаются в нуль, поэтому (Хф)(а) = Хф, и для

некоторых первообразных J Хф(йх)а С Хф.

(ф, У, Хф)-решение будем называть решением, обращающимся в нуль на Г, вычисленным методом Фурье.

3. Условия 1и = 0 означают, что и(а) =0 на Г при а. < 1, 3 = 1,..., п. В этом чае положим

Ф = {Фи[х) = Ск(х) (П >т(;:/';;Г; )У./-; = 1, 2,..., з = 1,..., гг}.

Г/ /пкт(ж, — a, )\\2 /2nkr (ж,- — a, )\

Очевидно, что / sin ---— )) cos ---— )dxj = 0 при кт ф кг,

/V V b, — a, / / V b, — a, )

bj — a, , ,

и ——, если fcm = fcr .

_ 4

Напомним, что к,- > 1. В случае, когда Сд(ж) = I I (-) при ж (Е [о, 61,

J- -1- V br — ar /

* br ar

r = 1

из равенств, записанных выше, следует биортогональность в Hq = L2([a, b])

^ _ / 2nk ■ (ж ■_a ■) \

систем ф и |ф£(ж)= J^Jcos^-^————J, A^- = 1,2,..., j = l,...,??j. Поэтому

существует пространство Хф со свойствами, указанными выше.

Пусть Сд(ж) не зависят от ж. Если все координаты у а - чётные, то ф^(ж) = а^а^фд(ж), поэтому (Хф)(а) С Хф, и для некоторых первообразных

У Хф^жГ С Хф.

(ф, У, Хф)-решение будем называть решением Дирихле, вычисленным методом Фурье.

4. Условия 1и = 0 означают, что и(а) =0 на Г при 1 = 1. В этом случае положим ф = |фд(ж) = Ск{ж) соэ^——■——^ = 0,1, ...,] = 1,..., ??

j=i - ^

bj

/ n km (ж, — a, ) \ /nkr (ж, — a, ) ^

/ /nfcm(ж, — a, К /nfcr(ж, — a, )\

Очевидно, что / cos --—--— cos —-—--— )dxj = 0 при km ф kr и

b, a, b, a,

b, — a, b, — a,

aj

b, — a, 2

-, если km = kr. В случае, когда Сд(ж) = ТТ f-—-—при ж (Е [о, Ъ], 2 х . V b^ — ar /

■ - r ^ r '

r = 1

из записанных равенств следует биортогональность в Но = L2([a, b]) систем ф [ф*к{ж) = cosí—-—V kr = 1, 2,..., г = 1,..., Поэтому существует

v \ br / /

и ф, {х) = cos —--j,Kr = i, z,... , r = i,... ,n

x x V 6r — ar /

r = 1

пространство Хф.

Пусть СД (x) не зависят от x. Если все координаты у a - чётные, то фДа)(ж) = ад,а,2фд(ж), поэтому (Хф)(а) С Хф и для некоторых первообразных

J Хф(dx)a С Хф.

(ф, Y, Хф) -решение будем наызвать решением Неймана, вычисленным методом Фурье.

Аналогично можно определить решения Бесселя, Лаггера, Ханкеля, Чебышева-Эрмита и многие другие, вычисленные методом Фурье.

Выбор ф в общем случае. В большинстве случаев не удаётся в явном виде записать систему функций ф, удовлетворяющих заданным линейным условиям = 0. Например, это имеет место в случае, когда Q = [а, 6]. Поэтому полезно утверждение:

предположим, что оператор P0(x, D) линейно отображает DPo С L2(^) в L2(Q), самосопряжён и имеет вполне непрерывный обратный. Тогда некоторые собственные функции оператора P0(x, D) образуют ортонормированный базис в L2(Q).

b

a

j

3. Корректно разрешимая задача для системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными отклонениями аргументов

Для скалярных линейных дифференциальных полиномов Р(ж, Р) = аа(ж)Ра, где а(ж) - непрерывные функции, известна теорема Хёрмандера [12]:

| а| <г

пусть оператор Р(ж, Р) удовлетворяет условию

вир

(Р(ж,С)/Р(у,С)) < (4.1)

2\ 1/2

где П - ограниченное открытое множество, Р(ж,С) = а)(ж, С)

а

Тогда для любой точки ж0 € Д" существует открытая подобласть С П такая, что ж0 € П1, и уравнение Р(ж, Р)и = / при всякой функции / € Ь2(П1) имеет обобщённое решение и € Ь2(П1), для которого ^(Р)и € Ь2(П1), где ^(Р) -любой оператор слабее Р(ж, Р) в каждой фиксированной точке ж € П1.

В теореме Хёрмандера оператор ф(Р) слабее оператора Р(ж, Р), если <5 (С) < СР(ж,С), С € Д" в каждой точке ж € П и С не зависит от С, то есть в теореме фактически утверждается, что при выполнении (4.1) для Р(ж, Р) существует некоторая задача, разрешимая при всех / € Ь2(П) в пространстве Ь2(П).

Нам не удалось обобщить теорему Хёрмандера на систему уравнений, тем более, на случай наличия отклонений аргументов. Одна из причин - в том, что непонятно, как понимать запись и>(ж + т) для обобщённой функции (исключениями являются случаи: П = Д"; П = {ж € Д" : ж^- > 0,3 = 1, 2,..., п} и т > 0; П = {ж € Д" : ж^- < 0, 3 = 1, 2,..., п} и т < 0).

Использовав фв -распределения, в ряде случаев можно значительно усилить теорему Хёрмандера.

Ниже В = Ст, и речь пойдёт о нахождении методом Фурье решений и € Рф системы уравнений

м

Р(Р)и = ]Т ]ТСа,;и(а)(ж + та,д) = /, (4.2)

а£Ф ¿=1

в которой ф = {ехр((Д + гд)ж),д € N}, Ф - конечное множество мультииндек-сов, Са^, Д и та^ не зависят от (и, ж), Са^ - постоянные квадратные матрицы размерности т, (Д + гд)ж = (д + гд1)ж1 + • • • + (д + г^")ж", Д = (д, ..., д).

Существование Рф следует из очевидного факта: ф и ф* = {(2п)-"ехр((г?+гд)ж), д € N}, V = (—Д,..., —/2), биортогональны относительно скалярного произведения

2п

(1г, д) = J 1г{х)д{х)с1х.

0

Теорема 6. Для почти всех д € С1 в Рф корректно разрешимо уравнение (4.2).

Доказательство. В рассматриваемом случае равенство (4.2) принимает вид ^РКД + гд)ид ехр((Д + гд)ж) = ^ / ехр((Д + гд)ж), где Р1(Д + гд) = м

Са^ (гд)а ехр((Д + гд)та^). Докажем, что для почти всех д все матрицы

а£Ф ¿=1

Р1(Д + гд) обратимы. При каждом д € N определитель Д(д) матрицы Р1(Д + гд) аналитически зависит от д € С1. Поэтому множество <гд его нулей счётно. Однако множество N счётно, поэтому и У счётно. Следовательно, всегда можно выбрать д € С1 так, чтобы

ёе^Р1(д + гд))=0 д € N. (4.3)

Из доказательства теоремы 3 следует, что равенство (4.2) будет выполняться тогда и только тогда, когда

Р1(д + гд)ид = / д € N. (4.4)

Поэтому в случае выполнения условия (4.3) уравнение (4.2) имеет в Рф единственное решение и/ = ^^^Р1(Д + гд)^ /дехр((Д + гд)х). Осталось доказать непрерывную зависимость решения и/ от /.

Пусть /г ^ / в Рф, то есть /г [ф] ^ /[ф] при г ^ и каждом ф € Ьф*. Это возможно тогда и только тогда, когда /г,д ^ /д при г ^ и каждом д € N. Отсюда и из (4.4) следует иг,д ^ ид при г ^ и каждом д € N. Поэтому

[Ф] ^ м/[Ф] при г ^ и каждом ф € Ьф*.

В связи с теоремой 6 следует ответить на вопросы: в каких случаях решение и ^^ ид ехр ((Д + гд)х) уравнения (4.2) оказывается обобщённой функцией, либо элементом пространства Соболева, либо классическим решением?

Введем обозначения: О С Д" - ограниченное открытое множество ненулевой меры; Рт(О) - множество всех элементов V = («1,... «т), где ^ € Р'(О) - обобщённые функции (распределения Шварца); - пространство Соболева, то есть множество всех V € Р^(О), для которых € Ь2(О) при всех а € ^ и 3 = 1,..., т; (О) - множество всех бесконечно гладких функций с компактными носителями из О; С^ (О) - множество всех V € Р^,(О), для которых -функции, непрерывные в О при всех а € Ф, 3 = 1,..., т.

Напомним, что в этом разделе В = Ст и Хф = Рф - пространство, в котором сходятся все ряды ехр((Д + гд)х). Если и € Хф, то включение и € Р'т(О)

означает, что и продолжается до обобщённой функции М, и существует такая функция ад € Рт(О), для которой и = ад в смысле обобщённых функций. Аналогично следует понимать и другие включения и €

М1

Теорема 7. Если и = N и^ ехр((Д + гд)х), |ид| < Я1

1 + iq

ai, Mi не за-

висят от q, то u G D'm(Q).

Доказательство. Рассмотрим ряд > ид I ад(ж)ехр((Д + , где

/ у "д

ад € С+ТО(О). Убедимся в его сходимости. Введём дополнительные обозначения

t = (t,... ,t); DX = (DXl,..., Dx„), zMr = • • • , Dxj - производная по Xj. Легко проверить, что

( 1 + iq) exp ((Д + iq)x) = ( 1 - Д + Dxj exp ((Д + iq)x).

Поэтому

Jg = / ад(ж) exp ((Д +г</).г')<Аг' = —--—— / ад(.г')(1 — Д +Рг.)А^2 exp ((Д+г</).г')(Аг'.

./ (1 + iq)M2 ./

n n

После интегрирования по частям получим

,7,= —г-^3—,~г /((Г-Д-ДЛ и(ж))ехр((Д + ¡ц)х)с1х.

( 1 + г«1м2 / V V / /

< а2 и а2 не

(1 + ¿д)м2

Так как и е (П), то J ^ — Д — и(ж)^ехр((Д + гд)ж)й:

п

зависит от д. Следовательно, < а2|1 + гд|М1-М2 при всех д е N. Если М2 достаточно велико, то ^ | | < и исследуемый ряд равномерно сходится. Сумму ряда обозначим и[Н]. Этот функционал линеен и определён на (П). Докажем его непрерывность.

Пусть иу ^ и в С+ТО(П). Это означает, что вне некоторого компакта К С П все функции иу равны нулю и иГа) ^ и(а) равномерно при каждом а. Выше было получено, что

й[гиг — и] = -/ ехр ((Д + iq)x) • (1 — Д — I)Л (иу (х) — го(х))с1х.

^ (1 + ¿д)м2 I V У

/ -> -> \ ^—Л I и — и Однако II— Д — Вх) (и'г(х) — и>(х)) —> 0 равномерно, У _/'9-1- <+оо (при

q (1 + 2

достаточно больших М2) и U[wq] — и[и] ^ 0 при д ^ то есть и е П'т(П). Легко проверить справедливость следующих утверждений: 1) если ^ и|Д + < , то и е ^«'2(П);

2) если У^ |uq| 1Д + ^Г < , то и е С^(П).

uqI2_^l^л + < , то и

аеФ

В теореме 7 выделены случаи, когда решение является обобщённой функцией, при этом оно не является обобщённым решением уравнения (4.2) по двум причинам: основная - непонятен смысл записи и(ж+т), для ограниченного П непонятно, что следует назвать сопряжённой операцией (Р(ж, В))*.

4. Регулярность решений

Часто от решения требуется, чтобы оно принадлежало заданному банахову пространству В1. Очевидно, что в случае сходимости в В1 ряда /дфд(ж) получим, что его сумма, то есть (ф, У, А, Х)-решение уравнения (1.3), принадлежит В1. Обозначим Ьф,в = { ^^ «дфд(ж) «д е В, м = 1,2,...}.

|й|<М

Теорема 8. Предположим, что Ьф,Б С В1, существуют банахово пространство В2, для которого Р(ж, В)Ьф,в С В2, и ряд ^^Р(ж, В)(/фд(ж)) сходится в В2 к /. Если существуют постоянные 61 > 0, 62,т, при которых

II Р(ж,В)Н У2> 61 II Н ||1 —62 || Н(т) У1 Н = ^сЙфЙ(ж) е Ьф,в, (5.1)

где Н(т) = ^ сд • фд (ж), то (ф, У, А, Х) -'решение задачи (1.3) принадлежит В1.

| д| <т

М2

Доказательство. При М2 > М1 > т, Н = ^^ /рфр(ж) имеем

|р|=М1

м2 м2 м2 || ^ Р(ж,Р)(/рфр(ж)) у2> 61 || ^ /рфр(ж) ||1. Поэтому || ^ /рфр(ж) 0

|р|=М1 |р|=М1 |р| = М1 при М1 ^ и ряд Е /рфр(ж) сходится в В1 по норме.

Иногда на поставленный вопрос о принадлежности решения пространству В1 можно ответить с помощью улучшения сходимости ряда. Пусть существует «(ж) со значениями в В1, при которой /рфр(ж) — «(ж) ^^ арфр(ж) и новый ряд

сходится в В1 по норме. Тогда сумма ряда /рфр(ж) принадлежит В1, хотя сам ряд может не сходиться в В1 по норме. Поясним сказанное на простом примере. Пусть В1 = С2((0, 2п)), ф = {ехр(Ш),к = ±1, ±2,...}, и у - сумма в Хф

ряда Е (к-1 + к-4) ехр(гк4). Очевидно, что этот ряд не сходится в В1. Однако

й=0

2п 2п

(2п) 1 j(—it + ¿n)dt = k 1 при k = 0, j(—it + ¿n)dt = 0, поэтому ряд Фурье для

о о

у + Ы — гп принимает вид к 4 ехр(гк4), и его сумма «(ж) принадлежит В1.

й=0

Тогда у = —¿4 + гп + «(ж) (как элементы пространств Хф), поэтому можно считать, что у € В1.

Благодарности. Работа выполнена за счет средств Программы стратегического академического лидерства Казанского (Приволжского) федерального университета ("ПРИОРИТЕТ - 2030").

Литература

1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. 5-е изд. М.: Наука, 1988. 512 с.

2. Михлин С.Г. Курс математической физики. 2-е изд. СПб.: Лань, 2002. 576 с.

3. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. 4-е изд. М.: Наука, 1966. 444 с.

4. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965. 412 с.

5. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

6. Мокейчев В.С., Мокейчев А.В. Новый подход к теории линейных задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных I // Изв. вузов. Матем. 1999. №1. С. 25-35.

7. Бухштаб А.А. Теория чисел / Под ред. Э.К. Викулиной. М.: Просвещение, 1966. 384 с.

8. Мокейчев В. С. Пространство, элементы которого и только они разлагаются в ряды Фурье по заданной системе элементов // Евразийское научное объединение. 2016. Т. 1, № 10. С. 24-31.

9. Мокейчев В.С. Метрические, банаховы, гильбертовы пространства фв -распределений // Изв. вузов. Матем. 2018. № 5. С. 64-70.

10. Mokeichev V.S., Sidorov A.M. Dynamical processes in the space of ф-distributions // Mesh Methods for Boundary-Value Problems and Applications: 13th International Conference, Kazan, Russia, October 20-25, 2020 / Badriev I.B., Banderov V., Lapin S.A. (Eds.). Ser.: Lecture Notes in Computational Science and Engineering. V. 141. Cham: Springer, 2022, pp. 325-334. doi: 10.1007/978-3-030-87809-2_25.

11. Мокейчев В.С. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1985. 226 с.

12. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

Поступила в редакцию 20.12.2022 Принята к публикации 2.05.2023

Мокейчев Валерий Степанович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и искусственного интеллекта института вычислительной математики и информационных технологий

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 35, г. Казань, 420008, Россия E-mail: [email protected] Сидоров Анатолий Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и искусственного интеллекта института вычислительной математики и информационных технологий

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 35, г. Казань, 420008, Россия E-mail: [email protected]

ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)

2023, vol. 165, no. 1, pp. 68-81

ORIGINAL ARTICLE

doi: 10.26907/2541-7746.2023.1.68-81

Fourier Method in the Space of -Distributions

V.S. Mokeichev*, A.M. Sidorov**

Kazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: * [email protected], **[email protected]

Received December 20, 2022; Accepted May 2, 2023 Abstract

In our previous articles, we introduced and explored the notion of -distributions with values in the Banach space. This offers a new perspective on the theory of solvability of linear problems, which is important for solving partial differential equations, especially equations with deviating arguments. Here, we provide an overview of the theory of such distributions, propose a new approach to justify the use of the Fourier method for solving linear problems, and write out a correctly solvable problem for a system of partial differential equations with deviating arguments.

Keywords: differential equation, Fourier method, -distribution, (<p,Y, A, X) -solution

Acknowledgments. This study was supported by the Kazan Federal University Strategic Academic Leadership Program (PRIQRITY-2030).

References

1. Vladimirov V.S. Uravneniya matematicheskoi fiziki [Equations of Mathematical Physics]. 5th ed. Moscow, Nauka, 1988. 512 p. (In Russian)

2. Mikhlin S.G. Kurs matematicheskoi fiziki [A Course in Mathematical Physics]. 2nd ed. St. Petersburg, Lan', 2002. 576 p. (In Russian)

3. Sobolev S.L. Uravneniya matematicheskoi fiziki [Equations of Mathematical Physics]. 4th ed. Moscow, Nauka, 1966. 444 p. (In Russian)

4. Schwartz L. Matematicheskie metody dlya fizicheskikh nauk [Mathematics for the Physical Sciences]. Moscow, Mir, 1965. 412 p. (In Russian)

5. Trenogin B.A. Funktsional'nyi analiz [Functional Analysis]. Moscow, Nauka, 1980. 496 p. (In Russian)

6. Mokeichev V.S., Mokeichev A.V. A new approach to the theory of linear problems for systems of partial differential equations. I. Russ. Math., 1999, vol. 43, no. 1, pp. 22-32.

7. Buchstab A.A. Teoriya chisel [Number Theory]. Moscow, Prosveshchenie, 1966. 384 p. (In Russian)

8. Mokeichev V.S. A space with elements and only them expanding into Fourier series by a given system of elements. Evraz. Nauchn. Ob"edinenie, 2016, vol. 1, no. 10. pp. 24-31. (In Russian)

9. Mokeichev V.S. Metric, Banach, Hilbert spaces of 0B-distributions. Russ. Math., 2018, vol. 62, no. 5, pp. 55-60. doi: 10.3103/S1066369X18050080.

10. Mokeichev V.S., Sidorov A.M. Dynamical processes in the space of 0-distributions. In: Badriev I.B., Banderov V., Lapin S.A. (Eds.) Mesh Methods for Boundary-Value Problems and Applications: 13th International Conference, Kazan, Russia, October 20-25, 2020. Ser.: Lecture Notes in Computational Science and Engineering. Vol. 141. Cham, Springer, 2022, pp. 325-334. doi: 10.1007/978-3-030-87809-2_25.

11. Mokeichev V.S. Differentsial'nye uravneniya s otklonyayushchimisya argumentami [Differential Equations with Deviating Arguments]. Kazan, Izd. Kazan. Univ., 1985. 226 p. (In Russian)

12. Yoshida K. Funktsional'nyi analiz [Functional Analysis]. Moscow, Mir, 1967. 624 p. (In Russian)

/ Для цитирования: Мокейчев В.С., Сидоров А.М. Метод Фурье в пространстве \ ( фВ -распределений // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2023. Т. 165, \ \ кн. 1. С. 68-81. doi: 10.26907/2541-7746.2023.1.68-81. /

/ For citation: Mokeichev V.S., Sidorov A.M. Fourier method in the space of фв - \ I distributions. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie \ \ Nauki, 2023, vol. 165, no. 1, pp. 68-81. doi: 10.26907/2541-7746.2023.1.68-81. (In Russian) /