CC BY
16
УДК 517.51
Г.В. Хромова, О.И. Шаталина
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТИПА КОЛМОГОРОВА^ НИКОЛЬСКОГО ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ТИХОНОВСКОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
В данной статье рассмотрено семейство операторов, соответствующее тихоновской регуляризации и для него решена задача типа Колмогорова^Никольского на некотором компактном классе непрерывных функций.
Пусть Та — семейство операторов Тихонова, построенных для приближения непрерывных функций при г = 1 [1]. В [2] показано, что для любой непрерывной функции и(х) имеет место сходимость
|| Таи — и\\с ^ 0, при а ^ 0. (1)
В нашем случае оператор Та является интегральным с ядрами
Та(хЛ) = 1 С(хЛ, — -), ау а к а'
где
1 ( ока^Ь ока 1(1—х) ^ х
С(Х,1, — — ока^П—г) ^ (2)
—1—^—, t > X,
а1вка1 1 1
а
ai = v а + 1 1М-
Пусть u(x) G Mb , где
Mb = {u G C[0,1] : u(x) = / B(x,t)v(t)dt, ||v||L < 1}. Рассматривается величина
IL
'0
Г1 Г1 2
Ai(T«,Mb)= sup ( [ Ta(x,C)B(£,t)d£ - B(x,t)]2dt) . (3) 0<x<1 Jo JO
а
A 1(Ta, Mb) с указанием величины порядка (т.е. решить задачу типа Колмогорова^Никольского [5]).
Теорема. Если B(x,t) = | 1 t < ^ , то при достаточно малых а выполняется двусторонняя оценка:
2а4 - Ф2(а) < Ai( Ta, Mb) < —а4 + ф1 (а),
где^1(а), Ф2(а) суть О (а4).
Доказательство. Подставляем выражение для B(x,t) и (2) в (3), обозначаем внутренний интеграл в (3) через J. Получаем
( (1 _ cha1(1-x)sha1t) t < x
т _ j af V sha1 '' — '
J j chaixshai(l-t) t > X \ afshai '
Отсюда получаем A 1(Ta,MB) _ sup {[4—h— (ch2а1 (1 — x)sh2a1x+
0—x—1 ais ai
+ ch2a1 xsh2a1(1 — x)) — xch ai(1—^^x)ch2aix ](1 + O(a))} 2.
Далее, заменяем гиперболические функции их выражениями через экспоненты, а1 выражаем через а, учитываем, что 1 + О(а)2 _ 1 + О(а), а
max \xe—2aix + (1 — x)e—2ai(1—x)] _ e—ai,
xe[0,1]
и приходим к утверждению теоремы.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (прект 10-0100270) и гранта Президента РФ (проект НШ-4888.2010.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153, № 1. С. 49-52.
2. Хромова Г.В. О тихоновской регуляризации // Изв. Сарат. ун-та. Нов, сер, 2001, Т. 1, Сер, Математика, Механика, Информатика, вып. 2, С, 75-78,
3. Хромова Г.В. Об одном способе нахождения приближенных решений операторных уравнений первого рода / / Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: межвуз, сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 1973. Вып. 3. С. 58-79.
4. Хромова Г. В. О модулях непрерывности неограниченных операторов j j Изв. вузов. Сер. Математика. 2006. № 9(532). С. 71-78.
5. Хромова Г. В. Об оценках погрешности приближенных решений уравнений первого рода // ДАН. 2001. Т. 378, № 5. С. 605-609.
УДК 517.984
В.А. Юрко
ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА НЕКОМПАТНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СЕТЯХ
1. Исследуется обратная задача восстановления операторов
Бесселя на некомпактных звездообразных графах. Доказана теорема единственности и получена конструктивная процедура решения
