CC BY
20
Ь 5
Д (5,Т^ра) < ь + —. (6)
Выбирая Ь = Ь(5) из условия минимума правой части оценки (6) и подставляя это Ь(5) в (6), получаем оценку сверху в (2).
Из (4), (5) и леммы при Ь = Ь(5) получаем оценку снизу в (2).
Теорема доказана.
Замечание. Если вместо Тн рассмотреть модифициованный оператор Стеклова Бн из [2] и провести рассуждения по той же схеме, то придем к оценке
2-1/352/3 < д (5, Щ,!) < 3 • 2-1/352/3.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект 10-01-00270).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Хромов А. П., Хромова Г. В. Об одной модификации оператора Стеклова // Современные проблемы теории функций и их приложения : Материалы 15-й Сарат, зим, школы, Саратов, 27 янв,-3 февр, 2010 г, Саратов : : Изд-во Сарат, ун-та, 2010, С. 181.
2, Хромова Г. В. О задаче восстановления функций // ЖВМ и МФ, 1977, Т. 17, № 5. С. 1161-1171.
УДК 517.51
О. И. Шаталина
МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ А. И. ТИХОНОВА В ЗАДАЧЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
В данной статье рассматривается задача восстановления непрерывной функции й(ж), заданной ее 5-приближением щ (х) в метрике пространства Ь2[0,1]. Приближенное решение этой задачи находится методом регуляризации А. Н. Тихонова, которому соответствует множество операторов Та [1]. По Тихонову точное решение должно принадлежать пространству ^^[0,1]. Но в [2] доказано, что это ограничение можно снять, и сходимость приближенных решений имеет место для любой непрерывной функции и(х). При этом берется случай, когда функционал Тихонова представим в виде
М$[и, щ] = ||и — щ|||2 + аЦиЦ^, а > 0. (1)
Приближенное решение задачи восстановления находится из последовательности функций ua(x), минимизирующих функционал (1). Пусть функция u(x) удовлетворяет краевому условию ^1^(0)+ в2и(1) = 0. Случай = 0 рассмотрен в [3]. Переходя к уравнению Эйлера для функционала (1), получаем, что u^ является решением краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка:
" 2 1 -y + a2y = а щ,
Ay(0) + eiy(i) = 0,
в2У (0)+ ву (1) = 0,
(2)
где «1 = ^ а + 1 Справедлива
Теорема. Если функция и(х) удовлетворяет краевому условию в1и(0) + в2и(1) = 0, то семейство регуляризующих операторов для метода Тихонова имеет интегральный вид и представим в виде
i
11
Тащ = - G(x,t,--)щ (t)dt,
a j а
о
где
1
1
—|sha1(x — t)A + C(a1, в1, в2, x, t) t < x
.3«
G(x,t, —-) = f
v ' ' ay 2a1A | — |sh a1(t — x)A + C (аь въ в2, x, t), t > x
(3)
A(a1, в1, в2) = (в2 + ef)cha1 + 2ДА
С(а1,в1,в2, х, Ь) а1(Ь + х)[(в2 — ] +
+ с Ьа1(ж — Ь)[(в2 + а1] — — сЬа1(ж + Ь)[(в2 — а1].
Доказательство. Интегральный вид операторов Та следует из (2). Применяется метод вариации произвольных постоянных. Решение дифференциального уравнения ищется в виде суммы:
у(х) = С1(ж)ба1Ж + С2(х)е—а1Х.
Для С/(х) и С|(х) согласно этому методу справедлива система дифференциальных уравнений
С1 (х)еа1Х + С2 (х)е—а1х = о —С1 (х)аеа1Х + С2 (х)ае—а1х = а из, решая которую, находим
1_ *1
х
0
С2(х) = из (г)еа1 Чг + С20.
С1(х) = - из (г)е—+ С0, 1
%
С0 и С° вычисляются при проверке краевых условий.
Найденное решение выглядит в виде суммы четырех слагаемых, где каждое представимо интегралом либо по отрезку [0,х], либо по отрезку [0,1]. Раскладывая интегралы по полному отрезку [0,1] на суммы двух интегралов по отрезку [0, х] и по отрезку [х, 1] и перегруппировывая слагаемые, окончательно получаем
х 1
1 Г 1 1 Г 1
у(х) = — с(х,г, — )из (г)^г +— С(х,г, — )из (г)^г, а I а а I а
где функция С(х,г, — а) из первого интеграла — это функция Грина при г < х, а функция С(х,г, — а) из второго интеграла — функция Грина при г > х.
Теорема доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153, № 1. С. 49-52.
2. Хромова Г. В. О тихоновской регуляризации // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2001. Сер. Математика. Механика. Т. 1, вып. 1. С. 75-78.
3. Хромова Г. В., Шаталина О. И. Решение задачи типа Колмогорова — Никольского для регуляризирующих операторов Тихонова// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2001. Сер. Математика. Механика, вып. 13. С. 121-123.
