Решение задачи связанного псевдообращения непрерывным методом регуляризации второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 1, с. 176-182

УДК 517.983.54

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СВЯЗАННОГО ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫМ МЕТОДОМ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

© 2011 г. Е.А. Бондарь, Р.А. Шафиев

Нижегородский государственный педагогический университет

naukaNGPU@yandex. т

Поступила в редакцию 15.05.2010

Для решения задачи связанного псевдообращения предложен регуляризирующий алгоритм, основанный на решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве. Найдены условия стабилизации решения задачи Коши к нормальному решению рассматриваемой задачи в случае возмущенных входных данных.

Ключевые слова: связанное псевдорешение операторного уравнения в гильбертовом пространстве, нормальное связанное псевдорешение, непрерывный метод регуляризации, задача связанного псевдорешения.

Введение

Рассмотрим задачу: найти элемент л*, имеющий наименьшую норму среди всех элементов, удовлетворяющих условию

Г г =

на

\\Ах - у\\

X = (х є X : ||Вх - г||2 = 1п^|Ви - г||21,

(1)

4гв

А

: X ^ г х У = О, gr =

V~Т2

, У .

є О, (4)

где А: X ^ У и В: X ^ X - линейные ограниченные операторы, а пространства X, У, X -гильбертовы.

Если оператор В = 0 и г = 0, то, очевидно, X1 = X и задача (1) переходит в традиционную

для математики задачу псевдообращения, т.е. в задачу отыскания нормального псевдорешения уравнения

Ах = у. (2)

По аналогии с задачей псевдообращения задача (1) называется задачей связанного псевдообращения, а решение задачи (1) х* - нормальным связанным псевдорешением.

Впервые задача (1) поставлена независимо в работах [1, 2] (см. также [3, с. 17]). Она является абстрактной моделью многих практических задач оптимального управления, механики, математической физики и других областей знания (см. [1-3], а также [4], где приводятся формулировки некоторых задач).

Для вычисления решения задачи (1) в [5, 6] (см. также [7, с. 77]) предложен двупараметрический операторный метод регуляризации:

ахга + Г* (Ггхга — gr ) = 0, а, г > 0, (3)

где

Г - оператор, сопряженный с Гг, О - декартово произведение пространств Z и У.

Рассмотренный ранее в [3, с. 22] однопараметрический метод регуляризации вытекает из (3) при а = 0 и имеет ограниченную область применения.

Как известно [8-10], для решения задачи псевдообращения (2) найдены и исследованы разнообразные методы регуляризации, и в частности непрерывные алгоритмы [11, с. 260; 12, 13]. Аналогично [13] под непрерывным методом решения задачи (1) мы будем понимать метод, в котором роль параметров регуляризации выполняют некоторые функции а(?), г(?), t > ?0 > 0 и который сводится к задаче Коши для дифференциального уравнения некоторого порядка (порядок дифференциального уравнения будем называть порядком непрерывного метода).

В работе для решения задачи (1) предложен вариант регуляризованного метода тяжелого шарика [14, с. 339], основанный на уравнении (3).

По сравнению с немногочисленными известными в настоящее время методами регуляризации задачи (1) [3, 4, 7, 15, 16] предложенный непрерывный метод регуляризации второго порядка имеет ряд преимуществ, например для ___ *

аппроксимации л можно воспользоваться хорошо разработанным аппаратом численных методов решения дифференциальных уравнений,

кроме того, на базе этого метода можно строить итерационные процедуры решения задачи (1).

В работе предполагается, что исходные данные задачи (1) известны приближенно.

Найдены условия на параметрические функции регуляризации а^), г(() и уровни возмущений, которые обеспечивают стабилизацию решения соответствующей возмущенной задачи Коши к нормальному решению задачи связанного псевдообращения (1).

Предварительные сведения и оценки

Приведем сведения из [7, с. 73; 6, 15] о задаче (1) и установим нужные в дальнейшем оценки.

Пусть N() - ядро соответствующего оператора, РМ(.) - ортопроектор на подпространство

N(') , 1 PN( ) = PN(-) .

Введем обозначения

N (B),

N ( Г ),

где Г = Г1 =

i И12 .... i ....

+ "7= 9 (11 4 + _т У)-

л/аг 2 Vr

Если выполнены условия

A (Ax - у) е D(B*+), x~ = Г *g, где g

е G,

то

*

x - x„,

2л/аТ

л/а f 1 и и и

<---------1 ~i= H + U I +

2 .................

B*+ A* (Ax *- у)

(8)

(9)

(10)

Доказательство. Используя (6) и равенства

т-I * т-v * i * т-v ^ ^ -1 7—т ^ ^ -1 i * i

Гr gr = rB z + A j, B B = r Гr Г r - r A A,

путем несложных преобразований получим

B* (Bxra - z) = - -а (а/ + Г*Гг )-i Гг v r

+1 Г* Г r(a/ + ГГ Гг )-i A *у -

r r r r r

—A* A (а/ + Г r* Г r)-i Г* л/r '

-1 A* A (а/ + Г r* Г r )-1 Г r* r

Отсюда в силу следующих известных оценок

||(а/ + U*U)-1U * <

Очевидно, N (Г) = N (А) N (В).

С помощью псевдообратных операторов необходимое и достаточное условие разрешимости задачи (1) записывается в виде:

г е £(В+) = Л(В) ® N (В *), у - АВ+ г е ЩАР)+) = Л(АР) ® N(РА*).

При выполнении этого условия задача (1) имеет единственное нормальное решение

л* е N(Г)1, а любое ее решение имеет вид:

X = л* + Qu, и е X, и характеризуется равенствами

В* (Вл - г) = 0, РА (Ал - у) = 0. (5)

Под регуляризованным решением задачи (1) понимается решение лга операторного уравнения (3), причем ясно, что

Лга= (а/ + Гг* Гг )-1 Гг* £г. (6)

Теорема 1. Пусть задача (1) разрешима и

*

x - ее нормальное решение.

Тогда

||B *(Bxm - z)|| < ^ A у|| +

11 11 V r 2 r11 11

1

(а/ + U*U)-1U*U < 1 (11)

2л/а

вытекает оценка (7).

Выведем оценку (10). Используя равенство (6), находим

л * - лга = а(а/ + Г * Г г )-1 л * +

г г >

+ (а/ + Г * Г г ) -1 Г * (Г rx * - gr ).

В силу предположения (9)

а (а/ + Г * Г r)-1 x * = а (а/ + Г r* Г r )-1 Г r*

■Jr

/ 0

0 /

Отсюда согласно первому неравенству (11) получим первую часть оценки (10).

Далее, согласно (5) имеем

Г * (Ггл * - gг) = гВ * (Вл * - г) +

+ А* (Ал* - у) = Р1 А* (Ал* - у).

Но для любого x е _D(B*+)

P1 x = B* B *+ x =

— Г*

vr r

b *+x 0

Следовательно, в силу предположения (8)

имеем

(7)

(а/ + Г*Гг ) 1 Г*(Гrx* - gr) =

= -^(а/ + Г * Г r)-1Г *

4r

B*+ A* (Ax* - у) 0

Отсюда аналогично предыдущему получим вторую часть оценки (10), и теорема доказана.

и

1

+

1

g

Приведем здесь леммы о дифференциальных неравенствах.

Лемма 1 [11, с. 264]. Пусть функция л(})

класса С1^, + да) удовлетворяет неравенству л '(^ < -цл(0 + а(0, t > ^, где ц - постоянная, а(0 - непрерывная на да) функция, тогда

л(() < - ^] +

t

+ |а(5) ехр[- ц(t - 5)]^5, t > t0.

t0

Лемма 2 [17]. Пусть функция л(0 класса С2[^, + да) удовлетворяет неравенству л (0 + рл (t) + дл^) < а(0, t > ^, где р и д - постоянные, а^) - непрерывная на 1*0, + да) функция, и квадратное уравнение к2 + рк + д = 0 имеет различные действительные корни к1 и

к2 , к2 > к1.

Тогда справедлива оценка

х(ґ) <

1

-([х(ґ0)к2 — х' (ґ0)]ЄхРк1(ґ — ґ0)] +

к2 — кі

+[ х'(^ — кіх(^0)]ехР[к2(^— ґ0)] +

•М\ < СЬ

11ш хга (ґ) — х* = 0,

В (Вхга (ґ) — г)

Предположим, что исходные данные задачи (1) заданы приближенно. При этом известно, что семейства ограниченных операторов {А(0}, {B(t)} аппроксимируют соответствен-

но операторы А, В и

||А(ґ) — 4 < 1(ґ), ||В(ґ) — В < *(ґ),

||у(ґ) — УІ < у(ґ), ||г(ґ) — г|| < 5(0,

(16)

где I(t), й(0, v(t), 8(t) - неотрицательные

функции, определенные при t > to, /(0 < I, й(t) < й, v(t) <V, 8(0 <8 при всех t > ^. Рассмотрим непрерывный метод регуляризации задачи (1) с возмущенными данными: и" (0 + ци ' ^) + Р(0[а^ )u(t) +

+ Гг(t)^)Гг(t)^)и(t) -- Г*0)(t)gг(t)(t)] = 0,

и(^) = и0, и "(^) = и", ц> 0, t > ^, где Р(0 - положительная, дифференцируемая, убывающая функция, определенная при

t > to, и

(18)

(17)

11ш Р(ґ) = 0,

ґ ^+да

| а^)(ехрк2(Ґ — 5)] — ехр|к1(ґ — 5)])І5).

Стабилизация решения вспомогательной задачи

Пусть а = а(0, г = г(0 - положительные, дифференцируемые функции, определенные при t > ^, причем а(t) - убывающая, а г(^) -возрастающая,

Нш а^) = 0, Нш г(t) =+да, Иш (a(t)г(t))-1 = 0. (12)

t^+да t^+да t^+да

Вместо (3) рассмотрим уравнение

а()л(^ + Г*(?)(ГГ(,)л() - gr(t)) = 0 (13)

и через лга (t) обозначим его решение.

Если выполнены условия теоремы 1, то согласно (7), (10) и (12) для этой функции справедливы соотношения:

а оператор Гг (ґ), вектор gr (ґ) такие же, как в (4), но с возмущенными данными.

Исследование устойчивости метода (17) проведем способом, предложенным в [11, с. 263], который можно назвать методом замороженных коэффициентов. Поэтому, наряду с (17), рассмотрим при каждом фиксированном т> ґ0 вспомогательную задачу Коши с невозмущенными данными:

и" (ґ, т) + ци' (ґ, т) + Р(т)[а(т)и(ґ, т) +

+ Гг*(т) (ґ)Гг(т)и (Ґ, т) — ГКт)gr(т) ] = 0, т> ґ0, (19)

и(ґ0, т) = и0, и'(ґ0, т) = и'0.

Предположим, что при Ут>ґ0 задача (19) имеет единственное решение и(ґ, т) класса

С2[ґ0, +да), которое ограничено по совокупности аргументов.

Введем в рассмотрение функцию

є(ґ, т) = 1 |и(ґ, т) — хга (т)||2

(20)

и покажем, что є(т, т) ^ 0 при т ^ +да.

Функцию (20) дважды продифференцируем

(14) по ґ :

ґ є [ґ0,+да)

(здесь и в дальнейшем через сі будем обозначать константы, не зависящие от ґ и т).

е'и, т) = (u(t, Т) - лга (т), и’(t, X)), (21)

—====

^а(Г)г(Г) , (15) е"(Г, т) = (и(/, т) - лга (т), и"(г, т)) + ||и'(г, т)||. (22)

Умножим уравнение (19) скалярно на разность и^, т) - лга (т) и воспользуемся равенствами (21), (22) и равенством а(т)лга (т) +

<

х

+ Гг(т)Гг(т)хга (т) — Г*(т)(ґ)gr(т) = 0, которое сле- к (т) = —Ц + + о(а(т)),

дует из (13). Получим 2а (т) _ (29)

є'(ґ, т) — ||И'(ґ, т)|2 + Мє'(ґ, т) + к2 (т) =----— + 0(а(т)).

+ т) + Р(т) х Применяя к неравенству (28) лемму 2, нахо-

х (и(ґ,т) — хга (т), Г*(Х) (ґ)ГГ(т) (и(ґ,т) — хга(т))) = 0. дим

Так как оператор Г*(т)Гг(т) положительный, е(/т)< 1 ч'

то отсюда следует дифференциальное неравен- к2(т) к1(т)

([k2(x)є(to, x) — єt (to, x)]exp|kl(x)(t —10)] +

є " (t, x) + цє ' (t, x) + 2a(x)є(t, x) < llu' (t, x)||2, (23) +[є ' (to, x) — k1(x)є(t0, x)]exP |k2(x)(t — t0)] +

ство

м2

где a(x) P(x)a(x). + c61a2^,x^expk^xXt — s)] — expk^xXt — s)])ds) (30)

Оценим правую часть этого неравенства.

to

Для этого уравнение (19) умножим скалярно на и '(t т): Согласно (20), (21), начальным условиям

/ ,, ч ^ ,, ч\ (19) и (15) имеем

(и (ґ, т), и (ґ, т))+ ц(и (ґ, т), и (ґ, т))+

+ Р(т)(и '(ґ, т), a(т)u(ґ, т) + (24) |к2(т)є(ґ0, т) — єґ (ґ0, т)| =

+ Г‘(т)(ґ) Гг(т)и(^ т) — Г‘(т) gr (т) )= 0.

Нетрудно видеть, что

|'V2VV/^V*0’ v/ О’ v/|

- k2 СОІu 0 — xra COf — (u0 — xra u0 ) <

2

(и '(t,т),и"(t, т) ) = ||и '(t, т)||-|||и'(t, т)||. (25) < 1 |к2 (т)|(|и0|| + ||лга (т)||)2 +

Поэтому, перебросив последний член в (24) + М(Ы +1 лга (т)||)< с7.

вправо и применив к нему неравенство Коши- Аналогично оценивается константой вели-

Буняковского, с учетом ограниченности операторов А, В и решения и(^ т) получим дифференциальное неравенство 1

чина є

't С to, x) — kl(x)є(to, x)|.

Усилим неравенство (30), подставив эти константы в правую часть и откинув отрица-— ||и'(t,т)|| +Ц|и'(t,т)|| < с(а(т) + г(т)), (26) тельные члены, и в полученном неравенстве

dt примем t = т . Тогда получим оценку

где г (т) =Р(т)г(т), а ||и'(ґ0, т)|| = согласно лемме 1 находим

||и ' (і, т)|| <

. Отсюда є(x, x) < 1

+ r (x)) < c5

k2(x) - k1(x)

x (c8 {exP |k1 (x)(x - t0)] + exP k2 (x)(x - t0 )]} +

-o ^P-^ — t0)]+ c4(a(x) + }

exp—цСг -t„)] + a{x) + rlx))= (27) + c6 J a ^x)expMxXx-s)]ds), (31)

= c5a(t, т).

Подставляя оценку (27) в (23), получим где а^,т) определено в (27).

е "(^ т) + це '(t, т) + 2a(т)е(t, т) < ca2(t, т). (28)

В силу предположений (12) и (18) а(т) ^ 0 при т ^ +да.

Поэтому можно считать, что ц2 - 8а(т) > 0, и следовательно, квадратное уравнение к2 +цк + 2а (т) = 0 имеет два отрицательных

Сформулируем результат.

Лемма 3. є(т, т) ^ 0 при т ^ +да, если функции а(ґ), г(ґ), Р(ґ), помимо условий (12), (18), удовлетворяют соотношениям

11ш а (ґ) = 0, 11ш Р (ґ) = 0, (32)

ґ^+да а 2(ґ)р(ґ) ’ ґ^+да а(ґ )Р2(ґ) ’

2

корня: 11ш Г (ґ)Р(ґ) = 0. (33)

ґ^+да а(ґ)

1 П-----------------------------------------------------------------------------------------=-

к:(т) = - [—Ц —^ — 8а(т)],

^ ,------------------------------------------------------------------------------------------ Доказательство. В силу (29) при т^+да,

к2(т) = 2[—М- + а/М-2 — 8а(т)]. к2(т) — к1(т) ^ц>0, тк1(т) ^—да. Для вычис-

Оставляя два члена в формуле Маклорена, ления предела функции хк2(х) воспользуемся

для этих корней получим следующую асимпто- соотношениями (29), (32) и правилом Лопиталя.

тику: Имеем

О

x

2

2

lim тк2(т) =------lim та(т) =-------lim т/(а(т)) 1 =

ц т^+да = - — lim 1/

ц т^+да

2

(а(т)р(т))'

(а(т)Р(т))2

ц т^+да

л

= -да.

Следовательно, первое слагаемое в (31) стремится к нулю при т ^ +да. Так как

т

| a 2(s, т)ехр |k2 (т)(т - s)]ds <

t0

т

< 3 j{exp[-2|a(s -10)] + а2(т) + r2(т)}х

t0

х exp |k2 (т)(т - s)]ds, то интеграл от первого члена в фигурной скобке, очевидно, стремится к нулю, а предел оставшейся суммы равен

а2(т) + r2(т) ц а2(т) + r2(т)

lim ----—-------— = — lim -

т^+да - k2 (т) ц2

2 т^+да

а(т)

2

r 2(т)Р(т)^

lim а(т) + lim

т^+да т^+да а(т)

Но в силу предположений (33) этот предел равен нулю, и лемма доказана.

Устойчивость метода

Предположим, что задача Коши (17) имеет единственное ограниченное решение и(0 из

класса С2[t0, + да), и рассмотрим функцию

1 ?

а(^ т) = — ||и(0 -м(*, т)|| . (34)

Вычтем из уравнения (17) уравнение (19), умножим полученное равенство скалярно на и(0 - м(*, т) и, учитывая положительность оператора Г*^)(0Гг(t)(t), для функции ст(^т) получим дифференциальное неравенство а" (t, т) + цст' (t, т) +

__ .. ..О

+ 2а(x)а(t, т) < ||и' (t) - и'(^ т)

+ (и^) -u(t,т), (а(т) -а(t))u(t))-

+ (u(t) - u(t, (Р(т)Гг(т)Гг(т) -

-P(t) Г**^) Гг (0а ))u(t, т))+

+ (u(t) - u(t, т), (P(t)Г*^) (t)gг(t) (t) -

-Р(т) Г *(т)(0 gг(т))) с нулевыми начальными условиями: а(^, т) = 0, а " (гo, т) = 0.

В силу обозначений (4) имеем

Р(т)Г*(т)Гг(т) -P(г)г^)(г)г^)(г) =

= (г(т) - г(}))в*в + г^)В* (В - в^)) +

+ г ШВ* - В* «)B(г) + (Р(т) - Р«)А*А +

+ Р«А* (А - А«) + P(г)(А* - А* ф)A(г),

+

)+

Р(0Гг*(0 (г)gr(t)(г) - Р(т)Г*(т)gr(т) =

= (г (г) - г (т))В*г + г (()В* (г)(z(г) - г) +

+ г «(В* ф - В*)г + (P(г) - Р(т))А*у +

+ Р«А* Шу^) - у) + P(г)(А* ф - А*)у.

Теперь, используя неравенство Коши-Бу-няковского, условия аппроксимации (16) и ограниченность решений м(*) и м(*, т), усилим неравенство (35):

а "(/, т) + ца" (/, т) + 2a(т)а(г, т) <

(36)

< ||и '(/) - и'(/, т)||2 + С8 {|а(т) - а(7)| + |г(т) - г(7)| +

+ |Р(т) - Р©! + г (/)(й(0 + 8(/)) + Р(/)( I (/) + v(г))}=

= ||и'(/) - и '(7, т)||2 + С8б(/, т).

Для оценки первого слагаемого в правой части (36) снова вычтем из уравнения (17) уравнение (19), но умножим теперь полученное равенство скалярно на и' (0 - и '(Х, т). Тогда для

||и'(0 - и'(^ т)|| аналогично (24) - (26) получим дифференциальное неравенство

d_

dt

U' (t) - и'(t, т)|| + ЦU' (1) - и' (1, т)|| <

< е9 (max{(x(t), а(т), Р(1), Р(т)} +

+ max{r (t), r (т)}) = C9v(t, т)

(37)

(38)

с нулевым начальным условием:

||и ' (to) - и' (to, т)|| = 0. Согласно лемме 1 отсюда имеем ||и'^) - и’(^ т)|| <

t

< с9 | у(5, т) ехр {-ц^ - 5)}15 = с^^, т).

t0

Подставим оценку (38) в (36):

а "(г, т) + ца '(г, т) + 2а(т)а(г, т) <

< сш^2^,т) + Ь^,т)}, а(гo, т) = а ' (г 0, т) = 0.

Повторяя рассуждения, которые мы привели при применении леммы 2 к неравенству (28), отсюда находим

г

(35) а(г, т) < С—0 |{М;2 (5, т) + Ь(S, т)}ехР к2 (т)(г - (39)

Если учесть убывание функций Р^), г(t), то для функции у(*, т), определенной в (37), при t <т можно считать, что у(*, т) = Р(0 + г(t). Тогда в силу (38)

е

^(0, т) = | {Р(5) + г (5)}ехр [-ц(е - 5)]15,

при этом с помощью правила Лопиталя нетрудно установить соотношение эквивалентности

^(0,т)~ ц-1{Р(0) + г(0)}при 0^+да. Поэтому

найдется константа, такая, что т) <

< cn{P(t) + r (t)}при t <т. Подставляя это неравенство в (39) и полагая в нем t = т, окончательно получим

ст(т, т) <

т

< c12 j{Р2 (s) + r 2 (s) + Ъ(5, т)}exP ^2 (т)(т - s)]ds (40)

t0

Теорема 2. Пусть задача (1) разрешима и предположим, что приближенные данные задачи (1) удовлетворяют условиям аппроксимации (16).

Тогда, если функции а(1), r(t), p(t) удовлетворяют соотношениям (12), (18), (32), (33) и следующим условиям

т

lim j{p2(s) + r ^s^expP^^^Xs -т)]& = 0, (41)

т—+да ^ t0

т

Km j{^(s) - а(т)| + \r (s) - r (т)| + p(s) - Р(т)|} х

t0

х exp |2ц_1а(т)^ - т)]ds = 0,

а также выполнено условие т

lim j{r (s)[h(s) + 8(s)] + p(s)[/(s) + v(s)]} х

х^+да t0 (43)

х exp^^T^^Xs - ^ds = 0 согласования параметров регуляризации с уровнями возмущений, то решение u(t) возмущенной задачи Коши (17) с любыми начальными условиями при t — +да стабилизируется к

x* - нормальному решению задачи (1). Доказательство. Имеем

и(т) - x*|| < ||и(т) - и(т, т)|| +

+ т) - xra (т)|| +|xra (т) - x*||.

Так как предполагаются выполненными все условия теоремы 1, то справедливо равенство

(14), а значит, ||xra (т) - x*|| — 0, т —+да. Аналогично, согласно лемме 3 s(x, т) — 0, следовательно, ||и(т, т) - xm (т)|| — 0, т —— +да.

Очевидно, ||и(т) - и(т,т)|| — 0, т —— +да, если ст(т, т) — 0, а это имеет место в силу неравенства (40), соотношения k2 (т)—2ц-1а(т) и

предположений (41) - (43), и теорема доказана.

Приведем пример функций, для которых имеют место (12), (18), (32), (33), (41), (42) и (43):

а(1) = 1/1а, r(t) = tr, p(t) = 1 tp, где а, p, r > 0, а-r < 0, а+р-1 < 0, а-р< 0,

2r +а^< 0; h(t) = 1/ th ,

8(t) = 1/18, l(t) = 1/tl, v(t) = 1/1v, где а + r < h, а + r <8, а< l, а^, t0 > 0.

Для задачи псевдообращения (2) из теоремы

2 легко вывести следствие, положив B = 0 и z = 0, отбросив все соотношения с функцией r (1 )•

Список литературы

1. Minamide N. Nakamura K. // SIAM J. Appl. Math. 1970. V. 19. P. 167-177.

2. Морозов В.А., Кирсанова Н.Н. // Вычислительные методы и программирование. М.: МГУ, 1970. Вып. 14. С. 40-45.

3. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. 360 с.

4. Groetsch C.W. // Lect. Notes Math. 1986. № 1225. P. 168-181.

5. Шафиев Р.А. К теории методов регуляризации Тихонова-Лаврентьева // ДАН СССР. 1985. Т. 282, № 4. С. 804-808.

6. Шафиев Р.А. // ЖВМ и МФ. 1983. Т. 23, № 3. С. 536-544.

7. Шафиев Р.А. Псевдообращение операторов и некоторые приложения. Баку: Элм, 1989. 152 с.

8. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

9. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

10. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

11. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

12. Антипин А.С. // Вопросы кибернетики. Вы-числ. вопр. анализа больших систем. М.: Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР, 1989. С. 5-43.

13. Альбер Я.Н. // Математические заметки. 1968. Т. 4, № 5. С. 503-509.

14. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

15. Архаров Е.В., Шафиев Р.А. // ЖВМ и МФ. 2003. Т. 43, № 3. С. 347-353.

16. Бондарь Е.А., Ястребова И.Ю. // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2003. Вып. 1.

17. Рязанцева И.П. //ЖВМ и МФ. 1999. Т. 39, № 5. С. 734-742.

SOLUTION OF A CONSTRAINED PSEUDOINVERSION PROBLEM BY THE SECOND ORDER CONTINUOUS REGULARIZATION METHOD

E.A. Bondar, R.A. Shafiev

A regularizing algorithm to solve the constrained pseudoinversion problem has been proposed. The algorithm is based on the Cauchy problem solution for a second order linear differential equation in the Hilbert space. The stabilization conditions have been found of the Cauchy problem solution to the normal solution of the problem considered in the case of perturbed input data.

Keywords: constrained pseudosolution to an operator equation in a Hilbert space, normal constrained pseudosolution, continuous regularization method, constrained pseudoinversion problem.