CC BY
26
УДК 517.983.54
ОБ ОДНОМ ПРИЛОЖЕНИИ ЗАДАЧИ СВЯЗАННОГО ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ
© Е. А. Бондарь, Р. А. Шафиев, И. Ю. Ястребова
Ключевые слова: задача связанного псевдообращения; непрерывный метод регуляризации; задача оптимального управления.
Обсуждается возможность применения непрерывного метода регуляризации первого порядка для решения задачи оптимального управления.
Введение. Задача связанного псевдообращения, состоящая в нахождении нормального квазирешения базового линейного операторного уравнения Ах—у=0 на множестве псевдорешений дополнительного уравнения Бх-г=0, является абстрактной моделью ряда практических задач из областей оптимального управления, математической физики, механики и других. Одна из задач оптимального управления, поставленная японскими математиками N. Minamide и X. Nakamura [1], состоит в нахождении управления динамической управляемой системой, которое за заданное время переводит данную систему из начального состояния в состояние, наименее уклоняющееся от заданной точки фазового пространства, и минимизирует энергетические затраты. В работе [1] задача оптимального управления решена в предположениях, позволяющих выразить точное решение через обратные операторы. В данной работе рассматриваются две некорректные задачи оптимального управления, приводится схема сведения этих задач к задаче связанного псевдообращения. Оптимальное управление находится непрерывным методом регуляризации первого порядка [2].
Постановка задачи. Рассматривается линейная динамическая управляемая система
^х(г0)=х0,
где х(Ь) — V -мерная вектор-функция состояния, и(Ь) — ц -мерная вектор-функция управления, Ш(Ь) , V(Ь) —матричные функции порядка VXV и Vхц соответственно, интегрируемые с квадратом на [Ь0, ¿1] . Задаются функционалы платы:
и) = (х(Ь{)—<р(Ь1), х(Ь1)-<р(Ь1)), ¿1
Ып)=! (х(г)-<р(г)^(г)(х(г)-<р(г))) йг,
Ь0
¿1
.](и) = У (и(Ь), Е(Ь)и(Ь))йЬ,
0
где Q(t) — положительная, Я(Ь) — положительно определенная, симметрические матричные функции порядков VXV и цхц соответственно, интегрируемые и ограниченные на [¿о, ¿1] , ^(Ь) — V -мерная вектор-функция наблюдения. Предполагается, что допустимые управления образуют вещественное гильбертово пространство Н вектор-функций из [Ь0, ¿1]) со
1748
¿1
скалярным произведением (и, у) =/(и(г),Я(г)у(г))^М . Рассматриваются следующие зада-
¿0
чи:
З а д а ч а I (поставленная в [1]). Найти оптимальное управление и*оИ , удовлетворяющее условиям:
1) '^(У* К Л (и) УиоИ ;
2) 3(и*)+32(и*)-^3(и)+32(и) Уи | 31(и)=31(и*).
З а д а ч а II. Найти оптимальное управление и*О.И, удовлетворяющее условиям:
1) 3г(и*)3(и) УиоИ ;
2) 32(и*)3(и) Уи I 3\(и)=3\(и*);
3) 3(и*)^3(и) Уи | ,31(ь)=31(и*) и 32(и)=32(и*).
Задачи I и II сводятся к задаче связанного псевдообращения (нормальным решением которой является искомое оптимальное управление) следующим образом. Решение динамической
г
управляемой системы представляется в виде х(г)=Ф(г, ¿0)х0+ / Ф(г, 8)У(8)и(з)йз, где Ф(г,8) -
¿0
матрица переноса решения. Вводится в рассмотрение пространство И1=Ь2(КИ; [г0,¿1]) со ска-
¿1
лярным произведением [х,у]н = /[х(г),у(г))^М и обозначения:
1 ¿0
¿1
Ви= J Ф(Ь1,в)У(в)у,(в)(1в, г=^(Ь1)-Ф(Ь1,Ь0)х0,
¿0
(Ки)(г)=д1/2(г)I Ф(г,з)у(8)и(в)йв, /(г)=я1/2(г)^(г)-Ф(Шхо).
¿0
Тогда функционалы платы принимают вид:
31(и) = \\Ви-х\\^, 32(и) = \\Ки-/||Нл, 3 (и,)=\\и\\2н,
где В: И, К: И~^И1 —линейные ограниченные операторы. В случае задачи I оператор А: И^ИхИ1 определяется равенством (Аи)(г) = [и(г) (Ки)(г)]Т , у(г)=[0 /(г)]Т , в случае задачи II — А=К , а оператор В в обоих случаях определен выше. Таким образом, оптимальное управление и*=и*(г) является нормальным квазирешением уравнения Ах-у=0 на множестве псевдорешений уравнения Вх-г=0 . Очевидно, оператор В имеет замкнутый образ и в случае задачи I \\Аи\\2 + \\Ви\\2^\\и\\2 УиоИ , то есть операторы А и В дополнительные. Поэтому из общих теорем (см., например, [3]) следует, что решение и* в случае задачи I существует и единственно, а в случае задачи II — только единственно.
Непрерывный метод построения оптимального управления. Для нахождения оптимального управления в задачах I и II применяется непрерывный метод регуляризации первого порядка, в котором регуляризованные решения и(г, £) вычисляются как решения задачи Коши:
¿1
д£
¿0
¿1 в +я-1(г)у*(г)!Ф*(8,г^(8)(!Ф(в,т)у(т
ь ¿0
1749
ti
=r(£)R-1(t)v*№*(ti,t)(^(ti )-Ф(г1,го)хо)+я-1(г)У*(t) J ф*(з, t)Q(s) (ф)-Ф(з, to)xo)ds,
t
где ß=1 для задачи I и ß=0 для задачи II. Так как в задаче I операторы A и B дополнительные, то можно положить а(£)=0. В этом случае метод решения задачи I становится однопараметрическим и справедлива теорема.
Теорема 1. Пусть u(t,£), te[t0, ti] , £ ^{о>0 — решение задачи Коши, где а(£)=0, параметрическая функция r(£) определена, дифференцируема при £^£0 и удовлетворяет условиям:
|r'(£ )\
монотонно возрастает, lim r({)=+oo, lim — =0.
5^+^ 5^+^ д/r(£)
Тогда u(t,£) стабилизируется к оптимальному управлению u*(t) задачи I при , то
ti
есть lim / Rl/2(t)(u(t,£)-u*(t))
to
2
dt=0.
RM
Для задачи II справедлива теорема.
Теорема 2. Пусть задача II имеет решение u*(t), и пусть u(t, £), te[t0, ti] , £ ^£0>0 — решение задачи Коши. Если параметрические функции а(£) и r(£) определены, дифференцируемы при £^£0 и удовлетворяют условиям:
а(£)>0, монотонно убывает, r(£)^1, монотонно возрастает,
lim а(£)=0, lim r(£)=+ж, lim а(£)r(£)=+ж,
5
f \а'(£)| \r'(£ )|
lim / а(т)с1т=+оо, lim ' 0 /ч =0, lim ' 0 /ч =с, 5^+^J 5^+ж а2(£) 5^+ж а2(£)
5о
тогда u(t,£) при любом u0 стабилизируется к оптимальному управлению u*(t) задачи II при .
ЛИТЕРАТУРА
1. Ninamide N., Nakamura K. A restricted pseudoinverse and its application to cotrained minima // SIAM J. Appl. Math. 1970. V. 19. P. 167-177.
2. Бондарь Е.А., Шафиев Р.А. Непрерывный метод решения задачи связанного псевдообращения // Вестник ННГУ. Математика. 2006. Вып. 1(4). С. 4-14.
3. Шафиев Р.А. Псевдообращение операторов и некоторые приложения. Баку: Элм, 1989.
Поступила в редакцию 16 сентября 2015 г.
Bondar E.A., Shafiev R.A., Yastrebova I.Yu. ABOUT ONE APPLICATION OF THE CONSTRAINED PSEUDOINVERSE PROBLEM
A possibility of applying the first-order continuous method of the regularization to solving optimal control problems is discussed.
Key words: constrained pseudoinverse problem; continuous method of regularization; optimal control problem.
Бондарь Елена Александровна, Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, e-mail: [email protected]
1750
Bondar Elena Alexandrovna, Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil Engineering, Nizhny Novgorod, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Mathematics Department, e-mail: [email protected]
Шафиев Рамиз Алиовсад оглы, Нижегородский государственный педагогический университет, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и математического образования, e-mail: [email protected]
Shafiev Ramiz Aliovsad ogly, Nizhny Novgorod State Pedagogical University, Nizhny Novgorod, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Mathematics and Mathematical Education Department, e-mail: [email protected]
Ястребова Ирина Юрьевна, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической физики и оптимального управления, e-mail: [email protected]
Yastrebova Irina Yur'evna, Nizhny Novgorod State University named after N.I. Lobachevsky, Nizhny Novgorod, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Mathematical Physics and Optimal Control Department, e-mail: [email protected]
1751
