Решение функциональных уравнений, связанных со скалярным произведением Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 1. С. 30-45.

УДК 517.965

РЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ

В. А. Кыров

Горно-Алтайский государственный университет, Горно-Алтайск, Россия [email protected]

Осуществлён поиск решений функциональных уравнений

[X] + + Х^у^1)- "

дв /&х"+1 ' /ду"+1 '

о о О О

[X] дв + (Х„+1(х) - Х„+1(у))£ = 0, [X] дв + (Хп+1(х) + Х„+1(у))дК = 0,

где [X] = ЕП=1(£кxkXk(у) + £кукХк(х)), х = (х\...,хп,хп+1), £к = ±1, возникающих в задаче вложения пространства К" со скалярным произведением в = е1х1 у1 + • • • + епхпуп. В этой задаче ищутся все функции вида f = /(в, хп+1, уп+1), являющиеся двухточечными инвариантами п(п + 1)/2-параметрической группы преобразований.

Ключевые слова: функциональное уравнение, функционально-дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение, скалярное произведение.

Введение

Всем хорошо известно функциональное уравнение Коши

f (u + v) = f (u) + f (v),

где f — функция класса C1, u и v — независимые переменные. Это уравнение решается дифференцированием и последующим разделением переменных: f'(u + v) = f'(u), f'(u + v) = f'(v). Далее приравниваем правые части: f'(u) = f'(v) = a = const. Затем интегрируем и результат подставляем в исходное уравнение, получаем f (u) = au. Этим же методом решаются функциональные уравнения, появляющиеся в геометрических задачах [1-6]. К числу таких задач относится задача нахождения уравнений группы движений по метрической функции. В частности, для плоскости Гельмгольца [7] по метрической функции

f = [(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2] exp (Vrctg4-4)

\ x x J

составляется функциональное уравнение на группу движений [2] [(А1 - А2)2 + (a1 - a2)2] exp (Vrctg=

= [(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2] exp (^axctg4^4 ) ,

x1 - x2

где y = const, Л1 = Л(ж1,ж2), а1 = a(x^x2). В этом уравнении две неизвестные функции Л и а класса не ниже C1. Решая, получаем уравнения на группу движений

x' = Л(ж, y) = ax — by + c, y' = а (ж, y) = bx + ay + d, причём [a2 + b2] exp ( 2yarctg — ) = 1, a, b, c, d = const.

V a/

Другой задачей является задача о нахождении по метрической функции базисных операторов алгебры Ли группы движений. Для плоскости Гельмгольца она сводится к решению следующего функционального уравнения [6]:

(X1(x) — X1(y))((x1 — ж2) — Y(y1 — y2)) + (X2 (x) — X2(y))((y1 — y2) + y(x1 — x2)) = 0,

которое также имеет две неизвестные Х1 и Х2 класса не ниже C2. Решая, получаем базисные операторы

X1 = , X2 = 5ж2 , Хз = — (x2 + Yx1)dxi + (x1 — Yx2)dx2.

Задачей другого рода является задача вложения [3-5]. Для плоскости Гельм-гольца она состоит в поиске функций вида

f = f ([(x1 — x2)2 + (y1 — y2)2] exp (Vrctgx1—,x3,y3) ,

являющихся инвариантами шестипараметрической группы преобразований [5]. Задача приводит к решению функционального уравнения

((x1 — x2) — Y (y1 — y2))(X1(x) — X1(y)) + ((y1 — y2) + Y (x1 — x2))(X2(x) — X2(y)) +

(X3(x)f +X3(y)ddfr) exp(-2Yarctg _

+ 2dx = 0,

2 дв

которое содержит четыре неизвестные функции Х1, Х2, Х3, f класса не ниже C 2. Решением этого функционального уравнения является метрическая функция трёхмерного гельмгольцева пространства

f = [(x1 — x2)2 + (y1 — y2)2] exp (^axctg+ x3 + y3) .

у x x f

В данной работе решаются функциональные уравнения, возникающие в задаче вложения пространства Rn, n > 1, со скалярным произведением

n

0(x, y) = (x, y) = £1x1y1 + ■ ■ ■ + £nxnyn = Y^ £kxkyk.

k=1

Относительно скалярного произведения заметим, что оно является невырожденным, т. е. d^/dx* = 0, d^/dy* = 0, i = 1,... , n. Суть этой задачи состоит в поиске всех функций вида f = f (0,xn+1 ,yn+1), являющихся инвариантами n(n + 1)/2-параметрической группы преобразований. Отметим, что эта группа преобразований также неизвестна, но её подгруппой является группа вращений, сохраняющая скалярное произведение 0.

1. Постановка задачи и основные результаты

Рассмотрим дифференцируемую класса С5 функцию / : Sf ^ К, где Sf С Кп+1 х Кп+1 — открытая область определения. Пусть Ц"о С Кп+1 — некоторая координатная окрестность, точки ж, у Е и0, причём (ж, у) Е Sf. Рассмотрим окрестности точек ж и у: и (ж) С и0 и и (у) С и0, причём (ж', у') € Sf для любых ж' € и (ж), у' € и (у). Обозначим через и ((ж, у)) С Еп+1 х Еп+1 — окрестность пары (ж, у): и ((ж, у)) С и (ж) х и (у). Везде ниже п > 1, п — натуральное число. Пусть функция / в окрестности и ((ж, у)) имеет один из следующих видов:

/ (ж, у) = Х(0(ж,у),жп+1,уп+1), (1.1)

/(ж,у) = а (0(ж,у),а), (1.2)

/(ж,у) = к (0(ж,у),г), (1.3)

где 0(ж,у) = е1ж1у1 + ■ ■ ■ + £пжпуп, а = жп+1 — уп+1, г = жп+1 + уп+1, х, а, к — дифференцируемые класса С5 функции.

Потребуем для этих функций в и ((ж, у)) выполнения неравенств [1]:

— = 0, = 0, = 0, (1.4)

= 0 5жга+1 =0, 1уп+1 = 0 ( )

I =0- = 0, (15)

дк=0.§к=0. (1«)

Дополнительно будем предполагать, чтобы функция / была двухточечным инвариантом действия некоторой группы Ли в пространстве Кп+1 [8]. Множество таких действий задаёт группу Ли преобразований пространства Кп+1, которую будем называть группой инвариантности функции /.

Произвольный оператор алгебры Ли группы инвариантности функции / в окрестности и (ж) имеет вид [1]

X = Х11Ж! + ■ ■ ■ + Х„1жп + Хга+11жп+1, (1.7)

где Х3 = Х5(ж1,... , жп,жп+1) — дифференцируемые класса С4 функции в окрестности и (ж) С и0 С Кп+1, 5 = 1,... ,п + 1. Через оператор записывается критерий локальной инвариантности [8]:

X (ж)/(ж,у)+ X (у)/(ж, у) = 0. (1.8)

Равенство (1.8) расписываем для функций (1.1), (1.2), (1.3):

X] дх + Х™+1 (ж)¿П+Г + Хп+1(у)^ = 0, (1.9)

[X] |а + ^п+1 (ж)—xn+l(y)) да = 0, (1.10)

[X] дкк + ^+1(ж) + Xn+l(y))дкк = 0, (1.11)

где использовано обозначение

п

[X] = ^£к жк Xfc (у) + £к ук Xк (ж)). к=1

Уравнения (1.9), (1.10) и (1.11) являются функционально-дифференциальными относительно неизвестных компонент оператора X, а также функций х, a и к и выполняются тождественно по координатам точек x и y в окрестности U((x,y)). Подобные уравнения решались в работах [3-5].

Сначала решаем уравнение (1.9) и получающееся из него уравнение

[X ] = ^,xn+1,yra+1), (1.12)

im n+1 n+14 Xra+1 (xn+1)dx/dxn+1 + Xra+1(yn+1)dX/dyn+1 где ^(0,xn+1,yn+1) =--dX/d6>- — функция

класса C4 в U((x,y)). При этом будем полагать Xn+1 = Xn+1(xn+1).

Теорема 1. Решениями функциональных уравнений (1.12) и (1.9) в окрестности U((x,y)) при условии Xn+1 = Xn+1(xn+1) = 0 являются функции

n

Xp = t(xn+1)xp + ^ £pcpgxq, (1.13) q=1

^(0,xn+1 ,yn+1) = (t(xn+1) + i(yn+1))0, (1 14)

x(^,xn+1,yn+1) = x(^eP(xn+1)+P(yn+1),Q(xn+1) - Q(yn+1)), ( . )

где cpq = -cqp = const, p, q = 1, 2, ...,n, t(xn+1), P (xn+1), Q(xn+1), х _ функции класса C4, t(xn+1) + Xn+1(xn+1)P'(xn+1) = 0, Xn+1(xn+1)Q'(xn+1) = const.

Потом решаем уравнение (1.10) и следующее из него уравнение

[X] = (Xn+1(x) - Xn+1(y)M^,w), (1.15)

где <^(0,w) = -ddW/§f — функция класса C4 в U((x,y)), причём ^ = 0, поскольку иначе dw = 0, что противоречит неравенству из (1.5).

Теорема 2. Решениями функциональных уравнений (1.15) и (1.10) в окрестности U((x,y)) являются функции:

n

Xp = ^^epcpqxq, Xn+1 = c, = ^(0,w), a = <r(0,w); (1.16)

q=1

" 2a0

Xp = axp + J]epCpqxq, Xn+1 = rxn+1 + c, ^ =-, a = a(0rw-2a); (1.17)

q=1

n

Xp = axn+1xp + J]epCpqxq, Xn+1 = r(xn+1)2 + c, ^ = —, a = a(0rw-a); (1.18) q=1

n

Xp = a sin(^xn+1 + a)xp + ^^ £pcpqxq, Xn+1 = r cos(^xn+1 + a) + c,

q=1 , ч (1.19)

^ = уctgT", a = a r ;

n

Xp = aewx"+1 xp + J] epcpqxq, Xn+1 = rewx"+1 + c,

q=1 (1.20)

^ = —^-rz^w, a = a И

r 1 - e-ww V 4 2/

Xp = a sh(wxn+1 + a)xp + ^ £pcpqxq, Xn+i = r ch(wxn+1 + a) + c,

q=1

* = if cthf.a = ^ (sh f )-*) ;

n

Xp = a ch(wxn+1) + a)xp + ^^ £pcpqxq, Xn+1 = r sh(^xn+1 + a) + c,

(1.21)

q=1

^ = T cth IT, * = ^ (ch ^)

-2a

(1.22)

gcte cpq = —cqp = const, p, q = 1, 2,..., n, a, c, r, a, w = const, a = 0, r = 0, a, a функции класса C4, Xn+1 = 0.

Наконец, решаем уравнение (1.11) и уравнение

[X] = ^п+1 (ж)+ Xn+l(y))A(0,z),

(1.23)

где А(0,г) = — дкК / дкк — функция класса С4 в и ((ж,у)), причём А = 0, иначе |К = 0, что противоречит неравенству из (1.6).

Теорема 3. Решениями функциональных уравнений (1.23) и (1.11) в окрестности и ((ж, у)) являются функции

П _ 2 Xp = 2шжп+1жр + ^£рсрдж9, Xn+l = с, А = аг0, к = к(0е^); (1.24)

9=1

Xp = axpXn+1 + ^epcpqxq, Л = a0, к = к(0е az);

q=1

Xp = (axn+1 + b)xp + £pCpqxq, Xn+1 = c

Л

q=1

к = x(04ce-az2-4bz 2c ' V

Xp = (axn+1 + b)xp + £pcpqxq, Xn+1 = mxn+1 + c,

q=1

Л = az + 2b 0, к = K(0m2 (mz + 2c)-2bm+2ace-amz); mz + 2c v v ;

n

Xp = r[a sin(wxn+1 + a) + b cos(wxn+1 + a)]xp + ^ epcpq

x

q=1

v , n+1 . / wz + 2a \ Xn+1 =rcos(wx + + a), Л = I atg----+ bl

+ b 0,

к = к I cos e--

2a

(1.25)

(1.26.1)

(1.26.2)

(1.27)

Xp =r[ae-

+ bewx"+1 ]xp + J] epcpqxq, Xn+1 = rewx

n + 1

q=1

Л = (ae-wz + b)0, к = к (w ln 0 + ae-wz — bwz)

(1.28)

n+1

Xp = r[a sh(wxn+1 + a) + b ch(wxn+1 + a)]xp + ^ epcpq

x

q=1

Xn+1 = rch(wxn+1 + a), А = ^athWZ + 2a + bj

+ b 0,

(1.29)

к = к I 0M ch

-2a

Xp = r[a ch(wxn+1 + a) + b sh(wxn+1 + a)]xp + £pcpq

q=1

x

Xn+1 = rsh(wxn+1 + a), А = ( acthWZ + 2a + b | 0,

к = к 0Ш sh

(1.30)

2

где cpq = -cqp = const, p, q = 1, 2,..., n, a, b, m, r, c, a, w = const, a = 0, m = 0, r = 0, Xn+1 = 0, к — функция класса C4.

2. Доказательство теоремы 1

Продифференцируем уравнение (1.12) по переменным xp и yq:

^p(Xp(y))y9 + (Xq (x))Xp = ^pq + yV , (2.1)

0, при p = q — символ Кронекера, p, q = 1, 2,... , n. Дифференцируя равенства (2.1) при p = q по xp и yq, получаем ^¿'¿'до = 0, следовательно,

С = a1 (xn+1,yn+1)0 + b1(xn+1 ,yn+1).

Подставляя найденное в (2.1) и дифференцируя результат при р = д по ж5, а затем по ур, причём ^ = д, 5 = р, получаем а^ж"^1, уга+1) = 0. Возвращаясь снова в равенства (2.1) и дифференцируя их при р = д по ж9, а затем по ур, получаем 61(жга+1,уга+1) = 0. Значит,

^ = а(жга+1, уга+1)0 + 6(жга+1, уга+1). (2.2)

Подставляя равенство (2.2) также в (2.1), получаем

£р(Хр(у))^ + (X (ж))хр = ¿Р9 £ра(жп+1,уп+1). (2.3)

Дифференцируя уравнения (2.3) по жга+1 и уга+1 при р = д, имеем аХп+1у«+1 = 0. Интегрируя найденное и подставляя результат в (2.2), получаем

•ДО,жга+1,уга+1) = (¿1(жга+1) + ¿2(уга+1))0 + Ь(жга+1,уга+1), (2.4)

где ¿1, ¿2 — функции одной переменной класса С4. Подставляя (2.4) в (2.3), будем иметь

£р(Хр(у));ч + (X, (ж))хр = ¿р, вр(^1(жП+1) + ¿2(УП+1)).

Разделяя в последней системе по координатам точек ж и у, получаем

(Xp(x))Xp = t1(xn+1)+ c, (Xp(y))yp = ¿2(yn+1) - c, (Xq(x))Xp = £qcqp, (Xp(y))y, = £pcpq,

где cpq, c = const, p = q. Во втором равенстве заменяем y на x и сравниваем с первым: (Xp(x))'xp = t2(xn+1) — c, (Xp(x))X,P = ii(xn+1) + c, следовательно, t2 = ¿1 + 2c. Вводится обозначение i(xn+1) = t1(xn+1) + c. Тогда предыдущая система принимает вид

(Xp(x))LP = t(xn+1), (Xp(y))yp = t(yn+1), (Xq(x))Xp = eqcqp, (Xp(y))yq = epcpq.

Интегрируя найденное, имеем функции (1.13). Далее (1.13) и (2.4) подставляем в (1.12), после приведения подобных получим 6(xn+1, yn+1) = 0, следовательно, приходим к функции — из (1.14). Для нахождения функции х выше найденное выражение подставляем в уравнение (1.9):

(t(xn+1) + t(yn+1)) dX + Xn+1(xn+1) ¿n+r + Xn+1(yn+1) ^yn+T

/dx"+1 n

Новое уравнение решается методом характеристик [9].

0.

3. Вспомогательные утверждения

Лемма 1. В окрестности и((х, у)) функциональное уравнение

((Хга+1(х))Х„+1 + (Хга+1 (у));„+1 + (Х„+1(х) - Х^у))^ = 0, (3.1) где Хга+1(х1,..., хп, хга+1) — функция класса С4, ^ = ^(0,^) — функция

класса

C4, а 0(x1,..., xn, y1,..., yn) — некоторая функция класса C4, w = xn+1 — y' Xn+1 = const, pW = 0, имеет решения: при (X„+1(x))Xn+i = 0

Xn+1 = C (x1,...,xn), p = a(0)w + 6(0); (3.2)

при (X„+1(x))X„+i = 0

X„+1 = rxn+1 + c, p = a(0)- + 6(0); w (3.3)

Xn+1 = r(xn+1)2 + c, p = a(0)- + 6(0); w (3.4)

Xn+1 = r cos(wxn+1 + a) + c .... ww , p = a(0)ctg—+ 6(0); (3.5)

Xn+1 = re^1 + c, p = a(0) + 6(0); 4 y _1 (3.6)

Xn+1 = r ch(wxn+1 + a) + c, p = a(0)cth—+ 6(0); (3.7)

Xn+1 = r sh(wxn+1 + a) + c , p = a(0)th— + 6(0), (3.8)

где r, c, a = const, C(x1,... , xn) = const — функция класса C4, a(0),6(0) — функции класса C4, a(0) = 0.

Замечание. Уравнение (3.1) получено из уравнения (1.15) дифференцированием по переменным xn+1 и yn+1.

Доказательство. Из формулировки леммы очевидно следует, что pW = 0 и Xn+1(x) — Xn+1(y) = 0. Тогда от уравнения (3.1) приходим к новому —

(X„+1(x))'i + (Xn+1 (y))'

yn+1 _

Xn+1(x) — Xn+1(y)

pw

(3.9)

Дифференцируя это уравнение сначала по жга+1, а затем по уга+1, после чего первый результат складываем со вторым, получаем тождество

((Xra+1(x))X„+1 + (Xn+i(y))¡¡B+i)(Xn+i(x) - Xra+1(y))--((Xra+1(x))X„+1 )2 + ((X+ifo))' +i )2 = 0.

(3.10)

Возможны два случая: (Xn+i(x))X.n+i = 0 и (Xn+i(x))X.n+i = 0. В первом случае из уравнения (3.1) получаем pWW = 0, следовательно, справедливо простое решение (3.2).

Во втором случае тождество (3.10) дифференцируем по переменным xn+i и yn+i, после чего делим на ненулевое произведение (Xn+i(x))X;„+1 (Xn+i(y))'n+1 = 0 и разделяем переменные, затем получаем дифференциальное уравнение

(Xn+i(x))Xn+1 + ü(Xn+i (x))Xn+1 =0, а = const. (3.11)

Это уравнение имеет следующие решения: при ü = 0

Xra+i = A(xi,..., xn)(xn+i)2 + B(x\..., xn)xn+i + C(xi,..., xn); при ü > 0

Xn+i = A(xi,..., xn) cos wxn+i + B(xi,..., ) sin win+i + C(xi,..., xn), w = при ü < 0

Xra+i = A(xi,...,xn)ewx"+1 + B(xi,...,xn)e-wx"+1 + C(xi,...,xn), w = V—Ü.

Затем найденное подставляем в (3.10) и получаем: при ü = 0

Xn+i = rxn+i + C (xi,...,xn); X„+i = r(xn+i)2 + c;

при ü > 0 при ü < 0

Xn+i = r cos(wxn+i + p(xi,..., xn)) + c, w =

Xn+i = A(xi,..., xn)ewx"+ + c, w = ±

Xn+i = r ch(wxn+i + p(xi,... ,xn)) + c, w = V—ü;

Xn+i = r sh(wxn+i + p(xi,...,xn)) + c, w = V—Ü;

причём r, c = const, r = 0.

Далее функцию (3.12) подставляем в уравнение (3.9):

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

2r

rw + C(xi,... ,xn) - C(yi,... ,yn)

PW

(3.18)

Из уравнения (3.18) следует, что ^Ww = 0 (r = 0), тогда несложно доказать, что C(x1,... ,xn) = c = const. Значит, уравнение (3.18) принимает более простой вид

2

//

WW

w

pW

Интегрируя последнее, получаем: p = a(0)--+ 6(0). Объединяя найденное с (3.12),

w

имеем (3.3).

Потом функцию (3.13) подставляем в уравнение (3.9), в результате, как и выше,

получаем p = a(0)--+ 6(0). Учитывая (3.13), получаем (3.4).

w

Теперь функцию (3.14) подставляем в уравнение (3.9) и используем тригонометрические свойства, затем доказываем, что p(x1,... , xn) = a = const. В результате получаем уравнение

ww p"-.. wctg—- = —

2 pW

Интегрируя последнее, имеем p = a(0)ctg—+ 6(0). В итоге получаем (3.5).

Функцию (3.15) подставляем в (3.9), при этом доказывается, что A^x1,... , xn) r = const:

1 + e-WW p" . 1 + e pww

w

1 — e-WW pW

Интегрируя это уравнение, имеем p = a(0)--+ 6(0). Отсюда и из (3.15)

1 — e ww

получаем (3.6).

И, наконец, функции (3.16) и (3.17) подставляем в уравнение (3.9) и применяем свойства гиперболических функций, потом устанавливаем, что p(x1,... , xn) = a = const. В итоге приходим к уравнениям

wcth ww = — ^k, wth ww = — p^k.

2 pW , 2 pW

Интегрируя последние уравнения, получаем p = a(0)(c)th —— + 6(0). Вместе с (3.16) и (3.17) это влечёт (3.6) и (3.7). □

Аналогично доказывается следующее утверждение.

Лемма 2. В окрестности U((x,y)) функциональное уравнение

((Xn+1(x))Xn+i + (X„+1(y))y„+i )AZ + (X„+1(x) + Xra+1(y))AZ'z = 0, (3.19)

где Xn+1(x1,..., xn, xn+1) — функция класса C4, A(0,z) — функция класса C4, а 0(x1,... ,xn,y1,... ,yn) — некоторая функция класса C4, z = xn+1 + yn+1, AZ = 0, имеет решения:

при (Xn+1(x))Xn+i = 0

X„+1 = C (x1,...,xn), A(0, z ) = a(0)z + 6(0); (3.20)

при (Xn+1(x))Xn+i = 0

X„+1 = rxn+1 + c, A = a(0)-^—+ 6(0); (3.21)

rz + 2c

Xn+1 = r cos(wxn+1 + a), A = a(0)tgwz + 2a + 6(0); (3.22)

Xn+1 = rewxn+i, A = a(0)e-wz + 6(0); (3.23)

Xn+1 = r ch(wxn+1 + a), A = a(0)thwz + 2a + 6(0); (3.24)

Xn+1 = r sh(^xn+1 + а), Л = a(0)cth + 2а + 6(0), (3.25)

где r, c, а = const, C(x1,... , xn) = const — функция класса C4, a(0),6(0) — функции класса C4, a(0) = 0.

Замечание. Уравнение (3.19) получено из уравнения (1.18) дифференцированием по переменным жга+1 и yn+1.

Доказательство. Как и в лемме 1, устанавливаем, что Л' = 0 и Xn+1(x)-Xn+1(y) = 0. Тогда от уравнения (3.19) приходим к новому:

n+1 + (Хга+1(у))Уп+1 Л''

Xra+1(x)+ Xn+1(y) = - "ЛГ. (. )

Дифференцируя это уравнение сначала по жга+1, а затем по yn+1, после чего из первого равенства вычитаем второе:

((Xra+1(x))x„+i - (xra+1(y));;„+i )(xra+1(x) + Xn+1(y))-

-((X„+1(x))X„+i )2 + ((Xn+1(y))in+i )2 = 0. (3.27)

Возможны два случая: (Xn+1 (x))^n+1 = 0 и (Xn+1(x))^n+1 = 0. В первом случае уравнение (3.19) имеет решение (3.20).

Во втором случае тождество (3.27) дифференцируем по переменным xn+1 и yn+1, после чего делим на ненулевое произведение (Xn+1(x))Xn+1 (Xn+1(y))y„+1 = 0 и разделяем переменные, далее получаем дифференциальное уравнение (3.11), затем его решение, найденные в лемме 1, подставляем в (3.27), получаем: при ^ = 0

Xn+1 = rxn+1 + C (x\...,xn); (3.28)

при ^ > 0

Xn+1 = rcos(^xn+1 + p(x1,...,xn)), ш = (3.29)

при ^ < 0

Xra+1 = A(x1,...,xn)ewx"+1, ш = (3.30)

Xra+1 = rch^xn+1 + p(x1,...,xn)), ш = V^; (3.31)

Xra+1 = rsh(i^xn+1 + p(x\...,xn)), ш = V-^; (3.32)

причём r, c = const, r = 0.

Далее поступаем, как и при доказательстве леммы 1, т. е. функции (3.28)-(3.32) подставляем в уравнение (3.26) и решаем его, в итоге получаем (3.21)-(3.25). □

Докажем ещё одну лемму. Для этого будем полагать в уравнении (1.18) Л' = 0, из чего следует, что (Xfc(x))^n+1 = 0, (Xn+1(x))^n+1 = 0.

Лемма 3. В окрестности U((x,y)) функциональное уравнение

n

[X] = ^ efc (yk Xk (x) + xfcXfc (y)) = (Xn+1(x) + Хп+1(у))Л(0), (3.33) k=1

где (Xk)' +1 = 0, (Xn+1)'n+1 = 0, Xn+1 = const, Л = 0, имеет решения

Xp = axpXn+1 + Л(0) = a0

k=1

где a = const = 0, cpq = —cqp = const.

Доказательство. Продифференцируем уравнение (3.33) четыре раза по переменным в следующей последовательности: либо xp, xp, yq, yq; либо xq, xq, yp, yp; либо xp, xq, yp, yq, причём p = q, в результате получим систему линейных уравнений относительно Л'', Л'", Л"":

aiЛ'' + а2Л'" + аэЛ"" = 0, 6^'' + 62Л''' + ЬэЛ'''' = 0, ^Л'' + с^Л''' + сэЛ'''' = 0, (3.34)

причём для коэффициентов имеем выражения:

ai = (xq ^(X^x))^ + (yp)2(Xra+i(y))y'qyq,

a2 = 2ep(xq )2yp (Xn+i (x))^ + 2eq xq (yp)2(Xn+i(y))yg,

аэ = (xq )2(yp)2(Xn+i(x) + Xn+i(y)),

bi = (xp)2(X„+i(x))X:qxq + (yq )2(Xra+i(y));;PyP ,

62 = 2eq (xp)2yq (Xra+i(x))Xq + 2epXp(yq )2 (Xn+i (y))^, Ьэ = (xp)2(yq )2(Xra+i(x)+ Xn+i(y)),

Ci = £p£q (xpxq (Xra+i(x))!B'pa, + ypyq (Xra+i(x))y'Pyq + xp(Xra+i (x))Xp +

+xq (X„+i(x))Xq + yp(X„+i(x))yp + yq (Xn+i(x))y, + (Xn+i(x) + Xn+i(y))), C2 = £pxpxq yq (X„+i(x))Xp + £pxq yq yp(Xn+i(x))yp + £pxq yq (Xn+i(x) + Xn+i(y)) + xpxq yp(X„+i(x))Xq + xpyq yp(X„+i(x))yq + xpyp(Xn+i(x) + Xn+i(y)), Сэ = xpxq ypyq (Xn+i(x) + Xn+i(y)).

Можно установить невырожденность матрицы, составленной из этих коэффициентов. Поэтому система (3.34) имеет только нулевое решение, следовательно, Л'' = 0. Таким образом,

Л(0) = a0 + 6, (3.35)

где a, 6 = const, a = 0.

Далее уравнение (3.33) с учётом (3.35) продифференцируем по xp и yq:

£p(Xp(y))yq + (Xq (x))Xp = £pyp(X„+i(y))yq a + xq (Xra+i(x))!Bp a, p = q,

(Xp(y))^p + (Xp (x))Xp = yp(X„+i(y))yp a + xp(X„+i(x))Xp a + (X„+i(x) + Xn+i(y))a. Потом в найденной системе разделяем переменные:

n

■Xp — ax -Xn+i ^ ^ ^pcpqx , cpq — cqp — const. k=i

И наконец, полученное подставим в (3.33) и получим 6 = 0.

В конце отметим, что если Л = const = 0, то, рассуждая, как и выше, получим Л = 0, что противоречит условию леммы. □

4. Доказательство теоремы 2

При решении уравнения (1.15) будем рассматривать случаи Xn+i = const, Xn+i = const, = 0 и Xn+i = const, = 0.

1. Рассмотрим первый случай: Xn+i = const. Тогда уравнение (1.15) имеет вид

n

xk Xfc (y) + efc yk Xfc (x)) = 0

k=i

и является частным случаем уравнения (1.12). Тогда из теоремы 1 получаем (1.16).

2. Пусть теперь выполняется второй случай: Xn+i = const, = 0. Уравнение (1.15) в таком случае принимает вид

[X] = (Xra+i(x) - Xra+i(y)M0).

В этом уравнении можно переставить точки x и y, при этом выражения [X] и ^(0) не изменятся. В результате получим равенство

[X] = -(Xn+i(x) - Xra+i(y)M0).

Далее из первого равенства вычтем второе, получим ^(0) = 0, что противоречит неравенству из (1.5).

3. Пусть, наконец, выполняется третий случай: Xn+i = const, = 0. Согласно лемме 1 здесь можно выделить два подслучая: (Xra+i)X„+i = 0 и (Xra+i)X„+i = 0.

3.1. Пусть Xn+i = const, = 0 и (Xn+i)X„+1 = 0. Тогда имеем равенства (3.2) из леммы 1. Поэтому уравнение (1.15) принимает вид

[X] = (C(xi,..., xn) - C(y\..., yn))(a(0)w + 6(0)).

Далее, как и в пункте 2, переставляем точки x и у:

[X] = -(C(xi,..., xn) - C(yi,..., yn))(-a(0)w + 6(0)).

Вычитая из первого равенства второе, получаем 6(0) = 0. В итоге уравнение (1.15) принимает вид

[X] = (C(xi,...,xn) - C(yi,... ,yn))a(0)w. (4.1)

Отметим, что уравнение (4.1) выполняется тождественно в окрестности U((x,y)) по координатам точек x и y. Дифференцируем уравнение (4.1) по переменным xn+i и yn+i:

n n

£efcyfc(Xk(x))Xn+i = (C(x) - C(y))a(0), £efcxfc(Xfc(y))^ = -(C(x) - C(y))a(0). k=i k=i

Складываем полученные равенства:

n

£ ek (yk (Xk (x))Xn+i + xk (Xk (y))y„+i) = 0. k=i

В итоге получилось функциональное уравнение (1.12) при — = 0. Его решение найдено в теореме 1: (Xp(x))^n+i = xq. Интегрируя найденное уравнение,

получаем

n

^Xp (x) — ^ ^ eq Cpq x x \ CCp (x , . . . , x ). q=i

Теперь уравнение (4.1) примет вид

£ ek(ykCk(xi,..., xn) + xkCk(yi,..., yn)) = (C(xi,..., xn) - C(yi,..., yn))a(0)w. k=1

Дифференцируя последнее равенство по w, получаем (C (xi ,...,xn) -C(yi,... ,yn))a(0) = 0. Получено противоречие, так как C = const, a(0) = 0.

3.2. Пусть теперь Xn+1 = const, = 0 и (Xn+i)Xn+i = 0. Тогда используем равенства (3.3)-(3.8) из леммы 1. Из них видно, что Xn+1 = Xn+1(xn+1), следовательно, правая часть уравнения (1.15) зависит от переменных 0, xn+1, yn+1, поэтому к уравнению (1.15) можно применить теорему 1:

ф = (t(xn+1) + t(yn+1))0 = (Xra+1(xn+1) - Xra+1(yn+1))^(0, w).

Далее в правую часть подставляем формулы (3.3)-(3.8) из леммы 1, затем находим явное выражение для функции t, после чего записываем окончательные результаты. Проиллюстрируем это на примере (3.3):

(t(xn+1) + t(yn+1 ))0 = rw + 6(0)^ = -ra(0) + rw6(0).

Дифференцируя по xn+1 и yn+1, получаем 0 = r6(0), tyn+10 = r6(0), следовательно, t = a = const. Тогда 2a0 = ra(0) + rw6(0), поэтому a(0) = 2a0/r, 6(0) = 0. В итоге приходим к (1.17). Аналогично рассуждая относительно результатов (3.4)-(3.8), получаем (1.18)-(1.22). Для нахождения функции а полученные результаты подставляем в (1.10) и интегрируем методом характеристик [9].

5. Доказательство теоремы 3

При решении уравнения (1.23) будем рассматривать случаи Xn+1 = const; Xra+1 = const, (Xn+1)X„+i =0 и Xra+1 = const, (Xn+1)X„+i = 0.

1. Рассмотрим первый случай: Xn+1 = c = const. Тогда уравнение (1.23) имеет решение (1.24) (теорема 1).

2. Пусть теперь выполняется второй случай, т. е. Xn+1 = const, (Xn+1)Xn+1 = 0. Тогда при AZ = 0 имеем (Xp)X„+1 = 0, и поэтому справедлива лемма 3, т. е. получаем равенство (1.25).

Если же (Xn+1)X„+1 =0 и AZ = 0, то справедливы формулы (3.20) из леммы 2. Далее уравнение (1.23) дифференцируем сначала по xn+1, а затем по yn+1, после чего из первого равенства вычтем второе:

n

£ ek(yk(Xk(x))Xn+1 - xk(Xk(y))y„+1) = 0. fc=1

Затем полученное равенство дифференцируем по xp, yk и разделяем переменные: (Xk)X'n+1xP = 0 при p = k, (Xk)XXn+1xn+1 = 0, (Xk)X'n+1xfc = a = const. Интегрируя найденное, имеем Xk = (axk + 6)xn+1 + Ck(x1,... , xn). Затем возвращаемся к уравнению (1.23):

nn

£ ek [yk (axk + 6)xn+1 + xk (ayk + 6)yn+1] + £ ek [yk Ck (x) + xk Ck (y)] = k=1 k=1

= (C (x) + C (y))(a(0)z + 6(0)). (5.1)

Далее уравнение (5.1) дифференцируем по xn+1 и yn+1:

nn

£ekyk(axk + 6) = (C(x) + C(y))a(0), £ekxk(ayk + 6) = (C(x) + C(y))a(0). k=1 k=1

Сравнивая эти два уравнения, получаем b = 0, = (C(x) + C(y))a(0). Из последнего тождества следует, что C(x) = c = const = 0, a(0) = a0/2c. Теперь возвращаемся к (5.1):

£ efc [yk Cfc (x)+ xk Cfc (y)] = 2cb(0).

fc=i

Полученное уравнение решено в теореме 1, поэтому

n

Cfc(x) = cxk + £ £fcCfcqXq, b(0) = 0, cfcq = -Cgfc = Const. q=1

Таким образом, получаем (1.26) при m = 0.

3. Пусть, наконец, выполняется третий случай, т. е. Xn+1 = const, (Xn+1)X„+1 = 0. Тогда при AZ = 0 уравнение (1.23) продифференцируем по xn+1:

(X (х))Хп+1 = (Хга+1(х))Хп+1 А(0). (5.2)

к=1

Дифференцируя это тождество дважды по ук, получаем А(#) = + Ь. Потом возвращаемся в (5.2), получаем (Хк)Х„+1 = ахк(Хга+1)Х„+1, Ь = 0. Интегрируем найденное: Хк(х) = ахкХга+1(х) + Ск(х1 ,...,хп), после чего перейдём к (1.23): ЕП=1 С(х) + хкСк(у)] = 0. Последнее уравнение решено в первой части теоремы 2. Таким образом, получаем решение (1.25).

Если же А^ = 0, то, применяя лемму 2 и рассуждая, как при доказательстве последней части теоремы 2, получаем (1.26.1), (1.26.2), (1.27)-(1.30). Для нахождения функции к полученные результаты подставляем в (1.11) и интегрируем.

Заключение

В данной работе решены функциональные уравнения (1.9)—(1.11), возникающие в задаче вложения пространства Кга со скалярным произведением. При решении этих уравнений существенно использовались леммы 1 и 2, которые также можно доказать и для некоторых других геометрий, например двумерной симплициальной [1]:

х2 — у2

0(х,у) = ——т.

х1 — у1

Задача вложения для такой геометрии состоит в поиске всех функций вида / = /(0,х3,у3), являющихся двухточечными инвариантами шестипараметрической группы преобразований. Эта задача сводится к решению функционального уравнения

[(х1 — х2 )(Х2(х) — Х2(у)) — (у1 — у2)(Х1(х) — Х1(у))] / +

+ (х1 — х2)2(хз(х) ^ + Хз(у) / =0.

Частными случаями этого уравнения являются уравнения вида (1.9) при Х3 = Х3(х3), (1.10), (1.11). Таким образом, для решения новых задач также требуется доказательство теорем, аналогичных теоремам 1, 2 и 3.

Список литературы

1. Михайличенко, Г. Г. Математические основы и результаты теории физических структур / Г. Г. Михайличенко. — Горно-Алтайск : Изд-во Горно-Алтайс. гос. ун-та, 2016. — 297 с.

2. Богданова, Р. А. Группы движений двумерных гельмгольцевых геометрий как решение функционального уравнения / Р. А. Богданова // Сиб. журн. индустр. математики. — 2009. — T. 12, № 4. — C. 12-22.

3. Кыров, В. А. Функциональные уравнения в псевдоевклидовой геометрии / В. А. Кыров // Сиб. журн. индустр. математики. — 2010. — T. 13, № 4. — C. 38-51.

4. Кыров, В. А. Функциональные уравнения в симплектической геометрии / В. А. Кы-ров // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2010. — T. 16, № 2. — C. 149153.

5. Кыров, В. А. Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений /

B. А. Кыров // Вестн. Самар. гос. тех. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2012. — T. 26, № 1. — C. 31-38.

6. Кыров, В. А. Шестимерные алгебры Ли групп движений трёхмерных феноменологически симметричных геометрий / В. А. Кыров // Приложение к книге Г. Г. Михайличенко «Полиметрические геометрии». — Новосибирск : Новосиб. гос. ун-т, 2001. —

C.116-143.

7. Кыров, В. А. Гельмгольцевы пространства размерности два / В. А. Кыров // Сиб. мат. журн. — 2005. — T. 46, № 6. — C. 1343-1361.

8. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. — М. : Наука, 1978. — 400 с.

9. Эльсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л. Э. Эльсгольц. — М. : Наука, 1969. — 424 с.

Поступила в 'редакцию 25.12.2016 После переработки 28.02.2017

Сведения об авторах

Кыров Владимир Александрович, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры физики и методики преподавания физики, Горно-Алтайский государственный университет, Горно-Алтайск, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 1. P. 30-45.

SOLVING OF FUNCTIONAL EQUATIONS ASSOCIATED WITH THE SCALAR PRODUCT

V.A. Kyrov

Gorno-Altaisk State University, Gorno-Altaisk, Russia [email protected]

The functional equations

[X] dx+dS+i+d^+i = 0

f) f) f) f) [X] -fe + (Xn+i(x) - Xn+i(y))dW = 0, [X] -K + (Xn+i(x) + Xn+i(y)) Ji = 0,

is solved in the paper. Here [X] = Y^k=1{£kxkXk (y) + £kykXk(x)), x = (x1,..., xn, xn+1), ek = ±1, the equations are arising in the embedding problem of the space Rn with the

inner product of the form 0 = e1x1y1 + • • • + enxnyn. In this problem, all kinds of functions f = f (0, xn+1, yn+1) are found that are two-point invariants of n(n + 1)/2-parametric group of transformations.

Keywords: functional equation, functional-differential equation, differential equation, scalar product.

References

1. Mikhailichenko G.G. Matematicheskiye osnovy i rezul'taty teorii fizicheskikh struktur [The mathematical basics and results of the theory of physical structures]. Gorno-Altaisk, Gorno-Altaisk State University Publ., 2016. 197 p. (In Russ.).

2. Bogdanova R.A. Gruppy dvizheniy dvumernykh gel'mgol'tsevykh geometriy kak resheniye funktsional'nogo uravneniya [Movements groups of two-dimensional Helmholtz geometries as solution of functional equation]. Sibirskiy zhurnal industrial'noy matematiki [Siberian journal of industrial mathematics], 2009, vol. 12, no. 4, pp. 12-22. (In Russ.).

3. Kyrov V.A. Funktsional'nye uravneniya v psevdoyevklidovoy geometrii [Functional equations in pseudo-Euclidean geometry]. Sibirskiy zhurnal industrial'noy matematiki [Siberian journal of industrial mathematics], 2010, vol. 13, no. 4, pp. 38-51. (In Russ.).

4. Kyrov V.A. Funktsional'nyye uravneniya v simplekticheskoy geometrii [Functional equations in simplicial geometry]. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN [Proceedings of Institute of Mathematics and Mechanics of Ural Branch of RAS], 2010, vol. 16, no. 2, pp. 149-153. (In Russ.).

5. Kyrov V.A. Ob odnom klasse funktsional'no-differentsial'nykh uravneniy [On a class of functional-differential equations]. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriya Fiziko-matematicheskiye nauki [Bulletin of Samara State Technical University. Series Physical and Mathematical Sciences], 2012, vol. 26, no. 1, pp. 31-38. (In Russ.).

6. Kyrov V.A. Shestimernye algebry Li grupp dvizheniy tryokhmernykh fenomenologicheski simmetrichnykh geometriy [Six-dimensional Lie algebra of motions groups of three-dimensional phenomenologically symmetric geometries]. Prilozheniye k knige G.G. Mikhailichenko "Polimetricheskiye geometrii" [Appendix to the book of G.G. Mikhailichenko "Polymetric geometries"]. Novosibirsk, Novosibirsk State University Publ., 2001. Pp. 116-143. (In Russ.).

7. Kyrov V.A. Two-dimensional Helmholtz spaces. Siberian Mathematical Journal, 2005, vol. 46, no. 6, pp. 1082-1096.

8. Ovsyannikov L.V. Group Analysis of Differential Equations. New York, Academic Press, 1982. 416 p.

9. El'sgol'tz L.E. Differentsial'nye uravneniya i variatsionnoye ischisleniye [Differential equations and calculus of variations]. Moscow, Nauka Publ., 1978. 424 p. (In Russ.).

Accepted article received 25.12.2016 Corrections received 28.02.2017