CC BY
7
Владикавказский математический журнал 2018, Том 20, Выпуск 3, С."69-77
УДК 517.977
DOI 10.23671 /VNC.2018.3.17992
ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В. А. Кыров1
1 Горно-Алтайский государственный университет, Россия, 649000, Горно-Алтайск, ул. Ленкина, 1 E-mail: kyrovVAflyandex. ru
Аннотация, (n + 1)-мерная геометрия локальной максимальной подвижности задается некоторой невырожденной и дифференцируемой функцией пары точек f на многообразии M, являющимся инвариантом группы движений размерности (n + 1)(n + 2)/2. Полной классификации таких геометрий размерности n + 1 пока пет, но хорошо известны отдельные примеры: гоеметрия евклида, симплектическая геометрия, геометрии постоянной кривизны. В последнее время методом вложения были найдены некоторые ранее неизвествые геометрии локальной максимальной подвижности. Метод вложения дает возможность нахождения функций f, задающих (n + 1)-мерные геометрии локальной максимальной подвижности, по функциям в известных n-мерных геометрией локальной
максимальной подвижности. Эта задача сводится к решению функциональных уравнений специаль-
f
движений. Такие уравнения решаются в данной работе. Дифференцированием они сводятся сначала к функционально-дифференциальным уравнениям, от которых разделением переменных переходим к дифференциальным уравнениям. Затем решения последних уравнений подставляем в исходные функциональные уравнения, после чего получаем окончательный результат.
Ключевые слова: функциональное уравнение, функционально-дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение.
Mathematical Subject Classification (2000): 39b62.
Введение
На примере хорошо известного функционального уравнения Коши проиллюстрируем метод решения:
g(u + v) = g(u) + g(v),
Где g — функция класса C\ u и v — независимые переменные. Это уравнение сначала дифференцируем по переменным u и v: g'(u+v) = g'(u), g'(u+v) = g'(v). Далее вычитаем из первого уравнения второе и разделяем переменные: g'(u) = g'(v) = a = const. Затем интегрируем и результат подставляем в исходное уравнение, после чего записываем ответ: g(u) = au. Таким способом в данной работе решаются функциональные уравнения, появляющиеся при классификации геометрий локальной максимальной подвижности методом вложения [1-3].
Под (n + 1)-мерной геометрией локальной максимальной подвижности понимается геометрия многообразия M, задаваемая некоторой невырожденной и достаточно дифференцируемой функцией f : M х M ^ R (не обязательно метрикой), являющаяся
© 2018 Кыров В. А.
инвариантом группы движений размерности (n + 1)(n + 2)/2. Суть метода вложения состоит в поиске функций /, задающих (n + 1)-мерные геометрии локальной максимальной
подвижности, по функциям 9 ранее известных n-мерных геометрией локальной макси/
/ (ж,у) = ^(9(x,y),xn+1,yn+1), (0.1)
где 9(ж, y) = 9(x1,..., жп, y1,..., yn), а (ж1,..., жп, жп+1) и (y1,..., yn, yn+1) — координаты точек ж и y соответственно. Записывая условие локальной инвариантности функции / относительно группы движений [4], получаем функциональное уравнение
± (*<*>£ - *<»>$) g + + = о. ,0,)
В данной работе рассматриваются наиболее важные частные случаи, когда последние аргументы в функции (0.1) представляются в виде комбинаций w = жп+1 — yn+1 и z = жп+1 + yn+1. Тогда уравнение (0.2) сводится к (1.8) и (1.9), от которых приходим к (1.10) и (1.11). Результаты, получаемые в этой статье, будут использоваться при нахождении геометрий локальной максимальной подвижности методом вложения. Выше сформулированная задача решалась в работах [1-3]:
n
9(ж,у) = ^ £k (xk — yk)2, ek = ±1, k=1
9(x,y) = x1y2 — x2y1 (см. в [2]), в(х,у) = [(Ж1 - yi)2 + (ж2 - y2)2] e27arctg^T, в(х,у) = [{xi -yi)2 - (ж2 -У2)2] e2/3Ar(c)th-í-w,
2 ^2— У2
9(x,y) = (x\ -yi)2e xi-vi (см. в [3]). Уравнения (1.10) и (1.11) также решались в работе [5], в которой
n
9(z,y) = ^ £kxkyk, £k = ±1. k=1
Заметим, что задачу вложения можно также решать и аналитически, т. е. искать решение уравнения (0.2) в виде рядов Тейлора [6, 7].
1. Постановка задачи и основные результаты
Рассмотрим дифференцируемую класса C4 функцию / : Sf ^ R, где Sf С Rn+1 х Rn+1 — открытая и плотная область определения. Пусть Uo С Rn+1 — некоторая координатная окрестность, ж, y € Uo, причем (ж, y) € Sf. Рассмотрим окрестности точек ж и y: U(ж) С U0 и U(y) С Uo, причем (ж',y') € Sf для любых ж', y', ж' € U(ж), y' € U(y). Обозначим через U((ж, y)) С Rn+1 х Rn+1 некоторую окрестность пары (ж, y): U((ж,y)) С U(ж) х U(y), в которой функция / имеет один из следующих видов:
/(ж, y) = о- (9(ж,у), w), (1.1)
/(ж, y) = к (9(ж, y), z),
(1.2)
где 0, а, х — функции класса С4 в этой окрестности, 0(ж,у) = 0(ж\... ,... , уга),
(ж1,...,жп ,жга+1), (у1,..., уп, уга+1) — координаты точек ж и у соответственно, ад = жга+1 — уга+1, г = жга+1 + уп+1. Дополнительно потребуем, чтобы в произвольной системе координат в ио и в любой точке из и ((ж, у)) выполнялись неравенства [5]:
а? * »• в? * (1'3)
Эти требования являются необходимыми при определении геометрии локальной максимальной подвижности. Если они не выполняются, то задача вложения для геометрии локальной максимальной подвижности, о которой кратко говорилось во введении, не имеет решения.
Также будем предполагать, что функция / — двухточечный инвариант действия некоторой группы Ли в пространстве Мга+1 [6]. Множество таких действий задает группу Ли преобразований пространства Мга+1. Произвольный оператор алгебры Ли этой группы преобразований в окрестности и (ж) имеет вид [8]
X = X +----+ + Хга+1джп+1, (1.6)
где Х3 = Х3 (ж1,..., жп, жга+1) — функции кл асса С3 в окрестности и (ж) С и0 С Мга+1, в = 1,..., п + 1. Через операторы записывается критерий локальной инвариантности [4]:
X (ж)/(ж,у)+ X (у)/(ж, у) = 0. (1.7)
Равенство (1.7) расписываем для функций (1.1) и (1.2), после простых преобразований получаем
[X] = (Хга+1(ж) — Хга+1(у)М0, ад), (1.8)
[X] = ^^(ж) + Xra+l(y))A(0, г), (1.9)
где введено сокращающее обозначение:
причем <£>(0,ад) = — и А(9, г) = — — функции класса С3 в [/((ж,у}), а также
^ = 0, А = 0, поскольку иное противоречит неравенствам (1.4) и (1.5). Уравнения (1.8) и (1.9) являются функционально-дифференциальными относительно неизвестных компонент оператора (1.6), а также функций а и к, и выполняются тождественно по координатам точек ж и у в окрестности и ((ж, у)).
Дифференцируя уравнения (1.8) и (1.9) по переменным ж"^1 и уга+1, а также вводя сокращающее обозначение У = Xn+l, получаем новые функционально-дифференциальные
и((ж, у))
((У (ж))Х„+1 + (У (у))У„+1 К + (У (ж) — у (у))^ = 0, (1.10)
((У (ж))Х„+1 + (У (у))у„+1) а; + (У (ж) + У (у))А^ = 0. (1.11)
Основным содержанием данной работы является доказательство следующих теорем. Теорема 1. В окрестности U((ж, у)) функционально-дифференциальное уравнение (1.10), где w = жга+1 — уга+1, Y = const ^W = 0, имеет решения
Y = C (ж1 ,...,жп), ^ = a(0)w + 6(0); (1.12)
У = гжга+1 + с, <р = a(0)^ + 6(0); (1.13)
У = г(жга+1)2 + с, <£ = a(0)i + 6(0); (1.14)
Y = г cos (ujxn+1 + а) + с, Lp = а{6) ctg ^ + 6(0); (1.15)
+ 1 p^w
y = re^n+ +c, <^ = «(0)^^^+6(0); (1.16)
У = r ch + a) + с, <p = a(0)cth^ +6(0); (1.17)
У = r sh + a) + с, <p = a(0)th^ +6(0), (1.18)
где r, c, a = const C(ж1,..., жп) = const a(0), 6(0) — функции класса C3, a(0) = 0.
Теорема 2. В окрестности U((ж, у)) функционально-дифференциальное уравнение (1.11), где z = жга+1 + yn+1, Y = 0 AZ = 0, имеет решения:
Y = C (ж1,...,жп), A(0,z) = a(0)z + 6(0); (1.19)
У = гжга+1 + с, Л = а(0)—1— + Ь(ву, (1.20)
rz -+ 2c
Y = rcos(ujxn+1 + a), \ = a{e)tgUJZ+22a +6(0); (1.21)
Y = rewx"+1, A = a(0)e-wz + 6(0); (1.22)
У = r ch + a), Л = a(0) th ^ + 2a + ft(fl); (1.23)
У = r sh (u)xn+l + a), Л = a(0) cth +6(0), (1.24)
где r, c, a = const C(ж1,..., жп) = const a(0), 6(0) — функции класса C3, a(0) = 0.
2. Вспомогательные утверждения
Лемма 1. В окрестности U((ж, у)) функциональное уравнение
C (ж) — C (у)= £(0(ж,у)^), (2.1)
где C(ж) = C (ж1,..., жп) — функция класса C3, £ — функция класса C1, имеет решение
C (ж) = c = const. (2.2)
< Продифференцируем уравнение (2.1) по координате жга+1, получим £W = 0- Значит, £(0(ж,у)^) = £(0(ж,у)). Тогда уравнение (2.1) примет вид
C (ж) — C (у) = £(0(ж, у)). (2.3)
Далее выделяются два случая: = 0 и ^ = 0.
1. Если в (2.3) = 0, то C(ж) — C(у) = const. Разделяя переменные, получаем (2.2).
2. Если же в (2.3) ^ = 0 в U((ж, у)), то для некоторой координаты жг
Далее от координат жг переходим к новым координатам ж'г по формулам ж'1 = ж' 1,...,ж/г-1 = ж'г-1, ж/г = C(ж1,...,жп), ж'г+1 = ж/г+1,...,ж= ж'га. Несложно доказать, что якобиан в данной замене координат равен —¡^¡г и поэтому отличен от нуля. Тогда в новых координатах уравнение (2.3) примет вид ж'г — у/г = {(в(ж,у)), следовательно, по теореме о неявной функции, в U((ж,у)) будем иметь в = п(ж'г — у'г), где п — некоторая функция класса С1. Поэтому т^ = 0, j ф г, что противоречит неравенству из (1.3). Таким образом, справедлива формула (2.2). > Аналогично доказывается следующая лемма. Лемма 2. В окрестности U((ж, у)) функциональное уравнение
C (ж)+ C (у)= £(в(ж,у),г),
где C (ж) = C (ж1,..., жп) — функция класса C4, { — функция класса C1, имеет решение
C (ж) = c = const.
3. Доказательство теоремы 1
В этом параграфе «по умолчанию» все уравнения решаются в окрестности U((ж, y)). Вначале заметим, что Y = const тогда и только тогда, когда Y (ж) — Y (y) = 0. Прямое утверждение очевидно. Для доказательства обратного утверждения применяем разделение переменных: Y (ж) = Y (y) = const. По условию теоремы Y = const, следовательно, Y (ж) — Y (y) = 0. Тогда от уравнения (1.10) приходим к новому
(Y(x))'xn+1 + (Y(y))'yn+1
Y( ж) - Y (у) ■ 1 • j
Дифференцируя это уравнение сначала по жга+1, а затем по yn+1, после чего первый результат складываем со вторым, получаем равенство
((Y (ж))£„+1 + (Y (y))¡¡n+1 )(Y (ж) — Y (y)) — ((Y (ж))Х„+1 )2 + ((Y (y))y„+1 )2 = 0. (3.2)
Это равенство является функционально-дифференциальным уравнением, которое выполняется тождественно в окрестности U((ж, y)).
Возможны два случая: (Y(ж))Х„+1 = 0 и (Y(ж))Х„+1 = 0.
В первом случае из уравнения (1.10) получаем = 0, следовательно, справедливо решение (1.12).
Во втором случае тождество (3.2) дифференцируем по переменным жга+1 и yn+1, после чего делим на ненулевое произведение (Y(ж))' n+1 (Y(y))'„+1 = 0 и разделяем переменные,
x У
затем получаем дифференциальное уравнение
(Y (ж))£'„+1 + MY (ж))'п+1 =0, ^ = const. (3.3)
Это уравнение имеет следующие решения: при ^ = 0
Y = Ax1,. ..,жга) (жга+1)2 + £(ж\ .. .,жга)жга+1 + С(ж\ ...,жга);
при ^ > 0
У = А (ж1,..., хп) cos ojxn+1 + В (ж1,..., хп) sin ojxn+1 + С(х1,...,хп), и = ^
при ^ < 0
У = А(х\...,хп)ешх"+1 +В(х\...,хп)е-шх"+1 + С (х1,... ,хп), и =
Затем найденное подставляем в (3.2) и получаем: при ^ = 0
Y = rxra+1 + C (ж1,...,жга); Y = r(xra+1)2 + c;
У = reos [wxn+l +p(xl,... ,xn)) + c, w = y/JI;
Y = А(х\...,хп)ешхП+1 +c, u) = ±V4¿]
Y = r ch [wxn+l +p(xl,.. .,xn)) + c, w = л/^Jl-,
Y = r sh (wxia+l +p(ж1,... , жга)) + с, oj = \/—Ц]
причем r, c = const r = 0.
Далее функцию (3.4) подставляем в уравнение (3.1):
при ^ > 0 при ^ < 0
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
2r
rw + C (ж1,..., ж™) - C (yV..,yra) dW
(3.10)
К уравнению (3.10) применяем лемму 1, получаем C(ж1,...,жга) = c = const. Значит, уравнение (3.10) принимает более простой вид:
2
w
d'
Г WW
dW
Интегрируя последнее, получаем <р = а(9)—Ь Ь(9). Объединяя найденное с (3.4), получаем (1.13).
Функцию (3.5) подставляем в уравнение (3.1), в результате, как и выше, получаем <р = + Ь{9). Объединяя найденное с (3.5), получаем (1.14).
Теперь функцию (3.6) подставляем в уравнение (3.1) и применяем тригонометрические формулы:
—ш
sin(wжra+1 + р(ж)) + sin(wyra+1 + p(y)) cos(шжra+1 + р(ж)) — cos(wyra+1 + p(y))
sin
LÜZ+p{x)+p{y) LÜW+p{x)-p{y)
= Lü
2
eos ■
2
. шг+р(х)+р(у) . MW+p(x)-p(y)
= ш ctg
Ш№ + р(ж) — p(y) d
//
ww
sin
sin ■
2
dW '
2
2
где, например, р(ж) = ^(ж1,..., жп), следовательно,
d"
р(х) — р(у) = —2ww — 2arcctg—
Применяя к этому равенству лемму 1, получаем ^(ж1,... , жп) = a = const. В результате имеем уравнение
ww d'
интегрируя которое, получаем <р = a{9)ctg^ + Ъ{9). В итоге приходим к (1.15). (3.7) подставляем в (3.1):
A(x)ewx"+1 + A(y)ewyn+1 _ А(ж)/А(у) + e-w" d w . , ,-~Ti-ГТ"^-^rr — OJ
//
WW
A(x)e^xn+1 - A(y)e^yn+1 А(ж)/А(у) - e-w" d" ' где, например, А(ж) = ^(ж1,... ,жга), следовательно
А(х)/А(у) = e-^^ww-ujip'
Логарифмируя последнее выражение и применяя лемму 1, получаем ^(ж1,..., жп) = r = const
1 + e-w" d'
w
1 - e-w" d"
интегрируя которое, получаем d = a{9) + &($)• Объединяя найденное с (3.1), по-
лучаем (1.16).
И, наконец, функции (3.8) и (3.9) подставляем в уравнение (3.1) и применяем свойства гиперболических функций, потом, как и выше, с тригонометрическими функциями, устанавливаем, что ^(ж1,..., жп) = a = const. В итоге приходим к уравнениям
wcth — = -Щш =
2 V'w 2 dw
Интегрируя последние уравнения, получаем <р = a{9){c)th^ + Ъ{9). Объединяя найденное с (3.8) и (3.9), имеем (1.17) и (1.18). Теорема 1 доказана.
4. Доказательство теоремы 2
Эта теорема доказывается как и теорема 1, поэтому некоторые рассуждения будем опускать. Как и выше «по умолчанию» все уравнения решаются в U((ж,у)). Вначале заметим, что Y = 0 тогда и только тогда, когда Y(ж) + Y(у) = 0. В прямую сторону это очевидно. В обратную сторону применяем разделение переменных: Y(ж) = —Y(у) = const = 0. По условию теоремы Y = 0 следовательно Y(ж) + Y(у) = 0. Тогда от уравнения (1.11) приходим к новому:
+ (Пу))'уп+, al Г4Л
Y(x)+Y(y) [-)
Дифференцируем это уравнение сначала по жга+1, затем по yra+1, после чего из первого равенства вычитаем второе:
((Y (ж))ХП+1 — (Y (y))y„+i )(Y (ж) + Y (y)) — ((Y (ж))Х„+1 )2 + ((Y (y))^ )2 = 0. (4.2)
Возможны два случая: (Y(ж))Х«+1 = 0 и (Y(ж))Х«+1 = 0. В первом случае уравнение (1.11) имеет решение (1.19).
Во втором случае тождество (4.2) дифференцируем по переменным жга+1 и yra+1, после
чего делим на ненулевое произведение (Y(ж))' n+1 (Y(y))' n+1 = 0 и разделяем переменные,
х у
затем получаем дифференциальное уравнение (3.3). Решения этого уравнения, найденные в теореме 1, подставляем в (4.2): при ^ = 0
Y = гжга+1 + С(ж1,..., ж™); (4.3)
при ^ > 0
У = reos (wxa+l + p(xl,... ,хп)), ш = (4.4)
при ^ < 0
Y = А(х1,...,хп)ешхП+\ w = (4.5)
У = rch(uxn+1 + р(х\...,хп)), ш = \f~-jl] (4.6)
У = rsh(uxn+1 +р(х\...,хп)), w = (4.7)
причем r, c = const r = 0.
Далее, поступаем как и при доказательстве теоремы 1, т. е. функции (4.3)-(4.7) подставляем в уравнение (4.1) и применяем лемму 2, а затем решаем. В итоге получаем (1.20)—(1.24).
5. Заключение
Условия (1.3) дают существенные ограничения на выбор функции 9. Так, на плоскости R2 функцию 9 можно брать в виде:
9(ж, y) = ж1у1 + ж2у2, 9(ж, y) = (ж1 — y1)2 + (ж2 — y2)2, 9(ж, y) = (ж1 — y1)2 + (ж2 — y2)3,
9{х,у) =Х1У2-Х2У1, 9{х,у) = [{xi-yif + {х2-У2?] e27arctg^T, 9{х,у) = ——
ж1 — y1
т. е. для этих функций доказанные здесь результаты верны. А, например, для функций 9(ж, y) = ж1у1 + ж2, 9(ж, y) = (ж1 — y1)2 + (y2)2 доказанное выше несправедливо.
Литература
1. Кыров В. А. Функциональные уравнения в псевдоевклидовой геометрии // Сиб. журн. индустр. мат.—2010.—Т. 13, № 4. -С. 38-51.
2. Кыров В. А. Функциональные уравнения в симплектической геометрии // Тр. Ин-та мат. и мех. УрО РАН.^2010.^Т. 16, № 2.-С. 149-153.
3. Кыров В. А. Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.^2012.^Т. 26, № 1—С. 31-38. DOI: 10.14498/vsgtu986.
4. Овсянников л. в. Групповой анализ дифференциальных уравнений.—М.: Наука, 1978.—400 с.
5. Кыров В. А. Решение функциональных уравнений, связанных со скалярным произведением // Челяб. физ.-мат. журн.-2017.-Т. 2, № 1.-С. 30-45.
6. Кыров В. А., Михайличенко Г. Г. Аналитический метод вложения симплектической геометрии // Сиб. электрон, мат. изв.—2017.—Т. 14.—С. 657-672.
7. Кыров В. А., Михайличенко Г. Г. Аналитический метод вложения евклидовой и псевдоевклидовой геометрий // Тр. Ин-та мат. и мех. УрО РАН.^2017.^Т. 23, № 2—С. 165-181.
8. Mikhailichenko G. G. The Mathematical Basics and Results of the Theory of Physical Structures.^URL: https://arxiv.org/pdf/1602.02795.
Статья поступила 30 декабря 2016 г. Окончательный вариант, 12 марта 2017 г.
Vladikavkaz Mathematical Journal 2018, Volume 20, Issue 3, P. 69^77
ON A FAMILY OF FUNCTIONAL EQUATIONS Kvrov V. A.1
1 Gorno-Altaisk State University, 1 Lenkina st., Gorno-Altaisk 649000, Russia E-mail: kyrovVAflyandex. ru
Abstract. The (n + 1)-dimensional geometry of local maximum mobility is given by some non-degenerate and differentiable function f of the pair of points on the manifold M, which is a motion group invariant of dimension (n + 1)(n + 2)/2. There is no complete classification of such geometries of dimension n +1, but some examples are well known: Euclidean geometry, symplectic geometry, constant curvature geometry. Recently, some previously unknown geometries of local maximum mobility has been found using the embedding method. The embedding method enables one to find functions f that define (n + 1)-dimensional geometries of local maximum mobility by functions 6 of known n-dimensional geometry of local maximum mobility. This problem
is reduced to the solution of functional equations of a special type, which are a consequence of the invariance f
paper. By differentiation, they are first reduced to functional differential equations, from which we pass to differential equations by separating the variables. Then the solutions of the latter are substituted into the original functional equations, after which we get the final result.
Key words: functional equation, functional differential equation, differential equation.
Mathematical Subject Classification (2000): 39b62.
References
1. Kyrov V. A. Functional equations in pseudo-Euclidean geometry, Sibirskii Zhurnal Industrial'noi Matematiki [Journal of Applied and Industrial Mathematics], 2010, vol. 13, no. 4, pp. 38-51 (in Russian).
2. Kyrov V. A. Functional equations in simplicial geometry, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2010, vol. 16, no. 2, pp. 149-153 (in Russian).
3. Kyrov V. A. On some class of functional-differential equation, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2012, vol. 26, no. 1, pp. 31-38 (in Russian). DOI: 10.14498/vsgtu986.
4. Ovsyannikov L. V. Gruppovoy Analiz Differentsial'nykh TJravneniy [Group Analysis of Differential Aquation], Moscow, Nauka, 1978. 400 p. (in Russian).
5. Kyrov V. A. Solving of functional equations associated with the scalar product, Ghelyabinskiy Fiziko-Matematicheskiy Zhurnal, 2017, vol. 2, no. 1, pp. 30-45 (in Russian).
6. Kyrov V. A., Mikhailichenko G. G. The analytic method of embedding symplectic geometry, Sibirskie Elektronnye Matematicheskie Izvestiya [Siberian Electronic Mathematical Reports], 2017, vol. 14, pp. 657-672 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.17377/ semi.2017.14.057.
7. Kyrov V. A., Mikhailichenko G. G. An analytic method for the embedding of the Euclidean and pseudo-Euclidean geometries, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2017, vol. 23, no.2, pp. 167181 (in Russian).
8. Mikhailichenko G. G. The Mathematical Basics and Results of the Theory of Physical Structures. https://arxiv.org/pdf/1602.02795.
Received December 30, 2016 Final version March 12, 2017
