CC BY
6
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
www.volsu.ru
DOI: https://doi.Org/10.15688/mpcm.jvolsu.2017.5.2
УДК 517.977 ББК 22.161.6
О НЕКОТОРОМ КЛАССЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Владимир Александрович Кыров
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики и информатики,
Горно-Алтайский государственный университет
ул. Ленкина, 1, 649000 г. Горно-Алтайск, Российская Федерация
Аннотация. В этой статье выводятся и решаются функциональные уравнения, возникающие в геометрии. В процессе решения функциональные уравнения сначала сводятся к функционально-дифференциальным уравнениям, затем разделением переменных переходим к дифференциальным уравнениям. В конце решения дифференциальных уравнений подставляем в исходное функциональное уравнение.
Ключевые слова: функциональное уравнение, функционально-дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение.
Введение
Простым примером функционального уравнения является уравнение Коши
д{и + v) = д{и) + g{v),
где д — функция класса С1, и и v — независимые переменные. Это уравнение решается так: сначала дифференцируем по переменным и и v: д'(и + v) = д'(и), д'(и + v) = = g'(v). Далее вычитаем из первого уравнения второе и разделяем переменные: д'(и) = = g'(v) = а = const. Затем интегрируем и результат подставляем в исходное уравнение, после чего записываем ответ: д(и) = аи. Этим же методом в данной работе решаются 17функциональные уравнения, которые появляются в задаче классификации геометрий сЗ локальной максимальной подвижности [1; 3; 4].
^ Геометрия локальной максимальной подвижности — это геометрия n-мерного про-
m странства, задаваемая метрической функцией f, допускающая максимальную группу ° движений, то есть группу движений размерности п(п + 1)/2. Только для таких геомет-¿2 рий по метрической функции однозначно находится локальная группа движений, а по @ этой группе движений восстанавливается метрическая функция. Примерами геометрий
максимальной подвижности являются: геометрия Евклида, псевдоевклидова геометрия Минковского, симплектическая, геометрии постоянной кривизны, геометрии Терстона и др. Очевидна их актуальность в современной науке. На данный момент неизвестна полная классификация геометрий локальной максимальной подвижности.
Автором предложен метод классификации геометрий локальной максимальной подвижности, названный методом вложения. Суть этого метода состоит в следующем: по метрической функции
д = д(х1,...,хп,у1,...,уп)
известной п-мерной геометрии локальной максимальной подвижности находим все метрические функции вида
f = / (¿¡(х1,...,хГ,у1,...,Г),хГ+1,1Г+1),
задающие п + 1-мерные геометрии локальной максимальной подвижности. Решение этой задачи сводится к решению специальных функционально-дифференциальных уравнений. Задача в данной постановке является новой, ранее не решаемой. Часть получаемых результатов известна, а часть нет. Проиллюстрируем на примере хорошо известной двумерной евклидовой геометрии [3], которая задается метрической функцией
9 = (х1 - у1)2 + (х2 - у2)2.
Решая задачу вложения, получаем метрические функции трехмерных геометрий максимальной подвижности (размерность группы движений равна 6):
/ = (х1 - У1)2 + (х2 - у2)2 + (х3 - у3)2; / = (х1 - у1)2 + (х2 - у2)2 - (х3 - у3)2; f = [(х1 - у1 )2 + (х2 - у2)2.
Первые две геометрии — это хорошо известные трехмерные геометрии: евклидова и псевдоевклидова, а третья геометрия — новая, ранее неизвестная.
1. Постановка задачи и основные результаты
Рассмотрим дифференцируемую класса С4 функцию / : Sf ^ К, где Sf С Кп+1 х х Кп+1 — открытая и плотная область определения. Пусть и0 С Кп+1 — некоторая координатная окрестность, х,у Е и0, причем (х,у) Е Sf. Рассмотрим окрестности точек х и у: и (х) С и0 и и (у) С и0, причем Ух',у': х' Е и (х), у' Е и (у), (х',у') Е Sf. Обозначим через и((х,у)) С Кп+1 х Кп+1 — некоторую окрестность пары (х,у): и ((х,у)) С и (х) х и (у). Пусть функция / имеет один из следующих видов:
f (х,у) = а (в(х,у),1^); (1)
f (х,у) = к (0(х,у),г) , (2)
где 0, а, к — функции класса С4 в этой окрестности, 0(х, у) = 0(х1,..., хп, у1,..., уп), (х1,... ,хп+1), (у1,..., уп+1) — координаты точек х и у соответственно, т = хп+1 -- уп+1, г = хп+1 + уп+1. Дополнительно потребуем, чтобы в любой точке из и((х,у)) выполнялись неравенства [5]
£ = 0.^- = 0, (3)
охг оуг
д а , д а ,
аё = °-<ь = ° (4)
дк , дк ,
ж = = ° (5)
Также будем предполагать, чтобы функция f была двухточечным инвариантом действия некоторой группы Ли в пространстве Вп+1 [6]. Множество таких действий задает группу Ли преобразований пространства Нп+1. Произвольный оператор алгебры Ли этой группы преобразований в окрестности и(х) имеет вид [5]:
X = Х1дхг + • • • + Хпдхп + Хп+15жп+1, (6)
где Х5 = Х8(х1,... ,хп,хп+1) — функции класса С3 в окрестности и(х) С и0 С Вп+1, в = 1,... ,п +1. Через операторы записывается критерий локальной инвариантности [6]:
X(х)/(х, у) + XШ(х, у) = °. (7)
Равенство (7) расписываем для функций (1) и (2), после простых преобразований получаем:
[X] = (Хп+1(х) - Хп+ЛуШвМ, (8)
[X] = (Хп+1(х) + Хп+1(у))Цв, г), (9)
где введено сокращающее обозначение:
х = £ (* ы ^+х (у) §)
к=1
причем Ф (Q,w) = - / §§ и А (в, z) = - §f / Ц - функции класса С3 в U ({х, у)), а также ф = 0, А = 0, поскольку иное противоречит неравенствам (4) и (5). Уравнения (8) и (9) являются функционально-дифференциальными относительно неизвестных компонент оператора (6), а также функций а и к, и выполняются тождественно по координатам точек х и в окрестности U({ х, )).
Дифференцируя уравнения (8) и (9) по переменным хп+1 и уп+1, а также вводя сокращающее обозначение Y = Хп+1, получаем новые функционально-дифференциальные уравнения в окрестности U({х, у)):
((Y(х))'хП+1 + (Y(у))'уП+1 )ф'ш + (Y(х) - Y(у))ф1ш = 0, (10)
((Y (х))Хп+1 + (Y (у))'уП+1 )A'Z + (Y (х) + Y (у))А»я = 0. (11)
Основным содержанием данной работы является доказательство следующих теорем.
Теорема 1. В окрестности U({х, у)) функционально-дифференциальное уравнение (10), где w = хп+1 — уп+1, Y = const, ф^ = 0, имеет решения:
Y = С(х1,...,хп), ф = a(e)w + Ь(в); (12)
Y = гхп+1 + с, ф = а(в)1 + Ь(в); (13)
w
Y = г(хп+1)2 + с, ф = а(в)^+ Ъ(в); (14)
w
Y = г cos(uxn+1 + а) + с, ф = a(Q)ctg^ + Ь(в); (15)
+1 рш'ш
Y = геш + с, ф = а(в)+ Ь(в); (16)
Y = г ch(uxn+1 + а) + с, ф = a(Q)cth^ + Ь(в); (17)
Y = г sh(^xra+1 + а) + с, ф = a(Q)th^ + Ь(в), (18)
где г, с, а = const, С (х1,... ,хп) = const — функция класса С3, а(в),Ь(в) — функции класса С3, а(в) = 0.
Теорема 2. В окрестности U({х,у}) функционально-дифференциальное уравнение (11), где z = хп+1 + уп+1, Y = 0, Л'г = 0, имеет решения:
Y = С(х1,...,хп), Л(в,г) = a(Q)z + Ъ(в); (19)
Y = rxn+1 + с, Л = а(в)-1-+ Ь(в); (20)
rz + 2с
Y = г cos(uxn+1 + а), Л = a(Q)tg+ 2<Х + Ь(в); (21)
Y = гешхП+1, Л = а(в)е-ш* + Ь(в); (22)
Y = г ch(uxn+1 + а), Л = a(Q)th+ 2а + Ь(в); (23)
Y = г sh(i^rra+1 + а), Л = a(e)cth+ 2а + Ь(в), (24)
где г, с, а = const, С (х1,... ,хп) = const — функция класса С3, а(в),Ь(в) — функции класса С3, а(в) = 0.
Заметим, что теоремы 1 и 2 для скалярного произведения (евклидово или псевдоевклидово) доказаны в работе [2].
2. Вспомогательные утверждения
Лемма 1. В окрестности U({х,у}) функциональное уравнение
С(х) — С(у) = В,(в(х,у),т), (25)
где С(х) = С(х1,...,хп) — функция класса С3, 4 — функция класса С1, имеет решение
С (х) = с = const. (26)
Доказательство. Продифференцируем уравнение (25) по координате хп+1, получим E,'w = 0. Значит, 4(в(х,у),w) = Е,(в(х,у)). Тогда уравнение (25) примет вид:
С(х) - С(у) = 1(в(х,у)). (27)
Далее выделяются два случая: Е,'в = 0 и 4в = 0.
1. Если в (27) 4в = 0, то С (х) — С (у) = const. Разделяя переменные, получаем
(26).
дС (х)
2. Если же в (27) 4е = 0 в U((х, у)), то для некоторой координаты хг: . =
дхг
г. де(х, у)
= Ее——— = 0, г = 1,... ,п. Далее от координат х переходим к новым координатам
е д хг
х1г по формулам: х'1 = х'1,..., х/г-1 = х/г-1,х/г = С (х1,..., хп),х1г+1 = х1г+1,... ,х'п =
. дС(х)
= х . Несложно доказать, что якобиан в данной замене координат равен — . и
д хг
поэтому отличен от нуля. Тогда в новых координатах уравнение (27) примет вид: х'г — — у'г = 1(е(х, у)), следовательно, по теореме о неявной функции, в U((х, у)) будем
де
иметь: е = п(х/г — у'г), где п — некоторая функция класса С1. Поэтому ——т = 0, j = г,
д х
что противоречит неравенству из (3). Таким образом, справедлива формула (26).
Аналогично доказывается следующая лемма. Лемма 2. В окрестности U((х,у)) функциональное уравнение
С(х) + С(у) = тх, У), Z),
где С(х) = С(х1,...,хп) — функция класса С4, 4 — функция класса С1, имеет решение
С (х) = с = const.
3. Доказательство теоремы 1
При доказательстве «по умолчанию» все уравнения решаются в U((х, у)). Вначале заметим, что Y = const тогда и только тогда, когда Y(х) — Y(у) = 0. В прямую сторону это очевидно. В обратную сторону применяем разделение переменных: Y(х) = Y(у) = = const. По условию теоремы Y = const, следовательно Y(х) — Y(у) = 0. Тогда от уравнения (10) приходим к новому:
(Y (х))'^+1 + (Y (V))'vr+1 V'L (28)
Y(х) — Y(у) "
Дифференцируя это уравнение сначала по хп+1, а затем по уп+1, после чего первый результат складываем со вторым, получаем равенство:
(Y (х))^+. + (Y (y))''n+i )(Y (х) — Y (у)) — ((Y (х))'^)2 + ((Y (y))'yn+i)2 = 0. (29)
Это равенство является функционально-дифференциальным уравнением, которое выполняется тождественно в окрестности U((х, у)).
Возможны два случая: (Y(х))'хП+1 = 0 и (Y(х))'хП+1 = 0.
В первом случае из уравнения (10) получаем = 0, следовательно справедливо решение (12).
Во втором случае тождество (29) дифференцируем по переменным хп+1 и уп+1, после чего делим на ненулевое произведение (Y(х))Х„+1 (Y(y))/yn+i = 0 и разделяем переменные, затем получаем дифференциальное уравнение:
(Y(х))'п+1 + ^(Y(х))'хП+1 = 0, ц = const. (30)
Это уравнение имеет следующие решения: при ц =0:
Y = А(х\ ...,хп)(хп+1)2 + В (х1,..., хп)хп+1 + С (х1,..., хп);
при ц > 0:
Y = А(х1 ,...,хп) cos uxn+1 + В (х1,...,хп) sin uxn+1 + С (х1 ,...,хп),и = Уц; при ц < 0:
Y = А(х1,...,хп)ешх"+ + В(х1,..., хп)е-ш + С (х1,... ,хп), ш = У—Ц.
Затем найденное подставляем в (29) и получаем: при ц =0:
Y = rxn+1 + С (х1,...,х11); Y = г(хп+1)2 + с;
Y = г cos(wxra+1 + р(х1,... ,хп)) + с,ш = /ц;
Y = А(х1,..., хп )ешхП+1 + с, ш = ±/—Ц;
Y = г ch(uxa+1 + р(х1,... ,хп)) + с, ш = У—ц;
Y = г sh(wxra+1 + р(х1,... ,хп)) + с, ш = У—ц;
причем г, с = const, г = 0.
Далее функцию (31) подставляем в уравнение (28)
при ц > 0: при ц < 0:
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
2г
Фг
rw + С (х1, ...,хп) — С (у1, ...,уп)
Фг
(37)
К уравнению (37) применяем лемму (1), получаем С(х1 ,...,хп) = с = const. Значит уравнение (37) принимает более простой вид:
2 ф
//
WW
W ф[
1
Интегрируя последнее, получаем: ф = а(0)--+ Ь(0). Найденное объединяя с (31), име-
т
ем (13).
Функцию (32) подставляем в уравнение (28), в результате как и выше получаем:
ф = а(0)--+ Ь(0). Найденное объединяя с (32), получаем (14).
т
Теперь функцию (33) подставляем в уравнение (28) и применяем тригонометриче-
ские свойства:
—ш
sin(wxra+1 + 'р(х)) + sin(wyra+1 + р(у)) cos(wxra+1 + р(х)) — cos(wyn+1 + р(у))
. UZ + р(х) + р(у) UW + р(х) — р(у)
sin 2 COS 2 uw + р(х) — р(у) ф"
= U-fy-1-т-fy-1-Z- = UCtg —
. —z + р(х)+р(у) . —w + р(х) — р(у) 2 ф'„
sin-sin--'
2 2
ф"
где, например, р(х) = р(х1,... ,хп), следовательно р(х) — р(у) = -2—w — 2arcctg—"".
— ф"
Применяя к этому равенству лемму (1), получаем р(х1,... ,хп) = а = const. В результате имеем уравнение:
—ctg UW = — Ф"",
интегрируя которое, получаем: ф = a(0)ctg——+ Ь(в). В итоге приходим к (15). (34) подставляем в (28):
А(х)е шх"+1 + А(у) ешуП+1 А(х)/А(у) + е-ш'ш ф
U , , , . -ТГ"^——г+1 = U
и
WW
А(х)ешх"+1 — А(у)ешу"+1 А(х)/А(у) — е-шш фW '
где, например, А(х) = А(х1,... ,хп), следовательно А(х)/А(у) = e-UJw^Ww—. Ло-
VWw +
гарифмируя последнее выражение и применяя лемму (2), получаем А(х1,... ,хп) = г = = const. Тогда будем иметь дифференциальное уравнение:
1 +е-ww vWw
ш-
1 — e-MW фW
интегрируя которое, получаем: ф = а(е)--—^ + Ке). Найденное объединяя с (28),
получаем (16).
И, наконец, функции (35) и (36) подставляем в уравнение (28) и применяем свойства гиперболических функций, потом, как и выше с тригонометрическими функциями, устанавливаем, что р(х1,... ,хп) = a = const. В итоге приходим к уравнениям:
wcth — = - wth — = -Ш 2 фW , Ш 2 фW .
[ия, получаем: ф = а(е)(с)^-единяя с (35) и (36), имеем (17) и (18). Теорема 1 доказана полностью.
Интегрируя последние уравнения, получаем: ф = a(0)(c)th —W + b(Q). Найденное объ-
4. Доказательство теоремы 2
Эта теорема доказывается как и теорема 1, поэтому некоторые рассуждения будут упускаться. Как и выше, «по умолчанию» все уравнения решаются в U((х, у)). Вначале заметим, что Y = 0 тогда и только тогда, когда Y( х) + Y( ) = 0. В прямую сторону это очевидно. В обратную сторону применяем разделение переменных: Y( х) = - Y( ) = = const = 0. По условию теоремы Y = 0, следовательно Y(х) + Y(у) = 0. Тогда от уравнения (11) приходим к новому:
(У (х))'хП+1 + (Y (у)) 'уП+1 Kz
l38)
Y (х) + Y (у) AZ
Дифференцируя это уравнение сначала по хп+1, а затем по уп+1, после чего из первого равенства вычитаем второе:
(У (х))'^ — (Y (y))'in+i )(Y (Х) + Y (у)) — ((Y (x))'xn+i)2 + ((У (у))'уП+1)2 = 0. (39)
Возможны два случая: (Y(x))'xn+i = 0 и (Y(x))'xn+i = 0. В первом случае уравнение (11) имеет решение (19).
Во втором случае тождество (39) дифференцируем по переменным ха+1 и уп+1, после чего делим на ненулевое произведение (Y(x))'x„+i (Y(y))'yn+i = 0 и разделяем переменные, затем получаем дифференциальное уравнение (30). Решения этого уравнения, найденные в теореме 1, подставляем в (39): при ц = 0:
Y = rxn+1 + С (х1,...,хп); (40)
при ц > 0:
Y = rcos(uxn+1 +р(х1,...,хп)),ш = уц; (41)
при ц < 0:
Y = А(х1,...,хп)е ux"+i ,ш = ±/—ц; (42)
Y = rch(uxn+1 +р(х1,...,хп)),ш = у—ц; (43)
Y = rsh(uxn+1 +р(х1,...,хп)),ш = У—ц; (44)
причем , = const, = 0.
Далее поступаем как и при доказательстве теоремы (1), то есть функции (40)-(44) подставляем в уравнение (38) и применяем лемму 2, а затем решаем. В итоге получаем (20)-(24). Теорема 2 доказана полностью.
Заключение
Условия (3) дают существенные ограничения на выбор функции 0. Так, на плоскости Я2 функцию 0 можно брать в виде:
0(х, у) = х1у1 + х2у2,
0(х, у) = (Х1 - У1)2 + (Х2 - У2)2, 0(х, у) = (Х1 - У1)2 + (Х2 - У2)3,
0(Х, у) = Х1У2 - Х2У1,
Х2 - У2
2у агС^-
0(х. у) = [(и - т)2 + (х2 - ,/2)2]е - и,.
в(х, у) = ^.
Х1 - У1
то есть для этих функций доказанные здесь результаты верны. А, например, для функций
0(х, у) = х1у1 + х2, 0(х, У) = (Х1 - У1)2 + (У2)2 доказанное выше несправедливо.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кыров, В. А. Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений / В. А. Кыров // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2012. — № 1 (26). — С. 31-38. — 001: https://doi.org/10.14498/vsgtu986.
2. Кыров, В. А. Решение функциональных уравнений, связанных со скалярным произведением / В. А. Кыров // Челябин. физ.-мат. журн. — 2017. — № 1 (2). — С. 30-45.
3. Кыров, В. А. Функциональные уравнения в псевдоевклидовой геометрии / В. А. Кыров // Сиб. журн. индустр. математики. — 2010. — № 4 (13). — С. 38-51.
4. Кыров, В. А. Функциональные уравнения в симплектической геометрии / В. А. Кыров // Тр. ИММ УрО РАН. — 2010. — № 2 (16). — С. 149-153.
5. Михайличенко, Г. Г. Математические основы и результаты теории физических структур / Г. Г. Михайличенко. — Горно-Алтайск : Изд-во Горно-Алтайского гос. ун-та, 2016. — 297 с.
6. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. — М. : Наука, 1978. — 400 с.
REFERENCES
1. Kyrov V.A. Ob odnom klasse funktsionalno-differentsialnykh uravneniy [On a Class of Functional-Differential Equations]. Vestn. Samar. gos. tekhn. un-ta. Ser.: Fiz.-mat. nauki, 2012, no. 1 (26), pp. 31-38. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu986.
2. Kyrov V.A. Reshenie funktsionalnykh uravneniy, svyazannykh so skalyarnym proizvedeniem [Solution of Functional Equations Associated with the Scalar Product]. Chelyabin. fiz.-mat. zhurn., 2017, no. 1 (2), pp. 30-45.
3. Kyrov V.A. Funktsionalnye uravneniya v psevdoevklidovoy geometrii [Functional Equations in Pseudo-Euclidean Geometry]. Sib. zhurn. industr. matematiki [Journal of Applied and Industrial Mathematics], 2010, no. 4 (13), pp. 38-51.
4. Kyrov V.A. Funktsionalnye uravneniya v simplekticheskoy geometrii [Functional Equations in Symplectic Geometry]. Tr. IMM UrO RAN [Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Supplementary issues)], 2010, no. 2 (16), pp. 149-153.
5. Mikhaylichenko G.G. Matematicheskie osnovy i rezultaty teorii fizicheskikh struktur [Generalized Analytic Functions]. Gorno-Altaisk, Gorno-Altai State University Publ., 2016. 297 p.
6. Ovsyannikov L.V. Gruppovoy analiz differentsialnykh uravneniy [Generalized Analytic Functions]. Moscow, Nauka Publ., 1978. 400 p.
ON A CLASS OF FUNCTIONAL EQUATIONS
Vladimir Aleksandrovich Kyrov
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Physics and Informatics, Gorno-Altai State University [email protected]
Lenkina St., 1, 649000 Gorno-Altaisk, Russian Federation
Abstract. Differentiable considered class С4 function fi>2 : Sf ^ R, Sf С
С Rn+1 x Rn+1:
fl{x, y) = a {Q{x, y),w), f2{x, y) = к {Q{x, y), z), ISSN 2587-6325. Математ. физика и компьютер. моделирование. 2017. T. 20. № 5 25
where 0, a, x — are functions of class C4, 0(x, y) = 0(x1,... ,xn, y1,..., yn), w = xn+1 — yn+1, z = xn+1 + yn+1, and the following inequalities hold:
80 , d0 , 8 a , 8 a , 8x , dx ,
7x< = °'80 = ' 800 ~dw = °'M =°-Sx =0.
The functions f1,2 are two-point invariants of the action of some Lie group in the space Rn+1. The criterion of local invariance of such an action for these functions leads to functional differential equations:
((Y (x))'xn+1 + (Y (y))'yn+1 Ww + (Y (x) — Y (y)WL = 0, (1)
((Y (x))'xn+1 + (Y (y))'yn+1 )A'Z + (Y (x) + Y (y))A'zz = 0, (2)
where v(0,w) = — fw/% and A(0, z) = — fx/f0.
Theorem 1. In the neighborhood U({x,y)) the equation (1), where w = = xn+1 — yn+1, Y = const, ^W = 0, has the following solutions:
w
„n
Y = C(x1,...,xn), ф = a(0)w + b(0);
Y = rxn+1 + с, ф = a(0)— + b(0);
w
Y = r(xn+1)2 + с, ф = a(0)- + b(0);
w
Y = r cos(wxn+1 + a) + с, ф = a(0)ctg^W + b(0);
p <^w
Y = геш + с, ф = a(0)+ b(0);
Y = r ch(uxn+1 + a) + с, ф = a(0)cth+ b(0);
Y = rsh(uxn+1 + a) + с, ф = a(0)th+ b(0),
where r,c, a = const, C(xl,..., xn) = const, a(0), b(0) — are functions of class C3, a(0) = 0.
Theorem 2. In the neighborhood U({x,y)) the equation (2), where z = = xn+1 + yn+1, Y = 0, Л'х = 0, has the following solutions:
Y = C (x1, ...,xn ), Л(0, z) = a(0)z + b(0);
Y = rxn+1 + с, Л = a(0)-1-+ b(0);
K rz + 2с y '
Y = rcos(uxn+1 + a), Л = a(0)tg+ 2a + b(0);
Y = гешх"+1, Л = a(0)е-шz + b(0);
Y = rch(uxn+1 + a), Л = a(0)th+ 2a + b(0);
Y = r sh(^xn+1 + a), Л = a(0)cth+ 2a + b(0),
где r,c, a = const, C(xl,... ,xn) = const, a(0), b(0) — are functions of class C3, a(0) = 0.
Key words: functional equation, functional differential equation, differential equation.
