Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.965:514.74 ОБ ОДНОМ КЛАССЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В. А. Кыров

Горно-Алтайский государственный университет,

649000, Россия, Горно-Алтайск, ул. Ленкина, 1.

E-mail: [email protected]

В работе рассматриваются специальные функционально-дифференциальные уравнения, возникающие в геометрии, для метрической функции. Доказана теорема о виде метрической функции.

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, метрическая функция, феноменологически симметричная геометрия, геометрия Гельмгольца.

Введение. Цель данной работы — расширение специальных функционально-дифференциальных уравнений на метрическую функцию трёхмерной феноменологически симметричной геометрии:

Ф\(и) = 7arctg-u; Ф-\(и) = /?Ar(c)th-и; Фо(и) = щ 7, fi = const ф 0, fi ф ±1; (xi, yi)—координаты точки г € М; 9(ij) — метрическая функция двумерной феноменологически симметричной геометрии Гельмгольца [1]. Вид метрической функции (1) следует из теоремы, доказанной В.Х. Львом в работе [2]: метрическая функция любой трехмерной феноменологически симметричной геометрии содержит как аргумент метрическую функцию двумерной феноменологически симметричной геометрии.

Функционально-дифференциальные уравнения, о которых здесь говорится, в явном виде записываются при доказательстве теоремы. Затем они сводятся к дифференциальным уравнениям. Во всех формулировках настоящей статьи предполагается существование подходящей локальной системы координат.

Основные определения. Рассмотрим многообразие М, dimM = т. Пусть на М задана гладкая функция /: М х М -> R, называемая метрической, с открытой и плотной в М х М областью определения Sf. Локальные координаты в М обозначим через (ж1, ..., хт). Пусть выполняются следующие аксиомы [3].

Аксиома невырожденности. Для любого упорядоченного набора т + 1 точек (г, i 1, ..., im) из открытого и плотного подмножества в Мт+1 :

Владимир Александрович Кыров (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. физики и методики преподавания физики.

/(и) = f(0(Xi, Xj, Уг, У]), Zi, Zj)

(1)

где

е = +1,-1,0; (2)

{Ы\), • • •, (ищ)) {h*))•••, (*m*) G Sf выполняются неравенства

9(a:tV .., ж?1) ’ 9(^1,...,^™)

где (xj,..., х™) — координаты точки г € М.

Аксиома феноменологической симметрии. Для некоторой окрестности всякой последовательности точек {i\,..., im+2) из открытого и плотного подмножества прямого произведения Мт+2, таких что {ipiq) € Sf, р, q = 1, ..., т + 2, р ф q, существует достаточно гладкая функция Ф : j£(m+i)(m+2)/2 grad# ф 0, для которой имеет место тождество:

<£(/(*1*2), • • •, /(W1W2)) = О-

Определение 1. Говорят, что на многообразии М метрическая функция / задает феноменологически симметричную геометрию, если выполняются аксиомы невырожденности и феноменологической симметрии.

Определение 2. Гладкое локально инъективное отображение Л: М —> М называется локальным движением, если для любой пары (г/) € 5/ такой, что (А(г), Х(.])} € Sf, имеет место равенство

/(А(г), АО')) = /(и)-

Множество всех так определенных движений образует группу Ли преобразований. Можно показать, что размерность группы движений т-мерной феноменологически симметричной геометрии равна т(т + 1)/2. Доказывается, что двухточечным инвариантом такой группы является метрическая функция, которая восстанавливается по данному инварианту [3].

Алгебра Ли группы движений состоит из операторов вида

X = Х\дх1 + • • • + Хтдхт,

причём Х3 = Х3(х1, ..., хт) — достаточно гладкие функции, ,в = 1, 2, ..., т, через которые записывается критерий локальной инвариантности метрической функции [4, с. 35]:

Х(г)/т+Х{з)т=0. (3)

Операторы, образующие базис алгебры Ли для т = 3, обозначим через X, У, Z, и, V, \У. Для геометрии Гельмгольца операторы алгебры Ли группы движений следующие [1,5]:

и = дх, V = ду, IV = {-еу - а£х)дх + (х - аеу)ду.

Основная теорема работы и её доказательство.

Теорема. Метрическая функция /(г?) вида (1) трёхмерной феноменологически симметричной геометрии с точностью до локального диффеоморфизма ф(/) —>■ / и в подходящих локальных координатах имеет вид

/(и) = [0*4 - Xjf + є(уі - Уэ)2] exp

У і ~ Уз

Xj ОС і

+ 2 z% + 2 Zj

(4)

где е = +1, —1, 0; Ф\(и) = 7arctg-u; Ф-\(и) = /3Ar(c)th-u, Фо(и) = и; 7, /3 = const ф 0, /3 ф ±1.

Доказательство. Метрическую функцию будем искать в виде

/(и) = / ( [0*4 - Xj)2 + фг - Vj)2] ехр

У г ~ Vj

Xi X 7

= /(0, Zi, %•).

Она является двухточечным инвариантом шестимерной группы преобразований, поэтому критерий инвариантности (3) для базисных операторов X и У алгебры Ли даёт функционально-дифференциальные уравнения

2ф£(^-^±) Qf

2[Х]е \Xi~xj)^L 2[у]е \хі~хз J —

т+ХзІ'і)^І + Мі)§Гі-0'

w + п(,>М + Ыз)Ё~, - °’

(5)

(6)

где

[X} = ({xi-xj)-ae{yi-yj))(Xl{i)-Xl{j)) + {£{yi-yj)+ae{xi-xj))(X2{i)-X2{j)),

[Y] = ((хі-Хз)-ає(уі-уз)) (Yl{i)-Yl{j)) + (e{yi-yj)+ae{xi-xj)) (Y2(i)-Y2(j)). Отсюда

[Х]ехр(2Фє(^^-)) = a(ij)9, [F]exp(W^^ =b(ij)9, (7)

Xj X 'i

Xj X 'i

причём а{1]) и Ь(%]) не могут зависеть от в.

Заметим, что в уравнении (5) Х3 ф 0, иначе базисный оператор X, как доказано в работе [6], будет являться линейной комбинацией операторов из системы (2), что недопустимо. Аналогично, Уз ф 0.

Пусть [X] = [К] = 0. Тогда уравнения (5) и (6) принимают вид

Хф)а-Щ+хмЩт=узиёш+=„.

dzi

dzn

dzi

д Zj

Разрешая первое уравнение относительно д/(і.])/дгі и результат подставляя во второе уравнение, получаем

(Із(г)ХзО') - ІзО')Хз(г))^^ = 0.

По аксиоме невырожденности df(ij)/dzj ф 0, поэтому

Y3(i)X3(j) - Y3(j)X3(i) = 0.

Разделяя переменные, получаем Уз = аХз, где а = const. Тогда уравнения (5) и (6) линейно зависимы, что недопустимо.

Пусть теперь [X] = 0 и [Y] ф 0. Тогда уравнение (5) принимает такой вид:

Здесь, как и в работе [6], доказывается, что Хз = a(z). Тогда, обозначая в (8) f dz

/ —— —> z, имеем

J a{z)

/(и) = / ([(Xi-Xjf + e(yi-у j)2] exp (2фе(~Г^:)) ’Zi ~ zi) = где w = Zi — Zj. Подставляя найденную функцию в (6), получаем

(9>

В (9) Уз ф const, иначе [У] = 0, что недопустимо. Тогда

[Лехр(2Ф«(|Е^))

Y3(i) - УзО)

= ф(9, w) ф 0.

Из (7) следует, что ■0(0, ы) = р(ги)0. Возвращаясь с найденным в (9), получаем дифференциальное уравнение

Интегрируя это уравнение, определяем метрическую функцию

’ У г - У]

f(ij) = 9q(w) = [(ж* - Xj) + e(yi - Уз) ] exp

q(w).

Можно показать, что группа движений геометрии с найденной метрической функцией имеет размерность меньше 6, т. е. геометрия не является феноменологически симметричной.

Итак, [X] ф 0 и [У] ф 0. Как и в работе [6], можно доказать следующую лемму.

Лемма 1. Если в уравнении (5)

Иго=0 = 0,

то метрическая функция имеет вид /(у) = /(0,ги).

Метрические функции найденного вида рассмотрены выше и не задают феноменологически симметричную геометрию.

Итак, в уравнениях (5) и (6) [X]w=o / Ои [F]w=o ф 0.

Уравнение (5) можно переписать в виде

2[Х] ехр (2фе(Уг _Vj)') +X3(i)0i(u) + X3(j)tp2(ij) =0, (10)

\ ' Xi Xj / J

где ipi(ij) = (df(ij)/dzi)/(df(ij)/de), ф2(Ц) = (df(ij)/dzj)/(df(ij)/dd).

Предположим, что в (10) Хз = c(z). Тогда с учётом (9) это уравнение принимает вид

[X] ехр (2Фе(Уг _Уз)') = (a(zi)+ a(zi))9 ф 0. (11)

у V Х% Xj / J

Лемма 2. Решением функционального уравнения (11) являются функции Х\ = р{а£у - х) + q(ea£x - у) + сЛ, Х2 = р{еа£х - у) - eq(a£y - х) + с2, где р, q, Ci, с2, а = const.

f dz

Подставим найденное в (5) и, переобозначая / —— —>■ z, после интегри-

J Ф)

рования имеем

/(и) = f{0e2zi, ве2^) = f(u,v).

Подставляя найденное в (6), получаем функциональное уравнение

[У + mt\e2zi |f- + [Y + ё¥ф2^ = 0, (12)

где в = (xi — Xj)2 + e(%)i — yj)2. Так как (12) —дифференциальное уравнение, имеет место тождество

|у;+!* из,

[У] +

Лемма 3. В тождестве (13) <р(и, v) = —1.

Доказательство. Пусть в тождестве (13) Zi = Zj = z. Тогда оно принимает вид

2 [Г] + в(У3г + Y3j) = 0.

Дифференцируя ПО Xi И Xj, ПО Уг И yj, а также ПО Xi И yj, будем иметь систему

-У{Хг - Y{Xj - «sY,iXi - a£Y^. - (Y3(i) + ВД)) +

+(xi - Xj)(Y£x. - Ylx.) = 0, aeY[m + aeY[y. - eY^ - eY^ - e(Y3(i) + Y3(j))+ 3 ‘ (14)

+фг - Uj)(Y3yj - Y'y.) = 0,

<XeY{x. - Y{y. - eY^x. - aeY^. + (xt - Xj)Y^. - e(yi - yj)Y^Xi = 0.

Дифференцируя теперь первое уравнение системы (14) по ^ и Xj, а также по Xi и yj, затем второе уравнение по yi и yj, будем иметь Y"xx = Yl' = Y% = 0. Интегрируя, получаем

Y3 = ах + Ъу + с, (15)

причём коэффициенты зависят от z. Подставим теперь найденное в (14):

-у1х{ ~ Yixj ~ аеУ^х. - a£Y'Xj - (axi + bVi + 2c + aXj + bVj) = 0, aeY{y. + a£Y[y. - eY^y. - eY^y. - e(axi + % + 2c + axj + byj) = 0, aeY[x. - Y{y. - eY^x. - aeY£y. + Ь(ж* - xj) - ea(yi - yj) = 0.

Дифференцируя первые два уравнения по координатам, а в последнем разделяя переменные, получаем систему уравнений, интегрируя которую до конца, будет иметь

Yi = } —-{—(аеЪ + еа){х2 - еу2) - 2е(Ъ + аеа)ху-

2 {а2е +е)

—2 (ес — aed)x + 2 (ed — а£с)у + ek — a£l),

—(аеа — Ъ)(х2 — еу2) — 2 (еа + аеЪ)ху—

—2 (d + аес)х + 2(с + a£d)y — I + aek),

причём коэффициенты зависят от z. Умножая результат на исходное выражение и учитывая формулы (15) и (16), получаем a = b = c = d = k = l = const. Затем, подставляя (15) и (16) в (13), получаем ip(u,v) = —1. Лемма 3 доказана. □

Тогда, подставляя (15) и (16) в (12) и интегрируя, получаем метрическую функцию (4). Базисные операторы алгебры Ли группы геометрии с метрической функцией (4) фактически найдены при доказательстве этой леммы. Для их явной записи в формулах (16) и (15) коэффициентам необходимо придать значения 0 и 1.

Итак, в уравнении (10) имеем Г-Хз(г) — X3(j)] _ _ ф 0. Если его перепи-

L- -I j — 2?

сать для пары (ji), то, как и выше, получаем 0i(y) — 020*) = 0. Обозначим ■01 (и) = 0(u)> 02(и) = 00’*)- Тогда уравнение (10) переписывается так:

2[Х] ехр (2Фе(Уг _Уз Х\ +X3(i)tp(ij) +X3(j)tp(ji) =0. (17)

\ ' Х% Xj / у

Лемма 4. В уравнении (17)

0L=o = с^е ^ °> Хз = p(z)x + + d(z)-

Доказательство. Введём в (17) подстановку z = Zi = Zj. Обозначим ^1,2,31w=0(i) = Х1>2,з(Xi,yi,z), 0|w=0(ij) = ф(в,г,г). Заметим, что tp(ij) = = 'ip(ji)- Тогда из (7) следует, что 0|w_o = c(z)0. Подставляя найденное в уравнение (17) при w = 0 и учитывая результат предыдущей леммы, получаем Х3 = p{z)x + q(z)y + d(z). Лемма 4 доказана. □

Как известно, базис алгебры Ли группы движений трёхмерной феноменологически симметричной геометрии состоит из шести операторов, три из которых — [7, V, W — известны, а три — X, Y, Z — надо найти. Оператор X удовлетворяет уравнению (17), a Y и Z — уравнениям

2[У]ехр(2Фе(^Щ) +Г3(г)0(и)+ВД)0(л) =0, (18)

\ ' Х% Xj / J

Y2 2 (af+e)(

2[Z\ exp (2 Фе(Уг + Z3{i)4>{ij) +Z3(j)tp(ji) =0, (19)

\ ' Xi Xj / J

причём [У3(г) - Y3(j)\zi=z =z ф 0, [_Z3(i) - Z3(j)] z_z,=z ф 0, иначе приходим

к рассмотренному ранее случаю.

Итак, для (17) имеем

И»=о ехр {2Фе (Уг Уз ] + (pi(xi + xj) +qi{yi + Vj) + di)6 = 0.

у V Xi Xj / J

Аналогичный результат получаем для уравнений (18) и (19):

[У]го=0 ехр {2Фе (Уг Уз ] + (P2(xi+Xj) + q2{yi + Vj) +d2)0 = 0,

у V Х% Xj / J

[Z]w=o exp [2Фе(Уг _Уз)) + (рг (Xi + Xj) + q3{yi + Uj) + d3)d = 0.

у V Xi Xj / J

Комбинируя эти уравнения, приходим к ранее рассмотренному случаю (лемма 4), который приводит к метрической функции (4). Теорема доказана полностью. □

Выражаю благодарность профессору Геннадию Григорьевичу Михайличенко за поддержку темы исследования.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кыров В. А. Гельмгольцевы пространства размерности два // Сиб. матем. журн., 2005. Т. 46, №6. С. 1341-1359; англ. пер.: Kyrov V. A. Two-Dimensional Helmholtz Spaces// Siberian Math. J., 2005. Vol. 46, no. 6. Pp. 1082-1096.

2. Лев В. X. Трёхмерные геометрии в теории физических структур / В сб.: Вычислительные системы. Вып. 125. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1988. С. 90-103. [Lev V. Kh. Three-Dimensional Geometries in Physical Structures Theory / In: Vychislitel ’nye Sistemy. Issue 125. Novosibirsk: IM SOAN SSSR, 1988. Pp. 90-103].

3. Михайличенко Г. Г. О групповой и феноменологической симметриях в геометрии // Докл. АН СССР, 1983. Т. 269, №2. С. 284-288; англ. пер.: Mikhailichenko С. С. On Group and Phenomenological Symmetries in Geometry // Dokl. Soviet. Math, 1983. Vol. 27, no. 2. Pp. 325-329.

4. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с. [Ovsjannikov L. V. Group analysis of differential equations. Moscow: Nauka, 1978. 399 pp.]

5. Кыров В. А. Шестимерные алгебры Ли групп движений трехмерных феноменологически симметричных геометрий: приложение к книге Г. Г. Михайличенко “По-лиметрические геометрии” . Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2001. С. 116-143. [ Kyrov V. А. Six-dimensional Lie algebras of movements groups three-dimensional phe-nomenologically symmetric geometries. Appendix to the book G. G. Mikhailichenko “Polymetric Geometries”. Novosibirsk: Novosib. Gos. Un-t, 2001. Pp. 116-143].

6. Кыров В. А. Функциональные уравнения в псевдоевклидовой геометрии // Сиб. журн. индустр. матем., 2010. Т. 13, №4. С. 38-51. [Kyrov V. A. Functional equations in pseudo-Euclidean geometry // Sib. Zh. Ind. Mat., 2010. Vol. 13, no. 4. Pp. 38-51].

Поступила в редакцию 24/III/2011; в окончательном варианте — 12/11/2012.

MSC: 34K05

ON SOME CLASS OF FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATIONS V. A. Kyrov

Gorny Altai State University,

1, Lenkin St., Gorno-Altaisk, 649000, Russia.

E-mail: kfizikaagasu.ru

In this paper we consider special functional-differential equations arising in geometry for the metric functions. We prove a theorem on the form, of the metric functions.

Key words: functional-differential equation, metric function, phenomenologically symmetric geometry, Helmholtz’s geometry.

Original article submitted 24/111/2011; revision submitted 12/11/2012.

Vladimir A. Kyrov (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Physics and Teaching Methodology of Physics.