Об устойчивости непрерывного метода решения задачи связанного псевдообращения с обобщенно дополнительными операторами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983.54

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НЕПРЕРЫВНОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СВЯЗАННОГО ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ С ОБОБЩЕННО ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

© Е. А. Бондарь, И. Ю. Ястребова

Ключевые слова: задача связанного псевдообращения; нормальное связанное псевдорешение; непрерывный метод регуляризации; условие обобщенной дополнительности операторов.

Обсуждается устойчивость непрерывного метода регуляризации для задачи связанного псевдообращения с входными операторами, удовлетворяющими условию обобщенной дополнительности.

Введение. Математической моделью многих задач из различных областей знаний является линейное уравнение с оператором, действующим на паре гильбертовых пространств, причем решение уравнения удовлетворяет дополнительным ограничениям. При этом часто такое уравнение не удовлетворяет условиям корректности по Адамару. В общей постановке задача решения операторного уравнения с ограничениями как проблема условной минимизации рассматривалась во многих математических работах (см., например, [1]). В данной работе рассматривается специальный случай задачи условной минимизации, в котором дополнительные ограничения определяются другим линейным операторным уравнением, также не удовлетворяющим условиям корректности по Адамару. Такая задача получила название задачи связанного псевдообращения. Первоначально эта задача рассматривалась при достаточно жестком условии дополнительности операторов, и для ее решения В.А. Морозовым [2] был предложен однопараметрический регуляризирующий алгоритм. Принципиально новые результаты были получены Р.А. Шафиевым [3], который предложил двупараметрический метод регуляризации решения задачи, позволивший освободиться от условия дополнительности операторов. Дальнейшее развитие двупараметрический метод регуляризации получил в работе [4], в которой построен непрерывный метод регуляризации, представляющий собой аппроксимацию решения задачи связанного псевдообращения решениями задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами. В общем случае для устойчивости метода требуется условие согласования параметров регуляризации (см. [4]). В данной работе непрерывный метод рассматривается в случае обобщенной дополнительности операторов, что позволяет освободиться от условий согласования на параметрические функции. Устойчивость метода устанавливается в классе всевозможных ограниченных возмущений.

Постановка задачи. Пусть А: X—У, В: X— линейные ограниченные операторы, у&У , , X , У , 2 —гильбертовы пространства. Рассматривается задача связанного псевдообращения, состоящая в нахождении элемента х* (называемого нормальным связанным псевдорешением уравнения Ах=у) с минимальной нормой среди минимизирующих норму || Ах—у\\ на множестве Х\=хех\\Bx-г\\2 .Предполагается, что операторы А и В удовлетворяют условию обобщенной дополнительности: существует 7>0 такая, что ЦАхр+ЦВхЦ2^ ^72\х\2 для всех х£((Ж(А)П(Ж(В))^ (если это условие выполняется для всех х^Х , то операторы А и В дополнительные). Тогда для разрешимости задачи связанного псевдообращения необходимо и достаточно, чтобы . Вводятся обозначения: Тг^=[^/гЩВ А]т:

1752

X^-ZxY, gr(t) = [\/r{t)z yfeZxY. Рассматривается двупараметрический непрерывный метод регуляризации, состоящий в том, что x* находится как предел при t^+ж решения задачи Коши u'(t)+a(t)u(t)+r*(t)(rr(t)u(t)-gr(t))=0 , u(t0)=u0 , t^t0 . Этот метод построен на базе нестационарного операторного уравнения a(t)x(t)+r*t (rr(t)x(t)-gr(t)) =0, определяющего нестационарный вариант операторного метода регуляризации задачи связанного псевдообращения, предложенного и исследованного в [3]. При любом фиксированном t^to это уравнение имеет решение вида xra(t) = ( а(^/+Г*(^Гг(-^) Г*ф gr(t) .Предполагается, что входные данные задачи известны приближенно со следующими уровнями возмущений: ||A(t)-A||<l(t), \\B(t)-BHh(t) , ||y(t)-y||<s(t), ||z(t)-z||<5(t), где l(t), h(t) , s(t), ö(t) — определенные при t^to неотрицательные непрерывные функции, ограниченные сверху при t^to соответственно числами I, h , s , ö .

Устойчивость метода. Составляются rr(t) (t) и gr(t) (t) из приближенных данных аналогично rr(t) и gr(t) и рассматривается возмущенная задача Коши с тем же начальным условием u'(t)+a(t)u(t)+r*t (t)(rr(t)(t)u(t)-gr(t) (t))=0 , u(t0)=u0 , t^t0 , решение которой обозначается через u(t). Устойчивость метода устанавливается в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть z<EÜ(B+), A* (Ax*-y)<EÜ(B *+), параметрические функции a(t) и r(t) определены и дифференцируемы при t^t0, a(t)>0 и убывает, r(t)^1 и возрастает, lim a(t)=0, lim r(t)=+ж. Если параметрические функции a(t), r(t) удовлетворяют условиям

t

r'(t)

lim / a(s)ds=+oo, lim |ö;/(i)|=0, lim ' .111=0

i^ + oo J t^+OD t^+OD Jr(t)

to

lim rRih^t)+ö(t))= 0, lim о

a(t) w' ' t^+ж a(t)

согласования с уровнями погрешностей, то решение возмущенной задачи Коши ü(t) при любом u0 стабилизируется к нормальному связанному псевдорешению x* задачи связанного псевдообращения.

Для доказательства теоремы полная погрешность непрерывного метода оценивается в виде ||x*-u(t)||^||x*—xra(t)|| + ||xra(t)—u(t)|| + ||u(t)—u(t)|| , где u(t) — решение невозмущенной задачи Коши, и устанавливается, что при t^+ж каждое из слагаемых в правой части неравенства стремится к нулю.

и условиям

ЛИТЕРАТУРА

1. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

2. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

3. Шафиев Р.А. Псевдообращение операторов и некоторые приложения. Баку: Элм, 1989.

4. Бондарь Е.А., Шафиев Р.А. Непрерывный метод решения задачи связанного псевдообращения // Вестник ННГУ. Математика. 2006. Вып. 1(4). С. 4-14.

Поступила в редакцию 9 сентября 2015 г.

Bondar E.A., Yastrebova I.Yu. ABOUT STABILITY OF THE CONTINUOUS METHOD FOR SOLVING THE CONSTRAINED PSEUDOINVERSE PROBLEM WITH GENERALIZED COMPLEMENTING OPERATORS

The stability of the continuous method of the regularization for the constrained pseudoinverse problem with generalized complementing input operators is discussed.

Key words: constrained pseudoinverse problem; normal constrained pseudosolution; continuous method of regularization; generalized complementing condition of operators.

1753

Бондарь Елена Александровна, Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, e-mail: [email protected]

Bondar Elena Alexandrovna, Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil Engineering, Nizhny Novgorod, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Mathematics Department, e-mail: [email protected]

Ястребова Ирина Юрьевна, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической физики и оптимального управления, e-mail: [email protected]

Yastrebova Irina Yur'evna, Nizhny Novgorod State University named after N.I. Lobachevsky, Nizhny Novgorod, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Mathematical Physics and Optimal Control Department, e-mail: [email protected]

1754