Об итерационном аналоге непрерывного метода регуляризации задачи связанного псевдообращения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 1 (1), с. 191-195

УДК 517.983.54

ОБ ИТЕРАЦИОННОМ АНАЛОГЕ НЕПРЕРЫВНОГО МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЗАДАЧИ СВЯЗАННОГО ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ

© 2013 г. Е.В. Барабошкина, Р.А. Шафиев

Нижегородский государственный педагогический университет [email protected]

Пжтупило вр.-окцию 14.09.2012

Предложен итерационный метод регуляризации задачи связанного псевдообращения, который, как и порождающий его непрерывный метод, обладает свойством стабилизации последовательностей к нормальному решению начиная из любой точки гильбертова пространства. Найдены условия сходимости метода и его устойчивости к возмущениям в исходных данных задачи.

Ключевые 1Л9во: задача связанного псевдообращения, нормальное псевдорешение, двупараметрический метод регуляризации, итерационный метод регуляризации, сходимость итерационного метода, устойчивость итерационного метода.

Введение

Задача условной минимизации

тт |||Ах - у||2: х е А^ тт ||Вх - г||21, (1)

где АХ^-У, ВХ^-2 — заданные линейные ограниченные операторы, у е У, г е 2 - заданные векторы, пространства X, У, 2 - гильбертовы, называется задачей связанного псевдообращения уравнения

Ах = у (2)

при дополнительных линейных связях

Вх = г. (3)

Решение задачи (1) минимальной нормы обо*

значается х и называется нормальным связанным псевдорешением уравнения (2) при дополнительных связях (3). Для краткости х будем называть нормальным решением задачи (1).

При отсутствии связей (при В=0) задача (1) -это традиционная задача псевдообращения уравнения (2). Если А+ - псевдообратный оператор к оператору А, то нормальное псевдорешение уравнения (2) х =А+у может быть найдено методами регуляризации из книги [1].

Впервые задача (1) рассмотрена в работе [2] в качестве абстрактной модели одной задачи управления. В [2] авторы ввели понятие суженного псевдообратного оператора А+в и с его помощью записали решение х" задачи (1): х* = АВ (у - АВВг) + В+г. Независимо задача (1) под названием задачи ^-псевдообращения рассмотрена в работе [3] (см. [4]), в которой приведен первый регуляризирующий алгоритм её

решения, применимый при очень жестком ограничении на операторы А и В.

В дальнейшем (см., например, [5, 6]) один из авторов данной статьи вывел для суженного

псевдообратного оператора А+В регуляризи-рующий алгоритм, посредством которого построил двупараметрический метод регуляризации задачи (1):

(а/ + ГХ )х = г;^, а,г>0, (4)

где

4Тв : X ^ 2 х У = G, gr = 1 1 ^ 1 е G

А _ У _

Г =

В работе [7] для решения уравнения (4) применяется известный непрерывный метод [8], который имеет вид задачи Коши:

\и() + а(Г )и() + г^) (гк, )и() - gr(t)) = ° (5)

1и(?0) = и0, t > t0 > 0.

Смысл перехода от стационарного уравнения (4) к задаче Коши (5) заключается в том, что вопрос приближенного вычисления х* сводится к нахождению решения задачи Коши для достаточно большого значения аргумента t. Ясно, что для этого можно воспользоваться хорошо разработанным аппаратом численного интегрирования дифференциальных уравнений.

В данной работе для приближенного интегрирования задачи (5) применяется метод разностной аппроксимации.

Для этого в промежутке ,+<») берется сис-

тема точек ^к], и задача Коши (5) заменяется неявной разностной схемой:

- + ° kuk +4 \i-rtuk

*=1,2,3,...,

г; ^- g* )=°,

* =^g, g = [v,u] є G,

где ик = и((к), а к = а^к), г = г^), 4 - 4-1 =Тк .

Способ построения последовательности {ик} по рекуррентной формуле

(1+хкак )ик+хкГГк Г ик = ик-1 + хкгж, (6)

к=1,2,3,...,

называется итерационным аналогом непрерывного метода регуляризации задачи связанного псевдообращения.

В работе найдены условия на параметрические последовательности {ак}, {гк} регуляризации, которые обеспечивают сходимость метода (6) к нормальному решению задачи связанного псевдообращения исходя из любого начального приближения и0 е X, а также его устойчивость к ошибкам в исходных данных этой задачи.

1. Необходимые сведения

Обозначим через Р и Q ортопроекторы соответственно на подпространства N (В) и N(В)П|N(А), где N(•) - ядро соответствующего оператора. Введенный ранее оператор Гг при г=1 будем обозначать просто Г. Очевидно, N (Г) = N (В) П| N (А), и поэтому Q - ортопроектор на N (Г).

В [6] (а также в [9]) установлено, что задача (1) разрешима тогда и только тогда, когда выполнимы условия:

г е б(в+) = R(в)© N (В*),

у - АВ+г е £>((АР)+ ) = R(AP) © N (РА *); при выполнении этих условий в ортогональном дополнении N (Г)1 существует единственное нормальное решение х* задачи (1), а любое её решение х* имеет вид х* = х + Qx, х е X , и характеризуется равенствами

В* (Вх* - г) = 0, РА* (Ах* - у) = 0.

В [7] решение операторного уравнения (5) обозначается хга (а > 0, г > 1) и используется

*

для аппроксимации решения х задачи (1).

Теорема 1.1 [7]. Если задача (1) разрешима и выполнены условия

А* (Ах* - у)е б{в*+), (11)

(1.2)

||x* - М-^^ЧМІ + 1\т ' +

+ -1=||в-• A*(Ax* - УI

2V ог

Кроме того, справедлива оценка

\|| о z 1м .* II

B (Bxra- z) < Л-^ + - A У

м и у r 2 r11 11

(1.3)

1

llAll Л. .. 1 .. .

z +^= ||y|

ліг

л

.......... (1.4)

Іаг 2

Отметим, что условие (1.1) выполняется, если оператор В - нормально разрешимый. Тогда В - также нормально разрешимый, и область определения _о(в*+) = X. Кроме того,

б(в+) = Z, и задача (1) разрешима при любом г. В заключение приведем лемму 2.29 [10, с. 83]. Лемма [10]. Если неотрицательная числовая последовательность } удовлетворяет неравенству

где

«-(1 - ак К-1 + ьк, 0 - ак-1,

к b lim ^ at = да, lim —- = 0, то lim оок = 0 .

к^да к^да п k^да

i=1 к

то

2. О двупараметрическом методе регуляризации (4).

В уравнение (4) мысленно введем параметр t є [t0 ,+да], считая а = а(/), г = г (/), и дискретизируем его в точках последовательности {к}. В результате получим последовательность операторных уравнений

а^ + Г*кГгкх = Г^к, к = 1,2,3,.... (2.1)

При ак > 0 уравнение (2.1) имеет единственное решение, которое обозначим х.

Предположим, что последовательности {ак} и {гк} удовлетворяют условиям: ак >0, гк ^1;

{а к} - убывает, {гк} - возрастает; ак ^ 0, гк ^ да при к ^ да . (2.2)

Тогда при всех к уравнение (2.1) имеет решение х , к каждому из которых можно применить теорему 1.1.

Лемма 2.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Если последовательности {ак} и {гк} удовлетворяют условиям (2.2) и

(акгк)"' ^ 0, к ^да, (2.3)

к

* -1

%

к

+

то Ііш х - х „ = 0 и

к^даІІ гкак ||

^ С1, ||В* (ВХгкак - 7|^7^= Л/Гкак

(2.4)

х — х

Гкак Гк-1ак-1

. Проведем ее здесь, обозначив

8, = х - х .

к гк ак гк-1ак-1

(2.5)

Подставив решения х и х в соответ-свующие уравнения (2.1) и вычтя одно из другого, для вектора 8к получим равенство:

а к 8к + Г* ГГі 8к =-(ак -а к-1 )х,г-!ак-! -

-(гк - гк-1 )В* (Вхгк-!ак-! - 7) .

а ь - а к 1 \хг а +

к-11 Гк-1ак-1

+ |Гк - Гк-Л |В* (Вхгк-1ак-1 - 7)||||S

(2.6)

(\

8к - с3

Iак-ак-1І + \гк- гк-1І а г

1

■\1Гк-1

Гк-1а к-1

(1 + Хкак )(ек > 8к )^ (8к-1 > 8к )+ (8к > 8к ) . Отсюда, применяя к правой части неравенство Коши-Буняковского и деля на е к , находим

где с. - константы, не зависящие от номера последовательности к.

Доказательство. Для каждого х имеет

место оценка (1.3), где а = ак, г = гк. Переходя в этом неравенстве к пределу при к ^ да и учитывая (2.2), (2.3), получим ||х* - х^0.

Первая оценка в (2.4) - это следствие из предельного соотношения, а вторая вытекает из (1.4) и устанавливает порядок сходимости

II8к|| -(1 - акЬк-1ІІ + Ък

где

а =

1+ хк ак

(3.2)

(3.3)

а оценка ||8к|| найдена в (2.7).

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия леммы 2.1. Если последовательности {ак} и {гк} удовлетворяют соотношениям

к

х,а,

{||В * (Вхк ак - 7)|} при к ^да .

В дальнейшем нам понадобится оценка

Ііш У -• -• =

к^да 1~\1 + х,-а і

Ііш

к ^да

Iа к -а к -1І + |гк - гк-1І

■\]Гк-1а к-1

= 0, (3.4)

то итерационный метод (6) начиная из любого и0 є X сходится к х*.

Доказательство. Из очевидного неравенства

(3.5)

\\ик - х1 - \\ик - хп а^ + К ак - х\\

Умножим это равенство скалярно на вектор 8к и к правой части применим неравенство Коши-Буняковского, в результате получим неравенство

а к (8 к.8 к НС Ггк 8к,8 к)-(

Слева отбросив неотрицательное второе слагаемое, а справа используя оценки (2.4), мы усилим неравенство, и, сократив его на || 8 к 11, получим нужную оценку:

(2.7)

Сходимость итерационного метода

Введем обозначение

8к = хга- ик . (3.1)

Подставив хга в уравнение (2.1) и вычтя из этого равенства формулу (6), для вектора 8к получим разностное уравнение

(1 + Хкак )8к + ХкГ* Г 8к =8к-1 +8к ,

где вектор 8к определен в (2.5). Это равенство умножим скалярно на 8к и, отбросив в левой части слагаемое с положительным оператором Г* Г , получим неравенство

вытекает, что для доказательства теоремы достаточно установить, что ||ик - х^аЛ = ||ек|| ^ 0

при к ^ да, поскольку сходимость к нулю второго слагаемого в (3.5) доказана в лемме 2.1. Но мы установили, что последовательность |ек|}

удовлетворяет неравенству (3.2), рассмотренному в приведенной нами лемме из [10]. Из этой леммы следует, что ||ек|| ^ 0 при к ^да, если коэффициенты (3.3) удовлетворяют усло-

к Ь

виям У а. ^ да, —- ^ 0, к ^ да . Но эти усло-и ак

вия, как легко видеть, - это предположения (3.4) теоремы, и теорема доказана.

3. Устойчивость итерационного метода

Предположим, что исходные данные задачи (1) заданы приближенно. При этом известны последовательности {Ак} и {Вк} ограниченных операторов, аппроксимирующих операторы А и В соответственно, последовательности {ук} и {гк} векторов, аппроксимирующих у и г, и известны уровни их ошибок:

\Ак - А\\- 4, ||Вк - В||- К,

Ьк - УІІ - sk, |к - 4 -8к,

(4.1)

где {/к}, {Кк}, {sk}, {8к} - неотрицательные ограниченные последовательности.

х

8

к

1

к

Обозначим Г, =

rk

4'kBk

■^z

У;

выпишем возмущенный метод (6):

(l + тко к К + тк Г; Г'к Vk = Vk—1 + тк:

Введем обозначение

(4.2)

(4.3)

и, вычтя (6) из (4.2), найдем уравнение для ак:

(l + т;о;)а; +т;Г,* а; =

а, = V. — u.

=а;—і- т; (~; г,*- г; Г'кк +

+т*г; (~;- g* )+т*(г; -г'к )g,^. Отсюда, как и прежде, для а* получим не-

равенство:

где

а,.

|<(l - ak )|а;—1|| + b'k,

a=

b'k =

1 + т;о;

т;о;

1 + т;о;

Г* 1-' ТП* 1-’

'к г'к -г'к ГгкЫ1 +

(4.4)

b'k < С5ak

— (hk +б к ) +

h + S,

о

= b;.

(4.5)

к У

Таким образом, последовательность {|ак|I

удовлетворяет неравенству

а,.

|<(l - ak )|

М Iа *—і + bk,

Нш^ (кк +8к ) = 0,11т = 0, (4.7)

к ^да а к к ^да а к

то возмущенный метод (4.2) начиная из любого начального приближения и0 сходится к нормальному решению х* задачи (1).

Доказательство. Из теоремы 3.1 следует,

что \\ик - хЧ ^ 0 при к ^да . Поэтому в силу

неравенства vk - x < vk - uk\\ + \\uk - x

для

доказательства теоремы достаточно установить

||ук - ик || = ||стк || ^ 0 при к ^ да .

Но последовательность {|стк|} удовлетворяет неравенству (4.6), в котором из определения ак

(4.4) и первого условия из (3.4) следует, что

к

Нт У а1 = да, а из определения Ьк (4.5) и усло-

к ^да

.=1

вия (4.7) вытекает, что Нт Ьк- = 0 . Поэтому со-

к ^да a

к

+||гП (§* - sn |+||(г*- гП )go 11) •

Преобразуем выражения, стоящие в b'k:

г,; г,к-г; г, = r (в* - B* )Bk + rkB* (Bk -b)+

^ +(a* - A* )Ak + A* (Ak - A);

г; (g*- gk)=rkB* (zk- z)+A* (yk- y);

(г;-г; k = ,k (b* - b* )z+(a* - a* у

Оценим нормы выражений в Ьк с помощью условий аппроксимации (4.1):

ь;<—[rA (| в; ||+1 iBii )|\uk\\+ik (| a; ||+11 Aii! uk\+

a k

+ rk5k||Bk|| + 5k||Ak|| + rkhk\\4 + lk\\y\\] •

Так как ||Bk|| < |B|| + h , ||Ak|| < ||A|| +1 , где h , l - границы последовательностей {hk} и {lk}, а при выполнении условий сходимости uJ < c4, то

гласно лемме из [10] ||стк|| ^ 0при к ^да , и

теорема доказана.

Приведем пример последовательностей {ак}, {гк}, удовлетворяющих всем условиям (2.2), (2.3), (3.4) из теоремы 3.1 и условиям согласования (4.7) теоремы 4.1:

тк = 1, ок = к~ h; =бк = к *

. 'к = *, lk = Sk = к

(4.6)

где коэффициент ак определен в (4.4), а Ьк - в (4.5).

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Если последовательности {ак} и {гк} удовлетворяют дополнительно условиям согласования с уровнями возмущений (4.1):

если 0 <a< 1, a< r <min{l, 2-5a}, h > r + a , l > a.

Список литературы

1. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. 181 с.

2. Minamide N., Nakamura K. A restricted pseudoinverse and its application to cotrained minima // SIAM J. Appl. Math. 1970. V. 19. P. 167-177.

3. Морозов В.А., Кирсанова Н.Н. Об одном обобщении метода регуляризации // Вычислительные методы и программирование. М.: МГУ, 1970. Вып. 14. С. 40-45.

4. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. 360 с.

5. Шафиев Р.А. К теории методов регуляризации Тихонова-Лаврентьева // ДАН СССР. 1985. Т. 282. № 4. С. 804-808.

6. Шафиев Р.А. Псевдообращение операторов и некоторые приложения. Баку: Элм, 1989. 152 с.

7. Бондарь Е.А., Шафиев Р.А. Непрерывный метод решения задачи связанного псевдообращения // Вестник ННГУ. 2006. Вып. 1 (4). С. 4-13.

8. Альбер Я.И. Непрерывная регуляризация линейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве // Математические заметки. 1968. Т. 4. № 5. С. 503-509.

и

т

9. Ястребова И.Ю. Нормальное «-связанное псевдорешение уравнения и регулярные методы его вычисления / Н.Новгород: Нижегородский гос. пед. унт, 1999. Деп. ВИНИТИ 17.11.99, № 3388-В99.

10. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: УИФ «Наука», 1993. 261 с.

ON AN ITERATIVE ANALOGUE OF THE CONTINUOUS REGULARIZATION METHOD FOR A CONSTRAINED PSEUDOINVERSE PROBLEM

E. V. Baraboshkina, R.A Shafiev

The article proposes an iterative method of constrained pseudoinverse problem regularization, which, like its originative continuous method, stabilizes sequences to the normal solution starting from any point of the Hilbert space. The conditions for the method convergence and stability to perturbations in the initial data of the problem are found.

Keywords: constrained pseudoinverse problem, normal pseudosolution, two-parameter regularization method, iterative regularization method, iterative method convergence, stability of the iterative method.