Решение задачи о переносе массы под действием электрического поля в двухкомпонентной смеси Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 3-1

УДК 532.5 DOI 10.23683/0321-3005-2017-3-1-28-35

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПЕРЕНОСЕ МАССЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ*

© 2017 г. Т.Ф.Долгих1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

THE SOLUTION OF THE MASS TRANSFER PROBLEM FOR THE TWO-COMPONENT MIXTURE UNDER THE ACTION OF AN ELECTRIC FIELD

T.F. Dolgikh1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

Долгих Татьяна Федоровна - аспирант, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: dolgikh@sfedu.ru

Tatiana F. Dolgikh - Postgraduate, Department of Numerical Methods and Mathematic Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: dolgikh@sfedu.ru

Исследована система эллиптических квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка, описывающих процесс переноса массы в многокомпонентной смеси под действием электрического поля. Эти уравнения моделируют зональный электрофорез (фракционирование многокомпонентной смеси) в случае, когда концентрации компонент смеси достаточно большие. При помощи варианта метода годографа, основанного на законах сохранения, построено неявное решение задачи с начальными данными. Представлен аналитико-численный метод восстановления явного решения. Этот метод позволяет сводить решение задачи для уравнений в частных производных к задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование эволюции решения с течением времени представлено для пространственно-периодических начальных данных, которые обычно используются для описания поведения неустойчивых квазигазовых сред типа газа Чаплыгина. Поведение решения описывается при помощи пространственных изолиний и изохрон (временных изолиний). Дополнительно приведен анализ качественных изменений структур решений с помощью якобиана преобразования годографа. Представленные результаты позволяют сделать вывод о том, что с течением времени пространственно-периодические начальные данные преобразуются в структуры из кноидальных неподвижных волн, как и для неустойчивых сплошных сред типа газа Чаплыгина.

Ключевые слова: зональный электрофорез, метод годографа, пространственно-периодические начальные данные.

We investigate system of the elliptic quasi-linear equations offirst order which describes the process of mass transfer in a multicomponent mixture under the action of an electric field. These equations simulate the zonal electrophoresis (fractiona-tion of a multicomponent mixture) in the case when the concentration of mixture components is enough large. Using the variant of the hodograph method, based on the conservation laws, the implicit solution of the problem with the initial data is constructed. The analytical-numerical method recovering the explicit solutions of the problem is presented. This method allows us to transform the solution problem for equations in partial derivatives to the problem for ordinary differential equations. We study the evolution of solutions over time for spatially periodic initial data, which are typically used to describe the behavior of the unstable quasi-gaseous continuous media similar to the Chaplygin gas. We describe the behavior of the solution with the help spatial isoline and isochrone (temporary isoline). Additionally, we analyze the qualitative changes of the solution structures using the Jacobian of the hodograph transformation. The presented results allow us to conclude that the spatially periodic initial data are transformed into stationary cnoidal waves.

Keywords: zonal electrophoresis, the hodograph method, spatially periodic initial data.

* Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания Министерства образования и науки РФ № 1.5169.2017/БЧ по теме «Фундаментальные и прикладные задачи математического моделирования».

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 3-1

Введение

Процесс переноса вещества под действием электрического поля в достаточно длинном капилляре с непроницаемыми боковыми стенками называется зональным электрофорезом. Метод переноса широко применяется в медицине, биологии, химии как для определения, так и для выделения отдельных составляющих многокомпонентной смеси.

В данной работе рассматривается модель зонального электрофореза в случае сильных электролитов - вещества полностью диссоциировали на ионы, и нейтральные элементы, кроме растворителя (воды), в смеси отсутствуют. Кроме этого, в уравнениях не будет учитываться диффузия. Связано это с тем, что на начальной стадии процесса разделения смеси на отдельные составляющие электромиграционные эффекты играют более значимую роль в изменении профиля концентраций индивидуальных компонент смеси, чем диффузионные эффекты.

Известно, что при изменении количества ионов в смеси в зависимости от параметров компонент (например, зарядности, подвижности) проводимость всей смеси может как увеличиваться, так и уменьшаться. Объясняется такой эффект электронейтральностью раствора. Если в некоторую область раствора поместить ионы с большой подвижностью, то в силу сохранения электронейтральности всей смеси они будут вытеснены менее подвижными ионами, и в данной области понизится общая проводимость раствора. Наоборот, если добавить в раствор компонент с малым значением подвижности, то он вытеснит более подвижные соседние ионы и тем самым понизит проводимость смеси в этой точке капилляра [1, 2]. Как правило, бездиффузионная модель зонального электрофореза представляет собой систему квазилинейных уравнений гиперболического типа в частных производных первого порядка. В случаях, когда проводимость многокомпонентной смеси уменьшается при увеличении концентрации некоторых компонент, тип уравнений становится эллиптическим.

Случаи гиперболических уравнений рассмотрены в работах [3-5], где, в частности, показано, что решения таких уравнений описывают движение нелинейных волн, т.е. перенос вещества. В данной статье, а также в работах [5-9] представлены исследования уравнений эллиптического типа.

В случае квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка независимые переменные времени t и пространственные координаты х равноправны. Поэтому о задаче для таких уравнений с данными на какой-либо линии принято говорить как о задаче Коши [10]. Для эллиптиче-

ских уравнений не принято говорить о начальных данных, но в представленной статье сохраняется название задачи Коши, так как будут задаваться концентрации в начальный момент времени.

В работе [11] показано, что сплошные среды, которые описываются уравнениями эллиптического типа, ведут себя как неустойчивые квазигазовые среды типа газа Чаплыгина. Для исследования таких сред часто используются пространственно-периодические начальные данные. Такие же начальные распределения концентраций рассмотрены и в данной статье для анализа эволюции решений задачи зонального электрофореза.

Постановка задачи

Система уравнений, описывающая процесс разделения многокомпонентной смеси веществ на отдельные компоненты под действием внешнего электрического поля, в общем виде для безразмерных переменных записывается в виде

do

- + div(- Dk Vok + ykckzk E )= 0 dt V ' '

k = 0, 1,..., n +1,

j = £zk (- Dk Vck + ykckzk E), k=0

(1)

div j = 0,

n+1 , , Z zkck = 0, k=0

где ек = ек (х, t) - концентрации компонент смеси;

Ок - коэффициент диффузии к-й компоненты; ук

к

и 2 - подвижность и зарядность компонент; ] -плотность электрического тока; Е - напряженность электрического поля.

Рассматривается задача о разделении смеси в длинном капилляре (пространственно одномерный

случай) и без учета диффузии (Ок ^ 0). Сделав

замены переменных цЦ = ykzk,

uk = акок (ak -

коэффициент влияния концентрации к-й компоненты на проводимость), исключив из (1) напряженность электрического поля Е [5] и положив и=2, получим модель переноса вещества в двухкомпо-нентной смеси под действием электрического поля в бездиффузионном приближении

du 12 d --+ ц ц —

dt dx

( k k\ ц u

7+7

V У

= 0,

k = 1, 2.

1 2 S = U + U .

(2)

Здесь /лк = const и uk = uk (x, t) - электрофо-ретические подвижности и «эффективные» концентрации компонент смеси соответственно.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. Следует отметить, что подвижности компонент

DR1 DR1

де--+ Л-= 0,

8t 8х

Л = R1R1R2

i = 1, 2.

Инварианты Римана R1 и исходные функции и1 связаны соотношениями

R1 =

B-4d

R2 =-

в+4d

8K i 8K п

-+ Л1-= 0

8t 8x

Л1 =

KiKlK2

(3)

K

= K0 (г), 1 = 1, 2,

(4)

где K0 (г) и KQ (г) - заданные функции.

NATURAL SCIENCE. Метод решения

2017. No. 3-1

смеси ц - это всегда положительные величины. «Эффективные» же концентрации учитывают и концентрации, и зарядности каждой компоненты смеси. Поэтому они могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Однако

1112 полная проводимость всей смеси 1 + 5 = 1 + и + и -

всегда положительная величина. Она может как увеличиваться, так и уменьшаться при изменении концентраций компонент отдельных смесей. Действительно, положительным значениям ик соответствует увеличение проводимости смеси при

к

увеличении концентрации, а отрицательным и -

к

уменьшение проводимости при увеличении и

В случае, когда рассматривается двухкомпо-нентная смесь, квазилинейная система уравнений в частных производных первого порядка (2) всегда

имеет инварианты Римана Я1 и записывается в ви-

Для решения задачи Коши (3), (4) используется метод годографа, основанный на законах сохранения [5, 12-14]. Этот метод позволяет получить неявные решения х = х{к\К2), £ = £{к1,К2) уравнений (3), по которым восстанавливается явный вид функций и1{х, t), и2 {х, £).

Следуя [13], предположим, что имеется закон сохранения р{ +ух = 0, где ({к1,К2), ^{к1,К2) -функция плотности и плотность потока. Это функции, для которых выполняются соотношения 1 2 ^к 1 = Л РК1, 2 = Л рк2 . (5)

Условия разрешимости дают линейные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

VK 1k 2

1

K1 - K2 K

V1+ F-K2 vK 2 =0

Гг1г2 +-

K

[ 1

K

2

k\K 1 - K 2)

KK K2(K -K2) K

Эти уравнения дополняются условиями

(6)

[ 2 = 0. (7)

2A ' 2A

1 2 12 2 1

A = 1 + ^, B = / + / + и / + и / ,

C = /1/2, D = B2 - 4AC.

12 I 1 2 1

На плоскости (и , и ) линия Diu , и 1 = 0 является параболой. Известно, что в области D > 0, s > —1 уравнения (2) имеют гиперболический тип; в области D < 0 - эллиптический.

В случае эллиптичности уравнений (2) собственные значения Л1 и инварианты Римана R' будут комплексно-сопряженными.

Для дальнейшего упрощения записи введем замену для инвариантов Римана вида R1 = 1/ K1 . Тогда система (2) примет вид

1

[ -ЛУ )

[[ -¿Vх )

[[ - Л2 Vх )

к1 =k1

= 1

, [К1 -ЛУ )

к2=k2

к1 =k1

= Л1

к1 =k1 :

= -Л2

= -1, (8)

(9)

Здесь верхние индексы t, х соответствуют за-

1 гт2\ J v1

дачам для о

: определения £ {к1, К 2 ), х{к1, К2 ).

Решением р£ {к1, К2 ) задачи (6), (8) с точностью до множителя является функция Римана -Грина

((к1, К 2 )=

Л2(к\ k 2)-Л1(к1, k 2)

ф(к1,к2 k1,k2).

Для исследуемых уравнений (3) вид функции Римана - Грина хорошо известен [15]

1 = 1, 2.

Пусть на контуре r = {(x,t): x = х(г), t = t(г), a <г< b}, который не является характеристикой, определены начальные данные

ф^1,K2 k1,k2)

i 2)_ (K1 + K2)(k1 + k2) - 2K*K2 - 2k*k2

(k1 - k 2)2

Из задачи (7), (9) определяется плотность потока

(к1, K 2 )

1 2Л1(k1,k2)Л2(k1,k2) Л2^1, k 2)-Л1(k1, k 2)

ф(к\ к2 k1, k2),

зная которую можно определить функцию потока, интегрируя одно из выражений в (5)

к 2 =k 2

к 2 =k 2

Г

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 3-1

(px k1, к2 )=

(k1, K 2) Л1(к1, K 2)

— 1 или

ух к., к 2 )=4<4к>+1.

у ' Л^К1, к2)

Рассмотрим случай, когда в качестве контура Г в начальных условиях (4) берется отрезок оси t = to . Тогда неявное решение задачи Коши (3), (4) 1 Ь

имеет вид t = ^ Н—

2-

a + b 1 b x , x =--+ — J p ат .

2 2:

'а ^ ^ а

В случае комплексно-сопряженных инвариантов

Римана К1, К2 комплексно-сопряженными будут и параметры а и Ь , определяющие контур Г . Для дальнейшего упрощения записи постановки и решения задачи удобно ввести следующие замены переменных:

*

а = и + /у, 6 = и - /у, а = о,

к = к1 = К.(Ь) = р + iq ,

* 2 2/ \

к = к = Ко (а) = р - iq,

К = К1 = Р + , К* = К2 = Р - , где р = р(и, у), q = q(u, у), Р = Р(и, у), 0 = 0(и, у) - вещественные функции вещественных переменных и и у .

Тогда в комплексной форме задача Коши (3), (4) запишется в виде

I |2

к\к\ кt + кх = о:

Kt=,„ = K 0 (т).

4q

(11)

x(u,v) = и - **-(p2 + >0 -2p(p2 + 2),

4q

где p(u, v) = Re K¿ (b), q(u, v) = k0 (a), а через F0 и G0 обозначены мнимые части функций F (и, v) и G(u, v )

и-iv u-iv ¡ \

F(u,v) = 2 JPo{r)dT, G(u,v)= J (p2(t)+Q?(t)JWt

(и, v) = 2

и +;v

соответственно.

На линиях уровня неявного решения при фиксированном значении t = t* = t(u*, v* ) = const для восстановления явного решения задачи (10) относительно некоторого параметра р решаются задачи Коши du dp dv dp

Определив значения u(р) и v(p) на изохроне t = t (u*, v*), можно найти функции p(u, v) и q(u,v). После этого вычисляются концентрации компонент смеси по формулам

1 _ ¿и2 (l - p + иУ(p2 + q2))

= — tv (и, V) q 4 (и, v),

av = ^ (m v) q4 (м, v),

M = M*,

v n = v* . \p=0

и = ■

.1

/ — /

2

(12)

и2 =

11 2 2 2 2 2 / (1 — 2/ p + / и (p + q

))

2

1

(10)

Здесь К0 (г) = Р0 (г) + /0о (г) - известная функция.

Таким образом, неявное решение задачи (10) с учетом введенных обозначений примет вид

1{и у)= -(р2 + q2) 2Ы Р2 + q2)+Р^0 - о0),

Очевидно, что неявные решения (11) задачи (10) полностью определены начальными условиями.

¿и -ц

Результаты вычислительных экспериментов

Рассмотрим задачу Коши (10) с начальными условиями

K1 (г) = Р0 (г)+iQ (г), K0 (г) = P0 (г)-iQ (г), где Р0 (г)= -«fi-(sinr + cosr), Q0(г) = 1 + ssinr + /Scosr . (13)

Здесь s - амплитуда пространственно-периодического возмущения состояния равновесия Р0 = 0 , Q0 = 1; параметры а и / - некоторые положительные значения.

Заметим, что (13) соответствует контуру Г, представляющему собой эллипс с полуосями а и /3 .

Согласно описанному ранее методу годографа, получаем неявные решения в виде p(u, v) = -as(sinu ch v + cosu ch v)- (14)

- /S sin u sh v + s cosu sh v, q(u, v) = 1 - as(sinи shv - cosu shv) + + 33s cosu ch v + ssin и ch v.

На рис. 1 представлены неявные решения p(x, t*), q(x, t*) в различные моменты времени.

На рис. 2 представлены распределения изохрон и пространственных изолиний на плоскости (u, v).

Результаты расчетов для концентраций компонент смеси u1(x, t), u2 (x, t) изображены на рис. 3. Здесь видно, что с течением времени происходит качественное изменение решения.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 3-1

Рис. 1. Функцииp(x,t), q(x,t) в моменты времени t1=0,2122, t2=0,3293, t3=0,3554, t4=0,3704, t5=0,4662, t6=0,9753 при u= -1,50, v= -0,30, -0,50, -0,55, -0,58, -0,80, -1,80 соответственно (масштабы различны); e=0,1, a=1, в=2 / Fig. 1. The functionp(x,t), q(x,t) at time t1=0.2122, t2=0.3293, t3=0.3554, t4=0.3704, t5=0.4662, t6=0.9753 at u, = -1.50, v. = -0.30, -0.50, -0.55, -0.58, -0.80, -1.80 respectively (different scale); e=0.1, «=1, в=2

Рис. 2. Изохроны t(u,v)=const (слева) и линии уровня x(u,v)=const (справа) на плоскости (u,v) для начальных данных (13) при е=0,1, я=1, в=2 / Fig. 2. Isochrone t(u,v)=const (left) and line-level x(u,v)=const (right) in the plane (u,v) for initial data (13)

at e=0.1, «=1, в=2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Рис. 3. Концентрации компонент смеси u1(x,t), u2(x,t) в

моменты времени fi=0,0756, ¿2=0,3604, Гз=0,3704, t4=0,9753, t5=0,4662, t6=0,9753 при u = -1,50, v»= -0,10,

-0,56, -0,58, -1,80 соответственно; е=0,1, я=1, в=2, р}=2, р}=3 / Fig. 3. Concentrations of mixture components u\x,t), u2(x,t) at time t1=0.0756, t2=0.3604, t3=0.3704, t4=0.9753, t5=0.4662, t6=0.9753 at u, = -1.50,

v. = -0.10, -0.56, -0.58, -1.80 respectively; e=0.1, «=1, в=2, ,м1=2, ц2=3

NATURAL SCIENCE. 2017. No. 3-1

Обратим внимание, что в отличие от [5, рис. 29.6 (c. 105), 29.7 (с. 106), 29.13 (с. 110) и 29.14 (с. 111)] графики функций, представленные, в частности, на рис. 1, не являются симметричными. Конечно, это связано с тем, что в случае [5] начальные данные обладали симметрией (Г -окружность), а в случае (13) такая симметрия отсутствует ( Г - наклонный эллипс).

Изменение структуры решения связано с обращением в нуль якобиана преобразования годографа J(u, v) = xutv - xv tu . На рис. 4 показана перестройка якобиана с течением времени.

Переход от одного семейства решения к другому с течением времени требует дополнительного анализа, например на основе поведения функций t(u*,v), tu (u*,v), tv(u*,v) (см., например, [5]). В случае начальных условий вида (13) функции tu (u*, v) и tv (u*, v) при u* = 1,5 имеют корень vc =-2,4312 . При этом tc = t (-1,5; - 2,4312 ) = = -271,1619630 . Наличие корня vc у функции tv (u*, v) означает, что на изохроне t = tc якобиан преобразования годографа J(u, v) обращается в нуль в точке (-1,5; - 2,4312 ).

Рис. 4. Якобиан преобразования годографа J(x,t) в моменты времени ft=0,2122, t3=0,3554, t4=0,3704 при u* = -1,50, v* = -0,30, -0,55 , -0,58 соответственно (масштабы различны); s= 0,1, а =1, ¡3 = 2 / Fig. 4. The Jacobian of the transformation to the hodograph J(x,t) at the time /1=0.2122, /3=0.3554, /4=0.3704 at u* =-1.50, V = -0.30, -0.55, -0.58 respectively (scale different); s = 0,1, а = 1, 3 = 2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Заключение

Рассмотренный пример начальных условий показывает, что в двухкомпонентной смеси в случае малых периодических возмущений начальных концентраций возможно возникновение пространственно-временных структур: солитоноподобные профили для функции q(x, t) и кинкоподобные -для p(x, t).

Это дает основание выдвинуть гипотезу о том, что с течением времени при решении задачи Коши для эллиптических квазилинейных уравнений (3) с пространственно-переодическими начальными данными (13) возникают структуры из кноидальных неподвижных волн. Такое поведение характерно для неустойчивых сплошных сред типа газа Чаплыгина.

Для процесса зонального электрофореза это означает, что в случае слабых периодических возмущений, возникающих, например, из-за нестабильности напряженности внешнего электрического поля, в смеси с большими концентрациями возможно возникновение локальных неоднородностей концентраций, которые неограниченно растут с течением времени.

Литература

1. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Юдович В.И. Математическая теория электрофореза: Применение к методам фракционирования биополимеров. Киев : Нау-кова думка, 1983. 202 с.

2. Жуков М.Ю. Массоперенос электрическим полем. Ростов н/Д. : Изд-во РГУ, 2005. 216 с.

3. Zhukov M. Yu., SMryaeva E. V. Hodograph Method and Numerical Solution of the Two Hyperbolic Quasili-near Equations System. Part II. Zonal Electrophoresis Equations. 2015. 23 p. URL: http://arxiv.org/abs/0503.00762. (дата обращения: 13.07.2016)

4. Елаева М.С. Исследование зонального электрофореза двухкомпонентной смеси веществ // Мат. моделирование. 2010. Т. 22, № 9. С. 146-160.

5. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В., Долгих Т.Ф. Метод годографа для решения гиперболических и эллиптических квазилинейных уравнений. Ростов н/Д. : Изд-во ЮФУ, 2015. 126 с.

6. Долгих Т.Ф., Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Пространственно-периодические решения уравнений переноса массы // Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения-V : тез. докл. Междунар. науч. конф. 26.04-01.05.2015. Ростов н/Д., 2015. С. 102-103.

7. Долгих Т.Ф., Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Исследование процесса массопереноса в случае уравнений эллиптического типа // Численное моделирование прибрежных, шельфовых и устьевых процессов : тез.

NATURAL SCIENCE. 2017. No. 3-1

докл. Междунар. науч. конф. 05-09.10.2015. Ростов н/Д., 2015. С. 20.

8. Долгих Т.Ф., Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Решение квазилинейных уравнений эллиптического типа для зонального электрофореза // Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения - VI : тез. докл. Междунар. науч. конф. 24.04-29.04.2016. Ростов н/Д., 2016. С. 102-103.

9. Долгих Т.Ф. Уравнения эллиптического типа для зонального электрофореза // Современные проблемы механики сплошной среды : тр. XVIII Междунар. конф. 7.11-10.11.2016. Ростов н/Д. : Изд-во ЮФУ, 2016. Т. 1. С. 179-183.

10. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М. : Наука, 1978. 688 с.

11. Жданов С.К., Трубников Б.А. Квазигазовые неустойчивые среды. М.: Наука, 1991. 176 с.

12. Елаева М.С., Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Взаимодействие слабых разрывов и метод годографа для задачи о фракционировании двухкомпонентной смеси электрическим полем // ЖВМ и МФ. 2016. Т. 56, № 8. С. 75-89.

13. Senashov S.I., Yakhno A. Conservation laws, hodograph transformation and boundary value problems of plane plasticity // International J. of Non-Linear Mechanics. 2016. Vol. 85. P. 1-5.

14. Senashov S.I., Yakhno A. Application of conservation laws to Dirichlet problem for elliptic quasilinear systems // SIGMA. 2012. Vol. 8, 071. 16 p.

15. Copson E.T. On the Riemann-Green Function // Arch. Ration. Mech. Anal. 1958. Vol. 1. P. 324-348.

References

1. Babskii V.G., Zhukov M.Yu., Yudovich V.I. Ma-

tematicheskaya teoriya elektroforeza: Primenenie k metodam fraktsionirovaniya biopolimerov [Mathematical theory of electrophoresis: Application to methods of fractionation of biopolymers]. Kiev : Naukova dumka, 1983, 202 p.

2. Zhukov M.Yu. Massoperenos elektricheskim polem [Mass transport with an electric field]. Rostov-on-Don: Izd-vo RGU, 2005, 216 p.

3. Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V. Hodograph Method and Numerical Solution of the Two Hyperbolic Quasilinear Equations System. Part II. Zonal Electrophoresis Equations. 2015. 23 p. Available at: http: //arxiv.org/abs/1503.01762 (accessed 13.07.2016).

4. Elaeva M.S. Issledovanie zonal'nogo elektroforeza dvukhkomponentnoi smesi veshchestv [Zonal electropho-resis study of a two-component mixture of substances]. Mat. modelirovanie. 2010, vol. 22, No. 9, pp. 146-160.

5. Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V., Dolgikh T.F. Metod godografa dlya resheniya giperbolicheskikh i ellip-ticheskikh kvazilineinykh uravnenii [The hodograph method for solving hyperbolic and elliptic quasilinear equations]. Rostov-on-Don: Izd-vo YuFU, 2015, 126 p.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

6. Dolgikh T.F., Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V. [Spatially periodic solutions of the mass transfer equations]. Sovremennye metody i problemy teorii operatorov i gar-monicheskogo analiza i ikh prilozheniya - V [Modern methods and problems of the theory of operators and harmonic analysis and their applications - V]. Abstracts of the International Scientific Conference, 26.04-01.05.2015. Rostov-on-Don, 2015, pp. 102-103.

7. Dolgikh T.F., Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V. [Investigation of the process of mass transfer in the case of equations of elliptic type]. Chislennoe modelirovanie pribrezhnykh, shel'fovykh i ust'evykh protsessov [Numerical modeling of coastal, shelf and wellhead processes]. Abstracts of the International Scientific Conference, 0509.10.2015. Rostov-on-Don, 2015, p. 20.

8. Dolgikh T.F., Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V. [Solution of quasilinear equations of elliptic type for zonal electrophoresis]. Sovremennye metody i problemy teorii operatorov i garmonicheskogo analiza i ikh prilozheniya - VI [Modern methods and problems of the theory of operators and harmonic analysis and their applications - VI]. Abstracts of the International Scientific Conference, 24.04-29.04.2016. Rostov-on-Don, 2016, pp. 102-103.

9. Dolgikh T.F. [Equations of elliptic type for zonal electrophoresis]. Sovremennye problemy mekhaniki

Поступила в редакцию /Received_

NATURAL SCIENCE. 2017. No. 3-1

sploshnoi sredy [Current problems in continuum mechanics]. Works of the XVIII International Conference, 7.1110.11.2016. Rostov-on-Don: Izd-vo YuFU, 2016, vol. 1, pp. 179-183.

10. Rozhdestvenskii B.L., Yanenko N.N. Sistemy kvazilineinykh uravnenii [Systems of quasilinear equations]. Moscow: Nauka, 1978, 688 p.

11. Zhdanov S.K., Trubnikov B.A. Kvazigazovye neustoichivye sredy [Quasigas unstable media]. Moscow: Nauka, 1991, 176 p.

12. Elaeva M.S., Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V. Vzaimodeistvie slabykh razryvov i metod godografa dlya zadachi o fraktsionirovanii dvukhkomponentnoi smesi elektricheskim polem [Interaction of weak discontinuities and the hodograph method for the problem of the frac-tionation of a two-component mixture by an electric field]. ZhVMiMF. 2016, vol. 56, No. 8, pp. 75-89.

13. Senashov S.I., Yakhno A. Conservation laws, hodograph transformation and boundary value problems of plane plasticity. International J. of Non-Linear Mechanics. 2016, vol. 85, pp. 1-5.

14. Senashov S.I., Yakhno A. Application of conservation laws to Dirichlet problem for elliptic quasilinear systems. SIGMA. 2012, vol. 8, 071, 16 p.

15. Copson E.T. On the Riemann-Green Function. Arch. Ration. Mech. Anal. 1958, vol. 1, pp. 324-348.

_13 апреля 2017 г. /April 13, 2017