Взаимодействие сильных и слабых разрывов в задаче Римана для гиперболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СИЛЬНЫХ И СЛАБЫХ РАЗРЫВОВ В ЗАДАЧЕ РИМАНА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

© 2010 г. М.С. Елаева

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090 Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

Проведено исследование математической модели электрофореза двухкомпонентной смеси веществ в случае, когда проводимость смеси зависит от концентрации компонент. Бездиффузионное приближение указанной модели сводится к системе уравнений, тип которой может быть как гиперболическим, так и эллиптическим в зависимости от начального распределения концентраций. Система записывается в терминах инвариантов Римана, после чего исследуется процесс эволюции начального распределения концентраций в гиперболическом случае. Рассмотрены различные варианты начального распределения концентраций веществ. Для каждой стадии процесса разделения двухкомпонентной смеси решения представлены в аналитическом виде. Показано, что переход от одной стадии эволюции к другой осуществляется в результате взаимодействия двух ударных волн либо ударной волны и волны разрежения.

Ключевые слова: электрофорез, квазилинейные гиперболические уравнения, задача о распаде начального разрыва.

Separation of two-component mixture under action of an electric field is investigated. We assume that conductivity of mixture is depended on concentration of its component. Diffusion-free approximation of the model is transformed to Riemann invariants. The system is than analyzed for the case of hyperbolicity. Various cases of initial concentration distribution are investigated. We consider interaction between two shock waves and between shock wave and rarefaction wave. Solution for each stage of separation process is obtained.

Keywords: electrophoresis, system of hydrodynamic type, problem of discontinuous initial data.

Метод электрофореза, как и хроматография, имеет важное прикладное значение и широко применяется в медицине, биологии, химии для определения состава смеси, а также для выделения из нее необходимых компонент. В настоящее время известно большое количество методов электрофореза: зональный электрофорез, изоэлектрическое фокусирование, изотахофорез, фронтальный электрофорез, электрофорез в литографических массивах, пульс-форез и др. Отметим, что, согласно [1], классификация электрофореза на типы во многом условна, и фактически все типы электрофореза можно описывать одними и теми же уравнениями [1-5], делая различные упрощающие предположения.

В данной статье рассматривается модель зонального электрофореза, в основе которого лежит движение веществ в растворе под действием электрического поля, приводящее к выделению компонент смеси в виде отдельных отчетливых зон. С помощью этой модели описывается процесс разделения двухкомпонентной смеси в тонком длинном капилляре. Математически модель сводится к системе пространственно одномерных квазилинейных уравнений переноса вещества электрическим полем в бездиффузионном приближении. Теоретическое обоснование возможности использования указанного бездиффузионного приближения для описания изотахофореза можно найти в работах [1-4], а экспериментальное подтверждение - в [6, 7]. Оказывается, что в случае зонального электрофореза также можно использовать бездиффузионную модель, по крайней мере, на интервалах времени много меньших, чем характерное время диффузии. Именно на этих интервалах и происходит наиболее существенная эволюция компонент смеси, в частности, ее фракционирование.

В статье показано, что в некоторых случаях указанная система квазилинейных уравнений изменяет свой тип с гиперболического на эллиптический и фактически перестает описывать процесс разделения. Выведено условие гиперболичности системы и про-

ведено ее исследование при этом условии для различных вариантов начального распределения концентраций веществ. Оказывается, что обычная техника построения решения задачи о распаде начального разрыва срабатывает лишь до того момента, когда происходит взаимодействие разрывов решений (границ между отдельными зонами веществ). Несмотря на простоту уравнений, не всегда возможно получить аналитическое решение. Такое решение найдено для каждой стадии процесса разделения смеси в случае взаимодействия двух ударных волн, а также ударной и волны разрежения.

Постановка задачи

Процесс разделения смеси веществ под действием электрического поля в электрофоретической камере, которая представляет собой бесконечно длинную цилиндрическую трубку, заполненную фоновым электролитом, описываем при помощи системы уравнений, записанной в безразмерной форме [3, 8, 9], где также приведен переход к безразмерным переменным

dc

+ divi-sD^c, + Zj/jCjE) = 0, i = 1,..., n, (1)

dt

' = -е+ аЕ, = 0, ст = стО 1 + ^акск I.

1=1 V к=1 )

Здесь с = Cj (х, 0 - концентрации компонент; е -характерный параметр диффузии; , у^ - коэффициенты диффузии и подвижности компонент; ^ -зарядности компонент; Е - напряженность электрического поля; ' - плотность электрического тока; ст ,

ст0 - проводимость смеси и фонового электролита; ак - коэффициенты влияния концентрации компонент смеси на проводимость.

Ограничим рассмотрение пространственно одномерным случаем, учитывая, что, как правило, разделение смеси проводится в тонких капиллярах. Известно, что процессы диффузии в случае высоких на-

n

n

пряженностеи электрического поля почти не влияют на процесс разделения смеси [6, 7, 10, 11] и на практике достаточно ограничиваться бездиффузионным приближением, полагая е = 0.

Делая замену переменных ц = 7 ¡у 1, п1 = а^е^ и исключая Е из уравнении (1), получаем систему [3, 8, 9]

^ = 0, - = 1....... 5 = 2Х > -1, (2)

81 дх ^ 1 + 5 ) г=1

где ц - электрофоретические подвижности компонент; щ - «эффективные» концентрации.

Отметим, что коэффициенты а могут быть как положительными, так и отрицательными: щ > 0 при а > 0 или щ < 0 при а <0. Это означает, что проводимость I -И компоненты, соответственно, выше или ниже проводимости фонового электролита.

Дополним систему уравнении (2) условиями Рэн-кина-Гюгонио на линиях разрыва х = х(/) (см., например, [2, 12])

+ N 2

D[u, ] =

1 + s

i = 1,...,n, D =

dx(t) dt '

[f ] = f f -, (3)

xn < x < x.

i = 1,..., n.

(5)

0,

x > x

dR_ R_2R2 сЩ__

dt dx

= 0,

dR2 R_R2 dR2 _ dt dx

= 0;

(6)

D

D

/"2 R1R2

"l R1R2

(/_ -R_)("i -R2)

("2 -R_)("2 -R2)

= [("_ - R_)("_ - R2)], = [("2 - R_)("2 - R2)];

(rf )2 r- >(ri+)2r+.

d_ <

ri+ (r-+ )2

R (R2 )2 ^ ^ R1+ (R+)

"l"2

(R_ )2 R-"l"2

R

1 i=i

t=0

R_,

x < x_ x_ < x < x2,

R

2 f=i

x > x

t=0

2

R-,

"2,

< D2;

x < x1 x1 < x < x2

x > x

2

где Б - скорость, с котороИ движется линия разрыва; / + = /(х(0 + 0,0 ; /- = /(х(0 - 0, /).

Условия устойчивости Лакса для линии разрыва к -го типа имеют вид [2, 12, 13]

4 >Бк >4, 4-1 <Б <4+1, к = 1,...,и. (4)

Здесь 4 = 4 (и(х(0 -0,()); 4+ = 4(м(х(0 + 0,0); 4 -собственные значения матрицы Лу = 8у (ц-щ/(1 + 5)), где 8 у = 8/8Uj .

Начальные условия, соответствующие кусочно-постоянному распределению концентрации, возьмем в виде

0, х < х0

Зависимость и = и(Я) определяется соотношения-

„„ ,, _/»2(К1 -/»1)(К2 „, _/»1(К1 -/»2)(К2 -/»2) ми щ--, Ы2--.

КхК2(Их -И2) К\К2(И2 -И\)

Инварианты Римана К = К(п) являются корнями уравне-

2

ния (1 + щ + ы2)Я -(ц + + ци2 +ц2м1)К + Ц]Ц2=0.

Тип системы (2) определяется знаком функции

2

^(мх,м2) = 0ц +ц2 + мм2 +^2м1) - 4(1 + "1 + "2)^1^2.

В области Е(м1,м2)>0, 1+5>0 инварианты Римана вещественные, и система (2) является гиперболической, а в области Е(м1, и2) < 0 инварианты Римана комплексные, и тип системы (2) - эллиптическии (рис. 1).

Далее рассматриваем лишь случаи вещественных инвариантов Римана, выбирая щ10 , щ20 из области Е(щ,и2)>0, 1 + 5>0. Возможны четыре варианта начального распределения концентрации, каждыи из них приводит к различным распадам разрывов концентраций и их дальнейшей эволюции:

а) ы0 > 0, ы°0 > 0; Ь) ы0 < 0, п\ < 0; с) щ0 < 0, > 0; ¿) щ0 > 0, п0 < 0.

Цель данной работы - построение аналитического решения задачи (2) - (5), которая является аналогом задачи Римана о распаде начального разрыва, исследование взаимодействий волн разрежения и ударных в процессе эволюции.

Переход к инвариантам Римана

Используя технику [3, 9, 12, 14, 15], запишем (2) -(5) в инвариантах Римана Кг, полагая, что смесь состоит из двух компонент (- = 1,2):

Рис. 1. Области эллиптичности и гиперболичности

Начальное распределение < 0, < 0

Начальное распределение концентраций и инвариантов Римана для случая < 0, < 0 показано на рис. 2а.

Эволюция начальных разрывов в точках хь х2 приводит к распределению (рис. 2б). Ударные волны (х) движутся со скоростями Д, В2 по законам х], = х2 +

x; = x2 + D2t, d2= r- .

М2

Помимо кусочно-постоянных решений, система (6) допускает автомодельные решения (волны разрежения), зависящие от автомодельной переменной 7 = (х-х*)/^ -1*), где (х*, ) - «центр» автомодельного решения [3, 8, 9]. Для данного распределения

0

u

u

t=0

волны разрежения имеют вид Rf (z) = ^ /ulz

r2(z) = JMMM-z , z =(x-xf)

R-

t

Движение левого (х/) и правого X) фронтов волн разрежения описывается уравнениями х- = х- + ¡л-^,

х1 = х- + ■(—!-)- ,, х2= х- + —Л ,, х2= х- + ,.

M

Mi

M1M2

X2 I -"

Ri

IS X -

1 "г 1 1 т2 2 1 2 ßf

UÜ V1-R,

я~ b

iL 12

r;

rv

üL/'^Ti^r

I I

llL 1 Xj T.y .Г X

M2- R

Vi i Pi-

T tt

1 1 2 2 2 R' Jl

_хиЦ 2 2 2 \ iTj2 xt2 xs x

1

к-К V,

R2

d

Ri

№

J_L

r

U1 [ X{ Xr X •

1

С1-ЯГ V:

2 2 Z|2

Rik

vT

№

SL/bfHT

I I J_L

1 1 ^ : 4

Ri

l l J_L

Рис. 2. Разделение двухкомпонентной смеси при и0 < 0 , и0 < О

В момент времени Т- в точке Х-, где

¡1Л2(х2 - х-) —-(—-)2 „

Т- = _ _—2——, Х1 = х1 + - 2 Т1, правый фронт

RfR-- (R2 "Mi)

m1m2

волны разрежения х = хг догоняет ударную волну

х = х-, в результате чего возникает еще одна волна разрежения —1(2) и постоянное по х решение — *

_ m1m2 z

x-X

(рис. 2c) R-2(z) = Vм-z > z = —^, R- = R2(z) =

t T u Ri

z =

miRf | lxi~ xi m2 '

MiR" Ti I M2t

. Изменяется скорость

движения ударной волны x = xf и уравнение ее движе-

ния Ц =

_ * Ri R* i

- i 2 xj = Xi +

м-

.I^ {Tt -fi )+VX--x-

V M2

V

Левый и правый фронты новой волны разрежения R2 (z) двигаются в соответствии со следующими урав-

t-T

t-T

нениями: x-2 = Xi +1—1(R-)2, x-2 = Xi +-1 (R2 )2.

m- m-

Далее в момент времени T2 в точке X2, где

^_mlm-(x2 -xi)(R- "Mi) v _ r .RMlT T--~-, x - — x- +--t -, ле-

- - - 2 ri r- (m- "mi)

Mi

1 1 1 ; ft I I I . IЧ1 %

1 1112 2 2

вый фронт волны разрежения x = xf2 догоняет ударную

волну x = xij , и устанавливается новое распределение (рис. 2d). После взаимодействия уравнения движения левого фронта волны разрежения x = xf2 и ударной

волны x = xi изменяются и становится следующими xj = X- + Di(t-T-) , D- = R- , x2-= X- + (t-Tf)m-. Отметим (рис. 2d), что в момент времени t = T2 уже

произошло разделение смеси на отдельные компоненты. Дальнейшая эволюция происходит по одной из следующих схем: правый фронт волны разрежения x = x- догоняет ударную волну x = xf или правый фронт волны разрежения x = x-2 догоняет ударяю волну x = x- . Какое событие произойдет раньше, зависит от значений jul, m2, R- , R- . Будем считать, что выполнено неравенство

(R- -mi)-(R- -m2) ^ (m- -mi)(R" -mi)(R- -R-). Тогда в точке X3 в момент времени Т3, где

T3= mm-(x--x-XR— -Ri-) , x3 = x2 + RT, проис-

R"R"(R"-mixR- -m-) ходит взаимодействие правого фронта волны разрежения x = x22 и ударной волны x = x- (рис. 2e). Ско-

2

рость и уравнение движения ударной волны x = xj2

Im (x-x,) T-T

имеют вид

x;

D- = m- ^ m2(^) - м-

Т3 -Т-г-тх ' г-тх '

2 = х- + ^л2('-т-) ^хз-х- -4л2(Тз -Т-))2.

Наконец, в точке (т4, х4 ) , где г _ Л-Л2(х2 -х-)(—2 -л) ^ , (—Г)2 ^

Т4 _ , X 4 х- + Т4,

—2 (¡2 - Л- )(—- - Л- ) Л-

сталкивается правый фронт волны разрежения х = х-c ударной волной х = х-. Распределение принимает вид, представленный на рис. Скорость и уравнение движения ударной волны х = х- равны

2

ч

/

/

a

e

А = 3 и!3^^

х] = Х1 + + л/X4 _ Х1 _ л/зТ4^ •

Финальное распределение концентраций и инвариантов Римана представлено на рис. 2£

Начальное распределение и0 > 0, и0 > 0

Процесс разделения двухкомпонентной смеси при и0 > 0, и0 > 0 представлен на рис. 3. Этапы эволюции аналогичны предыдущему случаю.

Отметим, что в точке (Х1 ,Т) происходит взаимодействие волны разрежения и ударной волны, в результате чего возникает еще одна волна разрежения Е^ (2) и постоянное по х решение Е*. Затем в точке (X2, Т2) правый фронт волны разрежения х = х\ достигает

ударной волны х = х^ , после чего происходит разделение смеси на отдельные компоненты. Далее после взаимодействия ударных волн с волнами разрежения в точках (X3,Т3) и (X4,Т4) получаем финальное распределение концентраций и инвариантов Римана. Здесь

j _ M\Mi( x2 xi) х = х + 1 R-R2 (3 - R-) ' 1 2

_ 3i32(X2 - Xi)(32 - Rl- ) T2 '

(R-)2R2 t

з1з2 1 MlR2

T3 =

T4 =

R1 R2 (32 -31)2 ,

332( x2 -x1)(32- —1)

R1 R2 (32 -31)(32- R2 )

3132 (x2 -x1)( —2 - R1 )

X 2 — x2 + 31 2 T2 ,

32

X3 = x2 + ^ T , 32

X 4 — X1 + R1 T4.

Е1 Е2(м2 "ЕГ)(м1"Е1)

Приведем уравнения движения ударных волн, волн разрежения и автомодельные решения, соответствующие рис. 3Ь - f•

Для рис. 3Ь х] = хг + Д/, = Е2 , х]2 = хг + Б2/,

3

D2— , ВД = I3132z , R2(z) =J3z

R

2

_ _ (x-X2) , x + (RD2R2 . 1 — x +31R- .

z — , x^ x^ + t , xp + ' ,

t

xl x2 +

(R-)

З2

З1З2

2

З2

2

t , x, — x2 +3 .

1 I x — Хл * Для рис. 3c R1 (z) — ^3z , z —-1, R1 — R1 (z) —

Л2

t-T

J

332 R-

z , z —

_ *

D — —-r1-

32R2 , |X1 - x2 32R2T1 t V 31t

x, — x9 +

31

y~t

xi— X1 + ^(Rf)2, x^ — X1 + ^(R-)2. 31 31

Для рис. 3d xs2= X2 + D2(t-T2), D2 — R2 ,

x^ — X1 + (t-T1)31.

Для рис. 3e x^ — x2 + {j 3t +ijX3 - x2 -^32T3 J*,

jf

d2— 32 - 32

Для рис. 3f

X1 +^31(t- T1)- V31(Tt -T1) +V x 4- X1 )2

xS —

D1 — 31 + J3X^X)-3,'^

t-T1

t-T

fi-яГ'

-- --Ц

1 l\ "2 1 v ,

г «г A -

ft A'-Ü-

ui

XI -в, в; - Ч. Й2- 1 V ^ 1 1 1 V -

Ul ui-ЯГ Xs xfix^xl XrO 2

ДГ \ Й2 к?

Xg Хм Xrj X

«.- AiÜ

U1

ЯГ

ft Ail

L.

'Ri 1

Г'

■ffii

I I

A.

л,-

i.

flsl

i i

_3l

4

f

Рис. 3. Разделение двухкомпонентной смеси при и0 > 0 , м° > 0

Начальное распределение и0 < 0, и0 > 0

Процесс разделения смеси, состоящей из двух компонент, в случае, когда и0 < 0, и0 > 0, показан на рис. 4.

Эволюция начальных разрывов (рис. 4а) приводит к распределению (рис. 4Ь). Ударные волны (хх) движутся со скоростями Д , Б2 в соответствии с урав-

r-r-

нениями xj — x2 + D1t, d1 — —1——

xj — x1 + D2t,

a

c

d

e

ч

/

2

/

d2 —

_ R R-

Vi

Волны разрежения имеют вид

Яг(¿) = ^/~2 , где ^ = (х-хг)/^, г = 1,2. Левый и правый фронты волн разрежения движутся по сле-

1 1 (Я1)2

1: X1 = хГ + / , хг = хГ + - *

Скорость и уравнение движения ударных волн приведены ниже. Для рис. 4d к = 1. Для рис. 4е к = 2 .

'£+1 -хк ) -ukVTk+Г)'

Dk = (Xk

x = Xu +

{[Ük* +VXk+i ~xk - ylüTk+i )2 •

дующим законам:

Vi

Начальное распределение u0 > 0 , u0 < О

Ti =

(R-)2 ü2

_ ÜÜ2 (X2 ' -x1)

t, xr = x2 + v2t • В точке (X1,T1), где

Начальное

о

X1 = x1 +

R- R-ü

происходит

Я Я-/ -/1)

взаимодействие двух ударных волн, в результате чего возникает распределение (рис. 4с). После указанного взаимодействия уравнения движения ударных волн изменяются = х1 + В, (/-?!), = Я- г = 1,2.

Как видно из рис. 4с, в момент времени / = Т1 произошло разделение смеси на отдельные компоненты. Дальнейшая эволюция, представленная на рис. 4d, 4е, является результатом взаимодействия ударных волн и волн разрежения в точках (X2,Т2) и (Х3,Т),

распределение, соответствующее и0 > 0, и0 < 0, показано на рис. 5а.

Приведем уравнения движения ударных волн, волн разрежения и автомодельные решения для рис. 5Ь

XS = X, + Dt,

D — R-

i = 1,2,

z — -

R,( z) =

ÜiR-Ü2

_ ÜÜ

R'( z)i z.

j-, ,(R-)2R-f

R-

ÜÜ

Ü R-Vi

Ri-(R-)2. üü '

где T =

_ ÜÜ2(x2 -x1)(R2 ~Ü\)

T =

R1 R2(Ü2 "Ü)(R1 -Ü1) _ ÜÜ2(x2 ~x1)(Ü2 ~R\) R-R-(Ü2 "üXü -R-)

(R-)2

-X 2 — x' +--T2 ,

X 3 = x2 +

Vi

(R-)2 Ü2

И.

и., «1

Ii

12

T

/'1

Ml U2

" - 1—г

m-n, f 1 l

ВГ 1 1 iV

X 1 л2 Ж2 X1 J J-

C2-H"

lij

я. А

№

/Й21

«2

№

|ЛГ

I

Iii,

J_LA

b

Ul j 1 14

1 ' '

m л,

й,

Ri Ш

2 12 2 Xa iTs X[ xr

Mi /R

|ЛГ (_

4 qi

_L

В

Рис. 5. Разделение двухкомпонентной смеси при u0 > 0 , u0 < О

точке (Xj,T), где

_ ÜiÜ2( x2 ~xi)

Ti

X1 — x +

R-R-)2 VÜ2

T,

Ri R2 (R2 - Ri ) происходит взаимодействие двух

j-i-к;

Жц iC., ^

Uj

R, IV

:Г j 3 ■■

c

Ri AHi

R£JR2

U_L

_

"2

H- П

X X2 X2

d

R,. A^

Д7

_X

ß, AHi

L

_iL

1, 1,

Рис. 4. Разделение двухкомпонентной смеси при u0 < 0 , u0 > О

волн разрежения. В результате возникает задача с начальными условиями, заданными на характеристиках. Для этого случая не сложно построить итерационный алгоритм решения и реализовать его численно [12], однако явные аналитические соотношения записать затруднительно.

Проведено исследование математической модели зонального электрофореза для случая двухкомпонент-ной смеси. В бездиффузионном приближении указанная модель сводится к системе уравнений, тип которых может быть как гиперболическим, так и эллиптическим. При условиях гиперболичности процесс разделения смеси полностью определяется начальным распределением концентраций. В случае, когда коэффициенты влияния концентрации на проводимость имеют одинаковые знаки, т.е. при а1а2 > 0, наблюдается взаимодействие ударной волны и волны разрежения, а в случае а1а2 <0 - либо двух ударных волн, либо двух волн разрежения. Оказывается, что следствием взаимодействия слабого и сильного разрыва является возникновение нового слабого разрыва и постоянного

2

x-x

z

t

t

2

2 _

t

a

a

b

e

по х решения, а результатом столкновения двух ударных волн - изменение их скоростей. Наиболее сложен случай, когда одна волна разрежения догоняет другую. В результате возникает задача с начальными данными на характеристиках, аналитическое (но не численное) решение которой вызывает ряд проблем.

Представленные в статье результаты являются частью общей математической теории разделения многокомпонентных смесей электрическим полем, поскольку исследуют финальную стадию разделения любой смеси. Несмотря на простоту полученных уравнений, не всегда возможно записать аналитическое решение. В частности, не удалось получить такое решения для случая взаимодействия двух волн разрежения, в то же время в случае взаимодействия двух ударных волн, а также ударной волны и волны разрежения аналитические решения получены для каждой стадии процесса разделения смеси. Таким образом, в указанных случаях можно проследить эволюцию всего процесса разделения смеси: от помещения веществ в электрофореттическую камеру до ее разделения на отдельные зоны.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 07-01-00389, РФФИ 07-01-92213-НЦНИЛ и гранта Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» 2.1.1/6095 (2009-2010 гг.).

Литература

1. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Юдович В.И. Математическая теория электрофореза: Применение к методам фракционирования биополимеров. Киев, 1983. 202 с.

Поступила в редакцию_

2. Mosher R.A., Seville D.A., Thorman W. The Dynamics of Electrophoresis. N.Y., 1992. 236 p.

3. Жуков М.Ю. Массоперенос электрическим полем. Ростов н/Д, 2005. 215 с.

4. Moore G.T. Theory of isotachophoresis. Development of concentration boundaries // J. of Chromatography. 1975. Vol. 106, № 1. P. 1.

5. Алексеевская Т.В. Исследование квазилинейных уравнений, возникающих в задачах электрофореза // Функциональный анализ. 1983. Т. 17, № 3. С. 63.

6. Константинов Б.П., Ошуркова О.В. Экспрессный микроанализ химических элементов методом движущейся границы // Докл. АН СССР. 1963. Т. 148, № 5. С. 1110.

7. Константинов Б.П., Ошуркова О.В. Микроанализ аминокислот по подвижностям ионов // Докл. АН СССР. 1967. Т. 175, № 1. С. 113.

8. Жуков М.Ю., Юдович В.И. Математическая модель изотахофореза // Докл. АН СССР. 1982. Т. 267, № 2. С. 334.

9. Жуков М.Ю. Нестационарная модель изотахофореза // ЖВМ и МФ. 1984. Т. 24, № 4. С. 549.

10. Haglund H. Isotachophoresis // Sci. Tools. 1970. Vol. 17, № 1. P. 2.

11. Методы практической биохимии / под ред. Б. Уиль-яиса, К. Уилсона. М., 1978. 270 с.

12. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М., 1978. 668 с.

13. Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation law II // Comm. Pure Appl. Math. 1957. № 10. P. 537.

14. Ферапонтов Е.В., Царев С.П. Системы гидродинамического типа, возникающие в газовой хроматографии. Инварианты Римана и точные решения // Мат. моделирование. 1991. Т. 3, № 2. С. 82.

15. Царев С.П. Геометрия гамильтоновых систем гидродинамического типа. Обобщенный метод годографа // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1990. Т. 54, № 5. С. 1048.

5 ноября 2009 г.