Исследование уравнений мелкой воды на поверхности неподвижного цилиндра Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ НА ПОВЕРХНОСТИ НЕПОДВИЖНОГО ЦИЛИНДРА

© 2014 г. М. Ю. Жуков, А. М. Морад, Е. В. Ширяева

Жуков Михаил Юрьевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: zhuk@math.sfedu.ru. Морад Адель Мохамед - ассистент, кафедра математики и компьютерных наук, Менуфия университет, 32511, Египет; аспирант, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, email: dr_adel_morad@yahoo.com.

Ширяева Елена Владимировна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, 344090, г. Ростов-на-Дону, e-mail: shir@math.sfedu.ru.

Zhukov Michael Yurievich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Department of Calculus Mathematics and Mathematical Physics, Institute for Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: zhuk@math sfedu.ru.

Morad Adel Mohamed - Assistant, Department of Mathematics and Computer Science, Menoufia University, 32511, Egypt, Post-Graduate Student, Department of Calculus Mathematics and Mathematical Physics, Institute for Mathematics, Mechanics, and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: dr_adel_morad@yahoo.com Shiryaeva Elena Vladimirovna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Calculus Mathematics and Mathematical Physics, Institute for Mathematics, Mechanics and Computer Scienc of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: shir@math.sfedu.ru.

Поведение тонкого слоя несжимаемой идеальной жидкости возможно хорошо моделировать при помощи уравнений мелкой воды. В случае, когда уравнения имеют гиперболический тип, дополнительные упрощающие предположения о параметрах задачи позволяют сконструировать функцию Римана - Грина и построить решение в неявной форме. Указанная функция представима в виде некоторой комбинации полных эллиптических интегралов, что потребовало при анализе решений использования численных методов. В частности, в работе представлены результаты вычислений, описывающие влияние некоторых начальных возмущений поля скорости и поведение свободной поверхности тонкого слоя жидкости.

Ключевые слова: уравнения мелкой воды, функции Римана - Грина, инварианты Римана.

The behavior of thin liquid layer of an incompressible ideal fluid can be simulated by the shallow water equations. In the case when the equations are of hyperbolic type, additional simplifying assumptions on the problem parameters allow to construct the Riemann - Green function and construct the solution in implicit form. This function can be represented in the form of some hypergeometric functions that require numerical methods for analyzing solutions. In particular, the results of calculations which describe the effect of some initial perturbations of the velocity field and the behavior of the free surface of the thin liquid layer are presented.

Keywords: shallow water equations, Riemann - Green function, Riemann invariants.

Движение слоя жидкости на внешности покоящегося цилиндра, как правило, обусловлено возмущениями свободной поверхности слоя, некоторым начальным полем скорости и существенно зависит от возникающей при движении центробежной силы. Для описания поведения жидкого слоя получены уравнения, аналогичные уравнениям мелкой воды, роль поля тяжести в которых играет центробежная сила. Структура уравнений в зави-

симости от параметров задачи допускает как гиперболический тип уравнений, так и эллиптический. Для исследования задачи с начальными данными использованы различные подходы - классический метод годографа (см., например, [1]), метод годографа на основе законов сохранения [2], функция Римана - Грина для линейного гиперболического уравнения в частных производных второго порядка [3, 4].

*Работа выполнена при поддержке базовой части проекта 213.01-11/2014-1 Министерства образования и науки РФ, Южного федерального университета, и гранта правительства Египта.

Уравнения мелкой воды на поверхности цилиндра

Предположим, что на поверхности бесконечно длинного цилиндра имеется тонкий слой идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей. Для описания поведения такого слоя используем уравнение Эйлера и уравнение неразрывности в безразмерных переменных, записанные в цилиндрической системе координат

те (9, t) = (R, е, tR +Ve (R, 0, t),

du v2 _ dt r r'

d (rv) dt

d д

~Pe:

(1)

n d д д v д (ru)r + ve = 0 , — =--+ u--I---.

. 1 д ду 1

= + "Г У ее = °:

r дг дг r

(3)

d (RV) dt

(

+ R

dU dt

V_

R

2 ]

= 0,

(7)

dt дt дг г д9

Здесь (и,у) - скорость; р - давление; а - радиус цилиндра; Я (9,^ - неизвестная функция, определяющая положение свободной поверхности, которая задается уравнением г = Я(9, ?). При Я(9,?) > а слой жидкости находится на внешней поверхности цилиндра, а при Я(9Д) < а - на внутренней.

Условие непроницаемости поверхности цилиндра для жидкости, кинематическое и динамическое условия на свободной границе возьмем в виде

и 1г=а = 0 > = и 1г=Я(9,/) = С2)

т г=Я(9,/)

р(Я(9, ?), 9, t) = П(9,0, где П(9, t) - заданное давление на свободной границе (для простоты П(9, ^ = 0).

Разыскиваем решение, соответствующее потенциальному течению жидкости. Следуя, например, [5] (см. также [6]), недоопределенную задачу для функции тока у

_д Г _д_

dt дг Я д9 .

Система уравнений (6), (7) с учетом (3)-(5), формально являясь замкнутой для определения функций Я (9, t), Г(9, t), включает в себя функцию Т(9, ^, связанную с Г(9, ^ соотношением (4) -суммой ряда по производным переменной 9 . Способы «обрывания» ряда для уравнений мелкой воды описаны в [5]. Обычно используется техника построения многомасштабных асимптотических разложений, связанная с введением переменных "Л = е9 , х = et, где е - малый параметр, характеризующий толщину слоя жидкости. Например, разложение в ряды по е с сохранением членов 0(е ) позволяет получить модель, учитывающую дисперсионные эффекты.

Бездисперсионные уравнения

Рассматриваем простейшую модель мелкой воды, сохраняя лишь члены порядка 0(1). В этом случае в выражении (4) остается лишь главный член ряда, и радиальная компонента скорости на свободной границе обращается в нуль: и = 0. Уравнения (6, 7) для такой модели представляют собой систему квазилинейных уравнений

(ЯГ), + ГГЦ =0, (8)

Я

RRt +ТЛ =0,

V 1г=а =0> ги = -^9 , V = уг, решаем с точностью до некоторой произвольной функции Г (9, t)

\2] +1

I i" 1

т = гг, яг = г , г = 1п-

а

Дальнейшие исследования проводятся лишь для внутренней поверхности цилиндра при Я < а, когда уравнения (8) имеют гиперболический тип.

Замена переменных позволяет записать (8) в консервативной форме

St + (Г ln S\ =0 ,

Г +

2S

v /

= 0.

(9)

R2 = a2S,

F = а2Г.

, V а „ д 27

У(г, 9,t)= 2 (-1) 7 4 ^ .,--27Е(0,t). (4)

7=0 (2 7 +1)! да2-7

Используя обозначения для функций V, и, V при г = Я(9,1):

Т(9, ?) = у(Я(9,О, 9,1), (5)

и (9,0 = и(Я(9,?), 9,1), Г (9,0 = у(Я(9,1), 9,1), с учетом (1) представим условия (2) на свободной границе в виде [7]

ЯЯ1 + Т9 =0 , (6)

Уравнения (9) приводятся к инвариантам Рима-

на

Rl +X1(R1, R2)R0 =0, R2 +A2(R1, R2)RQ =0,

^ = -(l +1 y]expl x +1 y2 I,

x2 =-(1 - i y ] exp(x+1 y2

(10)

x = R1 + R2,

y = R1 - R2.

л

Связь величин S , Г и инвариантов Римана R1.

R имеет вид

R1 =1 (in Г + V- 2ln 5), R 2 =i (in Г-V- 2 in 5),

(12)

1>> 2

5 = е 2 , Г = ех .

Построение решения методом годографа

Для построения решения уравнений способом, предложенным в [2], сконструируем закон сохранения

ф' + =0 ,

где плотность ф' и поток у' определяются реше-

нием задачи

X1 п. ф ] X2 , ф 2

d 2 R1 D1 R2

ф + R2"R1 R R2 =0

Vr2 ~Xr-Xr~~XR~-Xr~ :

X2!1 , w > X1!2 . w 9

c>2 R1 d1 T R2

r 2 R1 w R1R2 XrR-x^"

R1 R2

X1 -X2

= 0.

(V - ху) 1Л1 =г1 = 1, (V - хУ ) 1Л2=г2 = -1 •

В работе [7] показано, что в случае задачи Коши для исходных уравнений с начальными данными при t = const достаточно построить функцию Ри-12 12

мана - Грина ®(R , R | r , r ) для уравнения

ФЛ1Л2 + A(R\R2)%1 + B(R\R2)^r2 =0, (13)

A = R

B = —

X1 -X2 ' X1 -X2'

12 12

Если Ф(Я , Я | г , г ) известна, то выражение для плотности ф' имеет вид

т'(»1 2Ф(Я1, Я2 | г1, г2)

Ф(Я'Я |Г ,Г 1 2, Л, 1 2, '

X (г , г ) - X (г , г )

или в случае уравнений (10)

ф' (Я1, Д2|г', г 2)=2Ф(Я';Яг1г',г 2) х (14)

г1 - г 2

X exp| -| (r1 + r2) + 1(r1 - r2)2 Вычисляя с учетом (11) коэффициенты 2

A(R\R2), B(R\R2), получим

2Л_ 1 - У - У2

A(R1, R2) =

2 У

(15)

B(R1, R 2) = -1 - У + У

2 У

У = R1 - R2

Решение задачи Коши методом годографа дает выражение [2]

'(а,Ь) = 'о +1V(Яд(9),Яо2(9) | г1,г2)аВ ,

2 а

г1= Я0(Ь) , г2= Я2 (а) , 1 2

где Яо (9), Я0 (9) - начальные данные для инвариантов Римана, заданные при ' = 'о; а, Ь - некоторые параметры.

Дальнейшее решение строится по схеме, приведенной в [7]. Фиксируется некоторая изохрона '(а*,Ь*) = '*, на которой определяются параметры а, Ь как функции параметра т : а = а(т), Ь(х). Определяется зависимость пространственной координаты 9 = 9(т) от параметра т на изохроне и окончательно находится решение Я1(9,'*) = г1(Ь(т))= 4(Ь(т)) ,

Я2 (9, '*) = г2 (а(т)) = Я2 (а(т)). При этом для определения а = а(т), Ь(т), 9 = 9(т) следует решать, в рассматриваемом случае численно некоторую задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Приближение для функции Римана - Грина

К сожалению, явный вид функции Римана -Грина уравнения (13) для коэффициентов (15) построить не удается. Однако если ограничиться рассмотрением тонкого слоя жидкости, когда 5 «1, то в соответствии с соотношениями (12) величина Я1 - Я2 « 0, и хорошим приближением являются коэффициенты

А(Я\ Я2)= 1

2(R1 -R2)'

B(R1, R 2) = - 1

2(R1 -R2) '

(16)

Для построения приближенной функции Римана -Грина полагаем, что коэффициенты заданы соотношениями (16), и используем результаты работы [3], которые позволяют найти явный вид функции и

записать выражение (14) для ф'(Я1,Я2 | г1,г2) в

форме

1 , (R1 - R2)1/2 (f. 1 о 1 1 о 2 ^ ф' = (. 1 „2,з/2 ехР| -1 (r1 + r 2) + ^1(r1 - r2)2

(r1 - r 2)3

XFI -^l;!-*

(R1 - r1)(R2 - r2) z---,

(R1 - R 2)( r1 - r 2)

где F - гипергеометрическая функция, которая в рассматриваемом случае представима в виде полных эллиптических интегралов Е, К

+

2

1

X

X

2

1

r

X

f (3,-1;1,-* ] = -V 2 2 ) nyf\ + *

K

VT

+*

+^ e

(

Г=

л

лЯ

+ z

Вычислительный эксперимент

Приведем пример эволюции начального положения свободной поверхности слоя жидкости Б и распределения поля скорости, точнее, величины Г

Б\,=0= 0,9 ; Г =0= 0,1 + 0,01о^29, которые соответствуют невозмущенной внутренней поверхности цилиндра и слабому возмущению некоторой постоянной скорости. Величины Б и Г в моменты времени ^ = 29,675 , 51,606 , 81,273 приведены на рисунке, пунктирные линии соответствуют начальному распределению. Реально координата изменяется на интервале 0 <9 < 2л, но графики приведены для интервала (—2л,2л), чтобы легче следить за периодичностью решения.

Л ! ;

Г / * V

:О.ЧО \ 1 1 1 \ 1 :

1» «ж 1 1

! Т :/ Л ;о v» \1 1 1 I 1 \ I

-Э.77 1 2*> > > I j L i

я j j f

1 »T \

: \

I» V» Г i ! | J i

»77 ! 1 2л ! j 1 Ä | » 77

Я! О öt*2 {

о эд \ r

г / \f

О V* f 1 : V Vi :

[ 77 1-1 2л » ! !

Б(х, t) - а, Г(х, {) - б в различные моменты времени

На начальных этапах периодическое возмущение скорости влечет периодическое возмущение поверхности, а при ^«51,606 происходит «опрокидывание» профиля свободной поверхности -возникновение многозначности решения, что для рассматриваемой задачи физически оправдано.

Заключение

Для описания поведения слоя жидкости на поверхности неподвижного цилиндра получены уравнения, аналогичные уравнениям классической мелкой воды, в которых роль поля тяжести играет центробежная сила, возникающая при течении слоя жидкости по поверхности. Уравнения модели в случае внутренней поверхности цилиндра имеют

+

л

б

а

гиперболический тип. Для численного исследования задачи применен эффективный метод, позволяющий, в частности, построить многозначное решение, отвечающее опрокидывающимся волнам. В основе этого метода лежит конструирование функции Римана - Грина для некоторого линейного гиперболического уравнения с переменными коэффициентами. Наличие явного выражения для функции Римана - Грина по существу и определяет эффективность метода. Несмотря на то что для рассматриваемой задачи точное значение функции Римана - Грина отсутствует, удалось использовать некоторое ее асимптотическое представление. В качестве примера поведения движения слоя жидкости приведено численное решение, соответствующее периодическому возмущению поля скорости для невозмущенного профиля свободной поверхности. Результаты расчетов показали, что указанное периодическое возмущение для выбранных параметров описывает возникновение опрокидывающихся волн, которые, в частности, порождают сложный многозначный профиль свободной поверхности жидкости. Приведенный пример является лишь частью обширного вычислительного эксперимента для исследования различных форм возмущений полей скорости и свободной поверхности. Указанный численный алгоритм позволяет строить для задачи о поведении слоя жидкости на поверхности неподвижного цилиндра решение практически для любых гладких начальных данных. Осо-

Поступила в редакцию_

бенно отметим, что без труда строятся многозначные решения, которые весьма затруднительно получить, например, методом конечных разностей или методом конечных элементов.

Литература

1. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квази-

линейных уравнений. М., 1978. 668 с.

2. Senashov S.I., Yakhno A. Conservation laws, hodograph

transformation and boundary value problems of plane plasticity // SIGMA. 2012. Vol. 8, № 071. 16 p.

3. Copson E. T. On the Riemann - Green Function // Arch.

Ration. Mech. Anal. 1958. Vol. 1. P. 324-348.

4. Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ обыкновенных

дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // УМН. 1992. Т. 47(286), вып. 4. С. 83-144.

5. Овсянников Л.В., Макаренко Н.И., Налимов В.И., Ов-

сяников Л.В., Монахов В.Н. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. М., 1985. 319 с.

6. Zhukov M. Yu., Morad A.M. Thin Film Motion of an

Ideal Fluid on the Rotating Cylinder Surface // arXiv:1303.2327. 2013. Vol. 1. 10 p.

7. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Метод годографа для

решения задачи о движении двухкомпонентной смеси под действием электрического поля // Современные проблемы механики сплошной среды : тр. XVII междунар. конф. Ростов-на-Дону, 14-18 окт. 2014. Ростов н/Д, 2014. С. 14-18.

1 октября 2014 г.