Движение слоя идеальной несжимаемой жидкости на внешней поверхности вращающегося цилиндра Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5 DOI 10.18522/0321-3005-2015-4-49-55

ДВИЖЕНИЕ СЛОЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА ВНЕШНЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРА*

© 2015 г. М.Ю. Жуков, А.М. Морад

Жуков Михаил Юрьевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: zhuk@math.sfedu.ru

Морад Адель Мохамед - ассистент, кафедра математики и компьютерных наук, Менуфия Университет, 32511, Египет; аспирант, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: dr_adel_morad@yahoo.com

Zhukov Mikhail Yurievich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Department of Calculus Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: zhuk@math sfedu.ru

Morad Adel Mohamed - Assistant, Department of Mathematics and Computer Science, Menoufia University, 32511, Egypt; PostGraduate Student, Department of Calculus Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: dr_adel_morad@yahoo.com

Для идеальной несжимаемой жидкости получены уравнения мелкой воды, описывающие движение слоя жидкости на поверхности вращающегося цилиндра. Показано, что уравнения подобны модифицированным уравнениям Буссинеска для мелкой воды и в более грубом случае - уравнению Кортевега - де Вриза, коэффициенты которого учитывают тот факт, что свободная граница слоя жидкости не является плоской поверхностью. Роль поля тяжести в данных уравнениях играет центробежная сила. Для вывода уравнений использованы обычный метод многомасштабных асимптотических разложений и метод построения амплитудных уравнений.

Ключевые слова: модель Буссинеска, уравнение Кортевега - де Вриза, кноидальные волны.

For an ideal incompressible fluid the shallow water equations describing the motion of the fluid layer on the surface of a rotating cylinder are obtained. It is shown that the equations are similar to the modified Boussinesq equations for shallow water. In other case these equations are similar to the Korteweg-de Vries equation whose coefficients take into account the fact that the free boundary of the liquid layer is not a flat surface. In these equations the role of the gravity plays centrifugal force. For the derivation of the equations the method of multiscale asymptotic expansions and method of the amplitude equations are used.

Keywords: the modified Boussinesq model, Korteweg-de Vries equation, cnoidal waves.

Поведение слоя несжимаемой идеальной жидкости с достаточной степенью точности моделируется решением уравнения мелкой воды. Классические уравнения мелкой воды получаются на основе уравнений Эйлера для несжимаемой жидкости в предположении потенциальности течения (см., например, [1-4]). Существенную роль при этом играет наличие поля тяжести.

Основная цель данной работы — построение соответствующих уравнений мелкой воды для случая, когда на внешней поверхности вращающегося с постоянной угловой скоростью бесконечно длинного цилиндра имеется слой жидкости. Роль поля тяжести при этом играет центробежная сила. Использование метода многомасштабных асимптотических разложений позволяет построить аналог уравнений мелкой воды — уравнения Буссинеска и уравнения Кортевега — де Вриза (КдВ).

Известно, что достаточно тонкие слои жидкости на поверхности цилиндра описываются уравнениями так называемой опрокинутой мелкой воды, или мелкой воды на потолке, которые имеют эллиптический тип (см., в частности, [5—7]). Решения таких уравнений неустойчивы во времени и за конечный интервал времени уходят на бесконечность (взрываются). Заметим, что на вогнутых поверхностях имеет место обратный эффект - «прижимание» жидкости к поверхности. В работе показано, что для толстых слоев жидкости, радиус поверхности которых г>ае, где а — радиус цилиндра; е — основание натурального логарифма, уравнения принимают гиперболический тип. Физически это означает, что достаточно массивный слой жидкости не может оторваться от цилиндра. На поверхности такого толстого слоя жидкости возможно возникновение волновых движений. Оказалось, что волны

*Работа выполнена при поддержке базовой части проекта 213.01-11/2014-1 Министерства образования и науки РФ, Южного федерального университета, и гранта Правительства Египта.

могут возникать лишь при достаточно ограниченном наборе параметров задачи, в частности, когда первоначальный радиус свободной поверхности слоя г = с удовлетворяет некоторым неравенствам.

Постановка задачи и основные уравнения

Предположим, что на поверхности вращающегося с постоянной угловой скоростью бесконечно длинного цилиндра имеется тонкий слой идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей (рис. 1). Для описания поведения слоя используем уравнения Эйлера и неразрывности в безразмерных переменных, записанные в цилиндрической системе координат

du г2 dt г

(1)

(К' т 1 ё д 5 5

— + — = —рв , — = — + и — +--, (2)

dt г г dt Ы дг г дв

Ст\. +Ув=0, Б = {а<г< ЩвЛ\ 0<в< 2л}. (3)

Здесь Б - область, заполненная жидкостью; (и, V) - скорость; р - давление; а - радиус цилиндра; Я(вЛ) ~ неизвестная функция, задающая положение свободной поверхности.

Рис. 1. Жидкая пленка на поверхности цилиндра

Условия непротекания жидкости, кинематическое и динамическое условие на свободной границе возьмем в виде

и = 0, г = а, (4)

— {r-R{6,t)) = 0, г = R(0J), dt

(5)

р = п(0,о, г=щв,о, (6)

где \\(вл) — заданное давление на свободной границе; уравнение г=11(вЛ) задает свободную поверхность жидкости.

Связь между размерными и безразмерными переменными задаем соотношениями (размерные переменные отмечены звездочкой) t = il l , /; = R,r,

{ii У) = пдм , P. = PMR; P .

Здесь Ц,, R . p, - размерные величины характерной угловой скорости, размера в радиальном направлении и плотности.

Модель течения с постоянным вихрем

Разыскиваем решение, соответствующее течению с постоянным вихрем скорости со [1,2]

г со = (rv)i - гив, со = 2Q = const.

Введем функцию тока у/ ги = -у/в, V = <//,.. (7)

Для определения у/ имеем задачу

1 д дш 1 г or or г

= 2П.

(8) (9)

у/ = 0, г = а.

Краевая задача (8), (9) для у/ недоопределена, и решение может быть получено лишь с точностью до некоторой произвольной функции. Заметим, что (8) соответствует уравнению неразрывности (3), а краевое условие (9) является условием непротекания жидкости через поверхность цилиндра (4).

Нетрудно показать, что решение записывается в виде [2]

7=0

(2/ + 1)! дв2]

■FW), (Ю)

1 п г

</„(/•) = -П(/-2-а2), z = ln-,

2 а

где 1(6.1) — некоторая неизвестная функция; (//0(г) соответствует твердотельному вращению жидкости.

Введем обозначение для функции тока на свободной границе

x¥W) = ИRW)At)■ (11)

Тогда кинематическое условие (5) на свободной границе можно записать в виде

ж,+ч>в = о, чв=¥г{КЛ№в+уЖвл). (12)

Используя динамическое условие на свободной границе (6) и уравнения (1), (2), получим

d (rv) dt

+ Ra

da dt

= -Пв, r = R(ß, t).

(13)

Система уравнений (12), (13) с учетом (7), (10), (11) является замкнутой системой уравнений для определения функций R{вJ), ¡'(в.I).

г

2

V

г

issn 0321-3005 известия вузов. северо-кавказский регион. естественные науки. 2015. № 4

Длинноволновое приближение

Используя обычную технику построения многомасштабных асимптотических разложений и ограничиваясь лишь главными членами асимптотических разложений, введем быстрые переменные г/, г и обозначения

т = г] = ев, и -^аи, (14)

где а ~ малый параметр, связанный с толщиной

слоя жидкости.

В этом случае уравнения (12), (13), (7), (10), (11) перепишутся в виде

Щ+У=0, (15)

d(rv) „ [ 7 du v

- + R е---

2 Л

= -П , r = R(fj,t), (16)

dz { dr r

/

где с точностью до членов порядка 0(£4)

1

Z

4>(л, T) = -q.(r1-Cl1)+ zf-S1— f + 0(s4)

2

3!

1 r 7 1 r

z = ln—, z = ln— .

+ 0(£4):

следует помнить, что — = rt + rr/ — = rt + — r^ = u,

rr +qkr + zf =£2i —f " I 3!

3 Л

A

, Z = lnR , (18)

a

fr +1 -2qzf - — cï2r2 + qf + — \ = 2 2 R

(19)

( z2 „ z2f2 z2

= £

2

2r2 2 ""{ r2 3!

Если пренебрегать членами порядка 0(£2) (т.е. дисперсионными членами), то получится система гиперболических уравнений, записанная в консервативной форме

1

-r2

1

-or +zf =0

(20)

а а

Выражения для компонент скорости с учетом (10), (7) и замен (14) имеют вид

г3

-ги=ууп=2Рл-£2-Рпщ+0{£4),

У1

ГУ=ГуУг=Пг2+Р-£2—Р1т+0(£4).

Введем обозначения для компонент скорости на свободной поверхности:

73

-Ш = = -е2 — ^ +0(£4),

Z2

RV = т],Т) = (Ж2 + F-£•2 —Рт + 0(е4).

Тогда уравнение (16) можно записать в форме

= (17)

<1т \ dт R ) " 4 ^

Здесь и далее предполагается, что давление вдоль свободной границе не изменяется, т.е. 1= 0 .

Подчеркнем, что при дифференцировании в (17)

dт

ёт т " ёт R "

После соответствующих подстановок уравнения (15), (17) примут вид (аналог уравнений Буссинеска для мелкой воды)

fr +1 -2q.zf - — cï2r2 + qf + — -^у | = 0 . (21) 2 2 r

Уравнение КдВ

На основе уравнений Буссинеска (18), (19) строим амплитудное уравнение, которое в теории мелкой воды известно как уравнение КдВ [2]. Один из вариантов построения амплитудного уравнения заключается в конструировании некоторого решения в окрестности характеристик уравнений низшего приближения (20), (21) [8], что приводит к упрощению модели. Естественно, при таком упрощении систему (18), (19) следует рассматривать как новую исходную систему уравнений. Для того чтобы подчеркнуть такую независимость, далее используются два малых параметра - новый ¡л и « 2

старый £ , которые впоследствии связываем друг с другом.

Нетрудно показать, что два характеристических направления Лк системы (20), (21) записываются в

виде \ = П(1 + 2Г0-21п^ (1пЛ,,-(Г0+1)2)1п, R = , 111 1 = I 0О, и область гиперболичности системы (вещественность Як) определяется неравенствами

|Г0+1|<(1п^)1/2, Д0>1, 0>0. (22)

Рассмотрим наиболее интересный с нашей точки зрения случай, когда невозмущенная свободная поверхность представляет цилиндр радиуса с > а и отклонения свободной поверхности от цилиндра достаточно малы (рис. 1).

Я{г], т) = с( 1 + /ик{т], т))>а. (23)

Здесь ////(//. г) - функция, характеризующая отклонение от поверхности; г = с; ¡л — параметр, характеризующий малость отклонения.

Свяжем между собой два малых параметра е и /л и сделаем предположение о малости функции F F(ji, т) = jLiw(r/, т), // = е2. (24)

Такое требование означает, что решение строится в окрестности некоторой характеристики, проходящей на плоскости (R, F) через точку (с,0), и

соответствует случаю, когда отклонение свободной поверхности жидкости от первоначального положения и скорость течения достаточно малы.

Величина Z с точностью до членов порядка 0(jj,2) имеет вид

R с

Z = \n- = Z0+juh + O(ju2), Z0 =ln— . (25) а а

Используя (23)-(25), запишем уравнения Бусси-неска (18), (19) с точностью до членов порядка 0(£2) И 0(ju)

с2 (1 + /лИ)кт + Qc2 (1 + цК)\ + (Z0 + fih)w ;; =

(26)

wT+(-2Q(Z0 +ßh)w)n+ +Пи> +4 », =

" с2 "

(27)

Подставляя (30) в (26), (27) и используя условие разрешимости, т.е. ортогональность левых собственных векторов однородной линейной системы и ее неоднородных членов, после утомительных преобразований, получим уравнение КдВ

Ът+аШ1х+РаОИххх= 0, (31)

а = _3(1-Я0)(1-2/10)

ß =

2Z0/Î0

Z Q + 3Z0 — 6Z 0Àq + 2Л0 — 2

1-2 Л

i_ Zo+ .

(32)

(33)

(34)

Опуская члены порядка 0(е2) и //), получим систему линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами 7

кт+Окп+^м>и =0, м>г-П2с2кп+ (0-20^)^ =0.

Эта система при ^ >1 имеет вещественные характеристики /.,, Л2

\ = 0(1-Zo) + ц/Zo2-Zo ,

4=<Х1-, Zo>1. (28)

Ищем решение (26), (27) в окрестности одной из характеристик, для определенности Л1 используя

метод многомасштабных разложений. Введем новые переменные х, Г и операторы дифференцирования

5 С* 3 3 $ х = г]-Ат, Т = цт, — = ц--Я—, — = —. (29)

дт дТ Зх д т] дх

Решение ищем в виде

к = к\х,Г) + цк\х,Г) + ...,

м> = м>\х,Т) + /ич>\х,Т) + .... (30)

В общем случае функции к, м? зависят от новых и старых переменных: к = к(т],т,х,Т), м> = м{т],т,х,Т), но можно показать, что для получения замкнутой системы уравнений достаточно ограничиться зависимостями только от новых переменных.

Переходя к исходным переменным (14), (23), (29), имеем

Я, + ЛьОНв + аОННв + /ЗаОНш = 0, Н = цН, Я = с(1 + Н). (35)

Полученный результат означает, что уравнения (35) совпадают с обычными уравнениями КдВ, и учет кривизны свободной поверхности осуществляется лишь при помощи постоянных коэффициентов уравнения. Иными словами, это достаточно грубая модель движения слоя жидкости на поверхности цилиндра, и предыдущая модель Буссинеска должна, скорее всего, более адекватно описывать поведение такого слоя.

Периодические решения уравнения КдВ

Уравнение КдВ хорошо изучено, и в частности, известно периодическое решение - кноидальные волны. Для исследования поведения слоя жидкости уравнение (35) удобно записать для радиуса

Кв, 0

с£1

Д, + (Л ~а)011в +-Шв+ Ра£Штв = 0 . (36)

с

Такая форма записи позволяет при необходимости считать величины Я, с, I размерными, тогда как параметры а, Л 0, [>. определенные соотношениями (32)-(34), естественно, безразмерные.

После введения автомодельной переменной (перехода в движущуюся систему координат) решение уравнения (35) записывается в виде

Я({) = Асп2(у,*)+Я1тп, (37)

где 4 = e-Snt:

у-

А

- а( 2 А

S = ~c+

12 ßc

+ Ar, -а.

£

s

Здесь cn (y; s) — эллиптическая функция Якоби; 1 — параметр, характеризующий нелинейность

s

кноидальной волны (0<52 <\ ): А — амплитуда волны; Нти1 — минимальное значение функции ; у — вспомогательная переменная; д — относительная скорость движения волны (относительно твердотельного вращения со скоростью О).

Функция си2(у;я) по переменной у имеет период 2К(я), где К(я) — полный эллиптический интеграл. Длина волны периодического решения (35) по ^ (или в — в неподвижной системе координат) определяется формулой

А = (Ш

А

sA0, A0=2K(s).

(38)

Таким образом, решение задачи при фиксированных значениях радиуса цилиндра г = а и первоначального положения свободной поверхности г = с зависит от трех параметров — амплитуды A, минимального радиуса Яш;п и параметра нелинейности 5.

1. Решение задачи в процессе эволюции должно оставаться в гиперболической области, что приводит к соотношению (22) при Г, ->0 и (25)

ln , 7 =ln - >1.

(39)

а а

2. На интервале 0 < О < 2л должно располагаться целое число волн. В случае т волн на окружности

д _

т

(40)

и

G{A,R^,s)= J (R2-c2)dy =

о

ло

= j((Acn2(y-s)+Rmm)2 -c2)dy = 0 .

(41)

Заметим, что на плоскости (А, ) кривая О = 0 при 0 < я <1 представляет собой эллипс.

Определим из уравнения (38) величину А, которая с учетом (25), (33), (34), (40) зависит от параметров с, т, 5. Подставляя А(с,т,я) в уравнение (41) и решая его относительно , получим

Ятп = Ктп(С ^ т) .

Оказывается, что условия (39) и целочислен-ность параметра т накладывают существенные ограничения на выбор параметра нелинейности волн 5 и первоначальный радиус свободной поверхности

г = с ,

ае<Ятш(с^,т)<с, т = \,2,... . (42)

При я < я =0,16304 и т >1 неравенство (42) никогда не выполняется. Это означает, что при я < я = 0,16304 не существует периодических решений вида (37). При я = я , т = 1 неравенство выполнено лишь для с = с =3,3965434 . Значения яи , си для различных т даны в табл. 1. Обратим внимание, что с хорошей степенью точности ст^с1 и шт « ^ .

На интервале л2 < .V < .V, может существовать лишь волна т = 1. Такая волна существует лишь в случае < с < с^ (табл. 2). На интервале < .V < л\ могут существовать волна т = 2 при

с < с! и волна т = 1 при с!< с < с! и т.д.

Таблица 1

Параметры, при которых возникает т волн

J3 32

3. Масса жидкости должна сохраняться. Закон сохранения массы в рассматриваемом случае записывается в форме

Интегралы от функций сп2(у; я) и си4 (у; я), которые содержатся в (41), вычисляются при помощи формул

2 ^ _2(я2-1Щя) + 2£(я)

/2(я)- \сп (у^Уу----,

о 5

ло о

_ 2((3я4 - 5/ + 2)К(э) + (4я2 - 2)£(,?)) ~ 3? '

Тогда уравнение (41) принимает вид О = 14 (*)А2 + 21 2 (*)АЛтп + 2- с2) = 0 .

m Sm —m S1/Sm

1 0,16304 3,3965434 1,000

2 0,08183 3,3966979 1,992

3 0,05459 3,3967263 2,986

4 0,04095 3,3967363 3,980

5 0,03277 3,3967409 4,975

6 0,02731 3,3967433 5,969

7 0,02341 3,3967449 6,964

8 0,02048 3,3967458 7,959

9 0,01820 3,3967465 8,954

10 0,01638 3,3967470 9,948

11 0,01489 3,3967473 10,943

На рис. 2 в случае я = я6 показано поведение функций (я6, т, с) , А (я, т, с) для т = 5 . Эта ситуация соответствует случаю, когда могут возникать волны т = 6,5,4,3,2,1. На этом рисунке хорошо видна причина, по которой возникает ограничение на изменение параметра с. Неравенство (39) выполнено лишь при условии < с < с^ .

Обратим внимание на интересную особенность поведения с™ , с^ (табл. 2). С хорошей степенью

о

точности (практически совпадают) выполнены соот-

_ _ тп »Vi тп "']"]____/ /

ношения сшш « стМ , сшах « c^J , если т / п = тх / пх.

3 4 5

Рис. 2. Зависимости R . = R ■ (с), А=А(с)

min min v / ' \ /

при s = s6 =0,02731, m = 5, a = 1

Наконец, для некоторого частного случая значений параметров с = 4, s = 0,02731, m = 5, на рис. 3 приведено положение свободной поверхности г = R(e.t). движущееся с угловой скоростью Sil.

При этом Rlmn= 2,9861, А = 19127, ,0 = 8,5445, а = 0,6334 , S = -134,9643 , ^ = 0,3455 , а = 1.

Рис. 3. Свободная поверхность г = Я{9, при я = я6 =0,02731, т = 5

Во избежание недоразумений еще раз укажем, что уравнение (36) в данном разделе считается самостоятельным уравнением и малость величины /¿/7 = (Я/с -1) не требуется.

Получены три модели, описывающие поведение слоя несжимаемой идеальной жидкости на поверхности вращающегося цилиндра. Модель Буссине-ска (18), (19), наиболее точная из них, учитывает кривизну свободной поверхности слоя жидкости. Уравнение КдФ (35) или (36) является грубой моделью, позволяющей произвести учет кривизны лишь при помощи постоянных коэффициентов. Система квазилинейных уравнений (18), (19) в случае ее гиперболичности также позволяет получить информацию о поведении слоя. Несмотря на то что модель (36) является приближенной, она, тем не менее, позволяет построить решение, соответствующее прецессии слоя в азимутальном направления, определить форму свободной поверхности и скорость прецессии.

Приведенные расчеты показывают, что волны на поверхности жидкости возможны лишь в случае я <0,16304. Такое значение параметра является достаточно малым для того, чтобы рассматривать так называемый гармонический предел решений уравнения КдВ (я —» 0), когда кноидальные волны фактически являются гармоническими. Использование разложений в ряды по параметру я позволит существенно упростить формулы (38)-(42).

Таблица 2

Интервалы, на которых возможно различное количество волн

m n < m (cmn -mn ) Vmin ? max/

2 1 (2,7789, 8,2234)

3 2 (2,8381, 5,8994)

3 1 (2,7436, 13,919)

4 3 (2,8823, 5,1736)

4 2 (2,7789, 8,2238)

4 1 (2,7322, 21,385)

5 4 (2,9166, 4,8113)

5 3 (2,8107, 6,6442)

5 2 (2,7555, 10,875)

5 1 (2,7271, 31,015)

6 5 (2,9442, 4,5910)

6 4 (2,8381, 5,8995)

6 3 (2,7789, 8,2239)

6 2 (2,7436, 13,920)

6 1 (2,7244, 43,242)

7 6 (2,9671, 4,4412)

7 5 (2,8617, 5,4627)

7 4 (2,8006, 7,0269)

7 3 (2,7615, 9,9506)

7 2 (2,7367, 17,407)

7 1 (2,7227, 58,555)

Укажем на некоторое расширение результатов работы. Строго говоря, если считать (36) самостоятельной моделью, то условие гиперболичности (39) не является обязательным, и его можно заменить условием Rmin > а, сохраняя при этом неравенство

Z0 >1, которое необходимо для вычисления коэффициентов а. Р при помощи (32)-(34). В этом случае максимальное значение параметра нелинейности s , при котором возможно возникновение волны т = 1, будет .v ~ 0.42. Даже при таком сравнительно большом значением 5 картина эволюции волн существенно не изменится, и они по-преж нему будут близки к гармоническим.

Возможно и дальнейшее развитие результатов. Во-первых, интересно рассмотреть солитонный предел решения (37) при s = 1. В этом случае длина волны Л = 0 (см. (38)), что формально соответствует случаю m = 0 в (39). Во-вторых, можно отказаться от целочисленности параметра m и пытаться строить решения, близкие к разрывным. В принципе, модель «низшего приближения» (20), (21) — это система гиперболических уравнений, записанная в консервативной форме, что легко позволяет записать условие Ренкина - Гюгонио на разрывах. Наличие дисперсионных членов в более точной модели (18), (19) позволит сгладить разрывы решений. В-третьих, модель (36) соответствует амплитудному уравнению в окрестности характеристики Лх (см. (28)) и в предположении, что F = /пг (т.е. достаточно мало (24)). Можно отказаться строить решение в окрестности характеристики Л2, либо отказаться от условия (31), заменив его, например, условием F = —QR2 + //и', что, естественно, приведет к

новым значениям параметров а. Д отличных от заданных формулами (32)-(34).

Литература

1. Ляпидевский В.Ю., Тешуков В.М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. Новосибирск, 2000. 420 с.

2. Овсянников Л.В., Макаренко Н.И., Налимов В.И. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск, 1985. 319 с.

3. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М., 1977. 622 с.

4. Korteweg D., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular channel, and on a new type of long stationary waves // Phil. Mag. 1985. Vol. 5, № 39. P. 422443.

5. Zhukov M.Yu., Morad A.M. Thin Film Motion of an Ideal Fluid on the Rotating Cylinder Surface // arXiv: 1303. 2327. 2013. Vol. 1. 10 p.

6. Жуков М.Ю., Морад А.М., Ширяева Е. В. Исследование уравнений мелкой воды на поверхности неподвижного цилиндра // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2014. № 5. С. 32-36.

7. Morad A.M., Zhukov M.Yu. The motion of a thin liquid layer on the outer surface of a rotating cylinder // European Phys. J. Plus. 2015. Vol. 130. 8 p.

8. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Соли-тоны и нелинейные волновые уравнения. М., 1988. 694 с.

References

1. Lyapidevskii V.Yu., Teshukov V.M. Matematicheskie modeli rasprostraneniya dlinnykh voln v neodnorodnoi zhidkosti [Mathematical models of propagation of long waves in an inho-mogeneous liquid]. Novosibirsk, 2000, 420 p.

2. Ovsyannikov L.V., Makarenko N.I., Nalimov V.I. Neli-neinye problemy teorii poverkhnostnykh i vnutrennikh voln [Non-linear problems of the theory of surface and internal waves]. Novosibirsk, 1985, 319 p.

3. Uizem Dzh. Lineinye i nelineinye volny [Linear and nonlinear waves]. Moscow, 1977, 622 p.

4. Korteweg D., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular channel, and on a new type of long stationary waves. Phil. Mag., 1985, vol. 5, no 39, pp. 422443.

5. Zhukov M.Yu., Morad A.M. Thin Film Motion of an Ideal Fluid on the Rotating Cylinder Surface. arXiv:1303.2327,

2013, vol. 1, 10 p.

6. Zhukov M.Yu., Morad A.M., Shiryaeva E.V. Issledova-nie uravnenii melkoi vody na poverkhnosti nepodvizhnogo tsi-lindra [Study of shallow water equations on the surface of the fixed cylinder]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki,

2014, no 5, pp. 32-36.

7. Morad A.M., Zhukov M.Yu. The motion of a thin liquid layer on the outer surface of a rotating cylinder. European Phys. J. Plus., 2015, vol. 130, 8 p.

8. Dodd R., Eilbek Dzh., Gibbon Dzh., Morris Kh. Solitony i nelineinye volnovye uravneniya [Solitons and nonlinear wave equations]. Moscow, 1988, 694 p.

Поступила в редакцию 26 августа 2015 г.