РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИЗГИБА ОРТОТРОПНОЙ ПЛИТЫ В УТОЧНЕННОЙ ПОСТАНОВКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№3-4 (60-61) / 2017.

УДК 539.3

©2017. Р.Н. Нескородев

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИЗГИБА ОРТОТРОПНОЙ ПЛИТЫ В УТОЧНЕННОЙ ПОСТАНОВКЕ

В статье предложено численно-аналитическое решение задачи изгиба ортотропных плит в уточненной постановке, которое приводится к дифференциальному уравнению шестого порядка. Полученное решение удовлетворяет однородным граничным условиям на плоских гранях плиты и произвольно заданным внешним усилиям по толщине плиты. Проведены численные исследования для бесконечной плиты, ослабленной эллиптической полостью. Ключевые слова: изгиб, ортотропная плита, уточненная теория, напряжение, эллиптическая полость.

Введение. В процессе дискуссии по теории изгиба пластин признано несостоятельным преобразование крутящего момента к обобщенной перерезывающей силе. Итоги и библиография этой дискуссии приведены в работе [1]. Это обстоятельство вынуждает заключить, что теория Кирхгофа не может претендовать на роль классической теории изгиба плит. В указанной работе в качестве классической теории изгиба плит предлагается признать теорию, приводящую к системе дифференциальных уравнений шестого порядка. Предложен вариант теории, основанный на сравнении выражений для касательных напряжений тхг и туг, заданных различными соотношениями.

В работах [2, 3] данная методика была использована для решения задач изгиба изотропных и трансверсально-изотропных плит. В этих задачах система дифференциальных уравнений состоит из бигармонического и метагармонического уравнений, что позволяет ставить граничные задачи с произвольным заданием внешних усилий по толщине плиты.

В данной работе в условиях указанных предположений получено дифференциальное уравнение шестого порядка теории изгиба ортотропных плит. Это уравнение не разделяется на два независимых уравнения четвертого и второго порядков. Однако, это уравнение включает в себя два типа решения - медленно изменяющееся, которое определяет основное состояние пластины, и быстро изменяющееся решение, соответствующее краевому эффекту. При помощи метода малого параметра предложен способ разделения уравнения шестого порядка на два уравнения четвертого и второго порядков. Решение полученных уравнений основано на использовании функций обобщенных комплексных переменных. Численные исследования проведены для бесконечной плиты, ослабленной эллиптической полостью.

1. Основные соотношения уточненной теории изгиба ортотропных плит. Рассмотрим ортотропную плиту, имеющую толщину 2Н и отнесенную к декартовой системе координат Охуг. Оси Ох и Оу расположены в срединной

плоскости плиты, а Oz - нормальна к этой плоскости. Приведем представления для перемещений, напряжений, а также систему дифференциальных уравнений теории изгиба плит, построенную по предположению, предложенному в работе [1]. Для построения уточненной теории изгиба ортотропных плит используются: уравнения обобщенного закона Гука

gi = Aiiti + Ai2£2 + ^4¿3t3, (i = 1,3), g4 = A4414, g5 = A55£5, g6 = A66t6; (1)

геометрические соотношения

£i = diui (i = 1,2,3), £4 = d3U2 + д2из, £5 = дзui + ди, £6 = ди + d2Ui; (2)

трехмерные уравнения равновесия без учета объемных сил di ai + д2СТб + дз^5 = 0, д^в + д202 + дз G4 = 0, di 05 + д204 + дзОз = 0. (3) Здесь введены обозначения

[Gl,G2,Gз ,G4 ,G5,G6] для [g х ,Gy,Gz , Tyz ,TXZ ,TXy\,

[£i, £2, £з,£4,£5 ,£6 ] для [£x ,£y ,£z ,Yyz ,Yxz ,Yxy ], д1 = д/дх, д2 = д/ду, дз = д/дz, Aij — модули упругости. Представления для перемещений выбираются в виде

Ui = ^(z^i Pi(x,y), U2 = Pi(z)32^2(x,y), из = Wo(x,y) + P2(z)w(x,y). (4)

где pi(z) - нечетная по переменной z функция, характеризующая распределение усилий по толщине плиты; p2(z) = f pi(z)dz; ^l(x,y), p2(x,y), w0(x,y), w(x,y) -подлежащие определению функции.

Уравнения закона Гука (1), с учетом соотношений (2) и (4), дают выражения для напряжений в форме

Gi = PiSi, G2 = PiS2, Оз = Pi вз, G6 = PiSe; (5)

G4 = A44 (д2Wo + P2fhw + Род2^2) , G5 = A55 (дlWo + Р2дiW + Poдl^i) , (6) где приняты обозначения

Si = Andfip! + Ai2d22tp2 + Ai3w (i = 1,3), s6 = Amdid2 (<pi + ^2), Po(z) = p'i(z).

Выражения для напряжений Оз, G4 и G5 можно также найти, удовлетворяя уравнениям равновесия (3)

Оз = [pз(z) — P2(h)z] Sз, G4 = P2(z)S4, 05 = P2(z)S5, (7)

где

S5 = дlSl + д2вб, S4 = дl S6 + д2в2, Бз = дlS5 + д2Б4,

Р2(г) = Р2(Л) - Р2(г), Рз = !

Представления для напряжений а^ и в представлениях (7) удовлетворяют однородным граничным условиям на плоских гранях плиты: а4 = а5 = 0 при г = Однако, эти представления противоречат соотношениям (6). Корректный результат можно получить, введя следующие предположения:

1. Поперечное нормальное напряжение аз равно нулю (как в теории Кирхгофа).

2. Поперечные усилия, полученные интегрированием соотношений (6) и (7) для напряжений а4 и а5, равны [1].

Реализация этих предположений приводит к дифференциальным уравнениям, описывающим изгиб плит:

53 = ^31^2^1 + ¿3202^2 + Азз ™ = 0; (8)

5з = [А11 д4 + С12д?д|] + [С12д2д| + ^4] ^ + D2w = 0; (9)

н

= 2Тг / а5г1'г = + + = ^2*55, -н

н

= 2^ У <Т^'г = + + к\д2ы) = к2Б^, (Ю)

1

-н

н н

к° = Ж /кг = 2^ /Р'2^' к'2 = Р'2^ ~

-н -н

D2 = Аз1д2 + А32 д|, С12 = ¿12 + 2А66.

Таким образом, для определения функций ^>1, ^2, Wo и w имеем систему уравнений (8) - (10). Удовлетворяя уравнениям (8) и (9), находим

V?! = с2д22р, = =--¡-(А31с2 + А321{2) д2^,

А33

где

С2 = - ^12д2 + Б22д22) , Я2 = Бцд2 + Dl2д22, Dl2 = В12 + 2А66,

Вгк = Агк — (г, к = 1,2,3), Р(х, у) — произвольная функция.

Азз

Из уравнений (10) найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция ^(х,у), и представление для функции wo:

^4Ь2 - Х2Р4) ^ = 0,

2А

А55

WQ = ko [В22 (d22 + qidf) д22] F - k2B22AmDid2F + кгB22Am (q3d| + q4df) dfd2F,

где

D4 = d4 + 2qod2 df + q2df, P4 = d4 + 2qi d22d? + q2df, L2 = d22 + q5d2,

A2 = A55ko/ (^66^2), qo = (Bn - Si2qi) / (2A66) , qi = D12/B22, q2 = B11/B22, q3 = (A32qi - Аз1)/(АззA66), q4 = (A32q2 - A3iqi)/(A33A66), q5 = A55/A44.

Представления для перемещений и напряжений можно записать через произвольную функцию Ф(х,у) = B22A66did2F

ui = + qid2) 92Ф, u2 = (Qld22 + q2d2) ^Ф,

A66 A66

«з = (Щ + 91Э?) ^Ф - + (h - p2) (q3c)2 + 94Э?) д^Ф- (11)

A66 di A55 di

ai = -2pi (q°d2 + q2d2) дlд2Ф, a2 = 2pi (д2 + q°d2) дlд2Ф, ^6 = Pi (-d4 + q2d4) Ф, a5 = -P2(z)D4д2Ф, a4 = P2(z)D4дlФ; (12) которая определяется из уравнения

(D4L2 - A2P4) Ф = 0. (13)

Решение задачи изгиба приведено к нахождению функции Ф(х,у), удовлетворяющей дифференциальному уравнению шестого порядка (13) и граничным условиям на боковой поверхности плиты.

2. Граничные условия на боковой поверхности. Рассмотрим напряженно-деформированное состояние плиты, ослабленной криволинейной полостью, боковая поверхность которой представляет собой цилиндр с образующими, нормальными плоским граням. Граничные условия для криволинейного края с нормалью п определяются способом закрепления и нагруженпя поверхности. Пусть P(х, у, z) - нормальная, а Т(х, у, z) и N(х, у, z) - касательные составляющие внешних сил, приложенных к боковой поверхности полости. Если P = T = N = 0, то полость считается свободной от усилий. На внешней боковой поверхности также могут быть заданы усилия интенсивности a° = ppi(z), a° = qpi(z) и a° = tpi(z). Полагаем, что внешний контур находится вдали от полости и их взаимным влиянием можно пренебречь. Тогда граничные условия на боковой поверхности полости примут вид

niai + U2^6 = ni(P - ppi) - П2(Т + tpi), nia6 + П2СТ2 = ni(T - tpi) + U2(P - qpi), Uia5 + U2a4 = N. (14)

Направляющие косинусы при параметрическом задании контура будут такими

п\ = со«(?г,ж) = (1у/(1я, па = соз(п,у) = —йх/йв, (1я = \/ <1х2 + .

Рассмотрим случай, когда внешние усилия представлены в форме Р = р1(г)Р1 (х,у), Т = р1(г)Т1(х,у], N = Р2(г)М1(х,у).

Тогда в соответствии с представлениями (5) и (7) условия (14) запишутся

так

П1в1 + П2вб = ¡1, П1в6 + П2в2 = ¡2, + «2^4 = N1, (15)

где

¡1 = «1(Р1 -р) - «2(Т1 + г), /2 = «1(Т1 - г) + «2(Р1 - о).

Интегрирование условий (15) приводит их к виду

2 (<?о<9| + д2д2) дгФ = ~1 ^ - £ (Мг + с3)) ^ + сь

о

з

2 (<700? + 01) д2Ф = ~1 (/2 + СЗ)) + С2, (16)

о

з

АФ = N. + С3, N. = -I N^8.

о

Граничные условия (16) используются для определения функции Ф(х,у).

3. Решение разрешающего дифференциального уравнения. Представления общего решения уравнения (13) найти не удается. В случае, когда плита изготовлена из изотропного или трансверсально-изотропного материала, операторы Р4 и Б становятся бигармоническими. Уравнение (13) в этом случае распадается на основное бигармоническое уравнение и уравнение Гельмгольца, которое относится к типу краевого эффекта. Здесь предлагается для случая тонких и толстых плит осуществить разделение данного уравнения на основное уравнение четвертого порядка и уравнение типа Гельмгольца. Для этого воспользуемся методом штрафов [4]. Этот метод в применении к уравнению (13) состоит в замене оператора Б4 на Р4 или наоборот. Это достигается путем добавления к уравнению дополнительного слагаемого, умноженного на малый параметр. Параметр Л2 = А55к0/(А66к2) имеет порядок Н-2 и для больших толщин плиты он может быть сколь угодно малым. В этом случае добавление к уравнению (13) малой величины Л22(о1 - 0о)д2д|Ф приводит его к виду

Б4 (¿2 - Л2) Ф = 0. (17)

Для малых толщин плиты этот параметр может быть сколь угодно большим. Тогда малый параметр 1/А2 будет при операторе шестого порядка. Добавление к уравнению (13) малой величины А-22Ь2(91 — 9о)д^д22Ф приводит его к виду

Ра (¿2 — А2) Ф = 0. (18)

Для решения уравнений вида (17), (18) можно использовать теорему Боджио [5], согласно которой, общим решением уравнения С1С2...СпФ = 0, где С1, ..., Сп - некоторые операторы, является функция Ф = Ф1 + Ф2 + ... + Фп. При этом, функции Фд. удовлетворяют уравнениям С д. Фд. = 0 (к = 1 ,п).

Рассмотрим уравнение (18). Его можно использовать для определения напряженно деформированного состояния тонких плит. Общим решением этого уравнения является функция

Ф = Ф1 + Ф2, (19)

где величины Ф& удовлетворяют уравнениям

Р4Ф1 = 0; (20)

(¿2 — А2) Ф2 = 0. (21)

Общим действительным решением уравнения (20) является выражение [6]

Ф1 = 2Щф1(г1) + Ф2Х)], (22)

где фу (ху) - произвольные аналитические функции обобщенных комплексных переменных = х + ¡уу; параметры ¡у являются корнями уравнения

Ра(Х) = х4 + 29ц2 + 92 = 0.

Для решения уравнения Гельмгольца (21) в данной работе предлагается воспользоваться уравнением границы области, в которой определяется это решение. Способы построения таких уравнений для практически произвольных областей, с помощью методов алгебры логики и аппарата И-функций, разработаны в работах В.Л. Рвачева и его учеников [7]. Пусть О - некоторая область, граница дО которой описывается уравнением ш = 0. Полагаем, что для производной первого порядка выполняется условие

+ 95ш2 = 1, на д О,

где ш1 = д1ш, ш2 = д2ш.

С целью упрощения последующих выкладок, будем считать, что в окрестности любой заданной точки (х0,у0) на граничной линии, функция ш(х,у) аппроксимирована линейной функцией. Тогда в этой точке производные Ш1 и Ш2 будут постоянными величинами, а производные второго и последующих порядков будут равны нулю.

Параметр Л2 = А55к0/(А66к2), входящий в уравнение (21), имеет порядок Н-2. Для малых толщин плиты этот параметр может быть сколь угодно большим.

Уравнение (21) запишем в виде

[е2 (д| + 05д?) - 1] Ф2 = 0, (23)

где е2 = 1/Л2 - малый параметр при старших производных.

Метод решения уравнения (23) основан на использовании уравнения границы области и пограничного слоя. Погранслой - это малый интервал в окрестности границы области, в котором функция Ф2 сильно изменяется. При значениях параметра е2 — 0, решение предельного уравнения (23) Ф2 = 0, близко к точному решению всюду, за исключением малого интервала возле граничной линии ш = 0, где точное решение изменяется так, чтобы удовлетворить краевому условию на границе области. Этот малый интервал, в котором функция Ф2 очень быстро изменяется, в механике называется пограничным слоем или областью краевого эффекта. Для нахождения решения, пригодного в погранслое, предлагается использование асимптотических методов. Асимптотические разложения позволяют не только получить первое приближение, но и построить, в случае необходимости, высшие. Приближенное решение уравнения (23) представляем в виде произведения

Ф2 = т(х,у)Ф(х,у). (24)

Функции т и Ф определим в виде разложений в области краевого эффекта

т = ехр(аш), Ф = ф0 + ф1ш + ф2ш2/2.

Здесь а - постоянная величина, ф0, ф1, ф2 - функции переменной х + цу, подлежащие определению в процессе решения уравнения (23). После подстановки представления (24) в уравнение (23) и проведения математических преобразований получим уравнения для функций ф.

д2ф0 + 05д? ф0 = 0, (25)

Ф1 = - (Ш2д2ф0 + 05Ш1д1ф0) , ф2 = -2 (Ш2д2ф1 + 05Ш1д1ф1). (26)

Решение уравнения (25) и представления для функций (26) будут такими ф0 = 2Евфз(гз), ф1 = 2Ке[т1ф'з(гз)], ф2 = 2 Ее [т 2 ф^)], (27)

где принято

г 1 = ~(ш2^3 + д5Ш!), г2 = 2г{, Из = глДЕ, Ф'з = Ф" = #з/^з, (28)

ф3(^3) - произвольная функция обобщенной комплексной переменной г3 = х+ ц3у.

Представление (24) решения уравнения (23) будет таким

Ф2 = 2Ее (ф3 + шпф3 + (ш2/2)т2ф3) ехр(аш). (29)

Это решение, при значениях параметра а = ±Х и величин (28), удовлетворяет уравнению (21) в окрестности граничной линии.

Таким образом, общее решение (19) уравнения (18) представляется в виде суммы функций (22) и (29)

Ф = 2 Ее [фг + ф2 + (фз + штф + (ш2/2)т2ф'3) ехр(аш)] . (30)

Функции фу (ху) находятся из граничных условий (16). После их определения перемещения и напряжения определяются по формулам (11) и (12) соответственно.

4. Численные исследования. Исследования напряженного состояния были проведены для случая нагружения бесконечной плиты нагрузкой ст0 = рх/Н, (ст0 = ст0 = 0). Эллиптическая полость с полуосями а и Ь, отложенными по осям х и у соответственно, свободна от усилий. Технические постоянные материалов, из которых изготовлены исследуемые плиты, даны в табл. 1

Таблица 1

Материал Ео Е з С?12 С?13 С?23 Ь'З! 1^23

О 4.76 2.07 1.45 0.531 0.501 0.434 0.099 0.325 0.149

И 4.76 4.76 4.76 2.071 2.071 2.071 0.149 0.149 0.149

Константы приведены с точностью до 104 МПа. Материал О - ортотроп-ный материал (волокнистый стеклопластик ВМ-1 [8]). Материал И - модельный изотропный материал. В табл. 2 даны значения максимальных и минимальных напряжений в$ = ст$/(рх/Н) при х = ±Н и максимальных по модулю значений напряжения вх$ = \тх$/Р2\, возникающих в срединной плоскости в зависимости от соотношения полуосей а/Ь. Результаты приведены для случая Н = 0.01Ь.

Таблица. 2

Материал а/Ь = 0.5 а/Ь = 1 а/Ь = 2

тах вд ШШ вд тах ее ШШ.Ч0 тах вд тт вд

И 2.46 0.27 0.81 1.73 0.27 0.54 1.36 0.27 0.41

О 3.48 0.37 0.92 2.24 0.37 0.58 1.62 0.34 0.39

Сравнение результатов, полученных по предложенной методике для тонких плит и по классической теории показало их полное совпадение. Однако, классическая теория не позволяет сделать выводы о поведении касательных напряжений тг$, которые в некоторых случаях составляют около 30% от максимальных напряжений .

Исследования позволяют также сделать следующие выводы:

- наличие в материале плиты ортотропных свойств приводит к увеличению концентрации напряжений вблизи полости;

- наибольшие напряжения в$ возникают в случае, когда эллипс вытянут вдоль оси, перпендикулярной направлению действия изгибающих усилий;

- с уменьшением толщины напряжения szg растут, стремясь к некоторому конечному значению, а не уменьшаются до нуля, как в прикладной теории. С ростом толщины эти напряжения стремятся к нулю.

5. Заключение. Таким образом, в данной работе предложен один из способов получения дифференциального уравнения шестого порядка теории изгиба ортотропных плит. Это уравнение не разделяется на два независимых уравнения четвертого и второго порядков. Однако, это уравнение включает в себя два типа решения - медленно изменяющееся, которое определяет основное состояние пластины, и быстро изменяющееся решение, соответствующее краевому эффекту. При помощи метода малого параметра показана методика разделения уравнения шестого порядка на два уравнения четвертого и второго порядков. Решение полученных уравнений основано на использовании функций обобщенных комплексных переменных, удовлетворяет однородным граничным условиям на плоских гранях плиты и заданным внешним усилиям по толщине плиты. Численные исследования проведены для бесконечной плиты, ослабленной эллиптической полостью.

1. Васильев В.В. Классическая теория пластин - история и современный анализ / В.В. Васильев // Известия РАН. Механика твердого тела. - 1998. - № 3. - С. 46-58.

2. Нескородев Р.Н. Представление решения уточненной теории изгиба изотропных плит / Р.Н. Нескородев // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2014. - № 4. - С. 65-73.

3. Шевченко В.П. Об одном варианте уточненной теории изгиба трансверсально-изотропных плит / В.П. Шевченко, Р.Н. Нескородев // Допов1д1 НАН Украши. - 2013. - № 3. - C. 50-57.

4. Марчук Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы / Г.И. Марчук, В.И. Агашков. -М.: Наука, 1981. - 416 с.

5. Новацкий В. Теория упругости / В. Новацкий. - М.: Мир, 1975. - 872 с.

6. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. - М.: Наука, 1977. - 416 с.

7. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения / В.Л. Рвачев. - К.: Наук.

думка, 1982. - 552 с.

8. Ашкенази Е.К. Анизотропия конструкционных материалов. Справочник. / Е.К. Ашкенази, Э.В. Ганов. - Л: Машиностроение, 1980. - 247 с.

R.N. Neskorodev

The decision of a problem of bend orthotropic plate in the improved theory.

A numerically-analytical solution of the bending problem for orthotropic plates is proposed in the article, which is reduced to a sixth-order differential equation. The solution obtained satisfies homogeneous boundary conditions on the flat faces of the plate and arbitrarily given external forces in the thickness of the plate. Numerical studies have been carried out for an infinite plate weakened by an elliptical cavity.

Keywords: bending, orthotropic plate, improved theory, strain, elliptical cavity..

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 05.12.17

nromn@i.ua