CC BY
4ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.
№4 (69) / 2019.
УДК 539.3
©2019. Р.Н. Нескородев
МЕТОДИКА ПОЛУЧЕНИЯ РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ИЗГИБА ОРТОТРОПНЫХ ПЛИТ В УТОЧНЕННОЙ ПОСТАНОВКЕ
В статье предложена методика построения системы дифференциальных уравнений шестого порядка для теории изгиба ортотропных плит, позволяющая ставить граничные условия с произвольным заданием внешних усилий по толщине плиты. Приведены представления для напряжений через функции, являющиеся решением полученной системы.
Ключевые слова: изгиб, ортотропная плита, уточненная теория, напряжение, момент.
Введение. В работах [1, 2] была предложена методика решения задач изгиба изотропных и трансверсально-изотропных плит, основывающаяся на сравнении выражений для касательных напряжений тхх и тух, заданных различными формулами [3]. В этих задачах система дифференциальных уравнений состоит из бигармонического и метагармонического уравнений, что позволяет ставить краевые задачи с тремя граничными условиями.
Для ортотропных плит разрешающее уравнение характерно тем, что оно не разделяется на два независимых уравнения четвертого и второго порядков. В работе [4] при помощи метода малого параметра предложен способ разделения уравнения шестого порядка на два уравнения четвертого и второго порядков.
В данной работе для получения разрешающих уравнений в представлениях для перемещений учтены слагаемые более высокого порядка, что позволило получить систему, состоящую из дифференциальных уравнений четвертого и второго порядков.
1. Основные соотношения уточненной теории изгиба ортотропных
плит. Рассматривается ортотропная плита, имеющая толщину 2Н и отнесенная к декартовой системе координат Охуг. Оси Ох и Оу расположены в срединной плоскости плиты, а Ог - нормальна к этой плоскости. Основная система уравнений теории упругости в случае изгиба ортотропных плит имеет вид
уравнения обобщенного закона Гука
ах = Anei + Äi2 + Ai3 е3, а4 = ^44^4, а 2 = Ä2iei + A22 e2 + A23 ез, а5 = Ä55e5,
(1)
аз = Азхех + A32 е2 + A33 ез, а6 = A66e6;
геометрические соотношения
£г = дгПг (г = 1, 2, 3), £4 = дзЩ + д2Пз,
£5 = дз щ + д1«з, £6 = д\П2 + д2Пг]
Методика получения разрешающих уравнений теории изгиба ортотропных плит трехмерные уравнения равновесия без учета объемных сил
д\о\ + д2 иб + дз и 5 = 0,
д1СТб + д2 и 2 + дз и 4 = 0, (3)
д1И5 + д2 И4 + дз из = 0.
Здесь введены обозначения
[и1,И2,Из ,И4 ,И5,Иб] для [и х ,Иу,Их ,ТуХ ,ТХХ ,ТХу\,
[£1,£2,£з,£4,£5 ,£б ] для [£х ,£у ,£г ,1ух ,1хх ,Ъу\,
д1 = д/дх, д2 = д/ду, дз = д/дх, А^ — модули упругости.
Представление для перемещений выбираются в виде отрезков рядов по функциям толщинной координаты Рг(х)
41 = Р1д1^1(х,у) + Рзд1<£з(х,у), П2 = Р1&2^2{х,у) + Рзд2 р4(х,у),
(4)
4з = -Шо(х,у) + Р2 Ш2(х,у) + Р4-Ш4 (х,у).
Из уравнений равновесия следует, что если в разложении для напряжений и1, и2 и иб ограничиться слагаемыми, имеющими порядок малости Нк, то в напряжениях и4 и и5 необходимо оставить слагаемые, имеющие порядок Нк+1, а для напряжений из нужно учитывать слагаемые, имеющие порядок Нк+2. Уравнения закона Гука (1) с учетом отмеченных выше фактов, а также соотношений (2) и (4) в первом приближении дают выражения для напряжений в форме
и1 = Р1«11 = Р1 (Ацд^р1 + А^д|р2 + А^^) , и2 = Р1«21 = Р1 (А21д2Р1 + А22д|Р2 + А2з^^ , (5)
иб = Р1«б1 = Р1Аббд1 д2 (Р1 + Р2);
и1 = А44д2 [Шо + Р0Р2 + Р2^2 + Р4)] , и*5 = А55&1 ["Шо + Р0Р1 + Р2^2 + Рз)\ ,
(6)
из = Р1«з1 + Рз$зз = Р1 (Аз^рч + Аз2д|р2 + Азз ад^ +
+Рз (Аз^рз + Аз2д|р4 + Азз^4)
Здесь Р1(х) нечетная по переменной х функция, характеризующая распределение усилий по толщине плиты и приняты обозначения
Ро = Р1, Р^х)= Р—1(х)(1х (г > 1).
Выражения для напряжений 03, а4 и 05 можно также найти удовлетворяя уравнениям равновесия (3)
04 = P2S42, 05 = P2S52, аз = P3 S33. (7)
Здесь принято
P2 = P2(h) - P2(z), P3 = p3(z) - P2(h)z,
S42 = 9iS61 + d2S21 = d2 (cndf^i + L22^2 + A23W2) ,
L22 = Аббд2 + A22d22, S52 = disii + d2S61 = di (Lii^i + cnd|^2 + A13W2) ,
Lii = Aii д2 + Аббд|, (8)
S33 = diS52 + d2 S42 = + Ö2d| ^2 + D2W2,
D2 = Ai3d? + A23Ô2, R2 = Aii d2 + Di2d2, G2 = Di2d2 + A22 d2, cii = A12 + Абб, D12 = cii + Абб.
Представления для напряжений (5) и (7) тождественно удовлетворяют уравнениям равновесия, а представления для а4 и а5 в (7), удовлетворяют однородным граничным условиям на плоских гранях плиты: 04 = 05 = 0 при z = ±h. Однако, представления (7) для напряжений аз, 04 и 05 отличаются от соотношений (6). Для получения корректного результата в работах [3, 4] предложено приравнять между собой поперечные усилия Q4 и Q5. В данной работе предлагается дополнительно приравнять между собой и моменты M3 :
п п
M3 = J 0^zdz = J 03zdz,
-Н - (9)
н н н н к '
Q4 = J о\йг = J о4йг, Q5 = J о5^йг = J о5йг.
-н -н -н -н
Дифференциальные уравнения, описывающие изгиб плит получим, полагая:
1. Поперечное нормальное напряжение 03 в соотношениях (7) равно нулю, когда г = ±Н. Поскольку Р3{Н) = 0, следует положить
5*33 = 01^52 + ^2^42 = К2 + ^2 д|^2 + ^2^2 = 0. (10)
2. Поперечные усилия и моменты (9), полученные интегрированием правых частей соотношений (6) и (7) равны.
Реализация указанных предположений приводит к уравнениям:
'^'ио + АЧ1Ч'ШО I = о,
(11)
А55 [wo + ko^i + k2(w2 + ^3)] - K2 [Lii<pi + cnd|^2 + A13W2] = 0,
A44 [wo + ko^2 + k2(W2 + ^4)] - K2 [ciid^i + L22^2 + A23W2] = 0
k\S3i + кзS33 - K3S33 = 0.
Здесь введены обозначения
h
h
h
ko = àj Podz>
h
h
h
h
h
h
/
P3zdz.
h
h
h
Таким образом, для определения функций (i, wi получена система уравнений (10) - (12). Значения коэффициентов ki, когда pi(z) = z, таковы:
k0 = 1, k2 = h2/6, K2 = h2/3, kl = h2/3,
k3 = h4/30, K3 = —2h4/15, P3h = -h3/3. Из уравнений (11) находится функция wo
Wo = — [ko(^55^i + A44(£2) + k2(Aw2 + ^55^3 + A44(4)] /A+ +K2 [(L11 + Cil^2)(i + (L22 + Ciid|)(2 + (A13 + A23)W2] /A, (13)
A = A44 + A55.
Уравнения (11) при таком значении функции wo совпадают и имеют вид [koA44A55 — K2(A44Ln — A55Ciid2) (i —
+К2 (А55А23 - А44А13) W2 + ^2^44^55 (^3 - ^4) = 0.
Уравнение (12) с учетом (10) и (6) будет таким
Л1(Аз10?р1 + А32 022^2 + AззW2) + Лз(Аз1^2^з + Аз2д| ^4 + Азз^4) = 0. (15)
Дифференциальные уравнения (10), (14) и (15) имеют достаточный произвол для получения разрешающих уравнений шестого порядка теории изгиба тонких ортотропных плит. Рассмотриваются два варианта нахождения этих уравнений.
Первый вариант предусматривает тождественное удовлетворение уравнения (10). Для этого функции ^>1, ^>2 и W2 представляются через новую функцию ф следующим образом
[koA44A55 — K2(A55L22 — A44Ciid|)] (2 +
(14)
(i = a^, (2 = a2ф, W2 = (вд + в2д|) ф.
(16)
После подстановки представления (16) в уравнение (10) и приравнивания коэффициентов при одинаковых операторах нулю получается
(17)
Ап«1 + А13 в1 = 0, А22а2 + А2зв2 = 0, ^12(а1 + а2) + А1зв2 + А2зв1 = 0.
Решение системы (17) записывается в виде
а1 = А13 т, = -Апт, а2 = А23 5т, в = -А225т,
5 = (А11А23 - А2А13) / (^12А23 - А22А13) . При решении уравнения (14) полагается
= -г—т~ 1 [(^44^66 - ^55^22 + А44сц) а2д1 - А55А23 + №%)] ф,
К22А44А55
Щ = -Т~ 1 [(А55А66 - А44А55 + АццСи) Оцд\ ~ А44А13 + ^сЩ ф.
К22А44А55
Тогда для функции ф получается уравнение
[1 — е2 (р2 + <?2<Э2)] ф = 0, е2 =,2 = (18)
Ко А55 А44
Уравнение (15) приводится к виду (18). Для этого полагается
{62 + 92д?) + А31 д2vз + Аз2д| ^4
1
А33
А66 1 {£)2 , „2^2)
А55 кокзз
Тогда уравнение (15) будет таким
[(Аз1а1 + Аззв1) д2 + (Аз2а2 + А33&) д|] [1 - е2 {д| + д2д?)] ф = 0.
Таким образом, функция ф, введенная соотношениями (16), удовлетворяет уравнению второго порядка (18).
Второй вариант решения системы уравнений (10), (14), (15) предусматривает тождественное удовлетворение уравнений (14), (15). Для этого берется
<Р1 = = <Р, 102 = —= —Т— (Азгд^з + Аз2д$(р4:) ,
А33 А33
1
<£>3 =
^22 А44 А55 1
^4
^22 А44 А55
А т Л я2 , А55 А23 п
АиЬц - А^сцс^ Н----Бх
Азз
А т Л Я2 А44 А13
а55^22 ~ а44СцС2 +
V,
V.
Азз
Функция V удовлетворяет уравнению четвертого порядка, которое принимает вид [ ]
[Бцд4 + 2^12д2д| + В22д|] V = 0, (19)
где
Вц = АЦ — Л^3/Aзз, В22 = А22 — A^3/Aзз,
#12 = В12 + 2A66, В12 = А12 — А13 А23/А 33.
Функция ф удовлетворяет уравнению четвертого порядка. Общее решение задачи изгиба ортотропных плит представляется суммой решений уравнений (18) и (19).
Общим действительным решением уравнением (19) является выражение [5]
ф = 2Ев [Ф1(г1 ) + Ф2(г2)],
где Ф^ (гз) - произвольные аналитические функции обобщенных комплексных переменных хз = х + ^у; параметры X] являются корнями уравнения
IX4 + 2Е12/В22 X2 + В11/В22 = 0.
Методика получения приближенного решения уравнения (18) изложена в работе [4].
Представления для напряжений (5) и (7) через функции ф и ф, являющихся решениями уравнений (19) и (18), имеют вид
01 = Р1 [(Вид2 + В12д|) ф + (А12А23 - А13А22) 5гд1ф] ,
02 = Р1 [(В21д2 + В22д|) ф + (А21А13 - А23А11) ТсЩ ,
о6 = Р1 [2Аббд1д2ф + Абб (А13 + А235) тд^ф] , (20)
05 = Р [(Вцд2 + Я12д|) д1ф + С5д1д|ф] , 04 = Р2 [(#12^ + В22д|) д2ф + С4д2д2ф] , 03 = Р [(Вцд4 + 2Д12д?д22 + В22д24) ф + (С5 + С4)д?д|ф] ,
где
С5 = [(А12А23 - А13А22 + А66А23) 5 + А66А13] т, С4 = [(А21А13 - А23А11 + А66А13) + А66А235] т.
Представления (20) тождественно удовлетворяют уравнениям равновесия и граничным условиям плоских гранях плиты. Функции ф и ф в совокупности удовлетворяют системе уравнений шестого порядка. Это позволяет удовлетворить трем граничным условиям на боковой поверхности плиты.
1. Нескородев Р.Н. Представление решения уточненной теории изгиба изотропных плит / Р.Н. Нескородев // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2014. - № 4. - С. 65-73.
2. Шевченко В.П. Об одном варианте уточненной теории изгиба трансверсально-изотропных плит / В.П. Шевченко, Р.Н. Нескородев // Допов1д1 НАН Украши. - 2013. - № 3. - С. 50-57.
3. Васильев В.В. Классическая теория пластин - история и современный анализ / В.В. Васильев // Известия РАН. Механика твердого тела. - 1998. - № 3. - С. 46-58.
4. Нескородев Р.Н. Решение задачи изгиба ортотропной плиты в уточненной постановке / Р.Н. Нескородев // Журнал теоретической и прикл. механики. - 2017. - № 3-4 (60-61). -С. 60-68
5. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. - М.: Наука, 1977. - 416 с.
R.N. Neskorodev
Method for obtaining the resolving equations of the theory of bending of orthotropic plates in the improved theory.
The article proposes a method for constructing a system of sixth-order differential equations for the theory of bending of orthotropic plates, which makes it possible to set boundary conditions with an arbitrary setting of external forces across the plate thickness. Representations for stresses in terms of functions that are a solution to the resulting system are given. Keywords: bending, orthotropic plate, improved theory, strain, momentum.
ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 23.09.2019
nromn@i.ua
