CC BY
3ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.
№4 (73) / 2020.
УДК 539.3
©2020. Р.Н. Нескородев
ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗГИБА ОРТОТРОПНЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛИТ В УТОЧНЕННОЙ ПОСТАНОВКЕ
В работе предложена методика численно-аналитического решения задачи изгиба вязкоупру-гих ортотропных плит в уточненной постановке. Учет эффектов вязкоупругости осуществлен при помощи приема преобразования интегральных уравнений состояния к уравнениям закона Гука с параметрическими зависимостями деформативных характеристик материалов от времени. В качестве примера рассмотрено напряженное состояние бесконечной плиты, ослабленной круговой полостью.
Ключевые слова: изгиб, ортотропная плита, вязкоупругость, уточненная теория, эллиптическая полость.
Введение. Изгиб вязкоупругих плит изучался только в рамках прикладной теории на основе использования метода малого параметра с привлечением комплексных потенциалов [1, 2]. В работе [3] рассмотрен изгиб треугольной плиты с круговым отверстием. В работах [4-6] разработан метод решения задач линейной вязкоупругости, позволяющий решать задачи изгиба для многосвязных анизотропных плит с контурами произвольной конфигурации и вариантами их взаимного расположения.
При помощи преобразования интегральных уравнений состояния задач вязкоупругости к уравнениям закона Гука с параметрическими зависимостями деформативных характеристик материалов от времени в работах [7, 8] построены решения задач изгиба вязкоупругих изотропных и трансверсально-изотропных плит в уточненной постановке. Для нахождения решения в произвольный момент времени использована методика получения решений бигармонического и метагармонического уравнений уточненной теории изгиба пластин, учитывающей деформации поперечного сдвига.
В работе [9] предложен один из способов получения дифференциального уравнения шестого порядка теории изгиба упругих ортотропных плит. Это уравнение не разделяется на два независимых уравнения четвертого и второго порядков. Однако, это уравнение включает в себя два типа решения - медленно изменяющееся, которое определяет основное состояние пластины, и быстро изменяющееся решение, соответствующее краевому эффекту. При помощи метода малого параметра показана методика разделения уравнения шестого порядка на два уравнения четвертого и второго порядков. Решение полученных уравнений основано на использовании функций обобщенных комплексных переменных, удовлетворяет однородным граничным условиям на плоских гранях плиты и заданным внешним усилиям по толщине плиты.
В данной статье указанную выше методику решения задач вязкоупругости предлагается использовать для решения задач уточненной теории изгиба орто-
тропной плиты с полостью при длительном воздействии внешних усилий.
1. Основные соотношения уточненной теории изгиба ортотропных
плит. Рассматривается ортотропная плита, имеющая толщину 2Н и отнесенная к декартовой системе координат Охух. Оси Ох и Оу расположены в срединной плоскости плиты, а Ох - нормальна к этой плоскости. Представления для перемещений, напряжений, а также система дифференциальных уравнений теории изгиба плит, построенная по предложенным в работе [10] предположениям, формируются следующим образом. Представления для перемещений выбираются в виде [9]
щ = рх(х)дх Рх(х,у), П2 = р!(х)д2<р2(х,у), п3 = ■шо(х,у)+ р2(х^(х,у), (1)
где рг(х) - нечетная по переменной х функция, характеризующая распределение усилий по толщине плиты; р2(х) = /р1(х)йх; рх(х,у), р2(х,у), ■ш0(х,у), ■ш(х,у) -подлежащие определению функции.
Выражения для напряжений находятся из уравнений закона Гука. С учетом соотношений (1)
их = рхБх, 02 = рБ, а3 = р\Бз, а6 = Р1Б6; (2)
04 = А44 (д2+ р2д2-ш + род2р2), 05 = Л55 (д^о + р2дх-ш + родхРх), (3) где приняты обозначения
Si = Ацд\<р 1 + Аг2д1^2 + А^уо (г = ТТЗ), Б6 = А66д 1<Э2 (<,0\ + , р0(х) = р'^х).
Выражения для напряжений из, 04 и 05 можно также найти, удовлетворяя уравнениям равновесия
из = [рз(х) - р2(Н)х] Б*3, 04 = Р2(х)Б4, 05 = Р2(х)Б5, (4)
где
Б5 = дхБх + д2Бб, Б4 = дхБб + д^Б2, = дхБ5 + д2Б4,
Р2(х) = р2(К) - р2(х), рз = ! р2(х)(1х.
Представления для напряжений 04 и 05 в представлениях (4) удовлетворяют однородным граничным условиям на плоских гранях плиты: 04 = 05 = 0 при х = ±Н. Однако, эти представления противоречат соотношениям (3). Корректный результат можно получить, введя следующие предположения:
1. Поперечное нормальное напряжение 0з равно нулю (как в теории Кирхгофа).
2. Поперечные усилия, полученные интегрированием соотношений (3) для напряжений 04 и 05 и соотношений (4) для одноименных напряжений, равны между собой [10].
Реализация этих предположений приводит к дифференциальным уравнениям, описывающим изгиб плит:
Sз = + Аз2д22 + А^ = 0; (5)
= [Лпд4 + ci2d?d|] + [ci2d?d22 + А22д4] ^2 + D2w = 0; (6)
h
Qb = ^ J <75dz = A55 (diWo + kodiipi + kidiw) = k2S5, -h h
®4 = J <7'ldz = ^2W° + + kid2w) = k2S4] (7) -h
h h
k° = 2\ f Podz> kl = 2Ъ jP2dz' k2 = P~ kly -h -h
D2 = Aaid2 + Аэ2д|, C12 = A12 + 2Абб.
Таким образом, для определения функций ^i, ^2, wo и w имеется система уравнений (5) - (7). Для обеспечения удовлетворения уравнениям (5) и (6) вводятся представления
<Р! = g2o22f, ip2 = R2dfF, w =--¡-(A31G2 + A32R2) dfd22F,
A33
где
G2 = - (Di2d2 + Б22д|) , R2 = {Biidf + Di2d2) , Di2 = Bi2 + 2A66,
Bik = Aik — k = 1,2, 3), F(x, у) — произвольная функция.
A33
Из уравнений (7) получается дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция F(x,y), и представление для функции wo:
(D4L2 - Л2Р4) F = 0, 2Л
^55
Wo = ко [в22 (д2 + qidl) с)2] F - k2B22AmDi r?2F + кгВ22Ат (q3d2 + q4d2) d2d2F,
где
D4 = d4 + 2qod22 d2 + q2d4, P4 = d4 + 2qi dfdf + ^4, L2 = d22 + ^2, Л2 = A55ko/ (A66k2), qo = (Bii - Bi2qi) / (2Абб) , qi = Du/B22, q2 = Bn/B22,
Q3 = (Аз2qi - Ä3i)/(AmA66), q4 = (A32Q2 - A3iqi)/(A33Agg), q5 = A55/A44.
Представления для перемещений и напряжений можно записать через произвольную функцию Ф(х,у) = B22AGGdld2F
= --Т- (d2 + 91дТ) 92Ф, U2 = Mf + Q2dT) aGG aGG
u3 = ^~ (dl + qidf) - + (h - p2) (q3di + q4df) chd2^ (8)
AG6 di A55 di
ai = -2pi (qocjl + q2d2) ддФ, 02 = 2pi С + qodf) д^Ф, OG = Pi —4 + q2df) Ф, 05 = -P2(z)DAд2Ф, 04 = P2(z)DAд1Ф; (9)
(В4Ь2 - \2Р4) Ф = 0. (10)
Решение задачи изгиба приведено к нахождению функции Ф(х,у), удовлетворяющей дифференциальному уравнению шестого порядка (10) и граничным условиям на боковой поверхности плиты. Методика разделения уравнения шестого порядка (10) на два уравнения четвертого и второго порядков, а также решение полученных уравнений с использованием функций обобщенных комплексных переменных, подробно изложено в статье [9]. Там же приводятся граничные условия на боковой поверхности полости для определения функции Ф. Численные исследования проведены для случая цилиндрического изгиба бесконечной плиты, ослабленной эллиптической полостью.
2. Уравнения состояния. Функции ползучести и релаксации. Для определения перемещений, напряжений и деформаций, возникающих в теле при его длительном нагружении внешними усилиями, используются интегральные уравнения состояния, учитывающие свойства материала деформироваться во времени. Эти уравнения можно преобразовать к виду [11]
(£) — Атпеп (¿) — Атп (1 ттп) вга, — / 777 \ с«, (г*) (И)
7 а (г - т) о
Cm, (i) — (l>mnSn (t) — Q>mn (1 Pmn) Pran^n — I j /4. \ ^n ^T- (12)
dpmn (t ~ T) d(t — t)
t
Здесь sm = [S1,S2,S3,S4,S5,S6]=S (t), en = [в1,в2, вз,в4,в5,вб]=е (t) - векторы напряжений и деформаций в произвольный момент времени t; Amnrmn (t) = = Rmn (t) = R (t) И amnpmn (t) = Pmn (t) = P (t) (m, n = 1, 6) - регулярные части матриц функций релаксации и ползучести. Они характеризуют вязкоупругий материал так же, как их упругие аналоги, матрицы модулей упругости R (0) =
= А = Атп и коэффициентов деформации Р (0) = а = атп - характеризуют свойства упругого материала.
Уравнения состояния (11) и (12) имеют вид уравнений закона Гука с заменой матриц упругих постоянных Атп и атп операторами Атп и атп, которые зависят от времени.
Функции Р (Ь) = атпРтп (Ь) и Д (Ь) = А тп гтп (Ь) определяются из эксперимента. Опыты на ползучесть и релаксацию осуществляются при одноосном растяжении, сжатии, изгибе или сдвиге. Они являются базовыми экспериментами, которые необходимы для определения ядер ползучести и релаксации. В одномерном случае при одноосном усилии матричное уравнение распадается на отдельные уравнения для ртп (Ь) и гтп (Ь). В задачу эксперимента входит определение этих элементов.
Как правило, экспериментально найденные данные задаются таблично, дискретным набором значений, соответствующим некоторым фиксированным моментам времени. При использовании таких данных в вычислениях, для обеспечения точности расчетов необходимо осуществить математическую обработку табличных данных. Такая обработка включает в себя сглаживание кривых ползучести или релаксации путем увеличения числа точек разбиения временного отрезка [0,Ь]. Эти вопросы рассмотрены в работе [12].
Связь между матрицами Р (Ь) и Д (Ь) установлена в работах [13, 14]. Имеют место соотношения
Як = - ^ Як-г (Рг - Рг-1)^ А (к = 0, 1,...,М); (13)
Рк = - ^Рк-г (Д - Лг-1^ а (к = 0, 1,...,М). (14)
В представлениях (13) и (14) принято: I - единичная матрица, Рг = Р(Ьг), Дг = Я,(Ьг), Рк-г = Р(Ьк - Ьг), Як-г = Д(Ьк - и) - значения функций ползучести и релаксации в соответствующие моменты времени.
С помощью представлений (13) по экспериментально полученным значениям функции ползучести в точках сетки находятся функции релаксации, а с помощью (14) - функции ползучести.
Опытные данные по ползучести и релаксации, которые позволили бы определить все элементы матриц, входящие в соотношения для Р (Ь) и Д (Ь), в литературе отсутствуют. Поэтому, для уменьшения числа параметров, определяемых из экспериментов, при решении конкретных задач применяются различные допущения относительно реологического поведения материала. Симметрия матриц Рк (Ь) и Дк (Ь) показывает, что должны выполняться равенства Ргу = Руг, ^ — Йуг.
Исходя из общепринятой гипотезы об упруго сжимаемом материале, считается, что неизменяющимся во времени является модуль объемной деформации
тела К, определяемый равенством 1
— = ац + а2 2 + а33 + 2ап + 2й13 + 2а2з, К
или
± = ^ + ± + (15)
К Е\ Ез Е\ Е2 ЕЗ
Определение значений результатов воздействия интегральных операторов атп или АтП1 входящих в уравнения состояния для случая изгиба ортотроп-ной плиты, целесообразно реализовать с использованием элементов матрицы атп для ортотропного материала с отличными от нуля элементами
111 Р\2 р2\ ^31
ац - -тг, а22 - —, а33 --¿г,а12- —- -~ег, а13 г г ,
Е1 Е2 Е3 Е1 Е2 Е1 Е3
У23 "32 1 1 1 , Л
«23 — — -¡=Г —--^Г) а44 — —, Й55 — —, Й66 — —• (,-1-0)
Е2 Ез С23 С13 С12
Как правило, из экспериментов на ползучесть или релаксацию определяются операторы для технических упругих постоянных. С использованием элементов матрицы упругих постоянных атп формируется матрица интегральных операторов атп. Для этого осуществляется замена модулей Юнга Е^, коэффициентов Пуассона , модулей сдвига С^, входящих в соотношения (16), линейными интегральными операторами Е77^, О^.
Элементы обратной матрицы А^ более сложным образом зависят от технических упругих постоянных. Поэтому для определения элементов матрицы можно воспользоваться соотношениями (13).
В работе [15] приведены результаты экспериментов на ползучесть ортотропного вязкоупругого полимерного композита с эпоксидным связующим. Элементы вязкоупругой матрицы 1/Е\, 1/Е2 и 1/С\2 аппроксимировались с помощью операторов
= = ^ [1 + Агэ; (-&)], =±- = -±-[1 + Л6э; (-&)]. (17)
Ег С12 С12
где интегральные операторы Э* {—в^ содержат ядро Ю.Н. Работнова.
Упругие и реологические характеристики указанного материала следующие
Е1 = 23, 0 ГПа, \1 = 0.0323 с-(1+а),
в1 = 0.1570 с-(1+а), ^12 = 0.11, Е2 = 16, 0 ГПа, Л2 = 0.1275 е-(1+а),
в2 = 0.2745 е-(1+а), = 0.0756, (18)
С12 = 3, 08 ГПа, Лб = 0.0717 с-(1+а), вб = 0.0276 е-(1+а), а = —0.846.
В связи с отсутствием в справочной литературе для данного материала значений модуля Юнга Е3, коэффициентов Пуассона и31 и и32, модулей сдвига С13 и , а также их реологических констант, можно считать их постоянными величинами и положить равными
Ез = (Е1 + Е2 )/2, = С13 = С23 = С\2. (19)
Из принятых допущений, равенства 1/К = 1/К и с учетом формул (15), (17) записывается формула для вычисления У\2/Е\
У\2 _ У\2 Ёх ~ Ег
1 + 2^Э«(-А)+2ЦЭ«(-А)
3. Численные исследования. Исследования напряженного сосстояния были проведены для случаев нагружения бесконечной плиты усилиями ст0 = pz/h, ст0 = 0 или ст0 = qz/h, ст0 = 0. Круговая полость радиуса а свободна от усилий. В табл. 1 для различных моментов времени приведены значения напряжений Бе = \сте/ст0\ в точках A(a; 0) и B(0; а) при z = ±h. Результаты даны для случая 2h = 0.01а.
Таблица 1
Нагрузка Точки Бе
t = 0 t = 100 ч t = 200 ч t = 300 ч t = 600 ч
р = 1, q = 0 А 0.478 0.426 0.428 0.430 0.433
В 2.120 2.299 2.310 2.316 2.327
р = 0, q = 1 А 1.934 1.994 2.001 2.005 2.012
В 0.687 0.727 0.734 0.738 0.746
Из таблицы 1 видно, что для изгиба плиты усилиями ст0 = рг/Н максимальные значения напряжений возникают в точке В, растут с течением времени и при переходе в стационарное состояние (Ь = 600 ч) увеличиваются на 9.8%. Напряжения в точке А уменьшаются на 9.4%.
Для изгиба усилиями a^2qz/h максимальные напряжения возникают в точке А и при переходе в стационарное состояние увеличиваются на 4%. Напряжения в точке В также увеличиваются на 8.6%. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами, полученными по прикладной теории [4]. Однако, прикладная теория не позволяет сделать выводы о поведении касательных напряжений тг$, которые в некоторых случаях составляют около 40% от максимальных напряжений а$.
В таблице 2 приводятся значения максимальных и минимальных касательных напряжений Бг$ = \тгд/Р21, возникающих в срединной плоскости плиты.
Как видно, максимальные по модулю касательные напряжения Бг$ для обеих случаев нагружения плиты растут с течением времени и при переходе в стационарное состояние увеличиваются более чем на 20%.
Таблица 2
Нагрузка Точки Sze
в t = 0 t = 100 ч t = 200 ч t = 300 ч t = 600 ч
р = 1, q = 0 58и -0.638 -0.733 -0.746 -0.753 -0.767
122° 0.638 0.733 0.746 0.753 0.767
р = 0, q = 1 37и 0.680 0.804 0.817 0.826 0.841
143° -0.680 -0.804 -0.817 -0.826 -0.841
Заключение. При помощи преобразования интегральных уравнений состояния задач вязкоупругости к уравнениям закона Гука с параметрическими зависимостями деформативных характеристик материалов от времени в работе получено решение задачи изгиба вязкоупругих ортотропных плит в уточненной постановке. Для нахождения решения в произвольный момент использована методика разделения уравнения шестого порядка на два уравнения четвертого и второго порядков. Решение полученных уравнений основано на использовании функций обобщенных комплексных переменных, удовлетворяет однородным граничным условиям на плоских гранях плиты и условиям распределения внешних усилий по толщине плиты. Численные исследования проведены для бесконечной плиты, ослабленной круговой полостью.
1. Иванов Г.М. Напряженное состояние изотропной вязкоупругой плиты с отверстиями, подкрепленными жесткими кольцами / Г.М. Иванов, Л.Н. Шкодина // Прикладная механика. - 1975. - Т. 11, № 8. - С. 26-32.
2. Иванов Г.М. Напряженное состояние вязкоупругой плиты с двумя круговыми отверстиями, подкрепленными жесткими кольцами / Г.М. Иванов, Л.Н. Шкодина // Механика твердого тела. - 1975. - Вып. 7. - С. 161-165.
3. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий / Г.Н. Савин. - К.: Наук. думка, 1968. - 888 с.
4. Калоеров С.А. Эффективный метод определения напряженного состояния пластинки с криволинейными отверстиями / С.А. Калоеров, А.И. Занько // Прикладная механика. -2017. - Т. 53, № 1. - С. 108-120.
5. Калоеров С.А. Решение задачи линейной вязкоупругости для многосвязных анизотропных плит / С.А. Калоеров, А.И. Занько // Прикладная механика и техническая физика. -2017. - Т. 58, № 2. - С. 141-151.
6. Калоеров С.А. Решение задачи линейной вязкоупругости для кусочно-однородных анизотропных плит / С.А. Калоеров, А.А. Кошкин // Прикладная механика. - 2017. - Т. 53, № 6. - С. 92-107.
7. Нескородев Р.Н. Метод переменных коэффициентов упругости решения задач изгиба вязкоупругих изотропных плит в уточненной постановке / Р.Н. Нескородев // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2017. - № 1 (58). - С. 42-56.
8. Нескородев Р.Н. Изгиб трансверсально-изотропных вязкоупругих плит в уточненной постановке / Р.Н. Нескородев // Вестник ДонНУ. Сер. А: Естественные науки. - 2017. -№ 1. - С. 26-35.
9. Нескородев Р.Н. Решение задачи изгиба ортотропной плиты в уточненной постановке / Р.Н. Нескородев // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2017. - № 3-4 (6061). - С. 60-68.
10. Васильев В.В. Классическая теория пластин - история и современный анализ / В.В. Васильев // Известия РАН. Механика твердого тела. - 1998. - № 3. - С. 46-58.
11. Нескородев Р.Н. Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупру-гости / Р.Н. Нескородев // Труды ИПММ МОН ДНР. - 2015. - Том 29. - С. 114-126.
12. Шевченко В.П. Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости / Шевченко В.П., Нескородев Р.Н. // Прикладная механика. - 2014. - Т. 50, № 3. - С. 42-53.
13. Нескородев Р.Н. О новом численно-аналитическом методе решения задач теории вязкоупругости анизотропных сред / Р.Н. Нескородев // В1ен. Донец. ун-ту. Сер. А, Природ. науки. - 2009. - Вип. 2. - С. 7-15.
14. Шевченко В.П. Новый метод решения задач теории вязкоупругости анизотропных сред / В.П. Шевченко, Р.Н. Нескородев // Доповвд НАН Украши. - 2010, № 11. - С. 52-58.
15. Каминский А.А. Неклассические проблемы механики разрушения (в 4 т.). Т. 3. Длительное разрушение полимерных и композиционных материалов с трещинами / А.А. Каминский, Д.А. Гаврилов. - К.: Наук. думка, 1992. - 248 с.
R.N. Neskorodev
Investigation of bending problems for orthotropic viscoelastic plates in the improved theory.
The paper proposes a technique for the numerical-analytical solution of the problem of bending of viscoelastic orthotropic plates in the improved theory. The effects of viscoelasticity are taken into account using the method of transforming the integral equations of state to the equations of Hooke's law with parametric dependences of the deformative characteristics of materials on time. As an example, the stress state of an infinite plate weakened by an circular cavity is considered. Keywords: bending, orthotropic plate, viscoelasticity, improved theory, elliptical cavity.
ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 20.12.2020
r.neskorodiev@donnu.ru
