МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ УПРУГОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗГИБА ВЯЗКОУПРУГИХ ИЗОТРОПНЫХ ПЛИТ В УТОЧНЕННОЙ ПОСТАНОВКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0136-4545

!Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№1(58) / 2017.

УДК 539.3

©2017. Р.Н. Нескородев

МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ УПРУГОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗГИБА ВЯЗКОУПРУГИХ ИЗОТРОПНЫХ ПЛИТ В УТОЧНЕННОЙ ПОСТАНОВКЕ

В работе предложено решение задач изгиба вязкоупругих изотропных плит в уточненной постановке. Метод решения основан на преобразовании интегральных уравнений состояния задач вязко-упругости к временным уравнениям закона Гука. Проведены численные исследования напряженного состояния бесконечной плиты с эллиптическим отверстием. Ключевые слова: вязкоупругость, изгиб, плита, эллиптическая полость.

1. Введение. В работах [1-4] предложен метод решения задач теории вязкоупру-гости для пластин, находящихся в условиях обобщенного плоского напряженного состояния. Метод основан на построении матриц коэффициентов уравнений закона Гука исходя из интегральных уравнений состояния. Элементы этих матриц зависят от времени, что позволяет решать задачи вязкоупругости в любой заданный момент времени как обычные задачи теории упругости.

В работах [5, 6] предложен метод решения упругих задач теории изгиба изотропных плит с отверстиями в уточненной постановке. Предположения, на основе которых строится эта теория, основаны на сравнении выражений для поперечных усилий, полученных интегрированием напряжений а4 и 05, заданных различными соотношениями. Строится решение бигармонического и метагармонического уравнений уточненной теории изгиба изотропных плит. Решение выражено через произвольные функции обобщенных комплексных переменных [7,8]. Это позволяет проводить численные исследования для изотропных и анизотропных тел по одним и тем же алгоритмам. Точное решение метагармонического уравнения представляется через модифицированные функции Бесселя и является пригодным для исследования краевых задач с границами, близкими к круговым.

В настоящей работе указанный метод решения задач вязкоупругости предлагается использовать для решения задач уточненной теории изгиба изотропных плит с отверстиями близкими к круговым при длительном воздействии внешних усилий.

2. Уравнения состояния. Функции ползучести и релаксации. Рассмотрим упругое равновесие анизотропного тела, отнесенного к системе координат Ох 1X2X3. Для определения перемещений, напряжений и деформаций, возникающих в теле при его длительном нагружении внешними усилиями, используются интегральные уравнения состояния, учитывающие свойства материала деформироваться во времени. Эти уравнения преобразованы к виду [4]

t

/

drmn (t r)

d(t-r)

en (r) dr, (1)

Ь

'п

/

0

Здесь принято: вт = [81,82,83,84, 85,8б]=^ (г) ,вп = [в1 ,б2,вз,в4,в5, вб]=е (г) -векторы напряжений и деформаций в произвольный момент времени Ь; Атпгтп (г) = Итп = Я и атпртп (£) = Ртга (£) = Р (£) (т, ?г = 1, 6) - регулярные части матриц функций релаксации и ползучести. Они характеризуют вязкоупругий материал так же, как их упругие аналоги, матрицы модулей упругости И (0) = А = Атп и коэффициентов деформации Р (0) = а = атп - характеризуют свойства упругого материала.

Уравнения состояния (1) и (2) имеют такой же вид, что и обычный закон Гука, только матрицы упругих постоянных Атп и атп заменены упругими операторами Атп и атП1 которые зависят от времени.

Функции Р (г) = атпРтп (г) и И (г) = А тп гтп (г) определяются из эксперимента. Опыты на ползучесть и релаксацию осуществляются при одноосном растяжении, сжатии, изгибе или сдвиге. Они являются базовыми экспериментами, которые необходимы для определения ядер ползучести и релаксации. В одномерном случае при одноосном усилии матричное уравнение распадается на отдельные элементы ртп (г) и гтп (г). В задачу эксперимента входит определение этих элементов.

Отметим, что экспериментально найденные данные задаются таблично, дискретным набором значений, соответствующим некоторым фиксированным временам. При использовании таких данных в вычислениях, для обеспечения точности расчетов необходимо осуществить математическую обработку табличных данных. Такая обработка включает в себя сглаживание кривых ползучести или релаксации и восполнение табличных данных путем увеличения числа точек разбиения временного отрезка [0,г]. Эти вопросы рассмотрены в работе [3].

Связь между матрицами Р (г) и И (г) установлена в работах [1,2]. Имеют место соотношения

Отметим, что такие же соотношения имеют место и для отдельных элементов матриц Р (г) и И (г).

В представлениях (3) и (4) принято: I - единичная матрица, Pi = Р(Ьг), Иг = И{Ьг), Рк-г = Р(гк — и), Я— = Я(Ьк — и) - значения функций ползучести и релаксации в соответствующие моменты времени.

(к = 0, 1, ... , N);

(3)

(к = 0, 1, ... , N).

(4)

С помощью представлений (3) по экспериментально полученным значениям функции ползучести в точках сетки находим функции релаксации, а с помощью (4) -наоборот.

Опытные данные по ползучести и релаксации, которые позволили бы определить все элементы матриц, входящие в соотношения для P (t) и R (t), в литературе отсутствуют. Поэтому, для уменьшения числа параметров, находящихся из экспериментов, при решении конкретных задач применяются различные допущения относительно реологического поведения материала. Симметрия матриц P (t) и R (t) показывает, что должны выполняться равенства Pik — Pki, Rik — Rki. Отсюда следует, что не все параметры должны определяться из эксперимента. В случае изотропного материала часто используется допущение об упруго сжимаемом материале. Это позволяет, используя соотношение

по заданному интегральному оператору V определять оператор Е и наоборот [9].

В работе [4] установлена связь между значениями интегральных операторов рт и г^п и функциями ползучести и релаксации ртп (Ь), гтп (Ь) соответственно

Рассмотрим случай, когда из эксперимента на ползучесть определена матрица функций ползучести Ртп (Ь) = атпртп (Ь). Тогда уравнения состояния (2) и (1) принимают вид

Аналогичным образом рассматривается случай, когда из эксперимента на релаксацию определена матрица функций релаксации Етп (Ь) = Атпгтп (Ь). В этом случае уравнения состояния (1) и (2) будут такими

Дальнейшее решение задач теории вязкоупругости в любой заданный момент времени ничем не отличается от решения задач теории упругости.

3. Основные соотношения уточненной теории изгиба изотропных упругих плит. Представим соотношения для напряжений, перемещений, моментов и перерезывающих сил, а также систему дифференциальных уравнений теории изгиба плит, предложенные в работах [5, 6]. Рассмотрим изотропную плиту, имеющую толщину Н и отнесенную к декартовой системе координат 0х1х2х3. Оси Ох1 и Ох2 расположены и срединной плоскости плиты, а Охз нормальна к этой плоскости. Представления для перемещений выбираем в виде

(l-2i/) /Е = (1-217) /Е,

(5)

Pmn — Pmn (t) 1,

mn

Ul — -X3 [9i p (X1,X2) - (xi ,X2)] ,

У>2 = —Хз [дэ^ (Х1,Х2) + д\ф (Х1,Х2)] , из = ■ (Х\,Х2) . (6)

Для построения уточненной теории изгиба плит используются уравнения закона Гука в форме [5]

о\ = Еи (е\ + иеэ) ,02 = Еи (£2 + V£l), ов = Сев, 05 = Се5, 04 = Се4; (7)

геометрические соотношения

£1 = д!«1, £2 = д2П2, £в = ди + дэЩ, £5 = дзП1 + д1Ш, £4 = дзП2 + дэш; (8)

трехмерные уравнения равновесия без учета объемных сил

д101 + д2ов + дз05 = 0, дюз + д2&2 + дз04 = 0, (Ьо5 + д204 + дзоз = 0, (9)

где г\ = д/дх,г, (г = м), Е^ = Е/ (1-й2), О = Е/ [2 (1 + г/)].

Заметим, что к первым трем уравнениям закона Гука, являющимся уравнениями классической теории Кирхгофа, здесь добавлены еще два уравнения. Из соотношений (6) - (9) найдены выражения для напряжений

01 = Хз^ь о 2 = Хз^2, о в = ХзБв, (10)

ч-^-^К (И)

8 V Н2 ) 5 4 8 V Ь2

Ь2 / 4хз Ь ^ о-з - (•'•:■, тгф ■ т;) (9155 + д2в4), (12)

$1 = —Еи[(д? + ид%) р — (1 — V) д1д2ф] , 52 = —Еи[д + ^д?) р + (1 — V) д1д2ф] ,

5з = -Е„ (1 - и) (д&р + \{д1- д|) ^ , (13)

55 = д151 + д2 5в, 54 = д1$в + д2 52.

Напряжения статически эквивалентны моментам М1, М2, Мв и перерезывающим силам и

Н/2 Н/2 Н/2

Ьз Ьз Ьз

Мг = / а 1хз(1хз = М2 = / 0"2ж3йж3 = у^52, М6 = / сг6х3(1,х3 =

-Н/2 -Н/2 -Н/2

Н/2 Н/2

Ьз Ьз

Яъ= / 0"5ЙЖ3 = —55, (^4 = / = — 54. (14)

-Н/2 -Н/2

Отметим, что представления для напряжений (11) и (12) удовлетворяют граничным условиям на плоских гранях плиты

а5 = а4 = 0, а3 = Q при х3 = Н/2, и а5 = а4 = а3 = 0 при х3 = -Н/2,

если

+ д2Q4 = (15)

Здесь Q - нормальное давление, действующее на пластину.

Касательные напряжения а5 и а4 через функции перемещений могут быть получены также из уравнений закона Гука (7). С учетом соотношений (6) и (8), находим

а5 = Се5 = С (д^ - д1< + д2ф), а4 = Се4 = С (д2W - д2< + дф.

Эти соотношения входят в противоречие с представлениями (11). Корректный результат можно получить для поперечных усилий

Iг/2

Q5 = ! а5(1хз = СН (д^ - д1<р + д2ф)

-Н/2 Н/2

Q4 = J а4(х3 = СН (д2т — д2< — д1ф). (16)

-Н/2

Таким образом, для определения функций <, ф и и> имеем уравнения (14), (15) и (16). Подставляя Q5 и Q4 из (14) в (15), с учетом (13) получим

ВАА< = Q, А = д2 + д22, В = Еи Н3/12. (17)

Сравнивая правые части соотношений для Q5 и Q4 из (14) и (16), с учетом (13) найдем

2НС 12 В

Аф-к2ф = 0, к2 = в _ =1-2, ь> = <р--А<р, С = С1г. (18)

Таким образом, получена система уравнений изгиба плит (17), (18), имеющая шестой порядок. Это позволяет удовлетворить трем граничным условиям на боковой поверхности, имеющим место в теории изгиба плит.

4. Построение решений дифференциальных уравнений теории пластин. Для построения решения дифференциальных уравнений (17) и (18) используются функции обобщенных комплексных переменных.

4-1. Бигармоническое уравнение. Введем в операторы А = д1 + д% дополнительные слагаемые так, чтобы они приняли вид А1 = (1 + е)2д\ + д^, А2 = (1 — е)2д2 + дЦ, где е - малый параметр [8]. Тогда бигармонический оператор АА превращается в обобщенный бигармонический А1А2. Корни характеристического уравнения теперь

не являются кратными и имеют вид = (1 + е)г, ¿¿2 = (1 — ь)'/-, = — (1 + е)г,

Тк = -(! -Ф-

Общее действительное решение однородного уравнения (17) через произвольные функции обобщенных комплексных переменных можно представить так [7]

р = 2 И,е [р1 (г1) + р2 (г2)], = Х1 + ^Х2 = Х^ + ix2j.

Функции рj определены в областях 5j, которые получаются из области 5, занимаемой срединной плоскостью плиты, аффинными преобразованиями Х 1 j — Х1 • Х2j = (1 ± £)Х2 [7].

4-2. Уравнение Гельмгольца. Рассмотрим способ решения уравнения (18) для усложненного оператора А = а2д2 + д|, где а - вещественное число. Преобразуем уравнение к виду

[к2 — (д-2 — цд\) {&2 — Тьд 1)] "Ф = 0- № = V- = —'!'а- (19)

Для интегрирования уравнения (19) введем обобщенную комплексную переменную х = Х\ + ¡ЛХ2 и сопряженную ей величину Г = Х\ +~Цх2- Это позволяет ввести операторы

д д д „ д д _ д . ч 91 = — = ^ + ^=, д2 = + . (20

ОХ 1 ОХ ОХ ОХ 2 ох ох

Подставляя соотношения (20) в уравнение (19), получим

ф(хъх2) = 0, д2 = -к2/{ц--р)2. (21)

д2_ дхдх

Функцию ф (Х1, Х2) представим в виде произведения функций различных аргументов

ф = и (т) п (8), (22)

где т = 2дг, г = (хх){1/2), 8 = (х/х){1/2).

Подставим представление (22) в уравнение (21). Разделяя функции, получим следующие обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций и (т) и п (8):

т 2и" + ти' — т2 и = си; (23)

82п" + 8п' — сп = 0. (24)

Уравнению (24) удовлетворяют функции сп8п при значениях разделительного параметра с = п2 (п = 0, ±1, ±2,...) соответственно. Уравнение (23) получится та-

т2и''п (т) + ти'п (т) — (т2 + п2) ип (т) = 0. (25)

Общее решение уравнения (25) при целых значениях величины п имеет вид [10]

и (т) = впТп (т) + ¡пКп (т) ,

где 1п (т), Кп (т) - модифицированные функции Бесселя; еп, ¡п - произвольные постоянные.

Соотношения (22) с учетом найденных решений запишутся так:

фп = Сп (еп 1п (т) + ¡пКп (т)) вп. (26)

Общее решение уравнения (19) представляется в виде суперпозиции функций (26):

те

ф (XI, Х2) = 2Яв^ [Еп1п (т) + Еп Кп (т)] зп, (27)

п=0

где Еп и Еп - произвольные комплексные постоянные.

При рассмотрении задач для неограниченных областей в представлении (27) следует выбрать убывающую на бесконечности ветвь. Соответствующее решение примет вид

те те

ф (Х1,Х2) = ЕпКп (т) 8п = Епфп. (28)

п=0 п=0

В представления для перемещений, напряжений, моментов и перерезывающих сил входят производные от функции ф. Производные от функций фп = Кп (т) 8п найдены путем использования соотношений, связывающих функции Бесселя с различными индексами [10]:

фп = Кп (т) 8п, ф1п = д\фп = -Ч {Кп-18п-1 + Кп+18п+1) ,

Ф'2п = д2фп = ~Ч (¿1Кп-\8П~1 +~ЦКп+18П+1) , ф11п = д2фп = Ч2 {Кп-28п-2 + 2Кп8п + Кп+28п+2) , (29)

022,г = д22фп = Ч2 ((1?Кп-2*П~2 + 2^Кп8П+Т12Кп+28П+2) , 012« = дгд2фп = ч2 (/лКп-2зп~2 + (м +Ю Кп8п +^Кп+28п+2) .

5. Граничные условия на боковой поверхности. Рассмотрим напряженно-деформированное состояние плиты, ослабленной криволинейной полостью, боковая поверхность которой представляет собой цилиндр с образующими, нормальными плоским граням. Граничные условия для криволинейного края с нормалью п определяются способом закрепления и нагружения поверхности. Пусть Р(Х1 ,Х2,Хз) -нормальная, а Т(х1,х2,х3) и N(х1,х2,х3) - касательные составляющие внешних сил, приложенных к боковой поверхности полости. Если Р = Т = N = 0, то край считается свободным от усилий. На внешней боковой поверхности также могут быть заданы усилия интенсивности а0 = р1х3, а° = р2х3 и а0 = р6х3. Полагаем, что внешний контур находится вдали от полости и их взаимным влиянием можно пренебречь. Тогда граничные условия на боковой поверхности полости примут вид

П1а1 + Н2а6 = П1 (Р - Р1Х3) - П2 (Т + р6х3), па + П2а2 = П1 (Т - РбХ3) + П2 (Р - Р2Х3), па + П2а4 = N. (30)

Метод переменных коэффициентов упругости решения задач изгиба Направляющие косинусы при параметрическом задании контура будут такими

п\ = сое (п,х 1) = (1x2/(11, П2 = сое {п,х-2) = —йхх/б!, (II = ^((¿Ж2 + йх^). (31) Рассмотрим случай, когда внешние усилия представлены в форме

Н2 / 4Х2\

Р = х3Р1(х1,х2), Т = х3Т1(х1,х2), N = — I 1 - ) ЛГ1 (жьж2).

Тогда в соответствии с представлениями (10) - (11), условия (30) запишутся так: П151 + П25в = П1 (Р1 — Р1) — П2 (Т1 + рв),

щ5в + П252 = П1 (Т1 — рв) + П2 (Р1 — Р2) , П155 + П254 = N1. (32)

Подстановка представлений (13) в (32) дает уравнения для определения функций р и ф:

2

2И,е ^ (п1Т^ + П2Щ) р'■ + [щпзд1д2 + П2Гвз (д| — д^)] ф = j=l

= п1 (Р1 — Р1) — п2 (Т1 + рв) ,

2

2И,е ^ (nlrвj + п2^) р" + [п2Г2зд1д2 + п1Гвз (д| — д^)] ф = j=l

= п1 (Т1 — рв) + п2 (Р1 — Р2) ,

2 6

211е ("1Г53 + П2Гц) Ч>"'з + (?г1г5з92 + п2Пгд{) ф = N1, (33)

j=l

р"3 = д2р3/дг], р'"3 = дРрз/д^, Гц = -ЕУ (1 + , Гвз =

Г2' = —Еи (¡2 + ^ , Г5' = —Еи (1 + 12) , Г4' = 1 Г5' , (з = 1, 2) ,

Е

Г13 = Г53 = ~л \—, Г23 = -п3, Пуз = гГз/2, г43 = -г53. 1 + V

Интегрирование граничных условий (32) с учетом однородного уравнения (15), а также соотношений (31) дает

2 П" )

211е У^ —р\(1 — и)д1 ф = (рвх 1 ~Р1Х2)+ / {Р\йх2 +Т\йх\ + Л^жО+сз^+сь

j=í 1 '

j=1 0 2 1

2И,е Г2'рj — Еи (1 — V) &2ф = (рвХ2 — Р2Х1) — (Т1(1Х2 — Р1 (Х1 + N(Х)— СзХ2 + С2, j=l 0

2ReEv [/xi (1 + p'{ + /х2 (l + (J$) p'2] + = ^ + c3, (34)

i

где N = / Nidl. 0

Таким образом, граничные условия (32) для определения функций p j (zj) и ф можно использовать в формах (33) или (34).

6. Представление решения для плиты с эллиптической полостью. Пусть плита ослаблена полостью в виде цилиндра эллиптического сечения с образующими, нормальными плоским граням. В сечении срединной плоскости 0xix2 имеем область S в виде плоскости с эллиптическим вырезом. Главные оси эллипса направлены по осям Ox i и 0x2. В этом случае уравнение эллиптического контура в параметрической форме можно записать так

a bi

Х\ = a cos 9 = — (а + 1/а) , х2 = bsinff = — — (а — 1/а) .

Здесь а = cos в + i sin в, a и b - полуоси эллипса, в - полярный угол. Уравнения контуров в областях Sj, где определены функции pj (zj), будут такими

m<'

tj = х\ + ¡j,jX2 = Rjcr Н---, Rj = (а — i/j,jb) /2, m.j = (а + i/j,jb) /2. (35)

Уравнение контура (35) позволяет записать функцию, конформно отображающую внешность единичного круга на внешность эллипса в области Sj:

n mí

Zj = Х\ + HjX2 = RjSj Н--9 = г ja, Vj > 1.

Функции pj (zj) будем искать в виде ряда

те

р, (г,) = апз. (36)

п=1

Отметим, что на граничном контуре г, = 1 имеет место равенство я, = а.

Для получения системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов функций (36) и (28) функции, входящие в условия (34), необходимо разложить в ряды по степеням переменной а. Представления функций р', и р'', на граничном контуре будут такими

те те те N

4(*;) = Е^г> ^(*;) = ЕЕЕ(37)

п=1 п=1 к ■> п=1 к=2

1 L

ajkn = ~J

p=i

—n

_ к

ap~l {Rjap ~ mj) P

L > 2N + 1. (38)

Здесь ар = ехр(гвр), а 9Р - равноотстоящие узлы, расположенные на интервале (0, 2п]: 0 <01 <62 < ...<дь = 2п.

Преобразование представлений (29) продемонстрируем на примере функции (28). Она может быть записана так

те те N

ф (Х1,Х2) = Рп Фи = + £0+1^+1^] . (39)

п=0 п=0 к=0

Для вычисления коэффициентов матриц использованы формулы

а L а L

= ~J~ ^ wn (dp) /(Тр, 1 = — ^ Wn (9р) СГр.

p=1 p=1

Здесь, как и в случае вычисления по формуле (38), введены равноотстоящие узлы

®к = 2, если к = 0; ak = 1, если к > 0 [11]. Аналогичным образом строятся разложения других функций (29).

Подставим в граничные условия (34) функции (37) и разложения функций (29) в форме (39). Выделяя выражения при одинаковых степенях переменной а, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов функций (36) и (28). При этом коэффициенты функций (28) выбирались в форме Fn = an3/Kn, где Kn = max (Kn (2qr*)), а r* принадлежит граничному контуру. Полученное решение (39) может быть использовано при исследовании краевых задач для областей с границами, близкими к круговым для произвольных толщин плиты.

7. Формирование матриц уравнений состояния, меняющихся во времени. Рассмотрим задачу определения значений интегральных операторов, входящих в уравнения состояния для случая изгиба изотропной плиты. Из упругих постоянных матриц amn или Amn формируются матрицы интегральных операторов amn или Amn. Наиболее предпочтительной для формирования является матрица amn изотропного материала с элементами, отличными от нуля

aii = a22 = азз = 1/E, au = a55 = a6e = 1/G = 2(1 + v) /E,

ai2 = a2i = ai3 = a3i = а2з = a32 = -v/E. (40)

Отметим, что из экспериментов на ползучесть или релаксацию определяются операторы именно технических упругих постоянных. Из упругих постоянных матрицы amn формируется матрица интегральных операторов amn. Это осуществляется путем замены модуля Юнга E, коэффициента Пуассона v, модуля сдвига G, входящих в соотношения (40), линейными интегральными операторами Е, V, и G.

Элементы обратной матрицы Amn более сложным образом зависят от технических упругих постоянных. Поэтому для определения элементов матрицы Amn можно воспользоваться соотношениями (3).

В работе [9] приведены опытные данные об изменении коэффициента Пуассона во времени в медных образцах. Оператор V аппроксимировался с помощью дробно-экспоненциального оператора с ядром Работнова

Т7 = и[1 + х(-&)]. (41)

Упругие и реологические характеристики для меди приведены ниже: С = 4.5126 х 104 МПа, Е = 2(1 + V) С, = 6.65 х 10-3 е-(1+а),

ви = 9.2 х 10-3 е-(1+а), V = 0.25, а = -0.5. (42)

На примере данных для приведенного материала покажем два способа построения матриц уравнений состояния атп. Первый способ основан на использовании интегральных операторов с дробно экспоненциальным ядром Работнова. Свойства этих функций делает возможным построение резольвенты по заданному ядру. Однако точное описание вязкоупругих свойств реальных материалов приводит к ядрам более сложной природы. Для таких операторов построение резольвенты в аналитической форме наталкивается на непреодолимые трудности. В работе В.Г. Громова [12] показано, что построение алгебры операторов Вольтерра не связано с каким либо их специальным видом и может быть осуществлено для любых резольвентных операторов. Это обстоятельство делает возможным реализацию решений граничных задач вязкоупругости во времени проводить алгебраическими методами. Решение может быть осуществлено с использованием произвольных операторов и выражено через значения этих операторов, заданных непосредственно таблицей экспериментальных данных. Использование произвольных операторов и составляет второй способ построения уравнений состояния.

Исходный оператор (41), а также реологические данные (42) дают возможность определить экспериментальную кривую ползучести (Ь), то есть,

V=V [1+э*а (-ви)] = vpv (ь) .

Кривая ползучести (Ь) является исходным материалом для построения элементов матрицы состояния атп.

7.1. Первый способ построения элементов матрицы состояния. Приведенные в работе [9] опытные данные не содержат информации для определения операторов Е или С. Используем предположение об упруго сжимаемом материале. Тогда, на основании равенства (5), соотношений алгебры операторов, а также известной зависимости 1/С = 2 (1 + V) /Е, последовательно найдем

= = ^ [1 + Аеэ; (-&)] , Ае = 2иК/{1-2и), ре=р„- Ае,

ЕЕ

= 771Л^;,( ^ = (1_2у1 + |/)> (43)

Е Е1 ™ ач ' ^ ^ 1 - 2v

Операторы (43) могут восполнить недостающие данные для представленного выше материала.

7.2. Второй способ построения элементов матрицы состояния. Вместо оператора Э* (-^) с дробно-экспоненциальным ядром Ю.Н. Работнова введем произвольный оператор рV. Тогда значение этого оператора через экспериментальную кривую выразится так

Р** = РV (Ь) - 1-

Далее из равенства (5), используя значение оператора р*, определим функцию релаксации ге (Ь)

2и

E — E

1 -

~PV

— Ere (t)

1 - 2и

Оператор, обратный к оператору (44) будет таким

1 Ё

1 Ё

1 +

2v

1 — 2v

Pv

2v

1

= дPe (t)

(44)

(45)

1 -

Для определения оператора р* надо вначале найти функцию ползуче-

сти ре (Ь). Эту функцию найдем через функцию релаксации ге (Ь) по формуле (4), которая для элементов матрицы будет такой

Ре (¿к) = - ^Ре (¿к-г) [Ге (к) - Ге (¿г-х)^ Ре (¿о) (п = 0, 1,---, Ю) -

После нахождения функции ползучести Ре (Ь) из формулы (45) находим значение оператора через эту функцию

Pv

2v

1 - 2v

Далее определяем операторы

= [Pe (t) - 1] (1 - 2v) / (2v) .

V V 1 * ( 2v w 1 1 V

— — — 1 — 2v \1 — 2и) — — 2 --u —

E E ' G E E

Таким образом, по известным из экспериментов функциям ползучести двумя способами определены значения матрицы состояния атп. При этом, второй способ не требует построения ядер специального вида, а использует непосредственно таблицу экспериментальных данных. Для определения матрицы Атп уравнений состояния (1) следует воспользоваться соотношениями (3), где в качестве исходных данных используется матрица

amn — amn (1 + pmn) — amnpmn (t) — Pmn (t) — P (t) .

Временные матрицы позволяют решать задачи вязкоупругости в любой момент времени как обычные задачи теории упругости. Таким образом, решение граничных задач вязкоупругости сводится к решению задач теории упругости в произвольный

момент времени. При этом уравнения закона Гука заменяются уравнениями состояния (1) - (2).

8. Численные исследования. При численном исследовании напряженно-деформированного состояния плиты с эллиптической полостью будем использовать безразмерные величины. Они получаются делением линейных величин - координат Х1, Х2, полуосей эллипса а и Ь, толщины плиты Н, перемещений иа - на характерный линейный параметр. В качестве такого параметра будем использовать величину К = тах(а,Ь). Безразмерная координата Х3 получается делением исходной координаты Хз на полутолщину плиты. Тогда переменная хз будет изменяться на отрезке [—1,1].

Деформация осуществляется изгибающими усилиями = Х3Р1, действующими на бесконечности. Напряжения

= и\Б1 + 2п1П2Бб + п^Б2.1

БгЗ = (П1^5 + П2^4) ,

Бгв = (Б 2 — Б1) П1П2 + Бб п — п2)

на свободном от усилий граничном контуре, как следует из условий (32), равны нулю. Наибольший интерес представляют величины, определяющие концентрацию напряжений на контуре полости

Бв = п2Б1 — 2п1п2Б6 + п2Б2,

(46)

Бзв = (—п2Б5 + щБ4) Н2/8.

Своего максимального значения величины Б$/р1 достигают на контуре при в = п/2 и в = 3п/2, а минимального при в = 0 и в = п. Величины |Бзв/р\ для кругового контура максимального значения достигают при в = ±п/4 и в = ±3п/4. Для эллиптического контура этот максимум сдвигается в сторону вершины с большей кривизной.

В табл. 1 приведены результаты численных исследований для плиты с круговой и эллиптическими полостями. Исследования проведены для различных относительных толщин плиты Н в моменты времени Ь = 0 ч. (упругое состояние) и Ь = 300 ч., когда установилось стационарное состояние [9]. Для каждого значения времени Ь приведены две строки данных. В верхней строке отражены максимальные, а в нижней - минимальные значения концентрации напряжений.

Анализ численных исследований и данных табл. 1 позволяет сформулировать следующие результаты:

• значения максимальных напряжения Б$/р1 в упругом и стационарном состояниях мало отличаются друг от друга;

• напряжения Бзв с увеличением толщины плиты стремятся к нулю;

• напряжения Б$/р1, возникающие при изгибе плиты с полостью, в зависимости от толщины плиты лежат в границах между решениями задач изгиба в рамках теории Кирхгофа и решениями соответствующих задач плоской теории упругости.

Таблица 1

h 0.1 1 10

Se/pi S30M Se/pi SM/PI Se/pi SM/PI

a = b = 1

t = 0 1.796 0.204 0.529 -0.592 2.017 -0.017 0.484 -0.484 2.781 -0.781 0.197 -0.197

t = 300 1.858 0.142 0.502 -0.502 2.080 -0.080 0.453 -0.453 2.805 -0.805 0.176 -0.176

a = 0.75, b = 1

t = 0 2.078 0.205 0.615 -0.615 2.441 -0.018 0.549 -0.549 3.425 -0.810 0.204 -0.204

t = 300 2.159 0.144 0.584 -0.584 2.526 -0.082 0.513 -0.513 3.451 -0.831 0.182 -0.182

a = 1, b = 0.75

t = 0 1.596 0.192 0.462 -0.462 1.764 -0.083 0.412 -0.412 2.358 -0.818 0.153 -0.153

t = 300 1.642 0.130 0.438 -0.438 1.811 -0.144 0.385 -0.385 2.373 -0.838 0.136 -0.136

Действительно, для тонкой плиты из изотропного материала с круговым отверстием путем использования теории Кирхгофа получены соотношения [7]

max (Se/pi) = (5 + 3v) / (3 + v), min(Se/pi) = (1 - v) / (3 + v). (47)

В работе [7] при определении плоского напряженного состояния для пластинки с эллиптическим отверстием получены соотношения, которые для изотропного материала имеют вид

max (Se /pi) = 1 + 2b/a, min(Se /pi) = -1. (48)

Сравнение результатов, полученных по формулам (47) и (48) с данными табл. 1 при h = 0.1 и h = 10 соответственно, подтверждает сформулированный выше вывод.

Выводы. При помощи преобразования интегральных уравнений состояния задач вязкоупругости к временным уравнениям закона Гука в работе получено решение задач изгиба вязкоупругих изотропных плит в уточненной постановке. Предложена методика получения решений бигармонического и метагармонического уравнений уточненной теории изгиба пластин, учитывающей деформации поперечного сдвига. Методика основана на использовании функций обобщенных комплексных переменных. Проведены численные исследования напряженного состояния бесконечной плиты с эллиптическим отверстием. Дан анализ полученных результатов.

1. Нескородев Р.Н. О новом численно-аналитическом методе решения задач теории вязкоупругости анизотропных сред / Р.Н. Нескородев // Ыеник Донецького национального ушверситету. Сер.А: Природн. науки. - 2009. - Вип. 2. - С. 7-15.

2. Шевченко В.П. Новый метод решения задач вязкоупругости анизотропных сред / В.П. Шевченко , Р.Н. Нескородев // Доповвд НАН Украши. - 2010. - № 11. - С. 51-58.

3. Шевченко В.П. Численно-аналитический метод решения задач линейной теории вязкоупруго-сти / В.П. Шевченко , Р.Н. Нескородев // Прикладная механика. - 2014. - № 3. - С. 42-53.

4. Нескородев Р.Н. Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости / Р.Н. Нескородев // Труды ИПММ МОН ДНР. - 2015. - Т. 29. - С. 114-126.

5. Васильев В.В. Классическая теория пластин - история и современный анализ / В.В. Васильев // Известия РАН. Механика твердого тела. - 1998. - № 3. - С. 46-58.

6. Нескородев Р.Н. Представление решения уточненной теории изгиба изотропных плит

/ Р.Н. Нескородев // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2014. - № 4. - С. 65-73.

7. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. / С.Г. Лехницкий - М.: Гостехиздат, 1957. - 464 с.

8. Kosmodamianskii A.S. The Relation Between the Equations of the Two-dimensional Theory of Elasticity for Anisotropic and Isotropic Bodies / A.S. Kosmodamianskii, N.M. Neskorodev // J. Appl. Maths Mechs. - 1998. - Vol. 62, № 2. - P. 319-321.

9. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий / Г.Н. Савин - Киев: Наук. думка, 1968. - 887 с.

10. Никифоров А.Ф. Специальные функции математической физики / А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров - М.: Наука, 1978. - 319 с.

11. Березин И.С. Методы вычислений / И.С. Березин, Н.П. Жидков - М.: Наука, 1966. - Т. 1. -632 с.

12. Громов В.Г. Алгебра операторов Вольтерра и ее применение в задачах вязкоупругости / В.Г. Громов // Доклады АН СССР. - 1968. - Т. 182, № 1. - С. 56-59.

R.N. Neskorodev

Method variable coefficient of elasticity solution to problems of bending viscoelastic isotropic plate refined formulation.

The paper propose a solution to problems of bending of viscoelastic isotropic plates in a refined formulation. The method of solution is based on the transformation of integral equations state of viscoelasticity tasks to the time the equations of Hooke's law. Numerical study the stress state of infinite plate with an elliptic

Keywords: viscoelasticity, bend, plate, an elliptical hole.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 09.01.17

nromn@i.ua