Решение задачи дифракции на двух соостных осесимметричных телах с анизатропным импедансом Текст научной статьи по специальности «Физика»

18 января 2012 г. 2:19

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

Решение задачи дифракции на двух соостных осесимметричных телах с анизотропным импедансом

Методом диаграммных уравнений решено задача о дифракции электромагнитной волны на двух соосных телах вращения с анизотропным поверхностным импедансом. Краевая задача сведена к решению системы алгебраических уравнений относительно коеффициентое разложения диаграммы рассеяния в ряд по сферическим гармоникам. Разработанный алгоритм позволяет моделировать, > частности, характеристики рассеяния искусственно жестких и мягких тел.

Демин Д.Б., Кюркчан А.Г., Скородумова ЕА,

МТУСИ

Введение

В данной работе на основе метода лиафаммных уравнений (МДУ) носIросно решение задачи дифракции электромагнитных волн на двух телах с анизотропным импедансом. В пом случае полное электромагнитное поле на фаиицах рассеивателей удовлетворяет обобщенному нм-пслансному краевому условию, в котором поверхностный импеданс записывается в виде тензора с компонентами, соотве1с1вуюшим>| направлениям анизотропии.

Ранее МДУ был с успехом применен для решения ряда задач дифракции, в том числе - на фупис тел с изотропным импедансом |1-3). а также на одиночных отражателях с анизотропным импедансом |4). Численные алгоритмы. разработанные на основе »того метода, показали высокую скорость сходимости, слабо зависящую от геометрии отражателей и расстояния между ними. Последний факт связан с тем. что основными характеристиками, для которых ищется решение пос1авлснной краевой задачи, являются лиа!раммы рассеяния, представляющие собой сглаживающие функционалы от токов на поверхностях рассеивателей.

11ос1ановк*в 1алачи

Рассмотрим задачу рассеяния волн некоторого первичного монохроматическою электромагнитного ноля Е°, //" на двух компактных рассеивателях. Заметим, что предлагаемая в работе методика может быть распространена на произвольное количество тел. Геометрия задачи представлена на рис. I. Пусть на поверхностях S),

У = 1,2. заданы импслансныс краевые условия:

(й,х£)|( =.*,[», х(л, х/?)]| . (I)

где п - единичный вектор внешней нормали к поверхности 5/. ¿/ анизотропный поверхностный импеданс

(тензор), который, в общем случае, имеет вид:

г„ г,

(2)

Компоненты и в соотношении (2) отвечают главным направлениям анизотропии вдоль единичных векторов /, и . касательных к поверхности Я, • Вектор

/ф перпендикулярен векторам /г/ и /7(. и вектор ¡9 также перпендикулярен п.. Мри этом полагается, что векторы /ф , и п образуют правую тройку.

Ё°,Н°

Рис. I. Геометрия залами

В соотношении (I )£ = £%£,' + £!.// = //" ♦ //,' + Н\ -полное поле. Ё\. Н\ - вторичное (дифракционное) ноле, которое всюду вне поверхностей удовлетворяет однородной системе уравнений Максвелла

ух£; = -,*0^«;.ухй;=^£;.

( и - волновое число и вол-

новое сопротивление среды, соответственно), а также условию Зоммсрфсльда на бссконечносгн

С ведение »влачи к системе алгебраических уравнений

Рассмофим кратко схему сведения краевой задачи к системе линейных алгебраических уравнений на основе МДУ. Как уже было отмечено выше, согласно этому методу. искомыми являются диаграммы рассеяния тел, т.с. функции, определяющие зависимость дифракционного поля от углов {в .<р ) в сферической системе координат

(г ,0,<р ) У -го тела в так называемой дальней зоне (при

ния вида |5|:

г-а*!?:»,,!-»

I

(V,)', 1

(V,)'

20

Т-Сотт, #11-2011

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

в которых , г" - диаграммы электрического и магнитного полей СООТВСТСТВСННО.

Воспользуемся следующим разложением днафаммы рассеяния (см., например. |6|) электрического поля:

и' (О, .«»,)=2 4Сг[1 * ф _<0,.«»,))- X X ьус ф .«»,)•

(3)

где

х )ехр(//п<р/), у = 1,2.

Для получения алгебраической системы уравнений относительно неизвестных коэффициентов а'нт%Ь1т, введенных в соотношении (3), представим волновые поля Е и Н в виде следующих разложении:

/.I Г.1

" = й"+£11 )♦К">Л.<р,>).

(4)

где волновые сфсричсскнс функции выражаются с помощью формул:

Я* =УхУх(г,(|/;«>,,«>,)). Н2,=—Чх(гу-(0гр1))Л5)

*90

)АГ(с°80, )ехр(/лф/) . (6)

7 = 1.2.

К2 (к0г/) - сферические функции Ганксля второго рода, (со$0) - присоединенные функции Лежандра степени /7 порядка т (7|.

Из уравнений Максвелла нетрудно получить следующие интегральные представления для вторичного поля Ё\.Н\:

*,-/{£[* х V х (/;с0,)]+¿, [V х (/;с0<)][*;. (7) «: = /)-^г[УхУ>'(/';с.,)]+^х(7;с.))])<й;

,.2)

. (*)

'М^И,,: г=",*(*, *4 =гп,н,-н1 =-н„ [.

НщшЩгЙ. (9)

С0- функция Грина свободного пространства, которая при г> г представима рядом

ехр<-/*0|г>-г;|)_

СЛ'гг,) = —. I- ■

М)г-(*Г)-• (,0)

4яг/£(л + от)! 7 '

Здесь уя - сферические функции Бесселя /; -го порядка. черта сверху у величины в соотношении (14) обозначает комплексное сопряжение.

Далее, с использованием формул (4) - (10) искомые коэффициенты мот быть выражены в визе интегралов (6):

^ (2л + 1) (л-лт)!

л(л + 1)(л + т)!

^(г,.е,.¥,,) = ^7х(г;Л(г<,в,.

В итоге, подставив в соотношения (11) и (12) разложения (4). получим систему линейных алгебраических уравнений МДУ:

«„=ОЦ1 («££<.+<ОСД

Ы .--I р—\

(13)

/■1 •*—I /|*-г

л = 1,2,...; | т |< л, у,/ = 1,2, у * /.

В этой системе все коэффициенты вычисляются как сумма из двух составляющих:

С!„=С,Л„+С1Ч„],1 = 1,2.

где индексом 0 обозначены значения соответствующих величин при значении импеданса, равном нулю = 0. а индексом г - добавочные слагаемые, обусловленные отличием величины импеданса 21 от нуля.

Коэффициенты а£% Ь£ системы (13) вычисляются с помощью следующих интегралов:

«Г —/(я,

О- = 77*- К (й, х(й, х"°)) ¿К'/-®/-«',)*, ’ *Г =^ЛГ- К«, хЯ’) £.(»>•*,•<*/хь,.

Р/ ("/ *("/* "’)) ^.<Г/-вУ<0/)*/'

Элементы матрицы полученной системы МДУ выражаются в виде соотношений:

С1".,т |(», X6;.я)) С^.(г1.0,.<р1 )<Л,.

с!'£ = {(»,хй;(а.й)) ЪгЛ’Р,)*, ■

с'Л.С |(й, ¡С^.в^Хк, -

с*” =¿-4. Жй/ V*, •

е2£ =£*-р,(» х(д,хн*(,.^.„)))ЪгЛ.%^,• “¿гл- р,(й< ёЦ'гв,ъ )*, •

Т-Сотт, #11-2011

21

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

С^ = —г Л'_ /¿,(й,х(й, */?>,.<!.*»))) %.<г,.0,.»>)А( •

Ч

у./= 1.2.

Дчя вычисления коэффициентов СЦ^, С£^,. <?** при у # / целесообразно воспользоваться теоремами сложения для векторных сферических функции | К-101:

>3 X X -С<Г )А^(г .<1 .<» )♦ 4л«</‘ -0 •«*«•*, > ■

^ .<.* )/> I/ .4 л9

где ги.6н.фи - сферические координаты «центра» у- го тела ит иентра / - го.

Коэффициенты А£(г^в1г<р0) и оп-

ределяются следующими соотношениями:

¿ацт.А’Ъ)=(-о'’ X «(^.г!-/;,</1 ')«(>'.</.'ж:’(*г/()■

н^и

■ /?"*(СО50„ )ехр(|(//-</)«»,, ].

я;”) = с-1)'"' ^ "О'-1,1-/>.</и,.>)•

»И»-«!

■ Р* *(соьОц )ехр(;'(// - г/Но, 1.

в которых

(^(1/ + |) + 1'(1' + |)-*(1 + 1)),

2?(9 + 1)

/Кі'.ч.ї) = т-((1'+9+1+1К<;-1'+»Х>’-«+*Х>’+»-1+1))''.

ІХї+і)

н

(і' - //)!< р - ч )!(* + // + />)! ]

(у ч *¥•’ ч > \

1« О <>А/' Р -м-р)

[(и-//)!(р-?)!(і + // + /))!]

/*'»'¥*'« • І [о 0 оЛ^// р -М-Р)

Множите.™ [ *' Ь 7 |,

^ т, т: -(/я, + т:))

I, входящие в фор-

мулы, - 3у -символы Вигнера, связанные с коэффициентами Клеоша-Горлана следующим соотношением ([7|):

(У' /: ' | = (-1)*"л*"(2у + 1)'т(У17:я»|1,1.|ут).

^т, «, -т)

Определив диаграммы Гхк(в,(р) и /\£(0,0>) для каждого и» рассеивателей, получим общую диа!рамму рассеяния двух тел по следующей формуле:

^£(*иО-ЗД*<А*)+&££(А<»)'

где

Я = е>ч>' . ^ = (ею 0п сое <р0; вт 0О Б1П <ри; соб 0а }. В случае тел вращения тенторы анизотропного импеданса 7. имеют следующий вид:

где компонента Z4,/ соответствует направлению анизотропии вдоль вектора единичного вектора в сферической системе координат (здесь /, = Т ). Тогда вектор можно представить в виде: ^ = (1¥/ х п/).

Поле Ё/ можно записать следующим образом:

£, = £.Л,+£/А + £,«,- <15>

В сферической системе координат для векторов ¡ь и /і имеет место:

",1 =у(1,г«,+'»/,)• *■,=+г»; • *у */

= р/(01.<р1) - уравнение поверхности 5,.

Подставляя формулы (14И15) в краевое условие (I), получим:

Е*/ь *%І0/Нр/ )//; + (2^Н/, )/,. •

Отметим, что для корректного применения МДУ к задаче дифракции на группе тел необходимо учесть два ограничения. Первое и» них состоит в том. что рассматриваемые объекты должны относиться к классу так называемых слабо невыпуклых тел (4|. Таковыми, в частности, являются все выпуклые тела. Второе является ограничением на расстояние между отражателями и требует, чтобы они не соприкасались 11-3], 111 ].

В заключение приведем асимптотическое (при кгь 1) решение задачи. Введем следующие обозначения: Р‘(.г„к,;ё)ш ре(г0, *,)•?.

ё - единичный вектор поляризации падающего поля.

Г0 = — = {5ІП0СО5^.5ІП05ІП^.СО50} - СДИНИЧНЫЙ Г

вектор в точку наблюдения.

.. а

к0- — = \s\i\ в0 С08^11.НІП в0 5ІП ^„.СОБ^,) ■ слннич-

к

ный вектор направления падения первичной волны.

Р1 (г0*ко) - тензорная (аффинорная) диаграмма. Дсимігтотическос решение имеет следующий вид 112)

/•/(?„*.)=Л/Г'(г.Л)+0^і(го,,„)Р‘(ч„,к,)< и=1.2

(16)

гле 9»=—. , д = —і- . г0, - радиус-

гч Ч

вектор из общею пача;іа координат в центр у - го тела;

Р'*(ги,к0) - тензорная диаграмма у - го тела без учета

взаимодействия с другими телами.

Из (16) имеем

у./=і.2

(17)

Найдя нз(17) величины Уг(д^,к{)) и подставив их в

3->*£,ГД|

й я

0=2пта • ч, - радиус сферы, описанной вокруг у - го тс.за.

(16). получим решение задачи, пригодное при й > - где

О

(14)

Работа выполнена при тнкУсржкс Российского (/миккі фушкшснпниьчых исследовании, проект №>9-02-М)126-а.

22

Т-Сотт, #11-2011