CC BY
40
Решение трехмерной задачи дифракции методом элементарных рассеивателей
Ключевые слова: моделирование, дифракция, характеристики рассеяния, метод диаграммных уравнений, элементарные рассеиватели, плоский диск
Предложен метод моделирования характеристик рассеяния трехмерных тел сложной геометрии путем замены их на группу тел более простой формы (элементарных рассеивателей), которые в совокупности составляют исследуемое тело. Разложение диаграмм рассеяния в ряд Фурье на сфере позволяет свести задачу к решению соответствующей системы линейных алгебраических уравнений. Эффективность подхода продемонстрирована на примере плоского диска.
Коровин В.Ю.,
аспирант, МТУСИ, [email protected]
Кюркчан А.Г.,
д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой теории вероятностей и прикладной математики, (МТУСИ), вед. науч. сотрудник, ИРЭ им. ВА. Котельникова РАН (г. Фрязино) [email protected]
Идея метода элементарных рассеивателей (МЭР), предложенная в работе [1], показала высокую эффективность при нахождении решения задачи дифракции в двумерном случае. Поэтому вполне естественным было распространить ее на трехмерный случай.
Напомним, что в методе элементарных рассеивателей цилиндрический рассеиватель заменялся группой круговых цилиндров (элементарных рассеивателей). Далее соответствующая задача решалась методом диаграммных уравнений (МДУ) [2-5]. При этом использовалось одномодовое приближение, когда диаграмма рассеяния каждого элементарного рассеивателя аппроксимировалась константой. В результате задача сводилась к решению системы из N уравнений, где N - число элементарных рассеивателей. Решение, полученное с использованием МЭР, имело приемлемую точность. В трехмерном случае в качестве элементарных рассеивателей будут выступать сферы малого по сравнению с длинной волны радиуса.
Рассмотрим задачу дифракции на N телах. Граница 5,
каждого тела описывается уравнением р,(в.,<р.), которое
заданно в сферической системе координат относительно центра У -го тела. Тогда полное поле в силу линейности уравнения
Гельмгольца, представимо в виде суммы первичного поля Vй и полей рассеяния каждого тела:
и=и°+и\+и\++и\.
В качестве первичного поля мы будем рассматривать поле плоской волны, падающей
под углами (0о,(ро), однако полученные ниже результаты
можно распространить на произвольные поля. Предположим, что на границе каждого тела выполняется импедансное краевое условие (рис. 1):
(
= 0. О)
U + W.
8U
дп.
Тогда система интегрально-операторных уравнений МДУ для этой задачи имеет следующий вид [5]:
¡л ЯК
* Ф, Sgj
I—;---------- ------
sin# дф, d<pt
ИгрХО.ж)sin<9 «&ctg,lct,p-,0„q>,)+*-^-sin0, ^- +
‘ 11 ' 1 iJ дв, '80,
. *л(в,®,Хсо5У -соэдО . .......... ,
Kjb'yfi)*<?!# y sin cldo!dpdd^tpj +
\e 'l‘ ‘ gia(a%p-.n-cl,p)^n-cl,lj\e^<mddddp,
¿TCI / I 0 0
l*J
(2)
где g°\oc9/3) - «диаграмма» падающей волны, gt(a^p) -диаграмма рассеяния j -го тела:
2 ял
\\1(вгф1 )К1{у-,вгф1 )<xpdkpJ(ffr<ffJ)<xsyJ ЩеЩ,
00
(3)
2 ж»
gj(a,P)= er<p,)exp(ikp, (01,<Р1)cos у, )dOld<pt,
о о
(4)
ІЯІг
g,t(a,/}) = J j'[' (0,,<р,)К ехр( ikp,(0r <р,) cos у, )ddid(pi,
В (3)-(5) введены следующие обозначения:
W, ( др, Seos у. I до, 8 cos у Л
I--- р eos у s¡n0 ---±%т6------------------‘--
ddj sin вІдірІ dq>) J
p; +
,80:.. \ I J j
( dp,V
cos у, = sin 0; sin a cos(cpj - /?) + cos в, cos a cos', = (sin ( sin( ( ( )sin
(cos cos ( sin ; sin ,cos( ,))cos
Для получения алгебраической системы МДУ воспользуемся разложениями диаграмм рассеяния в ряд Фурье на сфере:
= ¿ ¿ Р; (cos a )e‘Mf (6)
пя0тт-п
и после подстановки в ((2)) получим следующую
алгебраическую систему
aL = аІІ + ZGiuvflL + ¿¿ Z > (7)
»>=|т| /»1 v'=0//--w*
где
= Г"1 u:smt¡ \(kPj )2 h/2’ (*r, )p; (cos в,) -
dp, ... c/Pm (cos (9.)
-*-^h2’(*>-)—----------
86. ‘ ' d0,
(8)
gí„=í"k Z'"' Í (kp, f j;<kr, )p; (cos o,) -
C?L(0y.<»/)sinfy/0y,
dp і. d P"(cos0,)
-k—t-j tkr )——-----------^
06»/« ' í/в
<£ = fE,N:І ¿ (-O<\m]frj0rv>,)>
</-0/>--</
, / c?p, í/P^cosí»)
Х('(*Р/)' j,'(*/•, )P; (cos tf)sinfi>---^-sin É?jv (*/-,) —ч—^-+
Здесь введены следующие обозначения:
W
QL(erV,) = í j„(*r, )P„"(cos0.) + і—sin e\ p, j ,\kr. )P; (cos <9„) -
xt
1 dp, . , i/P"(cos0(),
—!)——------------------]}tf ~
kPi св) " ‘ d0¡ 1
/Г, = exp(-/At;,, [sin#0/ sin#( cos(<p0 -<p0i + cosé?0 cos¿?( ]) (/?-»;)!
К =(2ij + I)
(w + m)!
= X h'21)^, )P'' "(cosí?, )e '‘
= (_| у | C'+ ''>•(” + ”WJ ~ + '”>• I* <t,„001 дОХияц. -я» | д. ц - ж) [ (v - p)\((n - m)\(s + р-тУ.\
где (ук111)1 п) - коэффициенты Клебша^ордана [6].
В качестве элементарных рассеивателей в нашем методе выступают сферы радиуса г,; подставим соответствующие уравнения поверхностей в соотношения (8)-(10): С^=^г:)%Г2'(кг,)0:(кг:)Зт.,
(12)
<°ж,%)=ткг, )р:(со$0о)е‘т*>, Ъ'Лкг,)=}„(кг,) + К,}Лкг,).
Как мы видим, теперь для нахождения коэффициентов системы (7) пропадает необходимость в интегрировании.
Подставляя теперь полученные выражения для коэффициентов в систему (7) и группируя подобные слагаемые с помощью элементарных преобразований, можно прийти к следующей СЛАУ:
I ь12,(Аг<)-^ь;2,(^) , л,
I I
Ч
¡V.
(13)
(Ю)
Рис. 2. Диаграмма рассеяния для плоского диска
Отметим, что решение, полученное в результате этой системы, по существу аналитическое. На практике мы будем усекать систему до некоторого М (до М -моды). Решение усеченной системы будет достаточно быстро сходиться к точному решению. Можно переписать полученную систему в матричном виде и решить ее с использованием известных методов решения систем уравнений, например, метода Ш-декомпозиции и т.п. Тогда сложность задачи можно оценить как Оу^М)*) •
В случае кг <С 1 увеличение числа мод, ввиду
экспоненциального убывания сферических функций Бесселя, практически не влияет на сходимость решения. Более того, на практике это приводит к вычислительной катастрофе, поэтому мы будем рассматривать одномодовое приближение системы (13). Выпишем для соответствующую систему уравнений:
1*0 ’ (кг, )-Яг, 1|0’<2>(Аг,) . т ,
--------------------- ат - 'У/ 1 - <5,1 )Ьо (кг¡, )ат = -II;
і (*гу)-^Ь®(Ьу) гг у ’ 1
(14)
Отметим, что сложность решения полученной системы
(II) прямыми методами составляет 0(N ).
Воспользуемся полученной системой. Мы считаем, что поверхность аппроксимируемого тела компактная без края. Например, она может описываться уравнением, заданным неявно в декартовой системе координат - Г(х,у,г) = 0. Расположим на этой поверхности (или близко к ее окрестности) элементарные рассеиватели (сферы) так, чтобы они не касались друг друга (условия применимости МДУ) и при этом были бы достаточно плотно расположены на исходной поверхности. Это всегда можно сделать, например, можно выбирая в качестве точек приближения узлы равномерной сетки на описанном вокруг тела кубе, которые лежат достаточно близко к поверхности тела. Решая теперь задачу дифракции для полученной системы рассеивателей, мы получим приближенное решение исходной задачи.
Численные результаты и обсуждение
Рассмотрим в качестве примера задачу дифракции плоской волны на т.н. плоском диске, аппроксимируемом эллипсоидом с полуосями ка = кЬ = 5 и кс = 0,125, на границе которого выполняется условие Дирихле. Волна падает на широкую сторону диска. Диаграмма рассеяния (сплошная линия) представлена на н сравнивается с результатами, полученными в работе [7) (пунктирная линия). Для приближения было использовано N = 341 элементарных рассеивателей радиуса г = 0,25. Видно хорошее совпадение обеих диаграмм.
Как видим, метод элементарных рассеивателей показывает хорошую согласованность с результатами, полученными другими методами. Использование в основе МЭР метода диаграммных уравнений позволяет говорить о применимости к широкому классу рассеивателей, в том числе к рассеивателям сложной геометрии.
К недостаткам МЭРа можно отнести высокую сложность вычислений при решении системы (14), однако в этом направлении ведутся работы по снижению размерности системы.
Другим недостатком является необходимость решения дополнительной задачи по расположению элементарных рассеивателей на поверхности изучаемого тела. Здесь можно отметить, что использование равномерной сетки позволяет достаточно быстро найти искомые точки и при этом следить за тем, чтобы условия применимости МДУ не нарушались.
Тем не менее, отмеченные недостатки могут быть впоследствии частично устранены, и в данный момент ведутся активные работы в этом направлении. Таким образом, полученные результаты вкупе с результатами работы [I] позволяют надеяться на применимость предложенного метода к решению задач дифракции на рассеивателях сложной геометрии и структуры.
Литература
1. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Решение задач дифракции методом элементарных рассеивателей // Электромагнитные волны и электромагнитные системы, 2011. - Т. 161, № 8.— С. 5-10.
2. Кюркчан А.Г. Об одном методе решения задач дифракции волн на рассеивателях конечных размеров // ДАН, 1994. - Т.337, №6. -С. 728-731.
3. Кюркчан А.Г., Клеев А.И. Решение задач дифракции волн на рассеивателях конечных размеров методом диаграммных уравнений // РЭ, 1995. - Т.40, №6. - С. 897-905.
4. До Дык Тханг, Кюркчан А.Г. Эффективный метод решения задач дифракции волн на рассеивателях, имеющих изломы границы. Акустический журнал. - Т.49, №1, 2003. - С. 51-58.
5. Kyurkchan A.G., Skorodumova. Solving the diffraction problem of electromagnetic waves on objects with a complex geometry by the pattem equations method //JSQRT, 2008. -Vol.109. - P. 1417-1429.
6. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. Москва: Наука, 1965. - 588 с.
7. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. - Советское радио, 1962.
Of three-dimensional diffraction problem of the elementary scatterers Korovin V.Y., Kyurkchan A.G.
Abstract
The method of scattering characteristic modeling of three-dimensional complex geometry bodies is proposed by means of group of more simple bodies (elementary scatterers), in aggregate forming initial object geometry. By the expansion of the scattering patterns of separate bodies in the Fourier series on sphere, the problem is reduced to solving the linear algebraic system of equations. Efficiency of approach is shown by the example of the problem of scattering on thin disc.
Keywords: modeling, scattering, scattering characteristics, the pattern equation method, elementary scatters, thin disc.
