CC BY
19
использование метода диаграммных уравнений для анализа рассеяния на малых частицах
«и»
сложной формы
Демин Дмитрий Борисович,
доцент, к.ф.-м.н., МТУСИ, Москва, Россия, dbdemin@gmail.com
Клеев Андрей Игоревич,
в.н.с., д.ф.-м.н., Институт физических проблем им. ПЛ.Капицы РАН, Москва, Россия, kleev@kapitza.ras.ru
Кюркчан Александр Гаврилович,
зав. кафедрой, д.ф.-м.н., МТУСИ, Москва, ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Фрязино, МО, ФГУП ЦНИИС, Москва, Россия
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-02-00247а)
Ключевые слова: рассеяние света на малых частицах, приближение Рэлея, метод диаграммных уравнений, рассеяние электромагнитных волн, численные методы теории дифракции.
При решении большого числа задач в самых разных областях науки и техники, в том числе в оптике наноразмерных частиц, оптической диагностике разнообразных дисперсных сред естественного и искусственного происхождения, важнейшую роль в понимании физики происходящих процессов играет моделирование взаимодействия излучения с малыми частицами. В настоящее время практически единственной математической моделью, используемой при решении этой проблемы, служит приближение Рэлея. Отметим, что подобный традиционный подход обладает известными недостатками. В частности, использование ди-польного приближения не дает необходимой точности выполнения энергетического баланса. Решение задачи в электростатическом приближении, необходимое для реализации данного подхода, в общем случае является сложной задачей. В данном докладе развит альтернативный подход, основанный на использовании метода диаграммных уравнений (МДУ), впервые предложенном в 1992 г. Как известно, МДУ обладает важными преимуществами перед многими универсальными методиками и весьма эффективен при решении широкого класса задач, в частности, метод сохраняет свою высокую эффективность также в том случае, когда поверхность рассеивателя имеет изломы. При построении нового подхода к анализу рассеяния на малых телах нами была использована установленная высокая скорость сходимости МДУ. Действительно, как показали расчеты, при рассеянии на телах, характерный размер которых сопоставим с длиной волны первичного поля, достаточно учесть лишь одно слагаемое в разложении диаграммы рассеяния. Это обстоятельство дало возможность получить явные формулы для интегральных характеристик рассеяния, применимые для рассеивателей сложной формы. Результаты расчета сопоставлены с данными, полученными другими методами. Показано, что точность вычислений, контролируемая посредством вычисления баланса потоков мощностей для падающей и рассеянной волн (проверка выполнения "оптической теоремы") вполне достаточна для практики.
Для цитирования:
Демин Д.Б., Клеев А.И., Кюркчан А.Г. Использование метода диаграммных уравнений для анализа рассеяния на малых частицах сложной формы // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2016. - Том 10. - №10. - С. 38-42.
For citation:
Demin D.B., Kleev A.I., Kyurkchan A.G. The applying of the pattern equations method for the analysis of scattering by small particles of the complicated shape. T-Comm. 2016. Vol. 10. No.10, pр. 38-42. (in Russian)
При решении большого числа прикладных задач в самых разных областях науки и техники 11-3], в том числе в оптике наноразмерных частиц [4], моделирование взаимодействия излучения с малыми частицами играет важнейшую роль в понимании физики происходящих процессов. В частности, построение адекватных моделей взаимодействия электромагнитного излучения с малыми частицами совершенно необходимо для корректной оптической диагностики разнообразных дисперсных сред естественного и искусственного происхождения (метаматериалов [5, 6]). В настоящее время практически единственной математической моделью, используемой при решении этой проблемы, служит приближение Рэлея 11\. Отметим, что, в рамках этого подхода используется электростатическое приближение, при котором волновое число предполагается равным нулю, а внешнее поле считается постоянным. В известных монографиях [1, 2, 4| данный подход достаточно подробно изложен для частных случаев рассеяния на шарах и эллипсоидах, когда решение вспомогательной электростатической задачи можно получить в явном виде, в том числе для двухслойного эллипсоида [2], многослойного конфокального [8] и неконфокального эллипсоидов [9, 10].
Отметим, что подобный традиционный подход обладает известными недостатками. В частности, использование ди-польного приближения не дает необходимой точности выполнения энергетического баланса [11]. Решение задачи в электростатическом приближении в общем случае является сложной задачей. Существующие методы ее решения имеют ряд принципиальных ограничений [12].
В статье развита альтернативная методика, основанная на использовании метода диаграммных уравнений (МДУ). Данный подход был предложен в работах [13, 14] (см. также [15]). Было показано, что МДУ обладает важными преимуществами перед многими универсальными методиками и весьма эффективен при решении широкого класса задач. Впоследствии в работе 116] МДУ обобщен на случай импе-дансных краевых условий, показано, что метод сохраняет свою высокую эффективность также в том случае, когда поверхность рассеивателя имеет изломы. В работе [ 17] МДУ применен, в частности, для решения задачи о рассеянии волн сплюснутым сфероидом. Было показано, что скорость сходимости МДУ практически не меняется даже при увеличении отношения осей сфероида до 40:1.
При построении нового подхода к анализу рассеяния на малых телах нами была использована установленная в указанных выше работах высокая скорость сходимости МДУ. Действительно, как показали расчеты, для решения задачи рассеяния на телах, характерный размер которых сопоставим с длиной волны первичного поля, достаточно учесть лишь первое слагаемое в разложении диаграммы рассеяния. Это обстоятельство дало возможность получить явные формулы для интегральных характеристик рассеяния, применимые для рассеивателей сложной формы.
Результаты расчета сопоставлены с данными, полученными другими методами. Показано, что точность вычислений, контролируемая посредством вычисления баланса потоков мощностей для падающей и рассеянной волн (проверка выполнения «оптической теоремы») вполне достаточна для практики: в рассмотренных примерах баланс мощностей выполнялся с относительной точностью не хуже, чем 10".
Проиллюстрируем изложенное выше на нескольких примерах. Рассмотрим рассеяние плоской волны па идеально проводящем цилиндре (рис. 1).
Рис. 1. Геометрия задачи
В соответствие с МДУ, решение данной проблемы сводится к следующему интегрально-операторному уравнению
[13-15] для диаграммы рассеянного поля /{а)'-/(«) = /<'>(«)+
1 2 ¡г ос-нУ/2
к
4 л ц
(1)
где
/«(«) =
к7' 4
+ jj>(^)cos}y - p'(<p)sin уУ*"^* d\ifdq>'
= "7
№ Д $[cos( я- f()+cos(
с1ф.
(2)
Используя для неизвестной функции f(a) разложение Фурье:
л=ЛМ n=-N+\
получаем систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов а
а =а^+"Уа G • m = 0,±l,±2,...,±(JV-1), (4)
я Bi / н пл v -
где
■|»>-)1+|) 2л
с.....-
\J„M9))
о
; ехр[/(/7 - m)(p\d(p.
(5)
ki"
¿71
J\Jm {кр{<р)\р{(р)со$,{<р -в)- ip'(<p)sin{<p - б1)];
х exp{i[A-p(^)cos(<p - в)- w]}c/<p, (б)
Jт{х) и И^ '(л*) — функции Бесселя первого рода и функции Ганкеля соответственно [18].
У
щ
kcrs Ъг
Рис. 4. Зависимость нормированного полного сечения рассеяния плоской волны на суперэллиптическом цилиндре от нормированного радиуса при q - 6, 0 = д-М . С'плошпая линия - формула (7),
кружочки - полученное с помощью МДУ при N= 12, отношения полуосей эллипса укачаны рядом с соответствующими кривыми
Как показывают приведенные выше результаты, МДУ позволяет получить явные выражения для характеристик рассеянного поля, имеющие достаточную до практики точность вплоть до а Я = 0,3 (а ~ характерный размер рассеи-
вателя). Отметим, что к несомненным достоинствам следует отнести и то, что, в отличие от подхода, изложенного и [8-10, 12], применение МДУ не предполагает решения вспомогательных статических задач, в частности, не требуется вычисления тензора поляризуемости частицы.
Литература
1. van de Hirist Н.С. Light scattering by small particles. New York (John Wiley and Sons), London (Chapman and Hall), 1957. 470 p.
2. Bohren C.F., Huffman DR. Absorption and Scattering of Light by Small Particles. New York {John Wiley and Sons). 1998. 544 p.
3. Mishchenko M.I., Hovenier J.W., Travis L.D. Light Scattering by Nonspherical Particles. San Diego: Academic Press, 2000. 690 p.
4. Климов В. В, Наноплазмоника. М.: Физматлит, 2010. 480 с.
5. Vendik !. Vendik О., Kolmakov I.. Odit N. Modelling of isotropic double negative media lor microwave applications // Opto-Electronics Review. 2006. Vol. 14, No. 3. Pp. 176-186.
6. Cai X., Zhu R.. Ни G. Experimental study for metamaterials based on dielectric resonators and wire frame // 2008. Vol. 2. No. 4. Pp. 220-226.
7. Landau L.D. and lifshitz E.M. Electrodynamics of Continuous Media. Pergamon, Oxford and New York, ¡984. 460 p,
8. Farafonov KG. Light scattering by multilayer ellipsoid in the Rayleigh approximation // Optics and Spectroscopy. 2000, Vol. 88. No. 3. Pp. 441-443,
9. Фарафонов В.Г. Новое рекурсивное решение задачи рассеяния электромагнитного излучения многослойными сфероидальными частицами // Опт. и спектр. 2001. Т. 90. № 5. С. 826-835.
10. Posselt В.. Farafonov KG, Il'in V.B.. ProkopjevaM.S. Light scattering by multi-layered ellipsoidal particles in the quasistatic approximation // Measurem. Sci. Technol. 2002. V, 13. Pp. 256-262.
I ]. Collin RE. Rayleigh scattering and power conservation // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1981, Vol. AP-29. No 9. Pp. 795-798.
12. Farafonov KG., Ustimov V.I. Analysis of the extended boundary condition method: an electrostatic problem for Chebyshev particles // Optics and Spectroscopy. 2015. Vol. 118. No, 3. Pp. 445-459.
13. Кюркчан А.Г. Об одном новом интегральном уравнении в теории дифракции // Доклады Академии наук, 1992. Т. 325. № 2. С. 273-275.
14. Кюркчан А.Г. Об одном методе решения задач дифракции волн на рассейватслях конечных размеров // Доклады Академии наук. 1994. Т. 337. № 6. С. 728-731.
15. Kyurkchan A G.. Smimova N.I. Mathematical Modeling in Diffraction Theory Based on A Priori Information on the Analytic Properties of the Solution. Amsterdam: Elsevier, 2015. 280 p,
16. До Дык Тханг. Кюркчан А.Г. Эффективный метод решения задач дифракции волн на рассеивателях, имеющих изломы границы // Акустический журнал. 2003. Т. 49. № 1. С. 51-58.
17. Кюркчан А. Г., Клеев ЛИ. Решение задач дифракции воли на рассеивателях конечных размеров методом диаграммных уравнений // Радиотехника и электроника, 1995. Т. 40. № 6. С. 897-905.
18. Handbook of Mathematical Functions, with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, Ed. By M Abramovitz and LA. Stegun (Dover, New York, 1964) 1046 p.
19. Papas C.H. Diffraction by a Cylindrical Obstacle // Journal of Applied Physics. 1950. Vol. 21. No 4. Pp. 318-325.
THE APPLYING OF THE PATTERN EQUATIONS METHOD FOR THE ANALYSIS OF SCATTERING BY SMALL PARTICLES OF THE COMPLICATED SHAPE
Dmitry B. Demin, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia,
Assistant Professor, Ph.D., dbdemin@gmail.com Andrey I. Kleev, P.L. Kapitsa Institute for Physical Problems RAS, Moscow, Russia, Advanced Research Fellow, D.Sc., kleev@kapitza.ras.ru Alexander G. Kyurkchan, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia, Head of Department, Professor, D.Sc., Kotel'nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Sciences, Fryazino, Moscow oblast, Russia, Central research institute of communication, Moscow, Russia,
agkmtuci@yandex.ru
Abstract. When solving a large number of problems in various fields of science and technology, including in the optics of nanoscale particles and optical diagnostics of a variety of dispersion media of natural and artificial origin, modeling of the radiation interaction with small particles plays an important role in understanding the physics of processes. Nowadays, almost the only mathematical model used in the solution of this problem, is the Rayleigh approximation. It should be noted that this traditional approach has well-known disadvantages. In particular, the use of the dipole approximation does not provide the required accuracy of the energy balance. Solution of the given problem in the electrostatic approximation, which is necessary for the implementation of this approach, is a rather difficult case in general. This article explicates an alternative approach based on the use of the Pattern Equations Method (PEM), which was initially proposed in 1992. As is well-known, PEM has important advantages over many universal methods and is quite effective for a wide range of problems; in particular, the method maintains its high efficiency also in a case when the surface of the scat-terer has the sharp edges. When developing a new approach to the analysis of the scattering by small bodies, we used the predetermined high rate of convergence of the PEM. Indeed, as was shown by numerical calculations, for the scattering by the bodies, the characteristic size of which is comparable with the wavelength of the incident field, it is enough to consider just one term in the Fourier expansion of scattering pattern. This fact made it possible to obtain explicit formulae for the integral scattering characteristics applicable to the scatterers of complex shape. The results of calculations are compared with the data obtained by other methods. It was shown that the accuracy of the calculations controlled by calculating the balance of power flows for the incident and scattered waves (verification of the "optical theorem") is quite sufficient for practice.
Keywords: light scattering by the small particles, Rayleigh approximation, pattern equations method, electromagnetic waves scattering, numerical methods of the diffraction theory.
References
1. van de Hulst H.C. Light scattering by small particles. New York (John Wiley and Sons), London (Chapman and Hall), 1957. 470 p.
2. Bohren C.F., Huffman D.R. Absorption and Scattering of Light by Small Particles. New York (John Wiley and Sons). 1998. 544 p.
3. Mishchenko M.I., Hovenier J.W., Travis L.D. LightScattering by Nonspherical Particles. San Diego: Academic Press, 2000. 690 p.
4. Klimov V.V. Nanoplazmonika. Moscow, Fizmatlit, 2010. 480 p. (in Russian)
5. Vendik I, Vendik O., Kolmakov I., Odit N. Modelling of isotropic double negative media for microwave applications / Opto-Electronics Review. 2006. Vol. 14. No. 3. Pp. 176-186.
6. Cai X., Zhu R., Hu G. Experimental study for metamaterials based on dielectric resonators and wire frame. 2008. Vol. 2. No. 4. Pp. 220-226.
7. Landau L.D. and Lifshitz E.M. Electrodynamics of Continuous Media. Pergamon, Oxford and New York, 1984. 460 p.
8. Farafonov V.G. Light scattering by multilayer ellipsoid in the Rayleigh approximation / Optics and Spectroscopy. 2000. Vol. 88. No. 3. Pp. 441-443.
9. Farafonov V.G. New recursive solution of the problem of scattering of electromagnetic radiation by multilayer spheroidal particles / Optics and Spectroscopy. 2001. Vol. 90. No. 5. Pp. 743-752. (in Russian)
10. Posselt B., Farafonov V.G., Il'in V.B., Prokopjeva M.S. Light scattering by multi-layered ellipsoidal particles in the quasistatic approximation / Measurem. Sci. Technol. 2002. Vol. 13. Pp. 256-262.
11. Collin R.E. Rayleigh scattering and power conservation / IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1981. Vol. AP-29. No 9. Pp. 795-798.
12. Farafonov V.G., Ustimov V.I. Analysis of the extended boundary condition method: an electrostatic problem for Chebyshev particles / Optics and Spectroscopy. 2015. Vol. 118. No. 3. Pp. 445-459.
13. Kyurkchan A.G. A new integral equation in the diffraction theory / Soviet Physics-Doklady, 1992. Vol. 37. No 7. Pp. 338-340. (in Russian)
14. Kyurkchan A.G. On a method of solution to the problem of wave diffraction by finite-size scatterers / Physics-Doklady, 1994. Vol. 39. No 8. Pp. 546-549. (in Russian)
15. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. Mathematical Modeling in Diffraction Theory Based on A Priori Information on the Analytic Properties of the Solution. Amsterdam: Elsevier, 2015. 280 p.
16. Tkhang D.D., Kyurkchan A.G. Efficient method for solving the problems of wave diffraction by scatterers with broken boundaries / Acoustical Physics. 2003. Vol. 49. No. 1. Pp. 43-50. (in Russian)
17. Kyurkchan A.G., Kleev A.I. Solution of the Problems of Wave Diffraction on Finite Scatterers with the Method of Diagram Equations / Radiotekhnika e elektronika. 1995. Vol. 40. No. 6. Pp. 897-905. (in Russian)
18. Handbook of Mathematical Functions, with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, Ed. By M. Abramovitz and I.A. Stegun (Dover, New York, 1965). 1046 p.
19. Papas C.H. Diffraction by a Cylindrical Obstacle / Journal of Applied Physics. 1950. Vol. 21. No. 4. Pp. 318-325.
m
