CC BY
34
РЕШЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ НА МАЛЫХ ЧАСТИЦАХ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ МЕТОДОМ ДИАГРАММНЫХ УРАВНЕНИЙ
Демин Дмитрий Борисович,
МТУСИ, Москва, Россия, dbdemin@gmail.com
Клеев Андрей Игоревич,
Институт физических проблем им. ПЛ.Капицы РАН, Москва, Россия, kleev@kapitza.ras.ru
Кюркчан Александр Гаврилович' 23,
'МТУСИ, 2ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, 3ФГУП ЦНИИС, Москва, Россия, agkmtuci@yandex.ru
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-02-00247а).
Ключевые слова: метод диаграммных уравнений, рассеяние электромагнитных волн на малых частицах, приближение Рэлея, численные методы теории дифракции.
При решении большого числа фундаментальных и прикладных задач в самых разных областях науки и техники, в частности, при оптической диагностике разнообразных дисперсных сред естественного и искусственного происхождения, важнейшую роль в понимании физики происходящих процессов играет моделирование взаимодействия излучения с малыми частицами. В настоящее время одной из наиболее распространенных математических моделей, используемой при решении этой проблемы, служит приближение Рэлея. Как известно, подобный традиционный подход обладает определенными недостатками. Использование дипольного приближения не дает необходимой точности выполнения энергетического баланса. Необходимое для реализации данного подхода нахождение решения соответствующей электростатической задачи в общем случае является достаточно сложной проблемой. В статье развит альтернативный подход, основанный на использовании метода диаграммных уравнений (МДУ), впервые предложенном в 1992 г. В многочисленных публикациях убедительно продемонстрировано, что МДУ обладает важными преимуществами перед многими универсальными методиками и весьма эффективен при решении широкого класса задач. При построении нового подхода к анализу рассеяния на малых телах нами была использована установленная в предыдущих работах высокая скорость сходимости МДУ. Действительно, как показали расчеты, при рассеянии на тонких цилиндрических рассеивателях, характерный размер которых сопоставим с длиной волны первичного поля, достаточно, в зависимости от поляризации падающего поля, учесть от одного до трех слагаемых в разложении диаграммы рассеяния. Это обстоятельство дало возможность получить явные формулы для интегральных характеристик рассеяния, применимые для трехмерных рассеивате-лей сложной формы. На нескольких примерах выполнено сравнение результатов приближенного подхода с точными, полученными с помощью МДУ. Для широкого диапазона параметров задачи показано, что точность вычислений, контролируемая посредством вычисления баланса потоков мощностей для падающей и рассеянной волн (проверка выполнения "оптической теоремы") вполне достаточна для практики.
Информация об авторах:
Демин Дмитрий Борисович, доцент, к.ф.-м.н., Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ), Москва, Россия Клеев Андрей Игоревич, в.н.с., д.ф.-м.н., Институт физических проблем им. ПЛ.Капицы РАН, Москва, Россия
Кюркчан Александр Гаврилович, зав. каф., д.ф.-м.н., Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ), Москва, Россия ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Фрязино Московской обл., ФГУП Центральный научно-исследовательский институт связи, Москва, Росия
Для цитирования:
Демин Д.Б., Клеев А.И., Кюркчан А.Г. Решение электромагнитных задач дифракции на малых частицах сложной формы методом диаграммных уравнений // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2017. Том 11. №5. С. 26-32.
For citation:
Demin D.B., Kleev A.I., Kyurkchan A.G. (2017). Solution the problems of electromagnetic waves diffraction at small particles of complicated shape by the pattern equations method. T-Comm, vol. 11, no.5, рр. 26-32. (in Russian)
При решении большого числа прикладных задач в самых разных областях науки и техники 11, 2[, в том числе в оптике наноразмерных частиц [3], моделирование взаимодействия излучения с малыми частицами играет важнейшую роль в понимании физики происходящих процессов. Построение адекватных моделей взаимодействия электромагнитного излучения с малыми частицами совершенно необходимо для корректной оптической диагностики разнообразных дисперсных сред естественного и искусственного происхождения (Метаматериалов [4]). В настоящее время практически единственной математической моделью, используемой при решении этой проблемы, служит приближение Рэлея [5], В рамках этого подхода используется электростатическое приближение, при котором волновое число предполагается равным нулю, а первичное поле считается постоянным. В известных монографиях [1-3] данный подход достаточно подробно изложен для частных случаев рассеяния на шарах и эллипсоидах, когда решение вспомогательной электростатической задач и можно получить в явном виде, в том числе для двухслойного эллипсоида [1], многослойного конфокального [51 и неконфокального эллипсоидов [6].
Подобный традиционный подход обладает известными недостатками. В частности, использование дипольного приближения не дает необходимой точности выполнения эиер-гетического баланса [7]. Решение задачи в электростатическом приближении в общем случае является сложной задачей. Существующие методы ее решения имеют ряд принципиальных ограничений [8].
В настоящей работе развита альтернативная методика, основанная на использовании метода диаграммных уравнений (МДУ). Этот подход был предложен в работе [9] (см. также |10р. Было показано, что МДУ обладает важными преимуществами перед многими универсальными методиками и весьма эффективен при решении широкого класса задач. Впоследствии МДУ был обобщен на случай нмпе-лансных краевых условий, показано, что метод сохраняет Свою высокую эффективность также в том случае, когда поверхность рассеивателя имеет изломы (см. [101). В работе [11] МДУ применен, в частности, для решения задачи о рассеянии волн сплюснутым сфероидом. Было показано, что скорость сходимости МДУ практически не меняется даже при увеличении отношения осей сфероида до 40:1.
При построении нового подхода к анализу рассеяния на Малых телах нами была использована установленная в указанных выше работах высокая скорость сходимости МДУ. Действительно, как показали расчеты [12, 13], для решения двумерной задачи рассеяния на идеально проводящих цилиндрах, характерный поперечный размер которых сопоставим с длиной волны первичного поля, достаточно, в зависимости от поляризации падающего поля, учесть от одного до трех слагаемых в разложении диаграммы рассеяния. Это обстоятельство дало возможность получить явные формулы для интегральных характеристик рассеяния, применимые для цилиндрических рассейвателей сложной формы поперечного сечения (в частности, для цилиндров, контур поперечного сечения которых имеет изломы).
Результаты расчетов были сопоставлены с данными, полученными другими методами. Показано, что точность вычислений, контролируемая посредством вычисления баланса потоков мощностей для падающей и рассеянной волн (про-
верка выполнения «оптической теоремы») вполне достаточна для практики: в рассмотренных примерах баланс мощностей выполнялся с относительной точностью не хуже, чем К)3 [12, 13].
В настоящей работе предложенный в [12, 13] подход распространен на решение трехмерных векторных задач рассеяния. Рассмотрено рассеяние электромагнитной волны па идеально проводящих частицах сложной формы. При этом, как было установлено, для расчета характеристик рассеяния тел, размеры которых сопоставимы с длиной волны первичного поля, достаточно учесть первые три слагаемых в разложении диаграммы рассеяния по векторному сферическому базису. Проанализирована точность полученных приближенных решений в зависимости от поляризации падающего поля и формы частицы.
Проиллюстрируем изложенные выше положения на нескольких примерах. Рассмотрим рассеяние плоской волны на теле вращения. В этом случае уравнение поверхности 5 рассеивателя в сферической системе координат задается соотношением:
г=р&<р)=р{р). (1)
Полагаем, что в дальней зоне (при кг » 1) для компонент рассеянного поля Ё и Н выполняются асимптотические соотношения вида:
1
и2
\
(кг)2
(2)
где г и Рн - диаграммы электрического и магнитного полей соответственно. Для РЕ и Р" использовались следующие соотношения [14]:
п= I т=-п я=1
(3)
Ш=± ± ' «сем -1 %Л х
л=1 л|=—п то т=~п
(4)
где
ф"(в,<р) = г X УР^(созШ) шр(1гп<р). (5)
Согласно МДУ [14], коэффициенты а и Ъ при решении задачи дифракции на идеально проводящем теле удовлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений:
( ^ / ( ) ( ) \ ® п.т ^п.т ' ^ . \ ,т^цт ^ ^ ! ;.т^ . .'ii /'
ь =Ь(0)+ У(о[2Л) а +с(г-г> ъ 1
"п.т п.т ^я.тщ.т ц.т пм.ц.т цм Г
П - 1,2,..,, т < П.
(6)
Выражения для приведены в [14]. В качестве
критерия точности расчетов проверяли точность выполнения оптической теоремы [ I ]. Оптическая теорема у тверждает, что сумма сечений рассеяния и поглощения (полное се-
Т-Сотт Vol.ll. #5-2017
<г,+<га=<Ге*>
где
чение) пропорциональна мнимой части диаграммы рассея-ння, вычисленной в направлении падения внешнего поля
(7)
(8) (9) (Ю)
(11)
2яя о о
/;|~sin ddddíp*
-А, к
Ni )
Для иепоглощающих рассеивателей
и, следовательно, в качестве количественной меры выполнения оптической теоремы можно использовать величину
А = о*. - а
(12)
В настоящей работе рассмотрен случай, когда падающее поле является плоской волной. При расчетах использовали следующие соотношения
Ё° = gexp(-/£?)
Н° =^1еХр(- /itr)=^exp(-/Ar)- (13)
ь
где
kr = fe"[sin^sinвп cos{<£> ~(р{)) + cosacosЩJ . (14) Поляризацию плоской волны задавали следующими соотношениями;
g = -iz sin 0U + ix cos<p0 cosвй + sin cos &ai (15)
% = ^sin^g + Iy COS (16)
Рассматривали два случая, В первом случае 0. — (ptJ — 0
и, следовательно, вектор электрического поля перпендикулярен ochz:
Ёи = ix ■ ехр(- ikr cos в),
1 т
(17)
Н" = —iy ■ ехр(- ikr sin 9 cos ср)-
(18)
В качестве рассеивателя рассматривали сфероид, поверхность которого в декартовой системе координат задается соотношением
(19)
х~ + у
Z
* = !■
а с~
(0)^^(2.2) ),j(0Wl.2) "1,0 V "1.(1:1,0 ^1.0 "1.0:1.0
(t-C(ll) Í1 -G{2-2) G(u)
v 1.0:1,0 a1 "1,0:1.0 J "|,0:i,0"|.0:1.0
a,, = ,
bu =
"1,0 "1.0:1.0
F^SJi- l,0;!,0 J 1 1,0:1,0 1,0; 1,0
"I.I V1 "l,1:1,1/^ "1,1 "l.1;l,l
1-Щ 1 "1,1;(,Ц ].!:].] 1.1:1.1
af}G\\ IW^Hi-G,0,'?,)
i-Gftí Ú
«S
О
K-x =
i
(i -сПЛ-G^L, t-^L e M 1.-1:1.-1
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
Выражения (20) - (25) полностью определяют приближенное решение задачи и дают возможность вычислить все характеристики рассеяния. Полученные явные выражения дня коэффициентов разложения диаграммы рассеяния применимы для тела вращения произвольной формы.
На - —iv- ехр(- ikr cos в)-
Во втором случае 0и = тг/2, — 0 и вектор электрического поля параллелен оси z:
É" = -i_ • exp (- ikr sinf? cos <p),
Как показывает анализ системы уравнений (6), первые три слагаемых в разложениях диаграммы (3), (4) имеют одинаковый порядок малости по параметру ка. Вследствие этого, для получения корректных результатов, необходимо учитывать первые три слагаемых в разложениях (3), (4), Численные расчеты продемонстрировали справедливость данного положения. Выражения для коэффициентов разложения диаграммы в рассматриваемом приближении имеют вид:
0.5 ка
Рис, I. Зависимость нормированною полного сечения рассеяния к "<т от нормированного волнового числа ка при а — С для N — 1 {сплошная линия), jV — 10 (точечная линия). Рассмотрен случай в0 -(р0- 0
Рассмотрим результаты использования полученных выше приближенных выражений па нескольких примерах. Па рисунке 1 приведена зависимость нормированного полного сечения рассеяния A"cri от нормированного волнового числа ка. Па этом рисунке и на всех последующих величины k2<Js и к1 Д показаны в логарифмической шкале. Расчеты
проводились двумя способами: с использованием приближенных формул (20) - (25) (при N = t) и с помощью МДУ при N = 10- Здесь N - это максимальное число гармоник при разложении диаграмм рассеяния в ряды (3)-(4). Как видно из представленных результатов, в рассматриваемом диа-
T-Comm Том 11. #5-2017
Т-Сотт Vol.ll. #5-2017
7Т>
Т-Сотт Том 11. #5-2017
кс
Рис. ] 1. Зависимость нормированного полного сечения рассеяния от нормированного волнового числа при с С! — 8 Для N = 1
(сплошная линия), Л' = 10 (точечная линия). Рассмотрен случай 0{) = ж¡2 . <рй - 0
кс
Рис. 12. Зависимость нормированной погрешности выполнения оптической теоремы от нормированного волнового числа при с а — 8 для N = 1 (сплошная линия), /¥ = 10 (точечная линия).
Рассмотрен случай вп - Л"/2, ф0 =0
В настоящей работе показано, что высокая скорость сходимости МДУ дало возможность получить явные формулы для интегральных характеристик рассеяния, применимые для трехмерных рассей вате лей сложной формы. На нескольких примерах выполнено сравнение результатов приближенного подхода с точными, полученными с помощью МДУ. Для широкого диапазона параметров задачи показано,
что точность вычислений, контролируемая посредством вычисления баланса потоков мощностей для падающей и рассеянной волн (проверка выполнения «оптической теоремы») вполне достаточна для практики. В настоящей работе была продемонстрирована высокая точность расчета характеристик рассеяния тел различной геометрии, размеры которых много меньше длины волны падающего поля. Так для вытянутых сфероидов с соотношением осей вплоть до 8:1 в од-номодовом приближении точность выполнения оптической теоремы оказалась не хуже чем 10"".
1. Bohren C.F.. Huffman DR. Absorption and Scattering of Light by Small Particles. New York (John Wiley and Sons), 1998, 544 p.
2. Mis he hen ко M.i, Hovenier J. IV.. Travis L.D. LiglitSc altering by Nonspherica! Particles. San Diego: Academic Press, 2000, 690 p.
3. Климов В.В. Наноплазмоннка. М.: Физматлит, 2010. 480 с.
4. Сен X., Zhu R., Ни G. Experimental study for metamaterials based on dielectric resonators and wire frame // 2008. Vol. 2, No. 4. Pp. 220-226.
5. Farafonov KG. Light scattering by multilayer ellipsoid in the liayieigh approximation // Optics and Spectroscopy. 2000. Vol. 88. No. З.Рр. 441-443.
6. Фарафоиов В,Г, Новое рекурсивное решение задачи рассеяния электромагнитного излучения многослойными сфероидальными частицами // Опт. и спектр. 2001. Т, 90. № 5. С. 826-835.
7. Collin RE. Rayleigh scattering and power conservation // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1981. Vol. AP-29. No 9. Pp. 795-798.
8. Farafonov KG., Ustimov V.I. Analysis of the Method ofGeneral-ized Separation of Variables in the Problem of Light Scattering by Small Axisymmetric Panicles // Optics and Spectroscopy. 2017. Vol. 122. No. 2. Pp. 282-293.
9. Кюркчан Л.Г. Об одном новом интегральном уравнении в теории дифракции // Доклады Академии наук. 1992. Т. 325. № 2. С. 273-275.
10. Кюркчан А.Г.. Смирнова Н.И. Математическое моделирование в теории дифракции с использованием априорной информации об аналитических свойствах решения. М.: Медиа Паблишер, 2014.
11. Кюркчан А.Г., Kwee A.M. Решение задач дифракции волн на рассеивателях конечных размеров методом диаграммных уравнений// Радиотехника и электроника. 1995. Т. 40. № 6. С. 897-905.
12. Демин Д.Б., Клеев А.И., Кюркчан А.Г. Использование метода диаграммных уравнении для анализа рассеяния на малых частицах сложной формы // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. Т. 10, №10. 2016. С. 38-42.
13. Dentin D.В.. Kleev А.1., Kyurkcltan A.G. Modeling of electromagnetic scattering by thin cylinders using Pattern Equation Method // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. 2017. Vol. 187. No. !. p. 287-292.
14. Кюркчан A.F.. Демин Д.Б. Моделирование характеристик рассеяния воли телами с поглощающим покрытием и «черными» телами // Журнал технической физики. 2004. Т. 74. № 2. С. 24-31.
Литература
SOLUTION THE PROBLEMS OF ELECTROMAGNETIC WAVES DIFFRACTION AT SMALL PARTICLES OF COMPLICATED SHAPE BY THE PATTERN EQUATIONS METHOD
Dmitri B. Demin, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia, dbdemin@gmail.com Andrei I. Kleev, P.L. Kapitsa Institute for Physical Problems RAS, Moscow, Russia, kleev@kapitza.ras.ru Alexander G. Kyurkchan1,2,3, Moscow Technical University of Communications and Informatics; 2Kotel'nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Sciences; 3Central research institute of communication, Moscow, Russia, agkmtuci@yandex.ru
Abstract. When solving a large number of problems in various fields of science and technology, in particular, the optical diagnostics of a variety of dispersion media of natural and artificial origin, modeling of the radiation interaction with small particles plays an important role in understanding the physics of processes. Nowadays, almost the only mathematical model used in the solution of this problem, is the Rayleigh approximation. It is known that this traditional approach has well-known disadvantages. In particular, the use of the dipole approximation does not provide the required accuracy of the energy balance. Solution of the given problem in the electrostatic approximation, which is necessary for the implementation of this approach, is a rather difficult case in general. This article explicates an alternative approach based on the use of the Pattern Equations Method (PEM), which was initially proposed in 1992. As it was demonstrated in the previous articles, PEM has important advantages over many universal methods and is quite effective for a wide range of problems; in particular, the method maintains its high efficiency also in a case when the surface of the scat-terer has sharp edges. When developing a new approach to the analysis of the scattering by small bodies, we used the predetermined high rate of convergence of the PEM. Indeed, as was shown by numerical calculations, for the scattering by thin cylinders, the characteristic size of which is comparable with the wavelength of the incident field, it is enough (depending on the polarization of the incident field) to consider one or three terms in the Fourier expansion of scattering pattern. This fact made it possible to obtain explicit formulae for the integral scattering characteristics applicable to the 3D scatterers of complex shape. The results of calculations are compared with the data obtained by other methods. For several examples, the results of the approximate approach are compared with the exact ones obtained using PEM. For numerous cases, it was shown that the accuracy of the calculations controlled by calculating the balance of power flows for the incident and scattered waves (verification of the "optical theorem") is quite sufficient for practice.
Keywords: pattern equations method, light scattering by the small particles, Rayleigh approximation, numerical methods of the diffraction theory.
References
1. Bohren C.F., Huffman D.R. (1988). Absorption and Scattering of Light by Small Particles. New York: John Wiley and Sons. 544 p.
2. Mishchenko M.I., Hovenier J.W., Travis L.D. (2000). LightScattering by Nonspherical Particles. San Diego: Academic Press. 690 p.
3. Klimov V.V. (2010). Nanoplazmonika. Moscow: Fizmatlit, 480 p. (in Russian)
4. Cai X., Zhu R., Hu G. (2008). Experimental study for metamaterials based on dielectric resonators and wire frame // Vol. 2, no. 4, pp. 220-226.
5. Farafonov V.G. (2000). Light scattering by multilayer ellipsoid in the Rayleigh approximation. Optics and Spectroscopy, vol. 88, no. 3, pp. 441-443.
6. Farafonov V.G. (2001). New recursive solution of the problem of scattering of electromagnetic radiation by multilayer spheroidal particles. Optics and Spectroscopy, vol. 90, no. 5, pp. 743-752.
7. Collin R.E. (1981). Rayleigh scattering and power conservation. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. AP-29, no 9, pp. 795-798.
8. Farafonov V.G., Ustimov V.I. (2017). Analysis of the Method of Generalized Separation of Variables in the Problem of Light Scattering by Small Axisymmetric Particles. Optics and Spectroscopy, vol. 122, no. 2, pp. 282-293.
9. Kyurkchan A.G. (1992). A new integral equation in the diffraction theory. Soviet Physics-Doklady, vol. 37, no 7, pp. 338-340.
10. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. (2016). Mathematical Modeling in Diffraction Theory Based on A Priori Information on the Analytic Properties of the Solution. Amsterdam: Elsevier, 2016. 280 p.
11. Kyurkchan A.G., Kleev A.I. (1995). Solution of the Problems of Wave Diffraction on Finite Scatterers with the Method of Diagram Equations. Radiotekhnika e elektronika, vol. 40, no. 6, pp. C. 897-905. (in Russian)
12. Demin D.B., Kleev A.I., Kyurkchan A.G. (2016). The applying of the pattern equations method for the analysis of scattering by small particles of the complicated shape. T-Comm vol. 10, no.10, pp. 38-42. (in Russian)
13. Demin D.B., Kleev A.I., Kyurkchan A.G. (2017). Modeling of electromagnetic scattering by thin cylinders using Pattern Equation Method. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, vol. 187, nol, pp. 287-292.
14. Kyurkchan A.G., Demin D.B. (2004). Simulation of Wave Scattering by Bodies with an Absorbing Coating and Black Bodies. Technical Physics, vol. 49. no. 2, pp. 165-173.
Information about authors:
Demin Dmitri Borisovich, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Assistant Professor, Ph.D., Moscow, Russia Kleev Andrei Igorevich, P.L. Kapitsa Institute for Physical Problems RAS, Advanced Research Fellow, D.Sc., Moscow, Russia Kyurkchan Alexander Gavrilovich, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Head of Department, Professor, D.Sc.; Kotel'nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Sciences; Central research institute of communication, Moscow, Russia
m
T-Comm Tом 11. #5-2017
