CC BY
31
16 декабря 2011 г, 17:53
Т-Сотт #10-2010________________________________________(Технологии информационного общества)
Применение метода диаграммных уравнений к решению задач рассеяния электромагнитных волн слоисто-неоднородными телами
Представлено обобщение метода диаграммных уравнений д ля решения задачи рассеяния во т трехмерными слоисто-неоднородными телами. Этот метод, впервые предложенный для решения двумерных скалярных задач дифракции, был впоследствии применен к решению широкого круга задач теории дифракции, рассеяния и распространения волн. Речь идет, в частности, о решении задач дифракции на импедансных и диэлектрических телах, а также на телах с покрытием и группе тел.
Кюркчаи Л.Г.,
д.ф.-м.н. проф.. зав. каф. ТВиПММТУСИ
Демин Д.Б.
к.ф-м.н., доц. каф. ТВчПМ МТУСИ
МДУ является одним из наиболее эффективных методов для решения задач дифракции. 'Гак, ранее было установлено, что скорость сходимости численного ал го* ритма метода при решеиии задач рассеяния на импедансных, диэлектрических и телах с покрытием зависит, главным образом, от размеров тела и слабо зависит от его геометрии.
Разработан алгоритм метода дтя тел с произвольным количеством диэлектрических слоев и приведены результаты расчега харакгеристик рассеяния на примере грехслойных тел вращения, таких как сфера, сфероид, конечный круговой цилиндр, суперэллипсоид и много-листник вращения. Исследована скорость сходимости численного алгоритма для тел различной геометрии и проведено сравнение с другими численными методами решения рассматриваемой задачи. В рамках метода проводилось моделирование харакгеристик рассеяния линзы Люнеберга на основе трехслойной сферы с подходящими парамеграми в слоях, при этом в качестве первичных источников рассматривались плоская волна и электрический диполь.
Задача рассеяния электромагнитных волн телами, покрытыми несколькими слоями магнитодиэлектрика (многослойными или слоисто-неоднородными телами), представляет большой интерес в различных областях науки и техники, например, в таких как радиофизика, теория антенн, радиоастрономия, метеорология и др. Ее решение в строгой постановке являегся достаточно трудным. Например, при решении этой задачи методом иитефальпых уравнений, когда искомой функцией является либо объемный, либо поверхностные плотности тока, возникает необходимость в больших объемах вычислений. поэтому данный метод эффективен, когда размеры рассеивателя невелики по сравнению с длиной волны. В связи со сказанным возникает необходимость в разработке новых универсальных и эффективных методов решения такой задачи.
В данной работе для решения задач рассеяния электромагнитных волн на многослойных (слоисго-неоднородных) телах используется метод диаграммных уравнений (МДУ). Этот метод, впервые предложенный в работе [1]. был впоследствии применен к решению широкого круга задач теории дифракции, рассеяния и распространения волн. Речь идет, в частности, о решении
7
задач дифракции на импедансных и диэлектрических телах, а также на телах с покрытием [2-8].
МДУ является одним из наиболее эффективных методов дтя решения задач дифракции. Так. ранее было установлено [2-8]. что скорость сходимости численного алгоритма метода при решении задач рассеяния на им-педапсных. диэлектрических и телах с покрытием зависит. главным образом, от размеров тела и слабо зависит от его геометрии.
В данной работе осуществлено обобщение МДУ для решения задач дифракции па одиночном как магнито-диэлекгрическом, так и идеально проводящем рассеивателе, покрытом несколькими слоями магнитодиэлектрика с другими, нежели у ядра, параметрами.
Рассмотрим трехмерную задачу рассеяния воли некоторого первичною монохрома 1ическо1 о электромагнитного поля Ё".Н" па компактном магнито-диэлекгрическом рассеивателе, состоящем из ядра Г, офаниченного поверхностью .V, и покрытою М магни-то-диэлекфическими слоями с внешними фаницами (поверхностями) 5,. 5Х, .... 5д/+)=5 соответственно (рис. 1).
Рис. 1. Геометрия чадачи
Пусть на поверхностях 5,.....5Д/ и 5 имеют место
следующие краевые условия:
М]5 =(»х//»],• =(fwx»]s; (К
("X W,)v = (нхЯ Д . {Ё, х») = (Ё,_, хя| .
у = 2...М; (2)
(нх/?,| =(т,хП } (£',хл| = (£ хй| . (3)
для диаграмм рассеяния имеют соответственно следующий вид:
(4)
где // - единичные векторы внешней нормали к поверхностям 5,...S!t и S: £ = Ё° + £'.// = Н" + //' -
полное иоле вне рассеивателя; £ .// - неизвестное иоле внутри диэлектрического слоя (Г ).у = 1........А/:
£.//' - неизвестное поле внутри области F (ядро рассеивателя), офаниченной поверхностью St: Е\Н' вторичное (дифракционное) поле, которое всюду вне S (в области V ) удовлетворяет однородной системе уравнений Максвелла а также условию излучения Зоммер-фельда на бесконечности.
Внешняя среда (У ) и среды Г,...Уи , Г полагаются
однородными линейными и изотропными, а зависимость от времени выбрана в виде е‘№ .
В формулах (4)-(7) использовались следующие обозначения: У - радиус-вектор точки наблюдения
и с,=LjtUe, -а k,=k„jiy, и
A =kt)yj£JJi -соответственно. Здесь, €г€г и //./у. (j — Ц....Д/) - относительные (комплексные) диэлектрические и машитные проницаемости в средах
Уг...,Уи и Г.. Величины и д, в случае внешней сре-
ды без потерь совпадают с диэлектрической и магнитной проницаемостями вакуума.
Опишем далее кратко схему алгебраизации поставленной выше краевой задачи (1)-(3). Следуя стандартной процедуре МДУ [2-10], будем искать диаграмму рассеяния. т.е. функцию, определяющую зависимость дифракционного поля от углов в сферической системе
координат уг.в.ф) в так называемой дальней зоне (при кпг >2 I). в которой выполняются асимптотические соотношения вида:
£| _ СХР(-
(1,тГ (/, ХФ" (У.
bJ-СМ^Ф).
Г"(в.ф) =
и=
Ф Ав,р) = г xV/’ (cos в) ■ ехр( imp) ■
(5)
(6)
В (4)-(5) а„я, b -неизвестные коэффициенты разложения диаграмм рассеяния, которые подлежат нахождению; / - единичный орт в сферической системе координат, - волновое сопротивление в вакууме, а
/’ (cos в) - присоединенные функции Лежандра.
Волновые ноля /I .. / / и Ё .Н могут быть
также представлены в виде разложении в ряды Фурье по векторным угловым сферическим гармоникам [2-11]:
ХХк'А™+/’."!}•
(7)
(»>
«=| ,
7 = 1 М. (9)
" "ZZ*" 11 ’’ +ь- 11 +/’ '' 1
«»1 Ш"-Н
/ = 1..А/. <Ю)
<П)
(12)
В этих соотношениях /г/ и Т7'! - диаграммы рассеяния электрического и магнитного нолей соответственно; А0 = - волновое число в свободном
пространстве.
Основным моментом при выводе требуемой системы
г£’ г//
является разложение диаграмм рассеяния гиг в бесконечные ряды Фурье по векторным угловым сферическим гармоникам [II]. которые образуют ортогональный базис в сферической системе координат. Эти ряды
где и я'(‘‘. - неизвестные коэффициенты
разложения для поля Ё.Н внутри среды у , представляющего собой сумму поля, прошедшего через поверхность 5..,, и поля, отраженного поверхностью V : И ■ Ь'т -неизвестные коэффициенты разложения д.тя по;1я Ё.Н. В формулах (7М12) введены следующие обозначения:
t:.=VxVx(r>, ) = /?1,
Ё‘и„ = -ік„£У x(ri// . ) = -СаН'т ■
= v*vx(/x,„ ) =
= ~ік„СУ х(?х.) = -0), •
(13)
(14)
(15)
гральные соотношения для полей Е.Н', были получены соотношения
4/г
(г) ■ ёЦг’)+7Г„, (,’) • *!(/)}&' •
(16)
(17)
в которых
где / - сферические функции Бесселя И -го порядка, а
- сферические функции Ганкеля второго рода И-го порядка. Дополнительным символом ” /"' или в нижнем индексе в (9)-(12) обозначены те функции, в которые вместо волнового числа кп и волнового сопротивления входят к 1 и С или к: и (волновые
числа и волновые сопротивления в средах К,,...,К„ и \\ .7„_| г./' = (нх/?| = («х//,, ] .
соответственно).
Отправной точкой для дальнейшего является представление коэффициентов апт, Л(т, о'п':1, ,
Ь'п~ и а\т. Ь\т через граничные значения волнового
... , Черта сверху обозначает комплексное сопряжение,
поля (1НЗ). По аналогии с 10 необходимые выраже- ' ,
, 1 Таким же образом для остальных коэффициентов
ния для этих коэффициентов могут быть получены на , .,,7
• .. • . были получены выражения, аналогичные (16)-17).
основании интегоальных соотношении для нолей „
_ _ _ _ _ _ Далее, используя полученные соотношения и нод-
Е .Н , ЕГН/ и Е',Н‘, которые выводятся из сгавляя в них, с учетом краевых условий (1)-(3), соот-
уравнений Максвелла (см., например, Г2-4, 10]). В част- ветствующие разложения для волновых полей, можно
і*., , 3- = (ЁхГі] = (£„ х,7] : Ыш = 2,Н1 ■
' “ и(н +1) (п + т)\
(IX)
пости, используя ряды (7)—(8) и соответствующие инте-
получигь следующую бесконечную систему алгебраических уравнений МДУ:
— V V //-'4<Л/+ІН.4Л/-І ІЛІ , ,~4| »-1)-1,4и. І/.І , /~4|.И-И>-1.4М+1„Л/.: . /-4( Н>ІЬІ.4.Н*:і
°- = 1МС-^ % К + 6... + 6.. % )
у=| у/--к*
і V V //~4<Л/-Ч).4Л/-1 . Л/.І , /^4і Л/+ІМА/а».і , /-4< Л/+П.4Л/-! М2 . А/+ІМА/+2 г І/.2 \.
л„„, - 2. 2, (Ч„„.^ +о„„МІЦ
|»=| //=-у'
И"! /г--г Г*1 /I—г
а’' = У £ (о4’ ,л' "V " + С4' "Л'"+04' -г: С4, и,мк:л/I.:-)
ИМ і— \ чт.\р КЩ\р ^птлр 1 ір ^тплр м\р ^ птлр \р )
\>ш\//•-¥
/>'■‘=1 І (0-4-.4.,-'Н ,-|.'+С4,4„-|,л,-и ^4,4.,-^! 0-4,.4,,-"»:л, V
/«» у м/м.іу/ »■// птлр ір птлр Iр ччглр \р / ’
И*1 /#•-»»
/^ _ у у ((-4, + \.ММ> '„/*М , /♦!)./• 1.1 , ,~4/*и</+1>+1 />|* /.1.41 ^ +
пт \ ‘3й »««|.ЧМ ір інн.ір \р птлр \р /*
Н
# : _ у у /х-4;-;.4</чп і ./♦!.! , /^4/+:.4(/+і)і /+І.І , ^44і . ^і - . г:4'^4*/+іи:^
чт у^тплр и\р пт.\р '\р ~ ^тп,\р “»’// ~^пт,\р \р )'
N/1»-1'
«г=«і,м,"и-+с~*"и'"0
»*-1 Ц--У
і. М.2 I." 'ЧГ /г'^.4| »/*!»-! . . Г*■**/«-• 41 и♦!)! \
=>’.+2,2-'........... ">»+0«».Ф л.иа
И-1 /I—У
« =УУ(с" и"+а" />“+0" а1'+С»1" л'-\
". "ПГ'ф ' 17; \у ччілр \р IV Г
•'=1
л~ -УУ «ІІ + с,;»4„л™ + л,'„;}
“ “ /1 = 1.2...., |п|| < и
7 = 2.....Л/ (19)
У = 1,2...........Л/-
в которой матричные элементы С,''„,,, и коэффициенты правой части а". Ь''т имеют вид поверхностных интегралов. аналогичный представленным в [6. 8].
Приведенная выше система (19) применима для расчета характеристик рассеяния многослойных тел достаточно произвольной геометрии, не обладающих симметрией вращения. В случае тел вращения, когда уравнение поверхности тела имеег вид: г — р(6.<£) = р(в). система (19) упрощается н принимает вид, аналогичный системе МДУ для диэлектрических тел [4): сумма по индексу " Ц " исчезает, а он сам заменяется на " т ". при этом
индекс " V " изменяется в пределах от | III | до «* . а матричные элементы системы (19) выражаются через однократные интегралы.
Помимо тела с ма1 нию-днэлекгрическим ядром и двухслойным покрытием был разработан также численный алгоритм МДУ для идеально электрически проводя те I о тела с двумя слоями магнито-диэлектрического покрытия. В этом случае краевое условие (3) примет следующий вид
7; =(«хЯ,| . (£,хй] =0- (20)
Для обоснования применимости метода редукции, т.е. усечения, к полученной бесконечной системе (10). можно проделать асимптотическую оценку матричных элементов и правых частей этой системы при больших значениях индексов /7 и V , аналогичную той, что была выполнена ранее для системы МДУ в работах [2-4. 10]. Это позволяет установить строгие ограничения на геометрию рассеивателей. Так, если первичное ноле - плоская волна, метод редукции применим при условии, что геометрия рассеивателя будет принадлежать к классу так называемых слабо невыпуклых тел [1-4, 10]. каковыми являются, в частности, все выпуклые тела.
Ниже приводятся результаты расчета характеристик рассеяния на примере тел вращения с двухслойным покрытием (Л/ =2 ).
Отметим, что в случае, если поверхности 5,. 52 и 5 рассеивателя представляют собой концентрические сферы с центром, расположенным в начале координат, (двухслойная сфера), то численный алгоритм МДУ значительно упрощается: все интегралы для матричных элементов системы (19) сводятся к явным формулам, (см., например [6-8]). Если, при этом, первичное ноле является плоской волной, то на основе МДУ получим аналитическое решение задачи рассеяния для многослойной сферы, аналогичное тому, что получают в теории рядов Ми методом разделения переменных.
На рис.2 приведена диаграмма рассеяния при осевом палении плоской волны на идеально проводящую сферу с двухслойным покрытием. Рассеиватель представляет собой три концентрические сферы радиусов </, =0.75Л. а. = 0.«ЯЯ. а = 0.85Л (т.е., толщина каждого из слоев составляет 0.05А, где Л - длина волны в среде Г ) с параметрами сред в первом (внутреннем) слое: £х = 3- 2/, =2- /* и во втором (внешнем) слое:
= 2- /, /Л =3“ 2/. Параметры сферы аналогичны
тем, что приведены в работе [12]. Величина <т/Л' . приведенная на рис. 2. соответствует двухпозиционному поперечинку рассеяния, который вычислялся но следующей формуле:
15 V
1° \
3 5 V
^ о • Л
^ • ' V—о
-15 * ; /
.20 -----------------<-----------------*-----------------1
0 30 60 90 120 150 180
В, град
Рис. 2. Диаграмма рассеяния двухслойной сферы с идеально проводящим ядром: Кривая I -Е-плоскость. кривая 2 -Н-плоскость
г*£ р £
где компоненты диаграммы гв , гр вычислялись в полуплоскости (f. = 0 (Е-плоскость) и полуплоскости <(. = п 12 (Н-плоскосгь). Максимальный номер гармоники N в разложении диаграмм рассеяния в ряды (4)-(5) полагался равным 10 (т.е. N ~ 2ка). Результаты расчета, полученные нашим методом и методом интегральных уравнений, приведенным в работе [12]. полностью совпали, при этом время расчета по МДУ на персональном компьютере составляло примерно одну секунду.
Перейдем далее к рассмотрению рассеяния волн телами. геометрия тел которых отлична от сферы. На рис.З приведен двухпозиционный поперечник рассеяния вытянутого сфероида ( уравнение сфероида имеет вид: (дг +у')/а: +г:/с: = I). составленного из концентрических сфероидов с размерами: ка = 4. кс = 8 (внешний слой), ка, =3. кс\ = 6 (внутренний слой), ка, =2. кс, = 4 (ядро).
О. град
Рис. 3. Диаграмма рассеяния двухслойного сфероида: 1 - с диэлектрическим ядром. 2 - с идеально проводящим ядром
К)
