CC BY
162. Зная плановую производительность, 100 метров в час, построим прямую ОА, выражающую зависимость количества изготовленной ткани от времени работы.
3. Зная реальную производительность, 150 метров в час, построим прямую ВС, начав ее на 2 часа позже, т.к. по условию ткачиха кончила работу на 2 часа раньше.
4. По вертикальной оси отложим количество ткани, изготовленной сверх плана, 200 метров. Получим точку D. Через точку D проведем прямую, параллельную прямой ОА до пересечения с прямой ВС в некоторой точке М.
5. Спроецировав точку М на ось времени, получим планируемое время работы, в нашем случае 10 часов.
6. Обозначив пересечение вертикали, проведенной через точку М и прямую ОА, буквой Р и спроецировав точку Р на вертикальную ось, найдем планируемое количество ткани на день - 1000 погонных метров.
Решим задачу арифметическим способом.
1. Если бы ткачиха работала столько времени, сколько нужно работать по плану, то она изготовила бы на 200 + 2 • 150 = 500 метров ткани.
2. Разность производительностей 150 - 100 = 50 метров в час.
3. Плановое время работы 500 : 50 = 10 часов.
4. Плановое количество ткани 100 • 10 = 1000 метров.
Ответ: 1000 погонных метров ткани.
Изучение данной темы помогает разобраться во всех тонкостях применения графического метода при решении математических задач графическим методом.
Библиографический список:
1. Темербекова, А. А. Методика обучения математике : учебное пособие для стуентов высших учебных заведений / А. А. Темербекова, И. В. Чугунова, Г. А. Байгонакова. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2013. - 352 с.
2. Дубинин, Н. Н. Технология решения задач графическим методом / Н. Н. Дубинин // Современные проблемы науки и образования. - Москва, 2018. - С. 32-36. - URL : www.science-education.ru (дата обращения: 17.12.2019). - Текст: электронный.
3. Рудин, В. Н. Графическое решение текстовых задач / В. Н. Рудин, Е. И. Рудина. - Томск, 2000. - 59 с.
4. Рибчинский, М. Р. Графический метод решения задач / М. Р. Рибчинский. - Москва, 2016. -
24 с. УДК 378
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ИЗ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ SOLVING THE TASKS OF SCHOOL MATHEMATICS WITH THE HELP OF GRAPHS OF FUNCTIONS
Афанасьева А. В., студент Научный руководитель: Темербекова А. А., д-р пед. наук, профессор Физико-математический и инженерно-технологический институт ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск nastya1997_17_2@mail.ru
Аннотация. В данной статье рассматриваются способы задания функций, взятые из учебного пособия по алгебре.
Ключевые слова: график, функция, математика, задача.
Abstract. This article discusses the methods of setting functions, taken from the textbook on algebra.
Key words: graph, function, mathematics, problem.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Алтай в рамках научного проекта № 20-413-040003 р_а.
Использование графиков при решении математических задач обусловлено их широкими возможностями и практической направленностью. По графикам решают уравнения и находят объемы тел, рассчитывают и решают экономические задачи, вычисляют данные для запуска ракет и исследуют реальные процессы. Но, несмотря на практический смысл графиков, в школьной математике графики играют в основном вспомогательную роль и служат обычно для иллюстрации и оптимального запоминания свойств изучаемых функций.
Понятия математики отвлечены от конкретных явлений и предметов; они получены в результате абстрагирования от качественных особенностей, специфических для пииго круга явлений и предметов. Одни и те же закономерности математики, один и тот же математический аппарат могут достаточно удовлетворительно применяться к описанию явлений природы, технического, а также экономического и социальных процессов [1, с. 16].
Благодаря своей наглядности, графики позволяют лучше понять решаемую школьниками задачу. График дает возможность сразу определить, есть ли у данной задачи решение и единственно ли оно. Если исходная задача может иметь несколько вариантов аналитического решения, то график помогает выбрать нужный вариант. Графики помогают считать, так как заменяют вычисления по сложным формулам простыми действиями с чертежами. Решать задачи по графикам можно быстро и с достаточной для графики точностью, позволяют исследовать изучаемый процесс, подбирать данные и, тем самым, составлять новые интересные задачи.
При решении текстовых задач графическим способом у учеников возникает понимание необходимости аккуратного отношения к построению графиков, появляется умение работать с ними: правильно выбирать масштаб, производить простые геометрические построения [2, с. 5]. Существует четыре способа задания функций:
Табличный способ. При этом способе ряд отдельных значений аргумента х1, х2, ..., хк и соответствующий ему ряд отдельных значений функции у1, у2, ..., ук задаются в виде таблицы. Несмотря на простоту, такой способ задания функции обладает существенным недостатком, так как не дает полного представления о характере функциональной зависимости между х и у и не является наглядным.
Словесный способ. Обычно этот способ задания иллюстрируют примером функции Дирихле у = D(х): если х - рациональное число, то значение функции D(х) равно 1, а если число х - иррациональное, то значение функции D(х) равно нулю. Таким образом, чтобы найти значение D(х0) при заданном значении х = х0, необходимо каким-либо способом установить, рационально или иррационально число х0.
Гоафический способ. Функциональная зависимость может быть задана с помощью графика функции у = f (х). Преимуществом такого способа задания является наглядность, позволяющая установить важные черты поведения функции. Недостаток графического способа заключается в невозможности применения математического аппарата для более детального исследования функции.
Аналитический способ. При аналитическом способе задания известна формула, по которой по заданному значению аргумента х можно найти соответствующее значение функции у. В математике чаще всего применяется именно аналитический способ задания функций.
Преимуществами такого способа задания являются компактность, возможность подсчета значения у при любом значении х и возможность применения математического аппарата для более под-робногоизучения поведения функции. Однако аналитическому способу задания функции присуща недостаточная наглядность и вероятная трудность вычисления значений функции [3, с. 39]. Приведем несколько примеров.
k 1
Пример 1. Гипербола у = — проходит через точку М(-3; —). Найти:
х 9
а) коэффициент к, изобразить схематически график функции;
б) найти пределы изменения функции на луче (-«; -1];
в) установить: проходит ли гипербола через точки N(1;1), К(2; -1) [2, с. 34].
3
1
Решение: а) при х = -3; у = —, так как график функции проходит через точку М с соответствую-
1 k 3 1 1
щими координатами. Значит: — =-->к= —= — Получаем, что график имеет вид: у=--. Его
9 - 3 9 3 3х
схематический вид следующий (см. рисунок 1):
Рисунок 1 - График функции у =--
3х
Рисунок 2 - График функции
б) Рассмотрим поведение гиперболы при х е (-«; -1]. Воспользуемся монотонностью функции на этом промежутке. Данная гипербола на этом промежутке монотонно возрастает. Значит, её
1 1
максимальное значение будет достигаться на правом конце промежутка: у = у(-1) = —= —.
33
Минимального же значения на этом промежутке не будет, так как функция будет стремиться к 0, но не будет его достигать.
1
Значит' при хе "и у е(0; 3] <см рисунок 2).
11
в) у =--проходит через точку N(1;—) и не проходит через точку К(2; -1). Поясним это:
3х 3
чтобы точка лежала на графике, её координаты должны удовлетворять уравнению этого графика -
11 11
— =---верно, значит, точка N лежит на графике. С другой стороны, -1 Ф--=---
3 3 х 1 3 х 2 6 неправильное равенство, значит, точка К не лежит на графике (см. рисунок 3).
1 -25 2 -1.5 -1 45 0 ■0.5
-1
15
■2
■25
5
Рисунок 3 - График функции у =--
3х
3 3
Рисунок 4 - Гипербола у = — и прямая v = — ,у+ 3
х 2
Ответ: при хе (-«; -1], у е (0; — ] точка K не лежит на графике.
Пример 2. Определите с помощью графиков число решений системы уравнений: = -
х
3
Решение: y = — гипербола (I и III координатные четверти).
х
3 3
Зх - 2у + 6 2у = 3.V + fr -J у = —х+ 3 - прямая (К = — > 0, точка пересечения с осью Oy:
(0; 3)). Построим эти графики в одной системе координат (см. рисунок 4):
Как видно из рисунка, графики этих функций пересекаются в двух точках. Значит, данная система имеет два решения. Ответ: 2
Достоинствами графического метода являются: наглядность, простота алгоритма решения и отсутствие большой трудоемкости вычислений. Основным его недостатком является ограниченность применения, так как решения задач выполняются на плоскости, что определяет число возможных переменных, их не может быть более двух.
Рассмотренные примеры практического применения графиков для решения задач из курса математики подтверждают, что математическими методами успешно решаются математические задачи. Такие задачи интересно придумывать и решать в качестве математического тренинга. Достоинство - доступность для понимания, наглядность результата.
Таким образом, применение графических методов позволяет развивать пространственное воображение, которое является основным для освоения материала в старших классах. Позволяет сократить время решения задач.
Библиографический список:
1. Темербекова, А. А. Методика обучения математике : учебное пособие для студентов высших учебных заведений / А. А. Темербекова, И. В. Чугунова, Г. А. Байгонакова. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2013. - 351 с.
2. Алгебра. 8 класс : учебное пособие для общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова ; под редакцией С. А. Теляковского. -19-е изд. - Москва : Просвещение, 2011. - 271 с.
3. Рудин, В. Н. Текстовые задачи : пособие для учителей и школьников / В. Н. Рудин, Е. И. Рудина. - Томск : ТГУ, 1994. - 57 с.
УДК 378.02
ФОРМИРОВАНИЕ НАВЫКОВ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА НА СПЕЦКУРСЕ ПО ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ К ЕГЭ ПО ФИЗИКЕ FORMATION OF SKILLS FOR THE USE OF MATHEMATICAL APPARATUS IN A SPECIAL COURSE FOR PREPARING STUDENTS FOR THE UNIFIED STATE EXAM IN PHYSICS
Рупасова Г. Б., канд. пед. наук, доцент Физико-математический и инженерно-технологический институт ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск guly.rup@yandex.ru
Аннотация. В статье рассмотрены отдельные стороны и проблемы применения математического аппарата в процессе решения физических задач и предложены методы их устранения при подготовке к ЕГЭ по физике, в рамках спецкурса.
Ключевые слова: спецкурс, единый государственный экзамен, физические задачи, математический аппарат, приемы решения, система линейных уравнений, векторные величины.
Аbstract. The article deals with some aspects and problems of using the mathematical apparatus in the process of solving physical problems and offers methods for their elimination in preparation for the Unified State Exam in physics, within the framework of a special course.
Key words: special course, unified state exam, physical problems, mathematical apparatus, methods of solution, system of linear equations, vector quantities.
