РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ НА ВСЕЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

результатам d*d. Будем иметь: а 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда и а=Ь, т.е.

2*2=5.

Где ошибка???

Если квадраты двух чисел равны, сами эти числа могут быть не равны.

Пример геометрического софизма:

«Спичка вдвое больше,чем телеграфный столб»

Пусть, а - длина спички, а Ь - длина столба. Разность между Ь и а обозначим через с . Значит Ь - а = с, Ь = а + с. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: Ь2 - аЬ = са + с2. Вычтем из обеих частей Ьс. Получим: Ь2- аЬ - Ьс = са + с2 - Ьс, или Ь(Ь - а - с) = - с(Ь - а - с), откуда Ь = - с, но с = Ь - а, поэтому Ь = а - Ь, или а = 2Ь.

Где ошибка???

В выражении Ь(Ь-а-с )= -с(Ь-а-с) производится деление на (Ь-а-с), равное 0. Следовательно, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

Кроме математических софизмов, существует множество других, например: логические, терминологические, психологические и т.д.

1. «Наполовину пустое или наполовину полное?»

«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

2.«Чётное и нечётное»

«5 есть 2 + 3 («два и три»). Два - число чётное, три - нечётное, выходит, что пять - число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные!»

Понять смысл в доказательстве софизма (решить его и найти ошибку в рассуждении) получается не у каждого. Требуются определенный навык и знания. Список используемой литературы:

1.Горячев Д. Н., Воронец А. М. Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики. - М., 1993

2.Мадера А.Г., Мадера Д.А. Математические софизмы. - М.: Просвещение, 2003

3.Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка» - М., Просвещение», 1988г.

©Гавриш М.Ю., 2021

УДК 519.144

Люшненко А.А.,

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №27»

г. Белгород, РФ

РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ НА ВСЕЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ

Решение задачи при заданных начальных условиях

ихг -и, .r е SR, t > 0

(2.1)

2/(л',0) = <р(х), х Е 5t иЛх, 0) = ц/(л;), л' е Л

(2.2) (2.3)

будет иметь следующий вид:

Действительно, если взять вторую производную от t) по аргументу x

(2.4)

и вторую производную от

u( X, t)

по аргументу

t

utt = f (x+t) + g (x + f)

Ы, vv* 1 X. í J — lí 4-Á. I Л*. T J ТО ВИДИМ, ЧТО. лх • ■ J П - ■

Далее перейдем к нашим условиям (2.2) и (2.3): подставим решение (2.4) в начальное условие (2.2), получим

Подставим решение (2.4) в начальное условие (2.3), получим Тогда имеем систему

(2.5)

Проинтегрируем второе уравнение системы (2.5), получаем

(2.6)

где

X)

p(x) И Y(x)

первообразная ~г\--/ и ч"'у равняется интегралу с переменным верхним пределом После чего сложим (2.6) с первым уравнение системы (2.5) в результате получим:

Из первого уравнения системы (2.5) имеем: В результате мы получили:

Г * 21 0

Далее выполним подстановку функций ^ ^Х ^ и &в (2.4). В результате получим:

р

Тогда выражение для решения задачи (2.1) - (2.3) примет вид

(2.7)

где ^(х) первообразная ^х). Полученная формула (2.7) носит название формулы Даламбера (см. [тихонов, самарский.])

Редукция поставленной задачи к случаю нулевой скорости

Лемма 3.1: Решение поставленной задачи (1.1) - (1.5) имеет следующий вид:

и(хХ<р,у) = и(хХ<р$)+и{х,Г$,у/). (3

Докажем это. Для этого нужно доказать, что правая часть (3.1) удовлетворяет всем соотношениям

(1.1) - (1.5). Функции и (л^Оз^£/}п0 0Пределению являются решениями уравнения (1.1).

Поэтому и их сумма, т.е правая часть (3.1) является решением уравнения (1.1).

Далее ^„ . Поэтому

и (0, у/) = 0:

т.е. правая часть (3.1) - удовлетворяет условию (1.2). Далее выполним проверку условия (1.3)

Заметим что

¡Uf(x,t,<P, 0) = 0

и

I

| щ (.т, <р. ц/) = 0

В итоге мы получили что 0 , т.е. правая часть (3.1) удовлетворяет условию (1.3).

Рассмотрим выполняется ли условие (1.4), мы имеем что

=<р(х)

и(х,п О.ц/) = 0

выполняется (1.4) для правой части (3.1). Доказательство выполнения условия (1.5) аналогично доказательству условия (1.4), только нам необходимо взять производные.

Итак мы доказали, что решение поставленной задачи (1.1) - (1.5) имеет следующий вид:

и (х. г; (р, у/) = и (.т. г; (р, 0)+и (.т. I; 0. у/].

и (х, 0. у/) =\и(х,т: 0.

Лемма 3.2: 0 где предполагается что удовлетворяет тем же

<Р ТР И°) = ° и

условиям, что и функция ^ , т.е. ' ' и

Для начала введем следующие обозначения

г

и(х,Р.0.у/) = \ и(х,т:0.ц/)с!т =: О

у( X, ? )

Действительно, если взять вторую производную от

по аргументу

x

у( X, ? ) I

и вторую производную от по аргументу

vtt = ut (х, г; ц/, 0) = J иа (je ,т;у/, 0)dr + ut (х. 0; у/, 0)

где

Uf (х, 0; ц/, О) = О

vxx ~vtt

то видим, что Выполним проверку краевого условия

т.к. по краевому условию '■ " , то следовательно

Рассмотрим интегральное условие

?) = и{х, Г,!/лО) при этом воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница

Р{Ь)-Г(а)=] /(х)<Ь а

Ь

Р{Ь)=\Г{х)ск-Р{а)

и получим:

т.к. \ - ' I - / I \ / и 0 по интегральному условию.

Вывод: Решение задачи (2.1) - (2.5) выражается через решения двух задач с нулевой начальной скоростью

Поэтому достаточно найти форму решения задачи (1.1) - (1.5) при следующем разделе.

(Р = 0

, что и делается в

© Люшненко А.А., 2021