CC BY
4
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 4 (2009). С. 33-66.
УДК 517.5
АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИОДНОРОДНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ
Ю.Н. ДРОЖЖИНОВ, Б.И. ЗАВЬЯЛОВ
Аннотация. Обобщенные функции, обладающие квазиасимптотикой по специальным группам преобразований аргументов этих функций в асимптотической шкале правильно меняющихся функций, называются асимптотически однородными по этим группам преобразований. В частности, к этим функциям принадлежат все "квазиод-нородные"обобщенные функции. В работе получено полное описание асимптотически однородных функций в начале координат по группе преобразований, определяемой вектором а € К+, в том числе и в случае критических порядков. Для этого вводятся и изучаются специальные пространства обобщенных функций. Полученные результаты применяются для построения асимптотически квазиоднородных решений дифференциальных уравнений, символами которых являются квазиоднородные многочлены.
Ключевые слова: обобщенные функции, квазиасимптотика, тауберовы теоремы, дифференциальные уравнения в частных производных.
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Пусть N — некоторое пространство (основных) функций (S(Rn),D(Rn) и т.п.), штрихом сверху обозначаем пространство обобщенных функций (пространство линейных непрерывных функционалов) над пространством соответствующих основных функций. Следуя стандартам, принятым в теории обобщенных функций, обобщенную функцию f Е N' удобно указывать вместе с аргументом основной функции, и мы в основном пишем (f(t),^(t)), ф(t) Е N, вместо (f,ф). В такой записи f(Ut), где U — линейное преобразование координат, означает обобщенную функцию, дествующую по правилу
(f (Ut),m) = ab (f Ш(и-1t)).
Определение 1.1. Пусть {Uk,k > 0} — мультипликативная, непрерывная, однопара-метрическая группа линейных преобразований так что Uk1 k2 = Uk1 Uk2. Пусть также N инвариантно относительно Uk, р(к) - положительная непрерывная функция при k > 0 и f Е N'. Мы говорим, что f обладает квазиасимптотикой в нуле (на бесконечности) относительно р(к) по группе Uk, если для любой ф(t) Е N и некоторой д Е N'
-¡-и (Ui t),m) k— т,т)
р(к) k k^+те
1 w , (1.1)
if (Uk t),m) m,m)
^р(к) ' к^+те
В этом случае говорят, что f асимптотически однородна в нуле (на бесконечности) по группе преобразований {ик,к > 0}.
Уи. N. Drozhzhinov, Б.1. Zavialov. © Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. 2009.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 07-01-00144а и грант НШ-3224.2008.1 . Поступила 2009 г.
Отметим, что Uk может быть представлена в виде Uk = eElnk, где E — некоторое линейное преобразование В дальнейшем мы ограничимся следующим важным для приложений случаем, когда вещественная жорданова форма E имеет диагональный вид, причем все диагональные элементы либо отрицательны, либо положительны. Таким образом, если a = (ai,... , an) Е R+, то можно выбрать координаты t = (ti,... , tn) так, что
= (г1 ¿i,..., ^а uat = u-at = (A,..., ^tn).
В соответствии с предыдущим определением будем говорить, что f (t) Е N', удовлетворяющая условию (1.1), асимптотически однородна по группе преобразований, определяемой вектором a Е R+ в нуле (на бесконечности) относительно p(k). Класс таких обобщенных функций обозначаем AO-a(N) ) соответственно).
Нетрудно видеть, что если f(t) Е AO-a(S(Rn)), то ее преобразование Фурье
/(ж) Е AO^(S(Rn)), где pi(k) = k"|a|p(k).
Если g = 0, то мы говорим, что f (t) обладает тривиальной квазиасимптотикой по группе преобразований, определяемой вектором a Е R+ в нуле (на бесконечности) относительно p(k). Если для f Е N' выполнено соотношение (1.1) и g = 0, то функция p(k) обязательно является автомодельной (правильно меняющейся) функцией (см.[6]).
Напомним, что положительная непрерывная функция p(k) при k > 0 называется автомодельной, если для любого a > 0 и некоторого а Е R
p(ak) a
.,. ^ aa, k ^ то p(k)
равномерно на компактах по a в (0, +то). Число а называется порядком автомодельности р. Порядок а автомодельной функции p(k), участвующей в (1.1), называется порядком асимптотически однородной обобщенной функции.
Заметим, что если p(k) в соотношении (1.1) имеет порядок а, то g является однородной обобщенной функцией степени а по группе преобразований аргумента, определяемой вектором a, то есть g(U^t) = kag(t),k > 0 (такие функции называют иногда "квазиодно-родными"(см. [9]), а про саму f, удовлетворяющую соотношению (1.1), говорят, что она асимптотически квазиоднородна относительно p(k)).
Из общего представления автомодельных функций непосредственно вытекает следующая
Лемма 1.1. Пусть p(k) — автомодельная функция порядка а. Тогда для любого £ > 0 существует константа c такая, что
1 ta~£ ^ ^ ^ cta+£ при k > 1, t > 1
c ^ p(k) ^ Г ' (12)
1 ta+£ ^ ^ cta"£ при k <t< 1, k> 1. K'J
Пусть p(k) — автомодельная функция порядка а. Введем функцию
k oo
ka S Ka+rdK, если / K^O+TdK = то
p(k)
i
:1.3)
oo oo
ka / КЙТdK, если / K^OttdK < то. ki
Нетрудно видеть, что р(&) — тоже автомодельная функция порядка а. Отметим некоторые ее свойства:
1. Пусть непрерывная комплекснозначная функция r(k) ^ 1, при k ^ +ж, тогда
ka Гк p(x)r(x) л [ю p(x) —— --—dx —> 1, если -rrdx = сю;
p(k) Ji ка+1 к^+ю ' J1 ка+1
ka [ю p(x)r(x). л Гю p(x).
1 dx —> 1, если ^——rdx < оо.
:i.4)
2.
p)(k) Jк ка+1 к^+ю J1 ка+1
оо
+ж, если J Ka+тdx = ж
Ш
ka к^+ю
1
ю
Р(к)
:i.5)
0, если J Кра+Тdx < ж.
1
3.
Цк._Гю+Ж. (1.6)
Асимптотически однородные функции обладают рядом интересных свойств и участвуют в формулировке многих тауберовых теорем и в различных задачах математической физики. Их описание и свойства хорошо изучены для пространства обобщенных функций из S+ — пространства, двойственного к пространству S+, являющемуся проективным пределом банаховых пространств SN — пополнения пространства Cю([0, +ж)) по норме
Pn М = max sup(1 + r) bKN
В частности, f (r) E S+ асимптотически однородна в нуле относительно автомодельной функции p(k) порядка а, если
Ж) f (k) к_+Ю Cf-a+1(r) в ■ (17)
где ядро дробного (дифференциирования) интегрирования f (r) E S+ определяется формулой
0(г)тв-т p ^ n
(Г(в) , при в> 0
drN fe+N(r), при в ^ 0,в + N > 0, рекурентно по N.
Здесь Г(в) — гамма функция, Q(r) — функция Хевисайда.
Класс обобщенных функций из S+ асимптотически однородных в нуле относительно автомодельной функции p(k) обозначаем через AO-1(S+). Справедлива следующая
Лемма 1.2. Для того чтобы f (r) E AO-1(S+), то есть была асимптотически однородна в нуле относительно автомодельной функции p(k) порядка а, необходимо и достаточно, чтобы существовало число N > —а + 1 такое, что ее N-ая первообразная была непрерывна и обладала обычной асимптотикой относительно rNp( 1), то есть
f(-N )(r)
fe (r) = {
rNp( 1) r^+0
A. (1.8)
Доказательство см. в [5].
Напомним, что первообразная (производная) порядка в обобщенной функции f (г) Е 5+ (К1) определяется формулой
f(-в)(г) = ^(г) * f (г).
Полное описание асимптотически однородных функций на бесконечности по группе преобразований, определяемой вектором а Е К+, получено в работе [1]. Основная цель данной
статьи — получить подобного рода представление для асимптотически однородных функций в нуле. Основные теоремы будут изложены в § 4. Основным инструментом такого описания служит так называемое, обобщенное сферическое представление обобщенных функций, которое вводится в § 2 . Это представление сводит изучение асимптотических свойств обобщенных функций по группе Ца к исследованию радиальных асимптотических свойств обобщенных функций, заданных на специальных пространствах основных функций. Асимптотически однородные обобщенные функции на этих специальных пространствах изучаются в § 2 и § 3.
Наконец, в § 5 полученные результаты применяются для построения асимптотически квазиоднородных решений дифференциальных уравнений, символами которых являются квазиоднородные многочлены.
2. Пространство обобщенных функций Б]
Как обычно, если 3 = (3!, ... , зп) — мультиндекс, то
(1 ■ д ^
3! = з!.....Зп-; 31 = 31 + ■ ■ ■ + Зп и <£Ш(х) = Б3<^(х) = —----<^(х).
дх!... дхП
Через Б (Кп) обозначаем стандартное пространство Шварца быстро убывающих основных функций, а Б'(Кп) — соответствующее пространство медленно растущих обобщенных функций. Через Б+е обозначаем стандартное пространство основных функций вида ге—(г), где -(г) Е Б+, то есть пространство основных функций, имеющих в нуле ноль порядка (при I = то — бесконечного порядка). Так, например, Б+,» состоит из бесконечно диффе-ренциируемых функций на К +, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными быстрее любой обратной степени г и имеющих ноль в начале координат бесконечного порядка.
Пусть 3 не более чем счетное (может быть пустое) множество чисел Л без точек накопления и ограниченное снизу.
3 Г л \ г = 0,... М, если множество конечное; 1 (2 ^
1 *Ч г = 0,1, 2,...; Лг У +то, если множество счетное. Г
Такие множества вещественных чисел будем называть допустимыми. Всюду далее 3 — допустимое множество.
Отметим, что 3 — I = {Лг — г = 0,1,... }, где I действительное число, также допустимое множество.
Обозначим через Б, пространство функций -(г) Е С»(К+), быстро убывающих при г ^ +то вместе со всеми производными и таких, что для некоторых Сд, зависящих от —,
г) — £ Сдгд] Е См([0, +то)), (А)' [-(г) — £ Сдгд] д^м, де, ^ ' д^м, де,
= 0, (2.2)
г=о
где N ^ 0 и I = 0,... , N. Топологию на Б] зададим с помощью системы норм
е
(—) = тах вир(1 + г)м
г>0
[-(г) — £ Сдгдп(г ' д^м, де,
+ тах |Сд|. (2.3) д^м, де,
Здесь и всюду далее функция п(г) бесконечно дифференциируема на [0, +то), финитна и равна 1 в некоторой окрестности нуля. Например,
п(г) е с »«о, +то)), ,(г)Л1 при г< 2: (2-4)
Заметим, что топология на Sj не зависит от выбора функции n(r) с такими свойствами. Через SN обозначаем пополнение SJ по норме . Пространство SJ — пространство Фре-ше. Отметим также, что Sj инвариантно относительно дилатаций аргумента функций из этого пространства и S+,O С Sj.
Кроме того, заметим, что если множество J' содержит J, то Sj С Sj/ (для добавочных точек А Е J', но не принадлежащих J, считаем Сд = 0 для функций из Sj). В частности, если J — пустое множество (обозначим его как Jj), то Sj0 = S+,O.
На пространства Sj и Sj переносятся (соответствующим образом) определения асимптотической однородности.
В пространстве Sj определим моменты обобщенных функций и несколько конкретных обобщенных функций.
Определение 2.1. Пусть F(r) Е Sj. Если для некоторого А Е J существует предел
r
lim (F(r),rAn(T)) = Ma[F], (2.5)
fc^+те k
не зависящий от функции n(r) Е Со([0, +то)) с компактным носителем и равный единице в окрестности нуля, то Ma[F], называется моментом порядка А обобщенной функции F(r). Если F(r) имеет компактный носитель, то Ma[F] = (F(r),rA).
Пусть А Е J, определим Дд(г) по формуле
(AA(r), ^(r)) = Ca, где Ca определяется формулой (2.2). (2.6)
Отметим, что Aa(Ax) = кл+тДа(г), то есть Дд(г) — однородная функция степени -(А + 1). Обобщенную функцию r^ определим формулой
оо
f re (^(r) — ^ CArA)dr, если — ß — 1 Е J;
/ в / w ) 0 AeJ, A<-e-1
(rJ ^(r))=S OO f \
f re p(r) — E Сдга — C-e-ir-e-10(1 — r) dr, при — ß — 1 Е J.
AeJ, A<-e-i
,в
(2.7)
Отметим, что при —в — 1 Е 3 функция г} однородна степени в. Действительно,
((кг^(г)) = 1(гв ,р( Г )) =
^ те
= У гв(р(Г) — £ СлгЛ)^г = кв I гв(р(г) — £ Слгл^г.
лeJ, л<-в-1 0 AeJ, л<-в-1
При —в — 1 Е 3 обобщенная функция г^ не однородна. Заметим, что при 3 = Z+ = {0,1, 2,... } пространство ^ = Б+, а г^ = г+ и Дл(г) = (-Л1,) #(л)(г) (см. [7]
Лемма 2.1. Пусть р(к) — автомодельная функция порядка в, а ^(г) Е ^ имеет компактный носитель и
Мл[^] = 0 для УА Е 3 и А ^ —в — 1. (2.8)
Тогда ^(г) имеет тривиальную квазиасимптотику на бесконечности относительно р(к).
Доказательство см. в [1].
Лемма 2.2. Пусть р(к) — автомодельная функция порядка в, а ^(г) Е и ее носитель отделен от нуля, то есть существует число а > 0, так что впрр ^(г) С {г ^ а}. Тогда ^(г) имеет тривиальную квазиасимптотику в нуле относительно р(к).
Доказательство. Пусть
С(г) Е Сте(0, +ж), С(г) Н 0 при Г < а, 4 ' '1 при г ^ а.
Для любой <£>(г) Е SJ имеем
1 (Р (г ),^(г)) = 4т ^ (г),<р(кг)) = ^ (г),£(г)<р(кг)).
р(к) к ' р(к) ' р(к)
Далее
1г
т(Р (г
к
кк — \(Е(г),£(г)<р(кг))\ ^ рк)СТМ(С(гЖкг)) =
0.
,,.С тах вир (1 + г)м р(к) '
—) £(г),Акг)
к^+ж
Откуда и следует утверждение леммы.
Следующие леммы и теоремы дают описание обобщенных функций из класса AO-1(SJ).
Лемма 2.3. Пусть 7 — допустимое множество вещественных чисел, р(к) — автомодельная функция порядка в, числа А,£ Е К, N Е Ъ+, и 7(г) — непрерывная при г > 0 функция, такая что
7(г) - А ■ р(1)гм+е, г ^ +0. (2.9)
г
Тогда:
1. Если в — 1 Е 7, то обобщенная функция ¿1(г), определяемая формулой
(¿1(г),ф(г)) = I >у(г)(I) (г-£(ф(г) — ^ Слгл)) йг, Уф ЕSJ, (2.10) 0 ^ Г ' \ лeJ, л<в-1 )
корректно определена на SJ и асимптотически однородна (в нуле) относительно р(к), то есть ¿1(г) Е AO-1(SJ), причем
1 -¿Кг) —► АСг~/, где С = (в — £ — N).....(в — £ — 1). (2.11)
р(к) к к^+ж оо
2. Если в — 1 Е 7 и / Кра+т < ж, то обобщенная функция ¿1(г), определяемая формулой
00
и Л Ка+т
1
(2.10), принадлежит SJ и асимптотически однородна в нуле относительно р(к), то есть ¿1(г) Е АО- 1(SJ), причем
1 г
со знаком минус.
оо
3. Если в — 1 Е 7 и / Кра+т = ж, то обобщенная функция ¿1(г), определяемая формулой
1
1
N
Шг),ф(г))= ! 1(г)( йт) [г-е(ф(г) — ^ Сл гл)] йг, Уф ЕSJ, (2.13)
корректно определена на SJ и асимптотически однородна в нуле относительно р(к), то есть ¿1(г) Е АО- 1(SJ), причем выполнено соотношение (2.12) со знаком плюс.
Замечание. Если в — 1 Е 3 и в — 1 — ^ Е а N > в — 1 — то С = 0. В этом случае обобщенная функция, определяемая формулой (2.10), корректно определена на ^ и асимптотически однородна (в нуле) относительно р(к), то есть ^\(г) Е ), причем
V1
выполнено соотношение
1 r
Fi(-) (-1)-e+'+N+1А(-в + € + N)!(в - € - 1)iAe-i(r). (2.14)
р(к) к к^+те
Доказательство. Сперва отметим, что формулы (2.10) и (2.13) корректно задают обоб щенные функции из . Обозначим через
(dr)N I r-4^(r) - E ca-a) | в случае 1. и 2.;
g(r) = <
. . i
agj, A<e-i
(2.15)
(dr)N I r %(r) - E CArA) 1 в случае 3. agj, A^e-i
Из определения пространства ^ (см. (2.3)) следует, что в окрестности нуля имеем
|g(r)| < c<J re 1 ' N вслучае1и3' (2.16)
|yv л I re-1-'-N в случае 2. v '
Справедлива также оценка
|y(r)| < const ■ p(1)rN+' < c£rN+'-e-£, е < Ai, (2.17)
r
см. (1.2) при i > 1. Из этих оценок следует сходимость интегралов в (2.10) (в случае 1) и (2.13). Для случая 2 заметим, что формула (2.10) определяет обобщенную функцию на Sj в силу оценки
i i те
У |7(r)g(r)|dr < c^ rN+'p(1)re-i-'-Ndr = c J pe+idr' < TO. 0 0 i
(сделана замена переменной r' = i).
Рассмотрим случай 1. Покажем, что Fi(r), определяемая формулой (2.10), обладает квазиасимптотикой в нуле относительно p(k). Для любой -0(r) Е Sj имеем
1 r k
-(Fi( - ),^(r)) = — (Fi(r),^(kr)) =
e-i+Al-'-N в случае 1 и 3,
p(k) k ' p(k)
k f , s / d 4 N
p(k) У Y(r4 dr
0
k k
r-' ( ^(kr) - £ CakArA agj, A<e-i
dr
^ I y(r )g(r)dr = I P(ч Y(!\ ^ rN+'g(r)dr. (2.18)
p(k) У '(k)У( ) У p(k) (k)N+'p(k) У( ) ^ ;
о о k '
Учитывая, что в окрестности то
ig(r)i < Jre i д ' N в случае 1 и 2,
|g(r)| < c j re -1 -' - N в случае 3. считая е < min{A, A1} (см. (2.16)) по лемме 1.1 имеем
(2.19)
p(k) < Jre+: пРи r< 1,k> 1 , (2.20)
p(k) ^ I re - : при 1 < r < k, k > 1.
Учитывая оценки (2.16), (2.20) и оценку
r y (r)
ш(-) ^ const, при к> r, где ш(г) = N п , к rN +tp(1)
видим, что подынтегральная функция в (2.18) оценивается функцией cr ности ж и функцией cr-1+(Al-£^ в окрестности нуля, то есть интегрируемой функцией, не зависящей от к. При k ^ существует предел у подынтегральной функции (при каждом r), равный Ar-e+N+tg(r). По теореме Лебега можно в (2.18) перейти к пределу при к ^ Имеем ("избавляясь"в пределе от производных) соотношение
-1-(д-е)
(2.21)
в окрест-
к ),ф(т-)) AG i r-e (ф(т-) — £ Cxrx)dr, Р( ) ^ ™ 0 xeJ, \<e-i
Случай 1 доказан. Докажем справедливость замечания.
Действительно, замечая, что оценка (2.16) остается справедливой и в этом случае, ибо
((
\ (т /
оо
ict)N (r eC^-1re ^ = 0, переходя к пределу в (2.18)
имеем
рщ(р1(I,w»^Aj r
о
-в+t+N
d dr
N
-t
r
Ф(Г) —
£
xeJ, \<e-i
Cxr
A I r-e+t+N ( d dr
о
idf) r-tU(r) — £ Cxrx — Ce-ire-1n(rЛ ^ T ' L ^ xeJ, x<e-1 '
dr
dr+
+ACr~ 1 r
-в+t+N
dr
N
r
-t+e-1
n(r)dr.
Нетрудно видеть (интегрируя по частям I — в + N + 1 раз), что первое слагаемое равно нулю. Замечая, что носитель подынтегрального выражения во втором интеграле финитен и отделен от нуля, интегрируя по частям второе слагаемое и учитывая, что п(0) = 1, доказываем соотношение (2.14).
Перейдем к оставшимся случаям 2 и 3 Действуя также, как и при получении соотношения (2.18) в предыдущем случае, для любой функции ф(т) Е SJ имеем
к
(РЛ к ),Ф(т)) = ( Ш( к )Р( к )т"+'9Лт)<1т+
Ч ^ кwк }г" Ч i
N
r tCl3- 1r
в-1
n(r)
в случае 2
1 — rj(r) в случае 3
(2.22)
где функция n(r) удовлетворяет условиям (2.4), ui(r) определяется формулой (2.21), а
id \ N
g1(r) = g(r) — i dr ) [r tCf3-1r13 1n(r)] .
(2.23)
Замечая, что д\(т) удовлетворяет оценкам (2.16) и (2.19) для случая 1, точно также, как и при доказательстве предыдущего случая, выводим, что первое слагаемое справа в сумме (2.22) ведет себя при к ^ ж как ср(к), с некоторой постоянной с. Учитывая, что
П(т) = 1 ^ 1 Г п(т) =0 0
т / \ п при т ^ 1 и < ' , ч при т > 2,
1 — п(т) = 0 1 — п(т) = 1
d
к
для второго слагаемого справа в (2.22) имеем
, N
в случае 2 С«-1(/ + /М§)р(к)rN+< (¿Г г-^+в-1п(г)^г 0 1
2 к (2.24)
2 к N
в случае 3 С«-1(/ + /М§)р(к)rN--^в-1(1 - п(-))^. 1 2
Пользуясь формулой Лейбница и оценками (2.20) и (2.21), при к > 1 имеем (для случаев 2. и 3. соответственно)
2 ■ N
с-р(к)/* к) Ш г-+*( |) г^ *
1
N
< Ср(к) / И-*^+ £ А,-»'-'-»{ ¡(Г-;«)<■"> | ^ <
т=0 2 г
^ ср(к) £ / Гт-1-^ ¡(Г-^Г^М! ^ ^ ср(к). (2.25)
т=0 1
Рассмотрим оставшиеся интегралы в (2.24) при к ^ то соответственно для случаев 2 и 3. Выполняя дифференциирование, делая замену к = к, из (1.4) получим
1
I Г
Л.А „в-1^ ^ / Р(к)
/
ССв-^ 0к *(к)р(-)гв-1^г - слсв-1| —(р(к). (2.26)
2
Отсюда следует справедливость (2.12) для случаев 2. и 3. Лемма доказана. Докажем обратное утверждение в случае в — 1 е 3
Лемма 2.4. Пусть 3 — допустимое множество, р(к) — автомодельная функция порядка в, в — 1^3, а ^(г) е и ^(г) € ). Тогда найдется число так что
^ (-) = *Ъ(г) + Л (г), (2.27)
где *Ъ(г) = 0 в некоторой окрестности нуля, а ^\(г) определяется формулой (2.10) с 7(г), удовлетворяющей условию (2.9).
Доказательство. Разобьем ^ (с помощью соответствующего разбиения еденицы) на две части — ^ = + Н2, где
вирр ^2 С {- ^ ^}; вирр Н2 С {- ^ 1}.
Согласно лемме 2.2 обладает тривиальной квазиасимптотикой в нуле относительно р(к), и, следовательно, Н2 е АО-1 (5,).
Поскольку С 3, то Н2(г) е АО-1 (5,) и в силу теоремы о сходимости в конечном порядке Н2(г) е АО-1(5+^) для некоторого £ Следовательно, г^Н2(г) е АО—1(5+), где р^(к) = к-^р(к). Согласно лемме 1.2 существует число N такое, что первообразная порядка N от нее непрерывная функция и выполнено соотношение
71 (г) = (/Я2(г))(-^ - Аг^рф, - ^ +0. (2.28)
2
В силу теоремы о сходимости в конечном порядке существует целое число Q такое, что
г'Я2(г) е АО-1 (5?). Теперь, замечая, что для любого числа С существует число М такое,
что функция
г-'(р(г) - £ Сл-л)х(-) е У^(-)
ле,, л<м
(здесь х(-) е Сте([0, +то)) равна 1 при г ^ 1 и нулю при г > 2), имеем при достаточно большом М
(Я2(г),р(г)) = №(г),х(г)Мг) - Е Слгл))+ £ Сл(Я2(г),гл) =
ле,, л<м ле,, л<м
(/Я2(г),г-%(г) - Е Слгл)х(г))+ £ СлМлЯ
-л)
ле,, л^м ле,, л^м
N
= ((-^(г))^, (-Л - Е Слгл)Х(г)А+ Е СлМл[Я2]
^ ^ ' ле,, л<м ' ле,, л<м
1 те
= (/+ /М-Х"- )N
4 -г'
01
--%(г) - Е Слгл)х(г)
ле,, л^м
-г + Е Мл[Я2 ](Дл(г),^(г)).
ле,, л^м
(2.29)
Полагая для второго из интегралов в (2.29)
те
/ 71(-)( ^ )N [г^(-)х(г)]-г = (^з(г),^(г)), (2.30)
1
видим, что вирр отделен от нуля. А для оставшейся части этого интеграла имеем
Е Сл/ 71(г)( ^ )N [гл-'х(-)]-г = Е вл (Дл(г),^(г)) (2.31)
ле,, л^м 1 ле,, л^м
с некоторыми постоянными В.
л
Для первого из интегралов (2.29), учитывая, что х(-) = 1, при г ^ 1, имеем 1 1
/71(-)(--)N[г-'М-) - Е Слгл]^г =171 (-)(--)N[г-%(г) - Е Сл-л]^-+
0 ле,, л^м 0 ле,, л<в-1
1
+ Е Сл / 71 (-)(-г-)Nгл-'-г. (2.32)
Тг'
ле,, в-1<л^м 0
Последний интеграл в (2.32) сходится в силу (2.28). Из (2.29) с учетом (2.30)-(2.32) имеем
1
№(-),<?(-)) = / 71(г)(--Г[--%(-) - Е Слгл]Гг+ 0 - ле,, л<в-1
+ Е Вл(Дл(г),р(г)) + (*з(г), <?(-)) (2.33)
ле,, л^м
с некоторыми постоянными Вл = В + Мл[Я2]. Так как Я2 е АО-1 (5,), а интеграл в (2.33) согласно лемме 2.3 определяет обобщенную функцию, имеющую квазиасимптотику в нуле
относительно р(к) и F3 обладает тривиальной квазиасимптотикой в нуле относительно р(к), то
1 __r _ кХ+1
^ £ МЫr ),*ir))= £ Bx W} (Axir)Mr)) ^ const (2.34)
' xeJ, x^M xeJ, x^M '
Это возможно, только если Bx = 0 для X > в — 1. Следовательно, в соотношении (2.33) суммирование ведется только по X Е J, X < в — 1. Таким образом мы показали, что
1
(F(r)Mr)) = i Y1 (r)(d)Nir-t(^(r) — £ Cxrx]dr+ 0 r xeJ, x<e-1
+ £ Bx(Ax(r),<p(r)) + (F4(r),<p(r)), (2.35)
xeJ, x<e-1
где Y1 (r) удовлетворяет условиям (2.9), а F4 = F3 + F2 и supp F4 отделен от нуля. Подберем теперь непрерывную функцию Y2(r) = 0 при r ^ 1 и r ^ 1 такую, чтобы
1
/Y2(r)(d)Nrx-tdr = —Bx, УХ Е J,X<e — 1. (2.36)
1
2
Это всегда возможно, например, если t> в — 1. Из (2.33) имеем 1
(H2(r)Mr)) = i (Y1(r) + Y2(r))( d )N [г-Ъ(г) — £ Cxrx)]dr + (F3(r)Mr)) —
0 r xeJ, x<e-1
1
— (F5(r),<p(r)), где (F5(r),<p(r)) = j Y2(r)(d)Nr-t^(r)dr. (2.37)
1
2
Отметим, что supp F5 отделен от нуля. Полагая
Y(r) = Y1(r) + Y2 (r), Fo = F5 + F4
и замечая, что y(i) удовлетворяет условию (2.9), а supp F0 отделен от нуля, завершаем доказательство леммы.
Утверждение 2.1. Пусть J и J1 — допустимые множества вещественных чисел, причем J С J^ и р(к) — автомодельная функция порядка в. Пусть F(r) Е SJ и F(r) Е AO-1(Sj). Тогда:
1. Если в — 1 Е J1, то существует число B такое, что
1
F(-) —► Br— на SJ. (2.38)
р(к) к к^+ж
При этом F(r) продолжается на Sj1 до F(r) Е AO-1(SJl), так что
-F(r) Br- на Sji . (2.39)
р(кУ Кк' ' Л
Любое другое такое продолжение отличается от Р(т) на
а\А\(т) с некоторыми постоянными а\. (2.40)
\eJí\J,\<¡з-l
2. Если ß — 1 </ J и ß — 1 G Ji, то F(r) продолжается на Sj1 до _F(r) G AO- ). При этом выполнено соотношение (2.38) с некоторым числом B, и имеет место соотношение
1r
да F(k) Ä ±ВДв-1(г) на J ■ <2-41)
00
где знак "+" берется при а знак "—", если f -рв+т < то.
1
3. Если ß — 1 G J, то F(r) продолжается на Sj1 до F(r) G AO-1(SJl). При этом имеет место соотношение
1r
РйF(k' ^ BД"-(r) на J <2-42)
с некоторым числом B.
Доказательство. Рассмотрим случай 1. По лемме 2.4 F(r) представляется в виде F = Fo + Fi, где носитель Fo отделен от нуля, а F1 удовлетворяет условиям (2.9), (2.10). Поэтому по лемме 2.3 имеет место соотношение (2.38) с некоторым числом B. Заметим, что F0 продолжается на Sj1 и будет иметь там тривиальную квазиасимптотику относительно p(k). Теперь зададим F1 формулой
(Fi(r)^(r)) = /Y(r) (dr) (r-'(^(r) — E CArA) J dr, ^ G Sji, 0 \ rS \ Aeji, A<e-1 /
где y(r),£, N берутся из представления (2.9),(2.10) для F(r). По лемме 2.3 F1 G AO-1(SJl).
Таким образом, F = F1 + F0 дает нужное продолжение. Поскольку F и F совпадают на Sj, то будут совпадать и их квазиасимптотики. Отсюда следует (2.39).
Теперь, поскольку все такие продолжения совпадают на основных функциях из Sj, то все они отличаются только в нуле. Поэтому, если G — другое такое продолжение, то
G(r) — F(r) = ^^ аАДа(г), с некоторыми аА. Aeji\j
Так как оба продолжения из AO-1(Sj1 ), то
Ж (Gk > — ^k >) = P(k) J аАДА<r > =
= лЕал^Дл<г> к-+те9(г) в ■
А это возможно при ал = 0, только если в - А - 1 > 0. Отсюда и следует (2.40).
Рассмотрим случай 2. Доказательство непосредственно следует из леммы 2.3 и леммы 2.4 (случай 2 и 3), если заметить, что е , носитель которой отделен от нуля, продолжается до обобщенной функции из с носителем также отделенным от нуля. Рассмотрим случай 3. Пусть /0 = /\{-в - 1} и = </Д{-в - !}■ Построим
^(г) е АО-1 (5,о) как продолжение ^(г) с на в соответствии со случаем 2. Для
того чтобы построить искомое продолжение ^ на , достаточно определить его на одной функции вида п(г)гв-1, где п(г) удовлетворяет условиям (2.4). Положим
(_Р(г),гв-1п(г)) = (^ (г),гв-1п(г)).
Поскольку п(г)гв-1 е , то _Р(г) е АО-1 (5, )■
Докажем теперь соотношение (2.42). Так как
1 т
-) 0{т), на ,
р(к) к к^+ж
то по лемме 2.4 О(т) = Ат^ на SJO с некоторым числом А (см. (2.11)). Тогда по уже доказанному (случай 2)
1 ^ т
Р(-) ±ААв-1(т), на SJ
Р(к) к к^+ж
(см. (2.41)). С другой стороны, на SJ
1 -п т ) = г (т) — 0
р(к) к р(к) р(к) к к^+ж
(см. (1.6)). Это возможно только, если А = 0, то есть О(т) = 0 на SJ0, а следовательно, и на SJlo (случай 1). Теперь для любой р Е SJ1 имеем
(С(т), <р(т)) = (С(т),р(т) — Ов-гтв-1п(т)) + (С(т),Св-гтв-1п(т)) =
= Св-г(а(т),тв-1п(т)) = Св-гБ = В (Ав-г(т),р(т)). Что и доказывает соотношение (2.42). Утверждение доказано.
Теорема 2.1. Пусть 7 — допустимое множество, р(к) — автомодельная функция порядка в, в — 1 Е 7 и число £ таково, что в — 1 — £ Е ^+. Тогда для того чтобы Г(т) Е АО-1^.]), необходимо и достаточно, чтобы существовали числа А,М (М — целое) и непрерывная при т > 0 функция у(т),
у(т) - Атм+£р(~), т ^ +0 (2.43)
т
такие, что для любой основной функции р Е S,
J
} ( 1 (Г(т)Мт)) = ] 7(т) ^<
0
где вирр Г0(т) отделен от нуля.
т-£(р(т) — £ С\тх) xeJ, х<в-г
1т + (Го(т),ф(т)), (2.44)
Доказательство. Достаточность непосредственно следует из лемм 2.2 и 2.3. Докажем необходимость. Пусть Г(т) Е AO-1(SJ). Представим Г с помощью соответствующего разбиения еденицы в виде
(Г(т),р(т)) = Шт),р(т)) + (Щ(т),р(т)), Ур Е SJ,
где вирр Г2 отделен от нуля, а вирр Н2 С {т ^ 1} и Н2 Е AO-1(SJ) (мы учли, что Г2 имеет тривиальную квазиасимптотику в нуле относительно р(к)).
Положим = {7 — £}^Z+. Поскольку в — 1 Е 7, то в — 1 — £ Е 7 — £, а т.к. в — 1 — £ Е , то в — 1 — £ Е Замечая, что тгН2(т) Е AO-^(SJ-£), где ре(к) = к-ер(к), согласно
утверждению 2.1 (случай 1) существует продолжение теН2(т) до тНН2(т) Е АО-1^.]1). А
так как S+ С SJ1, то тНН2(т) Е АО-1^+). Поэтому существует целое число N (см. лемму
1.2) такое что первообразная (тНН2(т))(-М) = 7г(т) — непрерывная при т > 0 функция, удовлетворяющая условию (2.43). Положим
Л = {Ле7 : Л ^ в — 1,Л — £ Е Щ и Тм = {ЛеЗ : Л< М}\3С}
где М — некоторое вещественное число. Замечая, что для любого числа С существует число М такое, что функция
г-^(г) - Е Слгл)х(г) е Ур(г) е
ле,м
(здесь х(г) е Сте([0, +то)) равна 1 при г ^ 1 и нулю при г > 2), для любой ^ е и достаточно большого М имеем
(Я2(г),^(г)) = (Я2(г),Х(г)(^(г) - £ Слгл)) + Е Сл(Я2(г),гл) = = (г^Я2(г),г-%(г) - Е Слгл)х(г)) + Е СлМл[Я2] =
ле,м ле,м
№(г))<-лг> ^ [г-%(г) - Е Слгл)х(г)А + Е СлМл[Я2]
\ / Хс 7* / Хс 7*
1 оо
- Е Слгл)х(г)
ле,м
¿г + Е Мл[Я2](Дл(г),^(г)).
ле,м
01
Действуя точно также, как и при доказательстве леммы 2.4 (см. (2.30)-(2.34), где во всех суммах следует заменить / на /М), аналогично (2.35) получим
1
(^(г),р(г)) = [ 71(г)(^Г[г-:(р(г) - Е Слгл]^г+
+ Е Вл(Дл(г),^(г)) + (^4(г),^(г)), (2.45)
ле,*, л^в-1
где 71 (г) удовлетворяет условиям (2.43), а вирр ^4 отделен от нуля. Отметим, что слагаемые с А = в - 1 е /м, ибо в - 1 е /■ Обозначая = {А е /с : (гл-: = 0}, из (2.45)
имеем
1
(^ р) = / 71(г)(^Г[г-:(^(г) - Е Слг> + + 0 г ле,, л<в-1
1
+ Е ВлСл + Е ВЗСл, где В3 = /71(г)(^гл-^г.
1
>лс + ^ влсл, где В3 =1' 71(г)(^гл-:^г. (2.46) ле,*, л^в-1 ле,сус*, л<в-1 0
Заметим, что хотя в сумме под интегралом в (2.46) имеются слагаемые с А е /*, но фактически из г-:^(г) мы вычитаем слагаемые, которые после взятия производных обращаются в ноль. Поэтому в суммы вне интеграла эти слагаемые вклада не дают и, следовательно, можно подобрать непрерывную функцию 72(г) = 0 при г ^ 1 и г ^ 1 такую, чтобы
1
[ N л-о / -Вл, У А е /М, А ^ в - 1,
Л2(г)(*)г = | -В3, УА е /Д/с*, А ^ в - 1.
1 2
Из (2.46) имеем
1
(^(г),^(г)) = [(71 (г) + 72(г))(Г[г-%(г) - Е Слгл)]^г + №(г), ^(г))-0 г ле,, л<в-1
1
Г (
— (Г5(т),р(т)), где (Г5(т),р(т)) = ъ(г)(~г)Мт-ер(т)(т.
I ат
Отметим, что вирр Г5 отделен от нуля. Полагая
у(т) = Ъ(т) + ъ (т), Г = Г5 + Г4
и замечая, что у(т) удовлетворяет условию (2.43), а вирр Г0 отделен от нуля, завершаем доказательство. Теорема доказана.
Теорема 2.2. Пусть 3 — допустимое множество, р(к) — автомодельная функция порядка в, в — 1 Е 3 и число £ таково, что в — 1 — £ Е Ъ+. Тогда для того чтобы Г(т) Е ЛО-1(3,]), необходимо и достаточно, чтобы существовали числа А, N (М — целое и N > в — 1 — £), и непрерывная при т > 0 функция 7(т),
7(т) - Атм+£р(~), т ^ +0 (2.47)
т
такие, что для любой основной функции р Е S,
J
1 N
(Г(т)Мт)) = ! 7(т)((
о
т-е(р(т) — £ С*тХ) хeJ, х<@-1
(т + (Го(т),ф(т)), (2.48)
где вирр Г0(т) отделен от нуля.
Доказательство. Достаточность непосредственно следует из лемм 2.2 и замечания к лемме 2.3. Докажем необходимость. Пусть Г(т) Е AO-1(SJ). Представим Г с помощью соответствующего разбиения еденицы в виде
(Г(т),р(т)) = (Г2(т),р(т)) + (Щ(т),р(т)), Ур Е SJ,
где вирр Г2 отделен от нуля, а вирр И2 С {т ^ 1} и И2 Е AO-1(SJ) (мы учли, что Г2 имеет тривиальную квазиасимптотику в нуле относительно р(к)).
Положим 31 = {3—£}иЪ+. Поскольку в —1 Е 3, то в —1—£ Е 3—£, а так как в—1—£ Е ,
то в — 1 — £ Е 31. Замечая, что тгИ2(т) Е AOp1(SJ-£), где ре(к) = к гр(к), согласно
утверждению 2.1 (случай 3) существует продолжение теИ2(т) до тлИ2(г) Е AO-1(SJl). А
так как S+ С SJ1, то тИИ2(г) Е AO-1(S+). Поэтому существует целое число N (см. лемму
1.2) такое, что первообразная (тИИ2(г))(-^ = у]_(т) — непрерывная при т ^ 0 функция, удовлетворяющая условию (2.53). Увеличим, если нужно, N так, чтобы N > в — 1 — £. Положим
3С = {X Е 3 : X ^ в — 1,Х — £ Е Ъ+} и 3*м = {X Е 3 : Х< М}\3С,
где М — некоторое вещественное число. Отметим, что X = в — 1 Е 3М, ибо в — 1 Е 3С. Замечая, что для любого числа С существует число М такое, что функция
т-е(р(т) — £ С\тх)х(т) Е SL, Ур(т) Е SJ
(здесь х(т) Е Сте([0, +ж)) равна 1 при т ^ 1 и нулю при т > 2), для любой р Е SJ и достаточно большого М имеем
„А\\ I п ( и „х\
(И2(т),р(т)) = (И2(т),х(т)(р(т) Схтх))+£ Сх(И2(т), тх)
xeJM XeJ^I
= (тяИ2( т), т-\р(т) — £ Схтх)х(т)) + £ СхМх[Щ =
((¿К(г))<-лг>М [г-%(г) - Е Слгл)х(г)^ + Е СлМл[Я2]
ле , * ле , *
1 те
(/ + /)-,«(£Г
01
г-%(г) - Е Слгл)х(г) ле, *
^ м
^г + Е Мл[Я2](Дл(г),^(г)).
ле, *
Действуя точно также, как и при доказательстве леммы 2.4 (см. (2.30)-(2.34), где во всех суммах следует заменить / на /М), аналогично (2.35) получим
1
(^(г),^(г))= /"71(г)(^)"[г-:(р(г) - Е Слгл]^г+ 0 г ле,*, л<в-1
+ Е Вл(Дл(г),^(г)) + (^4(г),^(г)), (2.49)
ле,*, л<в-1
где 71 (г) удовлетворяет условиям (2.47), а вирр отделен от нуля. Учитывая, что (|т)Мгл-: = 0 при А ^ в - 1, А е из (2.49) имеем
1
(^(г),р(г)) = [ 71 (г)(^Г[г-%(г) - Е Слгл]^г+ 0 г ле,, л<в-1
+ Е Вл(Дл(г),^(г)) + (^4 (г),р(г)). (2.50)
ле,\,с, л<в-1
Подберем теперь непрерывную функцию 72(г) = 0 при г ^ 1 и г ^ 1 такую, чтобы
1
/ Т2(г)(^)Мгл-:^г = -Вл, УА е А < в - 1.
Из (2.50) имеем
(^(г),р(г)) = I (71(г) + 72(г))(^Г[г-%(г) - £ Слгл)]^г + №(г), р(г))-0 г ле,, л<в-1
1
[ й
-(^5(г),^(г)), где (^б(г),^(г)) = 72(г)(г-:^(г)^г.
1
2
Отметим, что вирр ^5 отделен от нуля. Полагая
7(г) = 71 (г) + 72 (г), ^ = К, + ^4
и замечая, что 7(г) удовлетворяет условию (2.47), а вирр /о отделен от нуля, завершаем доказательство. Теорема доказана.
1
3. Пространства Wj и VJ
Пусть Sf — любое ядерное пространство Фреше. Далее будем полагать, что F — замыкание ограниченной регулярной области в Rn-1 (иногда F — гладкая бесконечно диф-ференциируемая n — 1-мерная компактная поверхность без края, например, еденичная сфера), а пространство Sf — пространство бесконечно дифференциируемых на F функций со стандартной топологией равномерной сходимости вместе со всеми производными. Систему (полу)норм в Sf обозначим через
Qn М = max sup lpU)(e)l N = 0,1,..., а SfN пополнение C^(F) по норме QN. Через Sf' обозначаем пространство двойственное
к Sf . _
Положим Wj = Sj 0Sf (проективное тензорное произведение пространств Sj и Sf (см. [8])). В силу ядерности Sf пространство Wj может быть реализовано как пространство функций ф(г,ё),г Е R+ ,e Е F, бесконечно дифференциируемых на F и по r на R+ = {r > 0}, имеющих асимптотическое разложение
Ф(г, e) - £ Cx(e)rx, r ^ +0, Cx(e) Е C™(F),
xeJ
то есть
dУ[ф(т-,е) — £ Cx(e)rx] =0, 0 ^ t ^ N, N = 0, 1,.... (3.1) r x^N xeJ
Топология на Wj задается с помощью системы (полу)норм
pn (ф) = mm?* sup qA (1 + r)N( -f) ^(r,e) — £ Cx(e)rxV(r)}\ + 0^Nr>0 { \dr) x^xeJ J
+ xmNaxxeJ Qn {Cx(e)}, (3.2)
где функция n(r) удовлетворяет условию (2.4) (заметим, что топология на Wj не зависит от выбора функции r/(r) с такими свойствами.) Таким образом,
Wj <••• с WN+1 С WN С • • • С Wj, (3.3)
где WN — банахово пространство с нормой PN (ф) (пополнение W J по норме PN).
Для каждого Л Е J и любой Ф^) Е sf' в соответствии с (2.6) определим обобщенную функцию Ax(r) 0 Ф^) формулой
(Ax(r) 0 Ф(e),ф(r,e)) = (Ф(e),Cx(e)), Уф Е Wj,
где Cx(e) Е sf определяется формулой (3.1). Из соотношения
1 r 11
(Ax(kr) 0 Ф(e)^(r,e)) = --(Ax(r) 0 Ф^),ф(р e)) = --(Ф(eCx(e)) (3.4)
следует, что Ax(r) 0 Ф^) — однородная по r функция степени —(Л + 1).
В соответствии с (2.7) для любой Ф(е) € определим обобщенную функцию гв ® Ф(е) формулой
(гв ® Ф(е),-(г, е)) = <
/ гв(Ф(е),-(г,е) - Е СЛ(е)гЛ) <^г, при - в - 1 € 7, о V ле^ л<-в-1 /в
оо /
/гв Ф(е),-(г,е) - Е Сл(е)гЛ-о V ле^ л<-в-1
-С-в-1 (е)г-в-10(1 - г)) ¿г, при - в - 1 € 7
в
-в-1 (е)г ' -0(1 - г)
в
(3.5)
для любой -(г, е) € Ж,. Заметим, что при -в - 1 € 7 она однородна по г степени в.
Пусть Е(г, е) € Ж,. В соответствии с (2.5), если для некоторого Л € 7 выполнено соотношение
г
(Е(г,е),гЛп(7)) Мл[^](е) на ^, (3.6)
не зависящее от п(г) € Со([0, +то)) с комактным носителем и равной единице в окрестности нуля, то МЛ [Е](е) € называется моментом по г порядка Л обобщенной функции Е(г, е).
Определение 3.1. Пусть р(к) — автомодельная функция порядка в. В соответствии с определением 1.1 Е(г, е) € Ж' асимптотически однородна по г в нуле (на бесконечности) относительно р(к) , если для любой -(г, е) € Ж,
1г
— (Е(р е), -(г, е)) к-+Оо(С(г, е), -(г, е))
1 (Е (кг,е),-(г,е)) —► (С(г, е),-(г, е)) ) . (3.7)
^р(к) ' ' ' к^+о
При этом пишем Е(г,е) € ) (сответственно Е(г,е) € )). Заметим, что
С(г, е) — обязательно однородная функция по г степени в.
Все результаты, полученные в § 2 для пространства ^, практически дословно переносятся на пространство Ж,.
Пример. Пусть обобщенная функция Е(г, е) € Ж/, тогда ее всегда можно представить в виде Е(г, е) = (г, е) + Е0(г, е), где носитель Е0 отделен от нуля, а имеет компактный носитель и сколь угодно много моментов равных нулю, скажем
Ых,[Л](е) = 0, Лг€ 7, г = 1,...М.
При этом, если обобщенная функция Е(г, е) ортогональна к некоторой ^0(е) € , то есть (Е(г, е), ^0(е)) = 0, то такими же будут и и Е0, то есть
(^1(г,е),^о(е)) = 0, (*0(г,е),<р0(е)) = 0.
Доказательство см. в [1]. В частности, для пространства Ж, справедлив аналог леммы 2.3, где — = -(г, е) € Ж,, СЛ = СЛ(е) € , а утверждение 2.1 принимает следующий вид Утверждение 3.1.Пусть 7 и допустимые множества вещественных чисел, причем 7 С 71, и р(к) автомодельная функция порядка в. Пусть Е(г, е) € Ж, и Е(г, е) € ). Тогда:
1. Если в - 1 € 71, то существует обобщенная функция Ф(е) € такая, что
рщЕ<к'е) ^г-в ®Ф(е) на ^• (3-8)
При этом Е(г, е) продолжается на до Е(г, е) € ), так что
р(к)Й®Ф(е) на . (3-9)
Любое другое такое продолжение отличается от р(т, е) на
£ Ах(т) 0 Фх(е) (3.10)
\eJi\J, \>в-\
с некоторыми Фд(е) Е Б?'.
2. Если в - 1/3 и в — 1 Е 3\, то обобщенная функция Р(т,е) продолжается на WJ1 до Р(т,е) Е ). При этом имеет место соотношение
1 ^ т
Р(-,е) ±Ав-г(т) 0 Ф(е) на WJ1, (3.11)
F(k) k
где Ф(е) Е Sf' берется из соотношения (3.8), и если
р(к) . ( = ж, то берется знак +, , ,
-ак < ^ (3.12)
Kß+1 \ < ж, то берется знак — .
1
3. Если в — 1 Е 3, то Р(т,е) продолжается на WJl до Р(т,е) Е АО-1 (WJl). При этом имеет место соотношение
— ^ r
Ж)F(:k'e)Aß-l(r) 0Ф(е) на - (3.13)
с некоторой Ф(е) Е Sf'.
Замечание. Пусть выполнены условия утверждения 3.1, ß — 1 Е Ji, и для некоторого подпространства E С Sf выполнено условие ортогональности, то есть
(F(r, e), <p(e)) = 0 в S'j Vtp(e) eE.
Тогда существует продолжение F(r,e) до F(r,e) Е AO-1(Wj1), для которого также выполнено условие ортогональности, то есть для любой p(e) Е E
(F(r, e), <p(e)) = 0 в S'Jl. (3.14)
Пусть Y(r,e) — непрерывная по r функция со значениями в Sf', то есть для любой функции p(e) Е Sf функция (y(r,e),ip(e))e непрерывна по r. Будем писать
y(r,e) — р(г)Ф^), r ^ +ж, на SF,
где Ф^) Е Sf', а p(r) — положительная функция, если
Y(r,e) —► Ф(e) в Sf'.
p(r)
Теоремы 2.1 и 2.2 для пространства Wj примут следующий вид
Теорема 3.1. Пусть J — допустимое множество, F(r,e) Е WJ, p(k) — автомодельная функция порядка ß. Пусть еще число £ таково, что
ß — 1 — £ Е если ß — 1/J;
ß — 1 — £ Е Z+, если ß — 1 Е J.
(3.15)
Тогда для того чтобы Р(т,е) Е AO-1(WJ), необходимо и достаточно, чтобы существовало N (М > в — 1 — £ в случае в — 1 Е 3), непрерывная по т при т > 0 функция у(т, е) со значениями в Б? и обобщенная функция Ф(е) Е Б?', так что
Y(r,e) - r£+Nр(-)Фи), r ^ +0, на Sr (3.16)
r
такие, что для любой основной функции ^(r, e) £ Wj
1 ' N
(F(r,e),^(r,e))= / (7(r,e), r—^(r,e) - £ CA(e)rA)
0 ^ V / L xc 7 a< — д— 1
" ^'^(r, e) —
agj, a<—в—1
+ (Fo(r, e),^(r, e)),
где F0(r, e) £ Wj и ее носитель отделен от нуля.
Замечание. Пусть E — некоторое подпространство Sf. Если в условиях теоремы 3.1 полагать, что (F(r, e), <^(e))e = 0 для <^(e) £ E, то можно считать, что (7(r, e), <^(e))e = 0.
Сопоставим каждому Л £ J замкнутое подпространство Ea С Sf . Через EN обозначаем пополнение Ea по норме qn . Положим
Vj = |^(r, e) £ Wj : CA(e) £ Ea, Л £ J}. (3.18)
Топология в Vj наследуется топологией в Wj.
Далее для описания обобщенных функций из AO—1(Vj) нам понадобятся две леммы.
Лемма 3.1. Пусть F(r, e) £ Wj, J — допустимое множество и p(k) — автомодельная функция порядка в, где в — 1 £ J. Тогда F(r, e) £ AO-1 (Vj) в том и только в том случае, если существует F(r, e) £ AO—1(Wj) такая, что
F(r, e) = F(r, e) на Vj. (3.19)
Доказательство. Достаточность очевидна. Пусть теперь F(r, e) £ AO—1(Vj), тогда
F £ AO—1(Wj0), и по утверждению 3.1 (случай 1) F продолжается до F £ AO—1(Wj). При этом они отличаются на обобщенную функцию, сосредоточенную в нуле, то есть для некоторого M
F — F = £ Фа^) 0 Да(г)+ £ Фа^) 0 Да(г), (3.20)
Aej, A<e—1 Aej, в— 1<A^M
где Ф^) £ Sf'. В соотношении (3.20) слева стоит обобщенная функция из AO—1(Vj), первая из сумм справа также из AO—1(Wj) и, следовательно, вторая сумма из AO/—1(Vj). А потому, фиксируя любое Л0 > в — 1, функции <^(e) £ Ea0 и n(r), удовлетворяющую условиям (2.4), для ^(r, e) = rAon(r)^(e) £ Vj имеем
pk)( £ фA(e) 0 Да(r),^(r,e)) =
P( ) Aej, в—1<A^M kAo+1
= Ж(фао(e),^(e)) const. (3.21)
Это возможно, только если (фа0(r), <^(e)) = 0. Теперь нетрудно проверить, что
F(r, e) = F(r, e) + £ ФA(e) 0 Да(г) agj, A<e—1
дает нужное продолжение. Лемма доказана.
Лемма 3.2. Пусть p(k) — автомодельная функция порядка в, в — 1 £ J, и
F(r, e) £ Wj, F(r, e) £ AO—1(Vj).
Тогда существует h(r, e) £ Wj со свойствами: 1. Для любой <^(e) £ Ee—1 справедливо тождество
(F(r, e) — h(r,e),^(e))e = 0. (3.22)
2. Существуют число М и Фд(е) Е Б?',А Е 3, в — 1 < А ^ М такие, что
Р(т, е) = к(т,е) — £ Фх(е)Ах(т) Е АО-1^). (3.23)
Доказательство. Так как Р Е AO-1(VJ), то есть
1 т
Р (Т,е) —► С(т,е)
р(к) к' к^+ж
на V,;, а V,; замкнуто в WJ, то эта сходимость имеет место в некотором Vм (пополнение V,] по норме Рм, см. (3.3)). Учитывая конечность порядка Р(т, е) на WJ и увеличивая М, если нужно, можно считать также, что Р(т, е) Е )'. Так как £1з-1 С Б? — ядерное пространство, то существуют: число М, ограниченное семейство {<рт(е) Е £М-1,т = 1, 2,... }, ограниченная последовательность функционалов {¡.т Е (у£р_-1)'} и семейство чисел
ж
{Ат}, Е 1Ат I < Ж, таких, что
т=1
ф(е) = £ Ат(1т(е),ф(е))ерт(е), Уф(е) Е (3.24)
т=1
По теореме Хана-Банаха семейство функционалов {¡.т Е (у£р_-1)'} может быть продолжено до ограниченного семейства функционалов на Б?м, в частности, до ограниченного семейства на Б?.
Теперь для любой функции ф(т, е) Е WJ положим
(к(т,е),ф(т,е)) = £ Ат (Р(т,е),<т(е)(/т(е),ф(т,е))е) =
т=1
= £ Ат( (Р (т, е), <Рт(е))е, (/т(е),ф(т,е))е) . (3.25)
т=1 ^ ' г
Отметим, что к(т, е) корректно определена на всем WJ. Проверим, что
(Р(т,е) — к(т,е),<р(е))е = 0, Е £р_1. (3.26)
Действительно, для <(е) Е £р-1 и ф(т) Е БJ имеем
ж /
(к(т, е),<р(е)ф(т)) = £ Ат( (Р(т, е), <рт(е))е, (/т(е),ф(т)<р(е))
т=1 ^
ж
Р(т, е), £ Ат(/т(е),р(е)Ше) • ф(т) ) = (Р(т, е),<р(е)ф(т)).
т=1 /
Кроме того к(т,е) Е AO-1(WJ0), ибо
1 ж 1
рщ(Н( к е),ф(т, е)) = £ Ат рщ (р (!^,е),<т(е)(/т(е),ф(т,е))(
т=1
м
а семейство {<т(е)(/т(е),ф(т,е))с} есть ограниченное семейство в Vм, если ф(т,е) Е WJl!).
Заметим еще, что к(т, е) обладает квазиасимптотикой в нуле относительно р(к) на функциях вида тв-1ц(т)<р(е), где п(т) Е Б+, с компактным носителем и равна 1 в окрестности нуля, а <(е) Е Б?. Действительно, это следует из соотношения
1 т -(к(- ,е),т-в-1п(т)<(е)) =
р(к) к
г = £ ((Г' е), гв-1п(г)(/т(е), ^(е))^ =
= £ Лт(/т(е),^(е))Е(Г,е),гв-1п(г)^т(еЛ , (3.27)
т=1 / \ /
если заметить, что последовательность {(/т(е), ^(е))} ограничена, а {гв-1п(г)^т(е)} — ограниченное семейство в Vм.
Докажем теперь соотношение (3.23). Положим = 7\{в — 1}. Так как обобщенная функция к(г, е) Е АО^Ш^), то по утверждению 3.1 (случай 1) она продолжается до обобщенной функции С(г, е) Е , причем С Е ). Поскольку к и С совпадают
на , то они отличаются на обобщенную функцию, сосредоточенную в нуле, то есть
С(г,е) — к(г, е) = £ ФЛ(е)ДЛ(г) (3.28)
ле^ в-1<л^м
с некоторыми Фл Е (слагаемые с Л < в — 1 не влияют на квазиасимптотику в нуле относительно р(к) порядка в, и мы отнесли их к С). Продолжим С на , обозначив это продолжение через к(г, е). Для этого достаточно определить его на функциях вида гв-1п(г)^(е), где п(г) удовлетворяет (2.4), а <^(е) Е . Положим
(к(г, е), гв-1п(г)^(е)) = (к(г, е), гв-1п(г)^(е)). (3.29)
Таким образом, к Е WJ. Кроме того к(г, е) Е AO-1(WJ), ибо к(г, е) Е ) и об-
ладает квазиасимптотикой в нуле на функциях вида гв-1п(г)^(е), где <^(е) Е , ибо к обладает ей. Лемма доказана.
Следующие две теоремы дают описание обобщенных функций из АО-1(У/).
Теорема 3.2. Пусть 7 — допустимое множество, р(к) — автомодельная функция порядка в, в — 1 Е 7, Е(г, е) Е и £ — некоторое число такое, что в — 1 — £ Е Для того чтобы Е(г, е) Е АО-1(^), необходимо и достаточно, чтобы существовали: число N функция 7(г, е), непрерывная (по г) при г > 0 со значениями в так что
7(г, е) - р(^)Ф(е), г ^ +0, на вг (3.30)
г
с некоторой Ф(е) Е такие, что
(Е (г,е),^(г,е)) = ^ (7(г,е),(^) [г-^(г,е) — £ Сл(е)гл)]^ ^г+
+ (Е0(г,е),^(г,е)), У^(г,е) Е V/, (3.31)
где Е0(г, е) Е и вирр Е0 отделен от нуля.
Доказательство теоремы непосредственно следует из теоремы 3.1 и леммы 3.1.
Замечание. Если (Е(г, е),<^(е)) = 0 для всех <^(е) из некоторого подпространства , то можно считать, что (7(г, е), ^(е)) = 0 и (Е0(г, е), ^(е)) = 0 для <^(е) из того же подпространства (см. пример и замечание к утверждению 3.1).
Теорема 3.3. Пусть 7 — допустимое множество, р(к) — автомодельная функция порядка в, в — 1 Е 7, Е(г, е) Е и £ — некоторое число такое, что в — 1 — £ Е . Для того чтобы Е(г,е) Е АО-1(У/), необходимо и достаточно, чтобы
Е(г, е) = Е1(г, е) + Е2(г, е), где Е1(г, е) Е АО-1(Ж/) и Е2(г, е) Е . (3.32)
Причем существуют: число М, функция у(т, е) непрерывная по т при т > 0 со значениями в Б? так, что
(у(т,е),<(е)) = 0, для всех <(е) Е £р-1, (3.33)
у(т,е:) - т£+мр(1)Ф(е),т ^ +0 на Бг (3.34)
г
с некоторой Ф(е) € Б^' такие, что для любой ф(т,е) Е У]
1
N
йт
(Щт,е),ф(т,е)) = I (у(т,е),(£) т-е(ф(т,е) — £ Сх(е)тх) \ йт. (3.35) 0 ^ ^ Г ' хе], \<в-\ е
Доказательство. Пусть Г(т,е) Е ЛОр1(У]). Согласно лемме 3.2 существует
к(т,е) Е Ш], удовлетворяющая условиям (3.22) и (3.23). Имеем
Г(т,е) = Г(т,е) — к(т,е) + А(т,е) + к(т,е), где Д = £ Фх(е) 0 Дх(т). (3.36)
хе], /з-кх^м
Так как к Е АО~-1{Ш]), то Г — к + Д Е АО-1 (У.). Учитывая, что носитель Д сосредоточен в нуле, получаем, что
С(т,е) = Г(т,е) — к(т,е) Е АО-1(Ш.ц),
при этом согласно (3.22) (С(т,е),<(е))е = 0, для любой <(е) Е £1з-1. Положим 31 = 3\{—в — 1}. По утверждению 3.1 (случай 1) обобщенная функция С(т,е) продолжается на до обобщенной функции С(т,е) Е АО~-1{Ш]1), причем (С](т,е),<(е))е = 0 для любой < Е £@-1, (см. замечание к утверждению 3.1). По теореме 3.2 для 0(т, е) справедливо представление
(С(т,е),ф(т,е)) = У(1(т,е),(-й) [т-\ф(т,е) — £ Сх(е)тхйт+ 0 хе.1, х<-в- 1 е
+ (д0(т,е),ф(т,е)), фЕШ]1, (3.37)
где М,£,у(т,е) определяются теоремой 3.2, а вирр О0(т,е) отделен от нуля и (С0(т, е), <(е))е = 0 для любой < Е £р—1. При этом согласно замечанию к теореме 3.2 выполнено условие (3.33).
Заметим, что интеграл в (3.37) корректно определен для любой ф Е Ш] и определяет обобщенную функцию из , которая к тому же в силу (3.33) принадлежит АО-—1 (У]).
Обозначим эту обобщенную функцию через Г2 (т,е).
Теперь заметим, что Р2 + О0 и Г — к + Д совпадают на и принадлежат АО-1 (У]). Поэтому они отличаются на обобщенную функцию Д^т, е), сосредоточенную в нуле, причем Д1(т,е) Е АО-1 (У]). Другими словами, существуют: число М, обобщенные функции Фх(е) Е Б(Бп-1 ),\ Е3,\ ^ М такие, что
Г — к + Д = Г2 + ёо + Д1, где Д1(т,е)= £ ^х(е) 0 Дх(т). (3.38)
хе], х<м
Те слагаемые в сумме для Д1(т,е), которые обладают квазиасимптотикой в нуле (может даже тривиальной) относительно р(к) на всем Ш], объединим в сумму, которую обозначим через Д2. Для каждого из остальных слагаемых, так как Д1 Е АО-1 (У]), справедливо соотношение
Фх(е) 0 Дх(т) = 0 на У].
Сумму этих слагаемых обозначим через Д3(т, е).
Теперь положим
^(г, е) = Е2(г,е) + Дз(г,е); Е^г,е) = /¿(г, е) + <5°(г,е) + Д2(г, е).
Нетрудно проверить, что Е1 и Е2 обладают нужными свойствами.
Обратное утверждение тривиально. Теорема доказана.
4. Представление асимптотически однородных обобщенных функций по специальным группам преобразований
В этом параграфе мы описываем асимптотически однородные в нуле функции из Б'(К") по группе преобразований, определяемой вектором а (см. § 1).
Пусть задан вектор а = (а1,..., ап) Е (то есть а, > 0, г = 1,... , п), будем полагать, что Т — замыкание ограниченной регулярной области в К"-1, обладающей тем свойством, что для каждой точки ¿° = (¿1,... , ¿") Е Т, кривая (г"1 ¿1,... , г"п¿" : г > 0} пересекает Т только в точке ¿° (иногда, Т — гладкая п — 1-мерная поверхность без края гомеоморф-ная еденичной сфере, обладающая этим свойством). Совокупность таких кривых образует каноид в К"
= {¿Е К" : ¿1 = г"1 е1,..., ¿" = г"п е„; г ^ 0,е =(еь...,е„) Е Т}, (4.1)
причем будем полагать, что К" — регулярная замкнутая область в К" (см. [5], отметим, что если Т гомеоморфна еденичной сфере, то К" = К").
Через Б (К") обозначаем пространство бесконечно дифференциируемых вплоть до границы каноида функций, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными быстрее любой обратной степени Пространство Б (К") есть проективный предел банаховых пространств Бм (К") — пополнения пространства С) по норме
М = тах 8ПР(1 + ^(¿)|.
Напомним, что если 3 — допустимое множество, то пространство Ж/ состоит из функций ^(г, е), г Е К+, е Е Т, бесконечно дифференциируемых по е на Т
и по г на К+, имеющих асимптотическое разложение (3.1) и с топологией, задаваемой системой (полу)норм (3.2).
Фиксируем а = (а1,... , ага) Е Далее через 3 и /„ обозначаем допустимые множества:
3 = (А = т^ +----+ Ш"а„; т = (ть ... , т" Е
/а = (А = Ш1а1 +----+ Ш"а"; т = (т1,...,тп) ЕМ"}. (4.2)
Имея множества 3 = и Т, строим пространство Ж/. Фиксируем число А Е Через Е" обозначаем линейную оболочку функций Е^- (е) = е1.....е"п Е Б^, у которых мультиндекс
3 удовлетворяет уравнению (3, а) = А, то есть
Е" = Ь1п(Е(е), (з, а) = А, з Е Z+}. (4.3)
Отметим, что функции Е^-(е) Е Е" линейно независимы и образуют базис в Е" (см. [1]). Рассмотрим в пространстве Ж/ подпространство
/ = (^(г, е) Е Ж/ : Сл(е) Е Е", А Е Л}. (4.4)
Топология в V/ наследуется топологией в Ж/. Пусть ^(¿) Е Б (К"). Сделаем замену переменных
^(г, е) = ¿ : ¿, = г"4 е,, г =1,...,п, е = (е1,...,е") ЕТ. (4.5)
Рассмотрим отображение
т„ : ^(¿) = ^(¿1,...^") ^ р(Мг,е)) = ^(г,е) = ^(г"1 е1,...,г"пе"). (4.6)
Отметим, что та — непрерывное отображение Б(К«) в , где определяется формулой (4.2). Ядро этого отображения тривиально. Более того, легко заметить, что та отображает Б(К«) в . Действительно,
^(г,в) - £ Е (е)гЛг = £ СЛг (е)гЛг, г - 0, (4.7)
Лг ^ J ^ ' Лг
где
Слг(е)= £ Е(е)Е Е-« . (4.8)
Нетрудно усмотреть, что — замкнутое подпространство пространства .
Утверждение 4.1. Отображение та, определяемое формулой (4.6). осуществляет изоморфизм пространств Б (К«) и .
Доказательство см. в [1].
Пусть / (¿) Е Б '(К«), тогда обобщенная функция /5(г, е), определяемая формулой
(Л(г,е),^(г,е)) = (/(*),<?(*)), где = <^(г,е)) = ^(г,е) Е , (4.9)
принадлежит )'. Так как — замкнутое подпространство , то по теореме Хана-Банаха мы можем продолжить / на все . Обозначим это продолжение Е(г, е) и назовем его обобщенным каноидным представлением обобщенной функции / (¿) Е Б '(К«), так что
(Е(г,е),^(г,е)) = (Д,^(г,е)), У^(г,е) Е .
Пусть Е (г, е) — обобщенное каноидное представление для обобщенной функции /(*) Е Б'(К«), тогда
(/(*),<?(*)) = (Е (г, е), ^(г"1 е1,..., г«п ега)), Е Б (К«). (4.10)
Поэтому
/ (£ , . . . , ^), ¥>(*)) = кН(/(^ ^ . . . , ^ О) =
= (Е(г, е), ^(кг«1 е1,..., е„)) = к|а|-1 (V(г, е), ^(га1 еь ..., г«пе„)) (4.11)
Обобщенное каноидное представление Е (г, е) обобщенной функции / Е Б '(К«) определяется неоднозначно. Общий вид обобщенного каноидного представления для любой / (¿) Е Б' (К«) выглядит так:
Е(г, е) + £ Длг(г) 0 Фг(е), (4.12)
где N — некоторое натуральное число, а Е(г, е) — какое-то (конкретное) обобщенное каноидное представление, а обобщенные функции Ф^(е) Е Б^ удовлетворяют условиям ортогональности
(Фг(е),Е (е)) = 0, (а,з ) = Лг, г = 0,1,.... (4.13)
Замечание 1. Если / (¿) Е Б '(К«) имеет компактный носитель, то ее обобщенное каноидное представление Е(г, е) также будет иметь компактный носитель на , а следовательно, и на всем (ибо ее продолжение на все отличается от Е(г, е) на обобщенные функции, сосредоточенные в нуле). Обратное утверждение очевидно тоже справедливо. Замечание 2. Если / (¿) Е Б '(К«) имеет носитель,отделенный от нуля, то ее обобщенное каноидное представление Е(г, е) также будет иметь носитель на , отделенный от нуля. Это непосредственно видно из соотношений (4.10) и (4.13). Обратное утверждение тоже справедливо.
Из (4.11) следует
Утверждение 4.2. Пусть р(к) — автомодельная функция порядка а и вектор а Е . Для того чтобы f (1) Е А0-а(Б(Кс^)), необходимо и достаточно, чтобы ее обобщенное каноидное представление Е(г,е) Е А0~-Т^(Ууа), где р1(к) = ^а-тр(к).
Следующие две теоремы дают описание обобщенных функций f (1) Е А0-а(Б(Ку7)).
Теорема 4.1. Пусть р(к) — автомодельная функция порядка а, вектор а = (а1,... , ап) Е причем
а Е 1а = {(а, т), где т = (т1,...,тп) Е Мп}, (4.14)
и число £ такое, что а — |а| — £ Е Тогда для того чтобы f (1) Е А0-а(Б(Кс^)), необходимо и достаточно, чтобы
f (:) = т + т,
(4.15)
где ^(1) Е Б'(Ку) имеет носитель, отделенный от нуля, а fl(1) имеет представление: для достаточно большого N существует функция у (г, е) — непрерывная по г, при г > 0 со значениями в Б'Т, так что
7(г,е) — г£+м+1а1~1р(-)^(е),г ^ +0
(4.16)
для некоторой Ф(е) Е Б'р такая, что
(тмы
(7 (г,е),(^) [г~Ъ(га1 е1 ,...,гап еп) — £ ¿¡г{т'а)Чт)(0)Ет(е))Л ¿г, Уф) ЕБ(ЮОр).
(т,а)<а-1а1, ' ' е
(4.17)
Доказательство. Пусть f (1) Е А0-а(Б(Кс^)), тогда согласно утверждению 4.2 ее обобщенное сферическое представление Е(г, е) Е А0-1(У,;а). Порядок автомодельной функции р1(к) = к-^+1 р(к) равен в = а — |а| + 1, и из (4.14) имеем
в — 1 = а —1а1Е {(т1 — 1)а1 +-----+ (тп — 1)ап, тг — 1 ЕЪ+,г =1, 2,...,п} = За. (4.18)
По теореме 3.2 (учитывая (4.18)) для Е(г,е) и любой ф(г,е) Е Ууа имеет место представление (3.31), в котором Ео(г,е) имеет носитель, отделенный от нуля, и тривиальную квазиасимптотику в нуле относительно р1. Следовательно, соответствующая ей обобщенная функция будет такой же (см. замечание 2). Для оставшейся части fl(t) = f (1) — ^(1) с компактным носителем обобщенное каноидное представление будет таким же (замечание 1) и из (3.31) имеем: для достаточно большого N существует функция у(г, е) — непрерывная по г, при г > 0 со значениями в Б'^ такая, что
1
у(г,е) — г + р1 (-)Ф(е),г ^ +0, с некоторой Ф(е) Е Б'
г
(4.19)
(как обобщенная функция из ), так что для любой р(1) Е Б(Ка)
(Ь(1),<р(1)) = (Е1(г, е),фат е1,..., га" еп)) =
7 (г,е),[^
N
г ат е1,
7(г,е),[ 4-
аг
N
■, гапеп) — £ Ох(е)гх)
\</з-1, \е]а г-1(^(гате1,..., га"еп) —
а
е
£ гЛ £ — ^(т)(0)Ет(е))
ЛGJa, Л<а-|«| (т,«)=Л
¿г.
Отсюда с учетом (4.19) и равенства
1 -!
£ СЛ(е)гЛ = £ гЛ £ — ^(т)(0)Ет(е)
Л<в— 1, Л^а ЛeJa, Л<а—|«| (т,«)=Л
£ 1 г(т'а>^(га)(0)£т(е), (4.20)
—!
(т,а,)<а—|а,|,
получаем (4.16) и представление (4.17).
Обратное утверждение очевидно. Теорема доказана.
Теорема 4.2. Пусть р(к) — автомодельная функция порядка а, вектор а = (а1,..., ап) Е причем
а Е I« = {(а, —) : — = (т1,... ,тп) Е Мга}, (4.21) и числа ^ и V такие, что
—^ + а — |а| Е —V + а — |а| Е
Тогда для того чтобы /(¿) Е АО—«(Б(К«)), необходимо и достаточно, чтобы
/(*) = Ш + /2(*) + /о(*), /.(*) Е Б), г = 0,1, 2, (4.22)
где /0(£) Е Б '(К«) имеет носитель, отделенный от нуля;
/1(^) имеет представление: для достаточно большого N^ > а — |а| — V) существует функция 7(г, е) — непрерывная по г, при г > 0 со значениями в Б^, так что
7(г, е) - г^+Н—1р(1)Ф(е), г ^ +0, с некоторой Ф(е) Е Б^ (4.23)
г
(как обобщенная функция из Б'р) такая, что
1
N
¿г
(/1 (*),¥>(*)) = У (т(г,е),(^) [г—" (^(г-1 е1,...,г«п е„) —
— £ —уг(т,аУт)(0)Ет(е))Л ¿г, ЕБ(К«); (4.24)
(т,а,)<а—|а,|, е
/2(£) имеет представление: для достаточно большого N существует функция ^(г, е) — непрерывная по г, при г > 0 со значениями в Б' , так что
и(г,е) - +|а|—1р(1)Ф(е),г ^ +0, с некоторой Ф(е) еБ'т (4.25)
г
(как обобщенная функция из Б^),
(^(г, е),Е(е)) = 0 для всех ] таких, что (з, а) = а — |а| (4.26)
такая, что
^ \ N „
— „«п .
(т^)) = / (^е),^) [г—^(г«1 е1,...,г«п е„) — о
£ — г(т,«Ут)(0)£т(е))Л ¿г, ЕБ (К«). (4.27)
ш т^ип ' / е
е
Доказательство. Пусть f (1) Е А0-а(Б(Кс^)), тогда согласно утверждению 4.2 ее обобщенное каноидное представление Е(г,е) Е А0-1(У.а). Порядок автомодельной функции р1(к) = к-^+1 р(к) равен в = а — |а| + 1, и из (4.21) имеем
в — 1 = а —^^{т — 1)а1 +-----+ (тп — 1)ап, тг — 1 еЪ+,1 = 1, 2,...,п} = За. (4.28)
По теореме 3.3 (учитывая (4.28)) для Е(г,е) на У.а имеет место соотношение (3.32) с Е1 Е А0-1(№.1а) и Е2 Е А0-1(У.]а) со свойствами (3.33)-(3.34) и представлением (3.35). Для Е1 (г, е) по теореме 3.1 получим представление (3.17), в котором справа представлены обобщенная функция Е0 с носителем, отделенным от нуля, и интеграл, в котором функция у(г,е) удовлетворяет свойству (3.16). Теперь из этих представлений и их свойств (как и при доказательстве предыдущей теоремы) для соответствующих обобщенных функций ^(1),^(1) и f2(t), обобщенными каноидными представлениями которых являются Е0,Е1 и подынтегральная функция из (3.17) соответственно, выводим требуемые представления (4.24) и (4.27) с нужными свойствами.
Обратное утверждение очевидно. Теорема доказана.
Замечание. Нетрудно видеть, что теоремы 4.1 и 4.2 останутся справедливыми, если вместо непрерывности функций 7(г, е) и и(г, е), как функций со значениями в Б'^, потребовать лишь их слабую измеримость. Это означает, что для любой <£>(е) Е Б? функции (у(г, е), р(е))е и (ш(г, е), р(е))е измеримы как функции г.
5. Некоторые применения
В качестве применений приведенных выше результатов рассмотрим следующую задачу: Пусть заданы вектор а Е автомодельная функция р(к) порядка а, многочлен Р(1), квазиоднородный относительно а степени д, то есть такой, что
Р (ка11ъ...,кап 1п) = к Р (1), (5.1)
и обобщенная функция f (х) Е А0а(Б(Мп)). Зададимся вопросом: когда дифференциальное уравнение
Р (д)и(х) = f (х) (5.2)
имеет решение и(х) Е А0а1 (Б(Кп), где р-\_(к) — подходящая автомодельная функция? Отметим, что если
м
Р(1) = £ Аг1т, = ^.....СП; тг Е Z+, (5.3)
г=1
квазиоднородный многочлен относительно вектора а Е степени д, то
(а,тг) = д, тг Е Z+; г =1,...,М. (5.4)
Действительно, из (5.1) и (5.3) имеем
м
~аП А
Р (ка111,..., кап Ъ) = £ Агк{а'т1Чт = к9 Р (1),
п
г=1
м
откуда £ Агк{а'т')-дГ* = Р(1).
г=1
Справа стоит многочлен, не зависящий от к, следовательно, все коэффициенты многочлена, стоящего слева, не зависят от к.
Лемма 5.1. Пусть Т — замыкание ограниченной регулярной области в ЁП,Р(е) — многочлен и {/(е) Е Б'т, к > 0} — семейство обобщенных функций, непрерывное по параметру к, причем
Л(е) ,—► /о(е) в .
Тогда существует семейство обобщенных функций {дк(е) Е Б^-, к > 0}, измеримое по параметру к, так что
(1) дк(е) ,—► до(е) вБ'Т,
(2) Р (е)дк (е) = / (е).
Доказательство. Положим / = /к — /0, так что /К ^ 0 при к ^ то. По теореме о конечном порядке сходимости функционалов существуют числа А, к > 0 и норма QN {}, так что
|(/(е),р(е))| ^ Ак^М, У^Е Б^. Отметим, что в силу непрерывности семейства {/} по параметру к > 0 и ее сходимости к нулю при к ^ то все Ад. ограничены некоторым числом А и Ад. ^ 0 при к ^ то. Определим семейство функционалов {ад(е), к > 0} на подпространстве РБ^ пространства Б^, состоящего из функций ^(е) = Р(е)^(е), где <^(е) Е Б^ формулой
К (е),^(е)) = (/ (е),р(е)).
По лемме Хермандера (см. [10]) существуют числа М и К такие, что
|(ак(е),^(е))| = |(/(е),^(е))| ^ Ак^М ^ АдК^м{Р(е)р(е)}.
Отсюда следует, что {ак(е),к > 0} — семейство непрерывных функционалов на
РБм —
подпространстве банахова пространства Бм. Причем это семейство непрерывно по параметру к > 0 и сходится к нулю при к ^ то на этом подпространстве. По теореме П.1 работы [3] это семейство можно продолжить на все банахово пространство Бм как измеримое по параметру к > 0 семейство непрерывных функционалов, причем
(е) —> 0 на Бм
й^+те
Полагая теперь
(ао(е),^(е)) = (/о(е),р(е)), ^(е) = Р(е)^(е),^(е) Е Б^
и рассуждая, как и выше, заключаем, что ао(е) — непрерывный функционал на Бм.
Теперь, как нетрудно проверить, семество функционалов дк(е) = ак (е) + ао(е) удовлетворяет утверждениям (1) и (2). Лемма доказана.
Теорема 5.1. Пусть р(к) — автомодельная функция порядка а, Р(¿) — квазиоднород-
+ многочлен степени д, и /(¿) Е АО—<
ный относительно вектора а Е многочлен степени д, и / (¿) Е АО"(Б (Ёп)).
Тогда, если
а + д Е I«, то существует д(£) Е АО—«(Б(К"")), (5 5)
а + д Е I«, п > 1, то существует д(£) Е АОр—а(Б(К"")), '
так что
Р Ш*) = / (*), (5.6)
где р1(к) = к9р(к) и I« = {(а, т) : т Е Мга}.
Доказательство. Сначала заметим, что если носитель /о(£) Е Б'(Кга) отделен от нуля, то можно считать, что носитель обобщенной функции до(£), полученной в результате деления / на многочлен Р, тоже отделен от нуля.
Пусть Ё^,д = 1,..., 2П ортанты в Ега, так что и9 Ё^ = Ега. Используя теоремы 4.1 и 4.2, нетрудно показать, что /(¿) можно представить в виде суммы обобщенных функций /9(¿) Е АО—а(Б(Ёп)) таких, что вирр /9 С Ё^ (отметим, что при а + д Е I« это возможно,
если п > 1. Подробнее см. § 5 работы [1]). Если для каждой ^ мы сможем построить-соответствующую обобщенную функцию дя(1), удовлетворяющую условиям теоремы, то, очевидно, искомой функцией будет функция д(1) = Ея дя(1). Поэтому далее, без ограничения общности, считаем, что вирр f (1) С и в обобщенном каноидном представлении поверхность Т является гиперплоскостью, скажем Т = {е : е1 + • • • + еп = 1}.
Рассмотрим случай а + д Е 1а. Заметим, что в этом случае а / 1а (ибо иначе, согласно (5.4), а + д Е 1а). По теореме 4.1, f (1) = ^(1) + ^(1), где вирр ^ отделен от нуля, а для любой р(1) Е Б(Еп))
(Ь(1)М1)) = 1 (ч(г,е),(^) [г-£(фа1 е1 ,...,гап еп) —
£ гЛСА(е)Л аг. (5.7)
_1„1 \с 7 / е
Л<а-|а|, Л£.7а
Здесь 7(г, е), N и £ определяются по теореме 4.1. Определим д({) формулой
(д(1)М1)) = ! (°(г,е),(^Т) [г-е-я (<р(гат е1,...,гап еп) —
о
£ гЛСл(е)Л аг + (до(1),ф)). (5.8)
е
Л<а-1а1+я, Л^.а
Здесь д0(1) = рщ, причем виррд0 отделен от нуля, а а(г,е) = , где Р(е) — след Р(1) на Т, причем а (г, е) измерима по г > 0 со значениями в Б'-р и
а(г, е>.) — г£+м+1а1-1р(1)Ф1(е),г ^ +0, где Ф^е) = ^. (5.9)
г Р (е)
Здесь мы воспользовались леммой 5.1, учтя, что Р(е) — многочлен (как след многочлена на плоскости Т).
Проверим, что д(1) обладает нужными свойствами. Полагая £ + д = £1 и а + д = а1, учитывая, что
а(г, е) — г£т+м+|а|-1 -р(1)Ф1 (е), г ^ +0,
гя г
(см. (5.9)), из теоремы 4.1 (см. (4.16), (4.17)) выводим, что д(1) Е А0-а(Б(Еп)). Полагая Р(1)^(1) = ф(1), учитывая, что
ф(гат е1,..., гап еп) = гя Р (е)р(гат еи ..., гап еп) — гя Р (е) £ гЛС*(е);
Л£.1а
Сфх (е) = { Р(е)СЛ-я(е) Хх — д Е ^ ; (если Л — дЕ.1а, то Л Е За + д С За), £ Сф (е)гЛ = Р (е) £ гЛСЛ-д (е) =
Л^.а, Л<а-1а1+я Л+я<а-1а1+я, Л^.а, Л-я&.а
= гя Р (е) £ гЛ-я С*- (е),
Л-я<а-1а1, Л-я^.а
из (5.8) имеем
(Р (1)д(1),ф)) = (д(1),Ш = (до (1)М1))+
+ У (^а(г, [г-е-я^ гя Р (е)<р(гат еъ ..., гап еп) — гя Р (е) £ Л — д<
о
I
I
< а — |а|, Л — дЕ Л«гЛ—9С-,(е^ ^ ¿г
(а(г,е)Р(е), ОТ) [г—^(г«1 еь...,г«пе„) — £ гЛСЛ(е)Л ¿г + (Р(|,Р= (/
уЛ(ел I «г + ,Р итм) = (/(5.10)
Л<а—|«|, ЛeJа
Здесь сделана замена Л — д = Л' (штрихи опущены).
Рассмотрим теперь случай а + д Е I« и а Е I«. По теореме 4.1 / = /о + /1, где /о имеет носитель, отделенный от нуля, а /1 представляется в виде (5.7). Определим д(£) формулой
(д(*), <?(*)) = Ы*), <?(*)) +
а(г,е),(«:
N
г—^9 (^(г«1 еь...,г«п е„) —
Е гЛСЛ(е)
Л<о—|«|+д, ЛeJa
Е гЛСЛ(е)
Л<а—|«|+д, ЛeJa
«г.
/
Здесь верхняя сумма берется, если ^те ^а+^-и < то, а нижняя, если этот интеграл = то. Обобщенные функции а(г, е) и до(£) такие же, как и в предыдущем случае. Замечая, что а — |а| + д Е Л«, по лемме, аналогичной лемме 2.3, для пространства заключаем, что д(*) ЕАО?1 (Б(Еп)). "
Точно так же, как и в предыдущем случае, доказывается, что Р(¿)д(£) = /(¿). Следует только заметить, что в этом случае в последней сумме в формуле, аналогичной (5.10), слагаемое с Л = а — |а| будет отсуствовать, ибо в этом подслучае а — |а| Е Л«.
Рассмотрим теперь случай а + дЕ!« и а Е I«. По теореме 4.2 / (¿) = /о(£) + /1(^) + /2(^), где /г Е Б'(Ё+),г = 0,1, 2. Обобщенная функция /о имеет носитель, отделенный от нуля, для /1 выполнены соотношения (4.23)-(4.24), а для /2 соотношения (4.25)-(4.27), в которых ^ и V удовлетворяют условиям теоремы 4.2.
Положим теперь до (¿) = , причем так, чтобы вирр до был отделен от нуля;
ы*),^))= / (а(г,е),(-
N
г—9 (^(г«1 еь...,г«п е„) —
Е гЛСЛ(е)
Л<о—|«|+д, Л^а
«г,
/
Е гЛСЛ(е)
Л<а—|«|+д, Л^а
где —V + а — |а| Е N > —V + а — |а| и верхняя и нижняя суммы берутся в соответствии с предыдущим случаем в зависимости от поведения автомодельной функции р(к), а а (г, е) = р^ё) и удовлетворяет соотношению
а(г, е) - г^+|«|—1р(1)ф1(е), г ^ +0, где Ф^е) =
г Р (е)
Ы*), <?(*))
т (г,е)м 4-
аг
N
г—9 (^(г«1 е1,...,г«п еп) —
1
е
1
Е гЛСЛ(е)
Л<а-1а1+я, Л^.а
Е гЛСЛ(е)
Л^«-|а|+я, Л^.а
аг,
е
где + а — |а| Е и верхняя и нижняя суммы берутся в соответствии с предыдущим случаем в зависимости от поведения автомодельной функции р(к), а т(г,е) = у^е) и удовлетворяет соотношению
т(г, е) — г^+и+1а1-1р(1)Ф1(е), г ^ +0, где Фг(е) = ^.
г Р (е)
Замечая, что а — |а| + д Е За, по лемме, аналогичной лемме 2.3, для пространства (случай 2 и 3) заключаем, что дг(1) Е А0рт (Б(Кп)), г = 1, 2.
Точно так же, как и в предыдущем случае доказывается, что Р(1)д() = ^(1), г = 0,1, 2. Следует только учесть, что в последней сумме в формулах, аналогичных (5.10), слагаемое с Л = а — |а| можно не учитывать, ибо
(£)Мг-"+а-1а1 =0 для дь (ш(г,е),Са-1а1(е)) = 0 для д2.
Теперь искомое д(1) = д0(1) + д\(1) + д2(1). Теорема доказана.
Теперь ответ на поставленный в начале § 5 вопрос дает следующая
Теорема 5.2. Пусть р(к) — автомодельная функция порядка а, Р(х) — квазиоднородный относительно вектора а Е многочлен степени д, и д(х) Е А0а(Б(Мп)). Тогда, если
а + д + 1а1 Е !а = {(а,т) : тЕ Мп},
то уравнение
д д Р(д)и(х) = д(х), д =(—,...,дххтп)
имеет решение
и(х) Е А0ар1 {Б(Еп)),
где р\(к) = кяр(к). Если
а + д + |а| Е 1а, то уравнение (5.12) обладает решением
и(х) Е А0С~1 (Б(Еп)),
где р>1(к) определяется по формуле (1.3).
Доказательство. Утверждение теоремы, по сути, есть утверждение теоремы 5.1, сформулированное в терминах преобразований Фурье. Примеры.
1. Рассмотрим уравнение
Аи(х) = 6(х), хЕ Еп. Соответствующий оператору Лапласа многочлен квазиоднороден относительно вектора а = (1,..., 1), |а| = п, степени д = 2. Дельта функция асимптотически однородна по группе преобразований, определяемой этим вектором а, на бесконечности относительно р(к) = к-п порядка а = —п. В соответствии с вышесказанным, если размерность пространства п > 2, тогда
а + д + |а| = 2/1а = {(а,т) : тЕ Мп} = {п,п +1,... }
и существует фундаментальное решение оператора Лапласа, асимптотически однородное на бесконечности по группе преобразований, определяемой вектором а, относительно
Г( n )
pi(fc) = kqp(k) = k2-n (таковым является функция — -—^^ n |x|n-2). При n = 2 (критический случай а + q + |а| = 2 G /о) существует фундаментальное решение оператора Лапласа асимптотически однородное на бесконечности по группе преобразований, определяемой вектором а, относительно pi(fc) = ln k (таковым является функция ln |x|, мы учли, что при n = 2,р1 (k) = 1 и pi = ln k ).
2. Задача Коши для уравнения теплопроводности д
—u(i,x) - Au(i,x) = 0, u(0,x) = f (x), iG I+,xG
в пространстве S'(In), сводится к отысканию соответствующего решения уравнения
д \
- - A J u(i,x) = ¿(i)f (x).
Соответствующий оператору теплопроводности многочлен квазиоднороден относительно вектора а = (2,1,... , 1) G IR++1, |а| = n + 2, степени q = 2. Траектории, определяемые этим вектором, являются пораболами
. _ 2 2 _ 1
i — СХ , С — 2 , to +г Xq — 1.
xo
Пусть p(k) — автомодельная функция порядка в, вектор b = (1,... , 1) G I+ и начальное условие задачи Коши f (x) G AOp(S(Rn)), тогда
¿(i)f (x) G AO°(S(In+1)), где pi(k) = k-2p(k) имеет порядок а = в - 2. Если в - 2 + q + n + 2 = в + n + 2 G /о = {n + 2,n + 3,... },
то согласно утверждению теоремы 5.2, решение задачи Коши (5.15) u(i,x) G AO°(S(In+1)), то есть, другими словами, обладает квазиасимптотикой относительно р по параболам.
Отметим, что если f (x) = $(x), то (5.16) будет выполнено для любого n и, следовательно, у уравнения теплопроводности существует фундаментальное решение, обладающее квазиасимптотикой по параболам относительно p(k) = k-n (таковым является функция
-^тe^ ).
(2nt) 2 7
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Асимптотически однородные обобщенные функции по специальным группам преобразований // Матем. сборник. 2009. п/ 200 dsgecr 6. С. 23-66.
2. Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Асимптотически квазиоднородные обобщенные функции // Доклады РАН. 2008. Т. 421. № 2. С. 1-5.
3. Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Асимптотически однородные обобщенные функции и граничные свойства функций голоморфных в трубчатых конусах // Известия РАН. Сер. мате-мат. 2006. Т. 70. № 6. С. 45-92.
4. Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Асимптотически однородные обобщенные функции в сферическом представлении и некоторые применения // Доклады РАН. 2005. Т. 405. № 1. С. 18-21.
5. Владимиров В.С., Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Многомерные тауберовы теоремы для обобщённых функций. М.: Наука. 1986.
6. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука. 1985.
7. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Вып.1. М.: Физ-матгиз. 1959.
8. Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир. 1971.
9. O. Grudzinski Quasihomogeneous Distributions. North-Holland-Amsterdam. North-Hollandmathematics studies 165. 1991.
10. L. Hormander On the division of distribution by polynomials // Ark. math. 1958. V. 3. № 6. P. 555-568.
Юрий Николаевич Дрожжинов, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, ул. Губкина, 8,
119991, ГСП-1, г. Москва, Россия E-mail: drozzin@mi.ras.ru
Завьялов Борис Иванович,
Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, ул. Губкина, 8,
119991, ГСП-1, г. Москва, Россия E-mail: bzavial@mi.ras.ru
