Тауберовы теоремы сравнения и гиперболические операторы с постоянными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 3 (2015). С. 50-56.

УДК 517.53:539

ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Ю.Н. ДРОЖЖИНОВ, Б.И. ЗАВЬЯЛОВ

Аннотация. Под тауберовыми теоремами сравнения понимают теоремы, в которых по заданному асимптотическому поведению отношения интегральных преобразований двух (обобщенных) функций делается заключение об асимптотическом поведении отношения других интегральных преобразований этих функций. В работе доказывается тауберова теорема сравнения для обобщенных функций, преобразования Лапласа которых имеют ограниченный аргумент. В частности, такими функциями будут ядра гиперболических относительно конуса дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами и их фундаментальные решения.

Ключевые слова: обобщенные функции, тауберовы теоремы, квазиасимптотика, гиперболические относительно конуса операторы.

1. Введение

Теоремами тауберова типа называют теоремы, связывающие асимптотическое поведение функции (вообще говоря, обобщенной) на беконечности (или в нуле) с асимптотическим поведением ее преобразования Лапласа, Фурье или других интегральных преобразований, производящих функций и т.п., в окрестности нуля (или бесконечности). Теоремы, обратные к тауберовым, называют абелевыми.

Под тауберовыми теоремами сравнения понимают теоремы, в которых по заданному асимптотическому поведению отношения интегральных преобразований двух (обобщенных) функций делается заключение об асимптотическом поведении отношения других интегральных преобразований этих функций. В качестве одной из функции сравнения в таких теоремах используется так называемая допустимая обобщенная функция. Типичной одномерной тауберовой теоремой сравнения для мер является тауберова теорема М.В. Келдыша. Я приведу ее в формулировке работы [1].

Теорема 1.1 (М.В. Келдыш (1951)). Пусть ß(£) и v(£) положительные возрастающие функции, определенные на полуоси (0, причем равные нулю в окрестности начала координат. Пусть ß дифференциируема и удовлетворяет условиям

lim ß(£) = <в, (1.1)

МО

где 0 < ß < а + 1. Если

dß(t) f duЦ) ^ ^

J (t + £)Ю J (t + £ 0 0

Yu.N. Drozhzhinov, B.I. Zavialov , Comparison Tauberian theorems and hyperbolic operators with constant coefficients.

' ' 2015.

© Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №14-50-00005). Поступила 25 июля 2015 г.

то ) ~ V(£) при £ ^ (Здесь [в] — целая часть в■)

Условие (1.1), называемое в литературе «тауберовым условием М.В. Келдыша», относится к допустимым условиям, которым должна удовлетворять одна из функций, участвующих в тауберовой теореме сравнения. В монографии [2] доказана тауберова сравнения для обобщенных функций, преобразования Лапласа которых имеют неотрицательную вещественную часть.

В работах [2, 3, 4] на основе многомерного обобщения понятия правильно меняющейся функции доказан ряд многомерных тауберовых теорем в асимптотической шкале правильно меняющихся функций, в том числе и теоремы сравнения. Шкала правильно меняющихся функций изложена в [7]). Эти теоремы нашли многочисленные применения в спектральной теории, теории вероятностей и различных моделях математической физики [2, 8, 9]. Данная статья является продолжением работы [5]. Показано, что обобщенная функция, преобразование Лапласа которой имеет ограниченный аргумент - допустима, в частности, такими функциями являются ядра гиперболических относительно конуса операторов. Доказана тауберова теорема сравнения, в которой в качестве сравниваемых обобщенных функций участвуют ядра (а также и фундаментальные решения) гиперболических относительно однородных конусов операторов.

2. Основные обозначения и некоторые определения

Пусть Г - замкнутый, острый, регулярный, телесный и однородный конус в Кга с вершиной в 0.

Г* = [у е Ега :(у,*) > 0,* е Г], О = сопряженный конус. К таким конусам, например, относятся световой конус будущего

Г = У+ = [* =(*0,£) е : ^ И

и положительный координатный угол

= е Ега : ^ ^ 0,^ = 1,... ,п}.

Эти два конуса самосопряжены.

Через Б' (Г) обозначаем пространство обобщенных функций медленного роста с носителями в конусе Г. Преобразование Лапласа обобщенных функций / (*) е Б '(Г), определяемое формулой

£[/(*)] = /(г) = (/(*), е^), г = х + ¿у, х е Ега,у е О,

осуществляет изоморфизм сверточной алгебры Б'(Г) на алгебру Н(Тс) функций, голоморфных в трубчатой области Тс = Мга + ¿О с полиномиальной оценкой роста вблизи границы:

1/(г)| ^ М™, г = х + ¿у е Тс,

при некоторых М, а, Ь, зависящих от /. Здесь Ас (у) - расстояние от у до границы конуса О. Обобщенную функцию /(*) е Б'(Г) называют спектральной функцией для /(г). Ядро Коши трубчатой области Тс задается формулой

Кс(г) = Ь[©г(*)](г), для г е Тс,

где ©г(*) — характеристическая функция конуса Г. В силу регулярности Г ядро Коши есть делитель еденицы в алгебре Н (Тс). Поэтому обобщенные функции ©Г(*), определяемые формулой

Кс(г) = Ь[©г(*)], < а < те,

образуют сверточную абелеву группу: ©Г * ©Г = . Обобщенная функция /(-а) = ©^ */ называется первообразной (при а < 0 - производной) обобщенной функции / е Б '(Г)

порядка а относительно конуса Г. В частности, = /(4_Г)ПГ — первообразная

меры относительно конуса Г. А половинная производная (а = — 2) относительно

конуса будущего - оператор Даламбера

©_3 (¿) = соп5^(5о2 — Д)£(*), * = (¿0,^1,^2,^3),

Через А(Г) обозначим совокупность собственных линейных автоморфизмов конуса Г, так что

и е А(Г) : иг С Г, и = 3 > 0.

Соответственно, оператор V = (ит)-1 определяет автоморфизм конуса Г*, поэтому V С А(Г*). Отметим, что

©^(и*) = 3а-1©а(*).

Нетрудно видеть, что для светового конуса будущего имеем ©^ + (¿) е ¿2°с при а > 1 — п+1. Аналогично, для положительного октанта

R+ при а > - 0Rn G L2oc.

1 2,

Пусть дано семейство (U& G А(Г),к G I}, где множество индексов I имеет своей предельной точкой.

Определение. Комплекснозначная обобщенная функция u(t) G £'(Г) называется q-вполне допустимой для семейства (Uk G А(Г), k G I} если

1. u(-q)(t) - локально суммируемая функция;

2. Существует to G intr, так что

Ф(t) = й-«* Y.(0, k - i2-1)

где K — произвольный компакт в intr, а функция y.(t) = 0 и непрерывна в intr;

3. Существует k0, так что |Фк(t)| ^ -0(t) при k > k0 и t G int Г, где -0(t) — функция медленного роста в Г.

Определение 2.1. Обобщенная функция u(t) G $'(Г) называется q-допустимой для конуса Г, если для любого семейства (U& G А(Г), k G I} существует подпоследовательность (Ukm , m — то, km G I}, относительно которой обобщенная функция u(t) будет q-вполне допустимой. Заметим, что если функция u(t) q-допустима, то она и q + n,n =1, 2,... — допустима.

В работах [2, 3, 4, 5] были введены допустимые и вполне допустимые обобщенные функции, приведены примеры и некоторые достаточные условия q-допустимости. К таким функциям относится важный класс обобщенных функций, преобразования Лапласа которых имеют ограниченный аргумент. В частности, к этому классу принадлежат ядра пассивных операторов (их преобразования Лапласа имеют неотрицательную вещественную часть).

Определение 2.2. Будем говорить, что комплекснозначная непрерывно дифференци-ируемая функция u(t) G $'(Г) удовлетворяет обобщенному условию Келдыша, если существует множество векторов O С Г

UO СО, VU G А(Г); Lin(O) =

d = (еgс: e = tgшй\и = мgo}

u(t)

ограничено, и D С {£ G C : Re £ > — 1}.

такое, что множество

В работе [5] показано, что функции, удовлетворяющие обобщенному условию Келдыша, являются нуль-допустимыми для конуса Г, если Г - положительный координатный угол или световой конус будущего. Там же доказана следующая

Теорема 2.1. Пусть € $'(Г) вещественна и

1С

где m - целое число. Если

п

|arg u(z)| ^ — m, z G TC

or(t) g L2oc,

то u(t) -[(2 + a)m] — допустима для Г.

3. Тауберовы теоремы сравнения

В работе [5] доказана весьма общая тауберова теорема для голоморфных функций ограниченного аргумента.

Теорема 3.1. Пусть f(t) G $'(Г) и larg /(z)| ^ |m, z G TC. Пусть еще даны последовательность чисел {pk,r G I} и семейство {Uk G А(Г),к G I}. Если найдется область П С C такая, что

Т— /(Vfcy) —► h(y), k ^ те, y G П, Pk

то для любого q ^ (2 + a)m, где а таково, что 0Г G L2oc,

-q-f(-q)(Ukt) =4 Yq(t), k ^те, (3.1)

Jk Pk

где Yq непрерывна, а K — произвольный компакт в intr. Кроме того, ~fq(iy) = h(iy)KC(iy), и справедлива оценка

f(-q)(Ukt)| ^ ^(t), k > ko,

Jk Pk

для некоторого k0, где -0(t) полиномиального роста в Г.

Отметим, что согласно теореме 2.1, функция Yq(t) совпадает с функцией, определяемой условием q-вполне допустимости, см. (2.1). Доказательство существенно использует общую тауберову теорему работы [2] и специальную оценку ядра Коши острого регулярного конуса, [6]. Заметим, что в приложениях предполагают, что семейство {Uk,k > 0} - вещественная непрерывная мультипликативная группа линейных автоморфизмов конуса Г, такая, что {Uk (t),k > 0} определяют фазовые траектории простейшей динамической системы, у которой вещественные части всех собственных значений генератора этой группы одного знака [10, 11].

Основная цель этой работы — доказать тауберову теорему сравнения для голоморфных функций ограниченного аргумента.

Теорема 3.2. Пусть f (t) G $'(Г), |arg/(z)| ^ |m при z G TC, и функция u(t) q-допустима для Г, причем q ^ (2 + a)m и 0Г G L2oc, а {Uk,k G I} — заданное семейство линейных автоморфизмов конуса Г. Если существует область П С C такая, что

ЛМ p(y), k ^ те, k G I, y G П, (3.2)

«(Vk y)

то

/(-W ^ Yq(t) * p(t), k ^те, (3.3)

u(-q)(Uk t) Yq (t)

где K — произвольный компакт из ШГ, а p(z) = L[p(t)], и функция Yq(t) определяется формулой (3.1).

Доказательство. Пусть условие (3.2) выполнено, а (3.3) нет, то есть для некоторых чисел т0, е0 > 0 существует подпоследовательность

|икт С А(Г), кт е I, т ^то}

и последовательность точек {*т е К}, так что

/(_9)(икт¿т) (*) * р(*)

и

(_9)(икт *т )

7д (*)

£—

> е0, т > т0.

(3.4)

Полагая рк = и( 9)(ик*0), учитывая ^-допустимость функции и(*), имеем для некоторой

к

подпоследовательности {икт, т' ^ то}

3кт рк

-и

и

(икт *)

и(_9) (икт ¿о)

(*),

т.

(3.5)

Здесь мы опустили штрихи у т, что не нарушает общности в доказательстве. Кроме того, для у е П имеем

7^кт у) № у) С1«^ у)

^ Р7(у)кС?)(«У)7д(2у).

(3.6)

3кт Ркт и(^ку) и(икт ¿0) Здесь мы учли, что первый сомножитель слева в силу (3.2) стремится к 7(гу), а второй -согласно лемме 1 §5.2 монографии [2] - стремится к К(79)(гу)7д(¿у). Согласно тауберовой теореме 3.1 для т ^ то имеем

/ <_*>(ик *) = / (_9)(ик ¿) и^^кт ¿) ^ _(*)7 (*)

(3.7)

Сравнивая теперь соотношения (3.5), (3.7) и (3.4), приходим к противоречию, что и доказывает теорему.

Теорема 3.1 и теорема 3.2 позволяют исследовать квазиасимптотику ядер гиперболических относительно конуса С дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами и их фундаментальных решений.

Пусть и = {и, к > 0} — мультипликативная, однопараметрическая группа линейных автоморфизмов конуса Г, так что и е А(Г), причем полагаем, что {и¿, к > 0,* е Г} задают фазовые траектории динамической системы

^(т)

^т

= А*, т = 1п к,

в которой все собственные значения матрицы А (генератора этой группы) положительны. Напомним определение квазиасимптотики обобщенной функции в шкале правильно меняющихся функций.

Пусть /(*) е £'(Г) и р(к) — правильно меняющаяся функция. Мы говорим, что / обладает квазиасимптотикой в нуле (на бесконечности) относительно р(к) по группе и е А(Г), если для любой основной функции е 5(Г) и некоторой д е $'(Г),д ф 0,

-к-(/(ик*),^(*)) —^ (д(*),^(*))

р(к) к к^г<х

(р(к)(/(ик*),^(*)) (д(*),^(*))) . (3.8)

Подробнее смотри [11].

Рассмотрим дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами т-порядка

^(5) = ^ аад

^ Ы = 0.

|а|— т

1

Оператор ф(д) называется гиперболическим относительно конуса С, если существует точка у0 € К, такая что ^(у0 — ¿г) = 0, г € ТС. Положим Р(д) = ^(у0 + д), так что Р(—¿г) = д(у0 — ¿г) = 0 и, следовательно, гиперболический полином.

Лемма 3.1. Гиперболический полином Р(—¿г), отличный от нуля в ТС, имеет там ограниченный аргумент.

Доказательство в [2].

Пусть р(д), г = 1, 2, гиперболические операторы относительно конуса С и ¿¿(¿) € Б'(Г), соответствующие им фундаментальные решения, так что для преобразования Лапласа имеем

Р(—¿г)£(-¿г) = 1, г = 1, 2, г € ТС. (3.9)

Отсюда, в частности, следует, что преобразование Лапласа фундаментальных решений гиперболических операторов имеют ограниченный аргумент в ТС, и, кроме того, для группы (Ук € А(С), к > 0} (точнее для фазовых траекторий, определяемых этой группой),

Ш = ММ, у € С. (3.10)

ад у) аду)' у

Теперь, пользуясь доказанной теоремой 3.2, получаем следующую тауберову теорему сравнения для фундаментальных решений гиперболических операторов.

Теорема 3.3. Пусть Р(д),2 = 1, 2, гиперболические операторы относительно конуса С = гп£Г* и € Б'(Г), соответствующие им фундаментальные решения. Пусть

также а таково, что ©Г(^) € ¿2°е. Если для некоторой области П € С и группы (Ук € А(С),к > 0}

^у' ^ р(у). к ^ ОС. (3.11)

то для некоторого д

Р1(Ук у)

к —^ оо. (3.12)

Здесь К — произвольный компакт из гиЬГ, а р(г) = Ь[р(£)] и функция 7д(¿) определяется формулой (3.1), в которой м(£) следует заменить на Р^). При этом д > (2 + а)т, где т определяется из теоремы 2.1.

Пример. Рассмотрим гиперболические относительно конуса К+ дифференциальные операторы

^ = тик^.у*. Р2(д) =(I+2а^+Ц*.

В ТС = К2 + ¿К+ преобразование Лапласа их ядер _Р1(—¿г) = — и Р2(—¿г) = — (^2 + 2г1г2 + г2' не обращается в нуль (здесь т = 4). Имеем

Р (у) = у1у2, 71 (¿) = (¿), Р2(у) = у2 + 2у1 у2 + у22,

где (¿) с точностью постоянной - фундаментальное решение оператора Р1. В качестве фазовых траекторий используем лучи, выходящие из начала координат,

Ц £ = к£, Ук у = 1 у, ^ = £г, т = 1п к, к ат

то есть генератор группы - единичная матрица. Из соотношения (3.12) (с точностью до постоянной) имеем

1 = с£2(*)М(*1) + 2^1, ¿2) + М(*2)].

Отметим, что это соотношение носит условный характер (делить единицу на сомножитель справа нельзя, нужно сначала взять соответствующие первообразные относительно конуса К +). Согласно теореме достаточно взять девятую первообразную (реально достаточно трех). Многочисленные другие применения многомерных тауберовых теорем можно найти в главе IV монографии [2].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений. М.: Наука, 1979.

2. Владимиров В.С., Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных функций. М.: Наука, 1986.

3. Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Многомерные тауберовы теоремы сравнения для обобщенных функций в конусах // Матем. сб. 1985. T. 126, № 4. C. 515-542.

4. Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Многомерные абелевы и тауберовы теоремы сравнения // Матем. сб. 1989. T. 180, № 9. C. 1234-1258.

5. Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Многомерные тауберовы теоремы сравнения для голоморфных функций ограниченного аргумента // Известия АН СССР, сер. матем. 1991. T. 55, № 6. C. 1159-1155.

6. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.

7. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985.

8. Якымив А.Л. Вероятностные приложения тауберовых теорем. М.: Физматлит, 2005.

9. Бойматов К.Х. Многомерные спектральные асимптотики эллиптических операторов в областях, удовлетворяющих условию конуса // ДАН СССР. 1991. T. 316, № 1.

10. Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Обобщенные функции асимптотически однородные вдоль траекторий неустойчивого вырожденного узла // Вестник Самарского гос. техн. ун-та, сер. физ-мат. науки. 2011. № 1 (22). С. 68-82.

11. Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Обобщенные функции асимптотически однородные по траекториям, определяемым однопараметрическими группами // Известия РАН, сер. математическая. 2012. T. 76, № 3. C. 39-92.

Юрий Николаевич Дрожжинов, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, ул. Губкина, 8,

119991, ГСП-1, г. Москва, Россия E-mail: drozzin@mi.ras.ru

Борис Иванович Завьялов ,

Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, ул. Губкина, 8,

119991, ГСП-1, г. Москва, Россия E-mail: bzavial@mi.ras.ru