О некоторых функциональных уравнениях в пространствах Шварца и их приложениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 1 (2018). С. 3-13.

УДК 517.95

О НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ В ПРОСТРАНСТВАХ ШВАРЦА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯХ

С. БАЙЗАЕВ, М.Р. РАХИМОВА

Аннотация. В статье рассматриваются функциональные уравнения вида

(В + r2E )u(z) = 0,

где В — постоянная комплексная матрица порядка п, Е — единичная матрица порядка п, z — комплексная переменная, г = |z|, u(z) — искомая обобщенная вектор-функция, и для этого уравнения изучаются вопросы о существовании нетривиальных решений и нахождения многообразия всех решений из функциональных пространств D' = D'(C, Сп)— обобщенных вектор-функций и S' = S'(C,Cn)— пространство умеренно растущих обобщенных вектор-функций и решений, растущих на бесконечности не быстрее степенной функции. К изучению таких вопросов приводит задача о нахождении решений из пространства S' комплексных систем уравнений первого порядка эллиптического типа. При изучении указанных вопросов важную роль играет утверждение о структуре обобщенных функций, носители которых содержатся в окружности. В этом утверждении дается явное представление обобщенных функций с носителем, принадлежащим окружности, причем это представление состоит из линейных комбинаций прямого произведения обобщенных периодических функций с ¿-функцией и ее производных. Процесс нахождения всех решений данного уравнения из пространства D' состоит из трех этапов: в первом этапе, приведением матрицы В к нормальной жордановой форме, данное уравнение расщепляется на одномерные уравнения; во втором этапе доказывается, что если матрица В не имеет отрицательных и нулевых собственных значений, т.е. <т(В) П (—те, 0] = 0, где а(В) спектр матрицы В, то данное уравнение в пространстве D' имеет только нулевое решение; в третьем этапе, в случае <т(В) П (—те, 0] = 0 находятся все решения этого уравнения из пространства D1. Множество всех решений данного уравнения из пространства D', в зависимости от собственных значений матрицы В, будет либо нулевым, либо зависит от конечного числа произвольных - периодических обобщенных функций одной переменной и конечного числа произвольных постоянных, причем количество этих функций и постоянных зависит от порядка решения; порядок решения мы должны задавать сами. Дается приложение для нахождения решений из пространства Sв частности решений полиномиального роста, систем уравнений с частными производными эллиптического типа и переопределенных систем. Результаты, полученные в работе, можно использовать при исследовании задач о решениях, определенных во всей комплексной плоскости или полуплоскости, более общих линейных многомерных эллиптических систем и переопределенных систем уравнений с частными производными.

Ключевые слова: функциональные уравнения, пространства Шварца, обобщенные функции с носителем на окружности.

Mathematics Subject Classification: 35D05, 39В32

S. Baizaev, M.A. Rakhimova, Some functional equations in Schwartz space and their

applications.

© Байзаев С., Рахимова M.A. 2018. Поступила 12 декабря 2016 г.

1. Введение

В работе рассматриваются функциональные уравнения вида

(В + Г2Е )и(г) = 0 (1.1)

в пространстве Шварца В'(С, Сп) [1], [2], здесь С — комплексная плоскость, Сп — п-мерное комплексное пространство, В — постоянная комплексная матрица порядка п, Е — единичная матрица порядка п, г = х + гу, г = и(г) — искомая обобщенная вектор-функция. Получено многообразие всех решений из пространства В' (С, Сп) и даны приложения результатов к задачам нахождения решений полиномиального роста многомерных эллиптических систем вида

иъ + Ай = 0, ш Е Сп (1.2)

и переопределенных систем вида

и^ = А3и, и Е Сп, ] = 1, 2.

При изучении уравнения (1.1) в пространстве Б'(С, Сп)-обобщенных вектор-функций медленного роста можно использовать обобщенное сферическое представление обобщенных функций, полученное в работах [3], [4]. Нахождению решений систем вида (1.2), а также более общих эллиптических, гиперболических и переопределенных систем уравнений в частных производных посвящено большое число публикаций (см, например, [5]-[9]).

2. Структура обобщенных функций с носителем на окружности

Будем использовать следующие пространства (см. [2]): Ст(С), 0^(0), В(С), В'(С), С— область в С или интервал в К = (—<х>, При С = С обозначаем:

С^ = С^(С), В = В (С), В' = В'(С). Через В27Г обозначим пространство 2^-периодических бесконечно дифференцируемых функций вещественной переменной, а через В'2ж-простршство 2^-периодических обобщенных функций. Значение обобщенной функции / па основной функции <р обозначим через {¡, <р).

По аналогии с обобщенными функциями с точечным носителем, обобщенные функции, носители которых содержатся в окружности, допускают явное описание (см. [6]). Отметим, что в [6] приведена без доказательства теорема о структуре обобщенных функций, носители которых содержатся в окружности. Там же рассмотрена задача о решениях уравнения (1.1) в пространстве 5'(С,Сп).

Для г > 0 и <р Е В положим ф(г, в) = ц>(ге%в), При каждом значении 9 функция ф принадлежит пространству Сте(0, а при каждом г > 0— пространству В2ж. Поэтому для каждой обобщенной функции с(д) из В'2жъ г0 > 0 можно определить прямое произведение с(0) х 8(3)(г — го):

{с(в) х 6(з)(г — го),ф(г,в)) = (с(в)д3). (2-1)

Справедлива следующая

Теорема 2.1. Если носитель обобщенной функции / е В' содержится в окружности Г = [г : \г\ = Го}, то она единственным образом представляется в виде

N

(/,<р) = Су (в) х 6(з\г — г0),ф(г, 6)),<р Е В, (2.2)

3=0

где N-порядок f и с3- (в)-некоторые 2ж-периодические обобщенные функции.

Доказательство. Пусть 0 < е < тгп[1, г0} и г]£(1) Е С^(—1,1) такая функция, что

г]е(г) = 1 при Щ ^ е/3; г]е(г) = 0 при Щ > £; \< Мк£-к, Щ ^ е. (2.3)

Если г = |г|, то функция г/£{г — го) принадлежит С^, равна 1 в окрестности окружности Г и вирр г]е(г — го) С С£ = [г : го — £ < |г| < го + е}. Поэтому / = г]£{г — го)/ и г/£{г — г0)< = г]£{г — го)ф{г, в) для < е И. Следовательно, для любой < е Д будем иметь

(л <) = (Ч^г — го)<) = (л ^{г — Го)<) = (л % {г — Го)ф) =

= (!, — Го){ф — фм)) + (!, Г]£{г — Го)фм), (2.4)

где

, { т ^ д'Ф{го, 0) {г — ГоУ Фм{Г, в) = ^ ---—.

З=о ^'

Покажем, что первое слагаемое в правой части равенства (2.4) стремится к нулю при е —> 0. Так как г]£{г — го){ф — фм) е 0{С£), то (см. [2], стр.49) получим

|(Л 'Ф — Го){ф — фМ))| ^ с||Г]£{Г — Го){ф — фм(С£) =

[ 1]£{г — Го){ф — фм)] ,

с max

(г,в)ес£

дгкдв1

дк+1

(2.5)

г , vi i V Х- dVl ъ(г - r°) QV2+V3 (ф - ^)

[%(г - Го)(ф ^ -—---и2ЯЙиз

дг кдВ1 К м п ^ drV1 дг V2dBV3

где |f| = fi + f2 + В силу (2.3) справедливо неравенство

|'ц^1 ( г - го)| ^ MVl£-Vl при |г — го| ^ е.

Поэтому в силу равенства

dv2+v3 (ф -фм) ^ dv3

дгv2двV3 = ^ двV3 j>N

при | г - г 01 ^ £ имеем

д к+

дЧф(го, 0) д

j(j - 1) ... (J - f2 + 1) ( ) -7.-(г - Го)

]-V2

д к д

[rje (Г - Го)(ф - фм)]

^ Ск1 ^ е-V1 £N-V2+l. (2.6)

При к + I ^ N и ^^^^^^отно малых £ правую часть неравенства (2.6) можно оценить следующим образом:

си У £-ui£N v2+l ^ max ckl£N+l V e-(vi =

k+l <N

vi+V2^k+l vI+V2^N

N+, 1 - £-N £N+l - £

= Ci£ +--r = Ci-— ^ C2£.

1 - £—i £ - 1

Следовательно,

Кf^e(r - Го)(ф - фN^ ^ C¡£

и

(f, rj£(r - го)(ф - )) ^ 0 при £ ^ 0. Второе слагаемое в правой части равенства (2.4) не зависит от ей равно < F, >, где F -продолжение f па СТеперь, переходя в равенстве (2.4) к пределу при £ ^ 0, получим

( f М = (í .i>N) = ± (Г.Щоо3. ). (2.7)

З=о J'

Определим 2^-периодические обобщенные функции Cj(в), полагая для в) е D2lT

(с3,») = (-1Y(F, м0)).

Тогда равенство (2,7) можно переписать в виде

а м=± <.-т<> -щт1)

3=0

Но

= {-1у ЧЧг - ГоШг,0)),

поэтому используя (2,1) будем иметь

N

(/М = £( ^ (0), (8 (з\г - го),ф( г, 0))):

3=0

N

(9) х $и)(г - го),ф(Г, в)), у еБ.

=0

Отсюда следует представление (2,2),

Докажем единственность представления (2,2), Пусть наряду с (2,2) имеется и другое представление

N

1 = Е4(°) х б(Л(г - Го), =0

где (в) - 2^-периодичеекие обобщенные функции. Тогда имеем

N

^>(°) - с'з(0)] х ¿{Л(г - го) = 0. =0

Отсюда для у = г/е(г - г0)(г - г0)кф(0), где ф - произвольная функция из получим

N

3(в) - с>(в)], (6(з\г - го), у) = 0

или

Тогда

=0

N V

- 4 (^)], -У м (Г - Го)к | г=г0ф(в)) = 0.

=0

к

((Ск - с'к), (-1)кк\ф(в)) =0. Поэтому ск = с!к,к = 0,...,М. Единственность представления (2,2) установлена. Теорема 2,1 доказана.

Замечание. При доказательстве теоремы 2,1 мы использовали определение обобщенной периодической функции из [10]. Отметим, что это определение эквивалентно определению, данному в [2].

3. Решение функциональных уравнений

В этом пункте рассматривается задача нахождения всех решений уравнения

(В + г2Е )и(г) = 0 (3.1)

из пространства Б'(С, Сп), здееь В - постоянная комплексная матрица порядка п, Е -единичная матрица порядка п, г = 1г|, и(г) - искомая обобщенная вектор-функция. Если V неособая матрица порядка п, то уравнение (3,1) эквивалентно уравнению

( VВV-1 + г2е)у(х) = 0 (3.2)

в следующем смысле: если и Е В'(С,Сп) является решением уравнения (3,1), то функция V = Уи удовлетворяет уравнению (3,2), и наоборот, если V Е В'(С,Сп) - решение уравнения (3,2), то и = V-lv удовлетворяет уравнению (3,1),

Матрицу V выберем так, чтобы матрица В приняла квазидиагональную форму Жор-дана:

УВУ-1 = ¿гад Ш^), ^Л),.... МК)], (в ^ п),

где

( Лк 0 0 ... 0 \

* о*) = ! ^ ! : !

V 0 0 ... 1 Лк )

жордановы клетки порядка тк., \к - собственные значения матрицы В, к = 1,..., з, тк > 1, т1 + т2 + ... + т3 = п. Пусть V = (VI,..., vп)T. Тогда уравнение (3,2) распадается на следующие уравнения

( Лк+1 + г2= 0, к = 0,..., в — 1, (3.3)

V] + (Лк+1 + г2^+1 = 0, 1(к) <] < 1(к + 1), (3.4)

где 1( к) = т1 + т2 + ... + тк, 1(0) = 0.

В

ний, то уравнение (3.1) в В'(С,Сп) имеет только нулевое решение. В самом деле, пусть и Е В'(С, Сп) решение уравнения (3.1). Тогда для произвольной <р Е В из уравнений (3.3) и (3.4) получим

{V1+1(к), (Лк+1 + г2)<<) = 0, к = 0,...,з — 1, (3.5)

(V] ,<р) + {V3+1, (Лк+1 + г2)<) =0, 1(к) <]< 1(к + 1). (3.6)

Так как т£ ^^ + г21 > 0, то для произвольной ф Е В полагая в (3.5)

к,г

<< = (Лк+1 + г2)-1ф, (<р Е В), имеем

(V1+1(к),Ф) = 0,ф Е В, т.е. ^и1+оук) = 0, к = 0,... ,8 — 1. Поэтому из (3.6) следует

(V2+1(к), (Лк+1 + г2)<р) = 0, < Е В.

Аналогично, как выше, v2+l(к) = 0, Продолжая эту процедуру, можно показать, что V] = 0 для всех ]. Итак, V = 0 следовательно, и = V-1v = 0.

В

жащие на полуоси (—то, 0^, Для определенности будем считать, что Л1,...,ЛР е (—то, 0] и Лр+1,..., ЛпЕ(—то, 0], (1 ^ р ^ п). Покажем, что носитель решения и Е В'(С,Сп) уравнения (3,1) содержится в множестве

Г= 0{г : N = Л|1/2}.

3 = 1

Действительно, пусть <р Е В и вирр <р Р| Г = 0. Положим

И Лк+1 + Г2)-1 <р(г) пр и |г| = 1Лз 11/2, | 0 при 1г1 = 1Лз 11/2.

ф Е В

^1+1( к),<) = ^1+1(к), (Лк+1 + г2)ф) = 0, к = 0,...,р — 1,

т.е. 5 ирр v1+l(к) С Г, Аналогично, привлекая соотношения (3,6), можно установить, что 5 ирр Vз С Г,] ^ I(р). Остальные Vкак было показано выше, будут равны нулю, т.е. Vз = 0 при ] > I (р). Следователь но, вирри = sиppv С Г. Таким образом, носитель решения

ф( )

уравнения (3,1) содержится в множестве Г - объединение концентрических окружностей и точки г = 0 (конечно, если какое-то Лj = 0), Поэтому для нахождения решений уравнения (3,1) будем использовать представление обобщенных функций с носителем на окружности, а также в точке.

Теперь переходим к определению решений уравнения (3,1) в пространстве В'(С,Сп). Для этого будем решать эквивалентную систему уравнений (3,3), (3,4), Повторяя доказательство включенный ^ ирр Vj С Г, j ^ 1(р), получим более точные включения:

1/2Л

8ирр Vj С Гк, 3 ^ 1(к + 1), Г = {г : |г| = |Лк+1|1/2}, к = 0,р - 1.

Чтобы использовать представление функций Vj ,з ^ I (р), мы должны знать, какие из Гк представляют собою окружность и какие - точку. Предположим, что Л1,..., Лд - отрицательные, а Лд+1,..., Лр - нулевые (1 ^ д ^ р). Тогда Г1,..., Гд - это окружности, а Г(¡+1,..., Гр - точка г = 0, Следовательно, функции Vj представляются в виде

N _

Е с^(9) х 8(у3(г - Гк) при 1(к) <3^ 1(к + 1), к = 0,д - 1,

I <3 дгПРИ 1(Я) <3 ^ l(р),

где Су j € В'2ж, гк = 1Лк+111/2, а^) - постоянные (для простоты порядки обобщенных функций Vj мы взяли равными М),

Пусть //(¿) такая функция из Сгх, что г] ({) = 1 в окрестности точки Ь = гк и г/^) = 0 при 0 ^ Ь ^ р1 и при Ь > р2, где 0 < р1 < р2. Тогда функция < = (г - гкУг](г)Н(9), где г = |г1,9 = агд€ И2ж,8 - целое неотрицательное число, будет принадлежать И. Поэтому

(5И(г - Гк), (Лк+1 + г2)<<3) = (3.8)

= 2"^+ ^ - 1)д^, (0 о ^ д- 1).

Отсюда, из (3.5) и (3.7) для 3 = 1 + 1(к),< = <р3, получим

^ме), 2 - Гк д^ + и(и - 1) ) = 0. (3.9)

у=0

Так как

ду<8

{

Ъ(9) при V = 8, 0 при V = 8,

д

г=г к

то из (3.9) при 8 = N - 1 будем иметь

(с^э(д)} 2 N Гк Ъ(в)) = 0,И €02Ж, т.е. cNj(9) = 0. Теперь, полагая в (3.9) 8 = N - 2, получим

(CN-и(в), 2( N - 1) Гк к(9)) = 0,к € В2ъ, т.е. ^-\^(9) = 0. Продолжая этот процесс, находим:

^-2^ = ^-3^ = ... = =

В левой части (3.9) с^(9) не входит, поэтому она остается произвольной. Таким образом, V с з = 1 + 1(к), 0 ^ к ^ д - 1 определяются по формуле

Vj = сО](0) х 5(г - г-к), (3.10)

где Сщ (9) - произвольные, 2^-периодические обобщенные функции.

Полагая в (3,6) j = 1 +1(к), 0 ^ к ^ q — 1,< = <s, с учетом соотношений (3,7), (3,8) и (3,10), получим

<cOJ(d) х 8(г — rk),<ps(r, в)) + £<c^+i(d), 2иГк , 9) + — 1) dU-?±k, в)) = 0.

N

(Т-

< :,JR) 2.1,Г,— „ ^

(у ^—1 (Г^

Подставляя в это равенство поочередно s = N — 1,..., 2,1, будем иметь

cN,j+l = Cn —1, j+1 = ... = C2J+1 = f0,

<Coj,h(6)) + <cij+i, 2rkh(6)) = 0, т.е. Cij+l(9) = — cOj(6)/2 rk .Заметим, что cOj+l(9) остаются произвольными. Поэтому при j = 21 (к)

Vj = Coj(0) х 8 (г — Гк) — — Co,j—i(q) х 8'(г — Гк).

2 fk

Продолжая эту процедуру, находим:

j—i—i (к)

Vj = Co3(0) х 8(г — Гк)+ ^ Ааз(в) х 8(а)(г — п), (3.11)

a=l

где 1(к) ^ j ^ 1(к + 1), 0 ^ к ^ q — 1, cOj(6) - произвольные обобщенные функции из D'2w, Aaj(в) линейно выражаются через cOt(в), l(k) < t < j. Итак, мы определили Vj, входящие в левые части (3.5), (3.6) с индексом j : 1(к) < j ^ 1(к + 1), 0 ^ к ^ q — 1. Эти Vj выражаются формулой (3.11).

Теперь определим Vj с индексом j : l(k) < j ^ 1(к + 1), q ^ к ^ р — 1. Из (3.5) имеем

<Vj, г2<) = 0, j = 1 + l(k), q^k ^ р— 1, < eD. (3.12)

Отсюда следует, что либо Vj = 0 либо носит ель Vj состоит из точ ки z = 0. Поэтому в силу теоремы о структуре обобщенных функций с точечным носителем, имеем

до+38 0 дг ' dzоdz3'

OC+/34N

где cO3 - постоянные, N - порядок обобщенной функции Vj. Поэтому равенство (3.5) примет вид

до+3$ _

соз<д-од^з ,zz<< = 0, < eD. (З-14)

O+3KN

Полагая

здесь

< = T](z)z vz\ (3.15)

где и > 0, t > 0, г/ e D, r/(z) = 1 в окрестности нуля, получим

( u + 1)\(t+1)\cv+i, m = 0,

т.е. соз = 0 при а/ = 0. Если раскрыть левую часть равенства (3.14), то слагаемые с коэффициентами cOO, с0з будут равны нулю. Поэтому коэффициенты саз при а3 = 0 остаются произвольными. Следовательно,

N л , (v8 dv8 \ Vi = Y1 + , 3 = 1 + l(k), Р— ~1, (3-16)

V = Е со3^-ом, (3-13)

и=0

где cv j, j - произвольные постоянные.

При q ^к ^ р — 1, j = 1 + 1(к) из (3.6) имеем

<V ,<) + <Vj+u = 0, < eD.

Отсюда заключаем, что носитель состоит из точки г = 0. Поэтому, представляя обобщенную функцию Vj+1 в виде (3,13) с коэффициентами Сар (о + Р ^ М) и беря в качестве < функцию вида (3,15), с учетом (3,16) получим, что с1ао, <СОр - произвольны и

о! са] + р! 4 + (о + 1)!(р + 1)\<Са+1)+1 = 0.

Тогда

" да+Р6

дгад~хР;

где , +1 - произвольные постоянные. Аналогичным образом находим остальные Vj с индексом ] : 1(к) < j ^ 1(к + 1), д ^ к ^ р - 1

° = Ъ[ъ+ Ъд^) - Ь ор (о - 1)!Са-1* + (р - 1)!с)-1'>- , 3 = 1 + 1(к),

^ V Судгу ' ^ о!р!

у=0 а,Р>1 '

N

^д^+,ду^) + г в«^

1 - ^ V"' дг^ "" д^^ ^ д~ад-р •

у=0 а,Р>1

а+Р^

где сУ', с!У' - произвольные постоянные, вО) линейно выражаются через с^, ^, ^ < 3,

причем ВО) = 0 при ] = 1 + 1(к).

Осталось определить ^ с индексом ] > 1(р). Покажем, что все такие Vj равны нулю. Из (3,5) при к = р, получим

(01+1 (р), (Лр+1 + г2)<) = 0, < € И. (3.17)

Так как т£ |Лр+1 + г21 > 0 (напомним, что Лр+1€(-то, 0]), то для произвольной ф € И полагая в (3.17) < = (Лр+1 + г2)-1ф (< € И), имеем

(V01+!{р),ф) = 0 Уф € И,

т.е. v1+l(р) = 0. Далее из (3.6) следует

(V2+1 (р), (Лр+2 + Г2)<) = 0 У < € И,

аналогично как выше, получим v2+l(р) = 0. Продолжая эту процедуру, можно показать, что Vj = 0 при ] > 1(р).

Таким образом, мы определили все компоненты Vj обобщенной функции V, т.е. мы описали множество всех решений уравнения (3.2) из пространства И'(С; Сп). Тогда множество всех решений уравнения (3.1) из И'(С; Сп) дается формулой и = V-1v.

Отметим, что множество всех решений уравнения (3.1) из пространства И'(С;Сп) в

в

конечного числа произвольных 2^-периодических обобщенных функций и конечного числа произвольных постоянных, причем количество этих функций и постоянных зависит от порядка решения. Порядок решения мы должны задавать сами.

4. Приложения к системам уравнений в частных производных

К частному случаю задачи нахождения решений уравнения (3.1) приводятся задачи нахождения решений в пространстве Б '(С, Сп) многомерных эллиптических систем вида

+ Аш = 0, ш € Сп (4.1)

и переопределенных систем вида

щ. = А'и и € Сп, з = 1, 2. (4.2)

4.1. Эллиптические системы. Рассматривая эллиптическую систему (4.1) в пространстве 8'(С,Сп) и совершая преобразование Фурье, имеем

г (Ш(() + 2АШ(() = 0. (4.3)

Заменяя £ на — £ и переходя к комплексно-сопряженным величинам с учетом равенства ш(—() = й((), получим еще одно уравнение

2Ай(() + г(Щ() = 0. (4.4)

Если из уравнений (4.3) и (4.4) исключить й((), то получаем следующее уравнение

(4 АА + К12Е )й(() = 0, (4-5)

которое является частным случаем уравнения (3.1). Как было показано в п. 2, если спектр а (АА) матрицы АА те пересекается с полу прямой (—то, 0], то уравнение (4.5) в пространстве Б1 (С, Сп) имеет только нулевое решение, и тем самым система (4.1) в Б'(С, Сп) также имеет только нулевое решение. Если же а(АА) П (—то, 0] = 0, то по аналогии с уравнением (3.1) можно найти решения уравнения (4.5) из Б'(С,Сп) и далее определить решения системы (4.1).

Отметим (см. [6]), что если для системы (4.1) рассмотреть задачу о решениях ш(г).; растущих на бесконечность не быстрее степенной функции , N €{0,1,...}, то в случае а(АА) П (—то, 0) = 0 пространство Рм решений такой задачи как линейное пространство над полем вещественных чисел бесконечномерное, в случае а(АА) П (—то, 0] = {0} — конечномерное, причем

N

(11тРм = 2п^ + 1) — 2 ^ гапкВу,

3=0

где В2к = А(АА)к, В2к+1 = (АА)к+1, к = 0,..., [|].

4.2. Переопределенные системы. Рассмотрим переопределенную систему вида (4.2), в которой и = и(г 1, г2) — искомая комплекснозначная вектор-функция от комплексных переменных и г21 г^ = х^ + г у^, = \(иХ:) + %иУ;1), ] = 1,2, А и А2 - постоянные

п

Для системы (4.2) будем исследовать задачи о решениях степенного роста, т.е. решений и(г 1, г2), определенных в С2 и удовлетворяющих условию

\\и(ги г2)\\с~ ^К(1 + + |, (4.6)

где К — постоянная, в общем зависящая от и(г 1, г2).; N — целое неотрицательное число.

В пространстве 5'(С2,Сп) система (4.2) эквивалентна системе функциональных уравнений

'г ь (2) — 2АМС ь <2) = 0,

г С2У(Съ С2) — 2А2т((ь <2) = 0, (4,7)

где ^(Сь (2) и (2) — образы Фурье функций и(г 1, г2) и и(г\, г2) соответственно, в следующем смысле: если и € Б'(С2, Сп) решение системы (4.2), то пара (у,1и) удовлетворяет системе (4.7), если же пара (у,1и), € Б'(С2, Сп) решение системы (4.7) и выполняется равенство

1, — (2) = у((г, (2), (4.8)

то функция и = В-1у, В-1— обратное преобразование Фурье, будет решением системы (4.2) из пространства 5'(С2,Сп). Используя соотношение (4.8) из системы (4.7), получим следующие уравнения

(2АМС1, С2) — 1(_МО, (2) = 0, (

\2А2У( (1, (2) — К 2™« 1, <2) = 0. { ■ '

Исключим из уравнений (4.7), (4.9) 1и(£д, (2) и для у((2) получим систему

(4А1А1 + I(112Е)У(С1, С2) = 0, (4.10)

(4 А2А2 + I(212Е)ь(С1, С2) = 0, (4.11)

где Е — единичная матрица порядка п. К уравнениям (4,10), (4,11) можно применят результаты п, 2,

Через и с2 обозначим спектры матриц А1А1 и А2А2 соответственно. Если выполнено условие

(с71 и а2) п (—то, 0] = 0, (4.12)

то из системы (4.10), (4.11) следует, что V = 0, тогда и = 0.

Если условие (4.12) не выполняется, то носитель обобщенной функции v(£2) может быть одной точкой, прямым произведением двух окружностей и даже некомпактным. В первых двух случаях используя теорему о структуре обобщенных функций с точечным носителем и теорему 2.1, можно определить решения системы (4.10), (4.11) и далее решения переопределенной системы (4.2).

Пусть Рм - многообразие решений задачи (4.2), (4.6). Очевидно Рм С в'(С2,Сп) и Рм является линейным пространством над полем вещественных чисел. Пространство Рм может быть бесконечномерным или конечномерным. Рассмотрим несколько примеров.

А1 = 0

ными по г1 и в силу теоремы Лиувилля решения из Рм должны иметь вид

N

и(г2) = ^(г2),

3=0

где функции с3 (г2) удовлетворяют условию

ii^(12)\\с» ^К(1 + |^г). (4.13)

Тогда из второго уравнения системы (4.2) имеем

N N _

Едт ^ = ^^ А2 Фд • ^

3=0 2 3=0

3( 2)

ш = АА ^

дез

&Х2 0 (4.15)

А2с3 = 0, з = 1,...,М.

Если а2 П (—то, 0) = 0, то многообразие решений уравнения (4,14), удовлетворяющих условию (4,13), будет бесконечномерным. Если же а2 П (—то, 0) = 0, то при А2 = 0 имеем с0( г2) = 0, а пр и detА2 = 0 решения задачи (4,13), (4,14), как было указано в п. 4,1, образуют конечномерное пространство. Далее из (4,15) видно, что при detА2 = 0 все Сз(г2), ] = 1,..., N тождественно равны нулю, если же det А2 = 0, то с3(г2) будут голо-

N

морфными полиномами вида ^ фк, где фк являются собственными векторами матрицы _ к=0 А, отвечающие нулевому собственному значению,

А1 = А = А.

и^ = Щ2. (4,16)

Решениями этого уравнения будут функции вида и = '(г1,г2) и и = ф(г1 + г2), где голоморфная по ^ и г2 вектор-функция, &ф(г1)— вектор-функция, имеющая частные производные фХ1 и фУ1. Множество решений уравнения (4,16) шире чем множество решений системы (4,2), Вышеуказанные решения уравнения (4,16) подставим в систему (4,2):

'х; (г1,г2) = А(р(г1,г2), (4,17)

фг, (г1 + ъ) = Аф(г1 + ^), ] = 1, 2. (4.18)

В (4.17) левые части равны нулю, поэтому

Ар(гъ т2) = 0. (4.19)

Если А = 0, то р = 0, если же А = 0, то г1, г2) = г1, г2)у, где / - голоморфная по ^ и г2 скалярная функция, V — собственный вектор матрицы А, отвечающий нулевому собственному значению. Тогда вектор функции

и(Х1, Х2) = Рм (^1,

где Рм — голоморфный полином по и г2 степени те выше чем N, будут решениями задачи (4.2), (4.6).

2

(соответственно 24), то для ф получаем системы вида (4.1), рассмотренные в п. 4.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. L. Schwartz Distributions a valuers vectorielles // 1,11. — Ann. Inst. Fourier. 1957. V. 7. P. 1 111.

2. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. M.: Наука, 1976. 280 с.

3. Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Асимптотически квазиоднородные обобщенные функции в начале координат, // Уфимский математический журнал. 2009. Т. 1. № 4. С. 33-66.

4. Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Обобщенные функции, асимптотически однородные относительно однопараметрической группы в начале координат, // Уфимский математический журнал. 2013. Т. 5. № 1. С. 17-35.

5. Михайлов Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. Душанбе: Дониш, 1986. 116 с.

6. Байзаев С. О медленно растущих решениях одной многомерной эллиптической системы // Доклады АН ТаджССР. 1991. Т. 34, №6. С. 329-332.

7. Байзаев С. О решениях полиномиального роста многомерной обобщенной системы Коши-Римана II Уфимский математический журнал. 2015. Т. 7. № 3. С. 3-8.

8. Дудников П.И., Самборский С.Н. О нетеровости краевых задач, для, переопределенных систем уравнений с частным,и производным,и ! ! Препринт АН УССР. Институт математики. 1981. № 47. С. 1-24.

9. Жибер A.B., Муртазина Р.Д., Хабибулин И.,Т., Шабат А.Т. Характеристические кольца, /\и и нелинейные интегрируемые уравнения. М. - Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2012. 376 с.

10. Берс Л., Джон Ф.. Шехтер М. Уравнения с частными производным,и. М.: Мир, 1966. 351 с.

Саттор Байзаев,

Таджикский государственный университет права, бизнеса и политики,

мкр. 17, дом 1, корпус 2,

735700, г. Худжанд, Республика Таджикистан

E-mail: [email protected]

Махсуда Аюбовна Рахимова,

Таджикский государственный университет права, бизнеса и политики,

мкр. 17, дом 1, корпус 2,

735700, г. Худжанд, Республика Таджикистан

E-mail: [email protected]