О решениях полиномиального роста многомерной обобщенной системы Коши-Римана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 3 (2015). С. 3-8.

УДК 517.9

О РЕШЕНИЯХ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА МНОГОМЕРНОЙ ОБОБЩЕННОЙ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА

С. БАЙЗАЕВ

Аннотация. Для многомерной обобщенной системы Коши-Римана изучается вопрос нётеровости в гёльдеровых пространствах функций, ограниченных на всей плоскости. Для случая постоянных коэффициентов рассматриваются задачи о решениях, определенных во всей плоскости, а также на полуплоскости, и имеющие на бесконечности полиномиальный рост. Для двух- и трехмерного случаев найдены соответствующие условия на коэффициенты, при выполнении которых пространство решений первой задачи будет конечномерным, нулевым и бесконечномерным соответственно.

Ключевые слова: многомерная обобщенная система Коши-Римана, решения полиномиального роста, гёльдеровы пространства, нётеровость.

Mathematics Subject Classification: 35J46, 35J56

1. Введение

Пусть Ca — банахово пространство комплексных вектор-функций w(z) = (w\(z), ..., wn(z)), ограниченных во всей плоскости и равномерно непрерывных по Гёльдеру с показателем а; норма в C а определяется по формуле

||w||a, = SU'p\\w(z)\\ + SUp |zi — Za — IKZI) — w(z2)\\, где Ц.Ц - норма в Cn; C1 — банахово

пространство комплексных вектор-функций w £ Ca таких, что wz,Wz £ Ca; норма в C\ определяется по формуле

\Н\а,1 = \И\а + \\wz На + Hw^Ha.

Рассмотрим многомерную обобщенную систему Коши-Римана вида

Lw = w* + A(z)w = 0, (1)

где A(z)—матрица, столбцы которой принадлежат пространству Ca. Для системы (1) не сохраняются многие свойства одномерной обобщенной системы Коши-Римана [1], такие как теорема Лиувилля, конечномерность пространства решений степенного роста и др.

Например, при n = 2 и A = ^ 2 ^ ^ система (1) имеет бесконечное число линейно независимых, ограниченных во всей плоскости, решений wa(z) = ^ 1 ^ ei{az+az) + 1 ( — 1 ) e-l(az+az), где a = V3ela.

S. Baizaev, On the solutions of polynomial growth for a multidimensional generalized Cauohy-Riemann system. © БАЙЗАЕВ С. 2015. Поступила 14 октября 2014 г.

2. Решения, определенные во всей плоскости

В работе [2] при п = 2 для частных случаев системы (1) с постоянной матрицей А рассмотрена задача о решениях, определенных во всей плоскости и растущих на бесконечности не быстрее степенной функции. В работах [3, 4] для произвольного п изучен вопрос о нетривиальной разрешимости системы (1) с постоянной матрицей А в классе функций, растущих при г ^ то не быстрее чем , и в случае конечномерности пространства Р^ таких решений получена формула для нахождения размерности этого пространства:

N

dгmPN = 2п(М +1) - 2 ^ гапкВк, (2)

к=0

где B2j = А(АА)-, В2-+1 = (АА)-+1, ] = 0,1,..., [N/2]. В [5] для случая слабо осциллирующих на бесконечности коэффициентов, т.е. удовлетворяющих условию вида

Иш тах ||А(г) - А(()|| = 0,

найдены необходимые и достаточные условия нётеровости оператора Ь : С^ ^ Са. При условии слабой осцилляции на бесконечности коэффициентов из последовательности {А(г+Нк)}, где Нк ^ то можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на каждом компакте, причем предельная матрица будет постоянной и зависит от выбора последовательности Нк. Множество таким образом построенных матриц по всевозможным последовательностям Нк ^ то обозначим через Н(А). Справедлива следующая

Теорема 1. Для того чтобы оператор Ь : С^ ^ Са был нётеровым, необходимо и достаточно, чтобы для всех матриц А0 е Н(А) матрица А0А0 не имела собственных значений, лежащих на полуоси (-то, 0].

В связи с этой теоремой важным является нахождение необходимых и достаточных условий отсутствия у матрицы А0А0 собственных значений, лежащих на полуоси (-то, 0].

Для случаев п = 2, 3 условие того, что матрица вида А0А0 не имела собственных значений, лежащих на полуоси (-то, 0], можно выписать через элементы матрицы А0. Для случая п = 2 соответствующие условия приведены в [4] без доказательства.

/ а Ь \ —

Теорема 2. Пусть А = ( ^ 1 . Тогда матрица АА имеет отрицательное собственное значение, в том и только том случае, когда одновременно выполняются следующие четыре условия:

^¿А = 0, |а| = И, |а|2 + Ьс < 0,а^Ьс > 0. (3)

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица АА имеет отрицательное собственное значение. Характеристическое уравнение для матрицы АА имеет вид

А2 - аА + А2 = 0, (4)

где

а = |а|2 + И2 + 2Яе(Ьс), А = |^А|. (5)

Покажем, что

а + 2А > 0. (6)

Действительно, имеем

а + 2А > |а|2 + |^|2 + 2Яе(Ьс) + 2(|Ьс| - |ай|) =

= (|а| - И)2 + 2(Яе(Ьс) + |Ьс|) > 0. (7)

О РЕШЕНИЯХ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА МНОГОМЕРНОЙ ОБОБЩЕННОЙ СИСТЕМЫ

5

Тогда А > 0, в противном случае из неравенства (6) следует, что а > 0 и собственные значения матрицы AA будут неотрицательными: Ai = 0, A2 = а.

Если а > 0, то у уравнения (4) нет отрицательного корня. Поэтому а < 0 и а — 2А < 0. Так как дискриминант уравнения (4) D = (а — 2А)(а + 2А) неотрицательный, то из последнего неравенства, с учетом (6) следует, что D = 0, т.е.

а + 2А = 0. (8)

Тогда из неравенства (7) получаем:

|а| = |d|, Re(bc) + |bc| = 0. (9)

Далее неравенство а < 0 означает, что | a |2 + bc < 0.

Осталось установить неравенство adbc > 0. Равенство (8) с учетом равенств (9) перепишем в виде

|ad — bc| = |bc| — |ad|. (10)

Возведя обе части этого равенства в квадрат, после упрощения получим:

Re(adbc) = |adbc|. (11)

Последнее равенство эквивалентно неравенству adbc > 0. Все соотношения из (3) установлены. Необходимость условий (3) доказана.

Достаточность. Пусть выполнены условия (3). Покажем, что собственные значения матрицы AA будут отрицательными. Четвертое условие из (3) эквивалентно равенству (11), которое в свою очередь равносильно равенству (10). Тогда с учетом второго и треьтего условий из (3), имеем

А = |ad — bc| = |bc| — |ad| = — (|a|2 + bc).

Следовательно,

а + 2А = 21 а |2 + 2bc — 2(|a|2 + bc) = 0. Поэтому дискриминант уравнения (4) D = (а — 2А)(а + 2А) будет равен нулю, и это уравнение имеет кратный корень

а

Ai,2 = 2 = —А,

который является отрицательным. Достаточность условий (3) установлена. Теорема доказана.

Для случая матриц третьего порядка справедлива следующая

Теорема 3. Пусть A—постоянная матрица третьего порядка, k1 = Sp(AA), k2 = i[Sp(AA)2 — (Sp(AA))2] и y — кривая состоящая из объединений левой ветви параболы y = — X2, x < 0 и полуоси y = 0,x > 0. Тогда матрица AA не имеет собственных значений, лежащих на полуоси (—то, 0] в том и только том случае, когда detA = 0 и выполняется одно из следующих условий:

а) точка (fc1,fc2) лежит выше кривой y и

ß3 — kiß2 — k2ß — |detA|2 < 0, (12)

где ß = 1 (ki — у/k2 + 3k2);

б)точка (k1,k2) лежит на кривой y или ниже нее.

Заметим, что след матриц вида (AA)m,m = 0,1, 2,... является вещественным числом. Доказательство. Необходимость. Пусть матрица AA не имеет собственных значений, лежащих на полуоси (—то, 0]. Покажем, что А = |detA| = 0 и выполняется условие а) или б). Характеристическое уравнение для матрицы AA имеет вид

p(A) = — A3 + kiA2 + k2A + А2 = 0. (13)

Пусть А1, А2, А3— корни этого уравнения. Можно считать, что либо Аj > 0, ] = 1, 2, 3, либо А1 = Л2 = £ + ¿8, А3 > 0, причем 8 = 0. Очевидно, что А = 0.

Через обозначим открытую область, состоящую из точек (ж, у), расположенных выше кривой 7, а через — дополнение этой области до всей плоскости. Пусть К — точка с координатами (к1,к2). Возможны два случая: 1) К Е 2) К Е В первом случае либо + 3к2 > 0 и к2 ^ 0, либо к1 > 0 и к2 > 0. Тогда функция р(А) при А < 0 имеет минимум в точке А = и так как р(А) ^ +то при А ^ —то, то р(^) > 0, т.е. выполняется неравенство (12). Итак, в первом случае выполняется условие а). Во втором случае выполняется условие б). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть = 0 и выполняется одно из условий а) или б). Покажем,

что матрица АА не имеет собственных значений, лежащих на полуоси (—то, 0]. Очевидно, р(0) > 0. Если выполнено условие а), то К Е и тгпл<0р(А) = р(^) > 0. Поэтому корни уравнения (13) не лежат на полуоси (—то, 0]. Если же выполнено условие б), то при к1 > 0 имеем р(А) > 0,УА ^ 0, а при к1 < 0 имеем р'(А) < 0,УА Е (—то, +то), и поэтому р(А) > р(0) > 0, УА ^ 0. Следовательно, у уравнения (13) нет корней на полуоси (—то, 0]. Достаточность условий теоремы установлена. Теорема доказана.

Пусть М = а(АА)П(—то, 0], М1 = ст(АА) П(—то, 0), где а(АА)— спектр матрицы АА. Для случая п = 3 и необратимой матрицы А имеет место следующая теорема о структуре множеств М и М1 .

Теорема 4. Пусть 8 = + 4к2. Справедливы следующие утверждения:

a) если 8 < 0, то М = {0} и Мх = 0;

b) если 8 = 0, то

М = {0} при кх > 0 и М = {к1, 0} при кх < 0; М1 = 0 при к1 > 0 и М1 = {к|1} при к1 < 0;

c) если 8 > 0, то при к2 > 0

М = {0}, если к1 > 0 и М = {к1, 0}, если к1 < 0; М1 = 0, если к1 > 0 и М1 = {кг}, если к1 < 0; при к2 = 0

М = {0}, если к1 > 0 и М = {к1, 0}, если к1 < 0; М1 = 0, если к1 > 0 и М1 = {к1}, если к1 < 0; при к2 < 0

М = {0}, если > 0 и М = {2(&1 ± ^8), 0}, если Ь < 0; М1 = 0, если к1 > 0 и М1 = {1(к1 ± ^8)}, если к1 < 0.

3. Размерность пространства Рм для случаев п = 2 и п = 3.

Пусть п = 2 и А = ^ а Если выполняются условия (3), то пространство Рм

будет бесконечномерным, если = 0 и остальные условия из (3) одновременно не

выполняются, то пространство Рм будет нулевым. Если = 0, то пространство Рм

будет ненулевым и конечномерным. В этом случае при А = 0 из формулы (2) имеем ^гтР^ = 4(Ж +1), что согласуется с теоремой Лиувилля; если же А = 0, то без ограничения

общности можно считать, что А = ^ А^ д^ ^ , |а| + |Ь| > 0, А— комплексное число, и из

(2) легко получить формулы:

= 4Ж + 2 при а + АЬ = 0 и = 2Ж + 2 при а + АЬ = 0.

Пусть п = 3. Если А = 0, то, учитывая теорему 2, получаем, что в случае а) пространство Рм будет нулевым, а в случае б) — бесконечномерным. Если = 0, то пространство Рм будет ненулевым и конечномерным. В этом случае при А = 0 из формулы (2) имеем = 4(Ж + 1), что согласуется с теоремой Лиувилля. Пусть теперь = 0 и А = 0.

О РЕШЕНИЯХ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА МНОГОМЕРНОЙ ОБОБЩЕННОЙ СИСТЕМЫ ... 7

Тогда «¿тР^ = +1) в следующих случаях: 1) при 8 < 0; 2) при 8 = 0 и ^ > 0; 3) при 8 > 0, к1 > 0 и к2 < 0. Далее

= + 4 - 2[гапЫ_+ гапк(ААА)] при 8 = 0, к1 = 0 и гапк(АА) = 1,_ = 6Ж - 4 - 2[гапк(ААА) + гапк(А(АА)2] при 8 = 0, к1 = 0 и гапк(АА) = 2, = 4Ж + 6 - 2гапкА при 8 > 0, к1 > 0 и гапк(АА) = 1, = 4Ж + 2 - 2гапк(ААА при 8 > 0, к1 > 0 и гапк(АА) = 2. Наконец, пространство Р^ будет бесконечномерным в следующих случаях: 1) при 8 = 0,к1 < 0; 2) при к1 < 0 и к2 = 0; 3) при к2 > 0; 4) при 8 > 0,к1 < 0 и к2 < 0.

4. Задача на полуплоскости Теперь для системы с постоянными коэффициентами

Ш + Аш = 0, (14)

где А- комплексная матрица порядка п, рассмотрим следующую задачу.

Задача Р. Найти вектор-функцию ш(г) из класса С 1(С) П С(О), О = (г : /тг > 0}, являющуюся решением системы (14) в области О и удовлетворяющую условию

||г(г)|| ^ К(1 + |г|)м,г € О, (15)

где К - постоянная, зависящая от ш(г), N € (0,1,...}.

Если ш(г) является решением задачи Р, то вектор-функция и(£,у) = (ш,^)т, где ш = = Рхш, Рх- преобразование Фурье по переменной х, для каждого у > 0

принадлежит пространству Б' = Б'(Я) и будет решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений

^ + В(£ )и = 0, (16)

«у

где В(£) = ( 2ггА ) , Еп- единичная матрица порядка п. Отметим, что

у 2гА -у

вектор-функции ш и V связаны следующим равенством

и(£,у) = ш(-£,у). (17)

Наоборот, если вектор-функция и(£, у) = (ш,^)т для каждого £ € Д является решением системы (16), выполняется условие (17) и ш € Б Уу € (0, то), то вектор-функция г = Р^-1ш будет решением уравнения (14) в области О. Пусть Б(£)- матрица, приводящая матрицу В(£) к квазидиагональному виду: Л(£) = Б-1(£)В(£)Б(£). Предположим, что матрица АА не имеет собственных значений, лежащих на полуоси (-то, 0]. Тогда матрица В(£) для всех значений £ € Д будет обратимой и не имеет чисто мнимых собственных значений. Поэтому матрицу Л(£) можно представить в блочно-диагональном виде

Л(£)

Л+(£) О О Л_(£)

где Л+(£) (Л_(£))-п х п-матрица, состоящая из жордановых клеток матрицы В(£), соответствующих собственным значениям с положительной (отрицательной) вещественной частью. Пусть матрица Б (£) представлена в блочном виде

Б(£) = ( Б1(£) Б2(£) '

Б(4)=1 Бз(£) Б4(£)

где Sj(£) (] = 1, 2, 3, 4) — п х п-матрицы и пусть ек(£) Е Сп У£ Е Я (к =1, 2). Тогда общее решение системы (16) имеет вид

и(р у) = Т )е_л+(?)уе1(С)+ S2(e)е_л-(«)уе2® ^ и (^,У) V Sз(e)е_л+(?)уе^)+ S4(£)е_л-(«уе2® ,/ .

Элементы матриц Sfc(£) и S-1(£) при |£| ^ то растут не быстрее чем степенная функция. Поэтому для того чтобы и Е S для всех у > 0, необходимо, чтобы е2(£) = 0. Следовательно,

т.е.

и

U Sa^e-^e^)

= Sx(e )e-A+(?)y ex(e)

и(£,у) = Sз(e )е_л+(?)у е1(С).

Для выполнимости условия (17) и нахождения решения задачи Р, вектор-функцию е1 (£) Е S' нужно выбрать так, чтобы выполнялось равенство

Ss(e)e-A+(?)y ex(e) = Si(-£ )e-A+(?)yei(-£),

и вектор-функция

w = F-1[Si(e)e-A+(«)y ei(0]

удовлетворяла условию (15).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. 509 с.

2. Сафаров Д. О размерности пространства решений степенного роста для одного класса эллиптических систем // Дифференциальные уравнения. Т. 15, № 1. 1979. С. 112-115.

3. Байзаев С. О медленно растущих решениях одной многомерной эллиптической системы // Доклады АН ТаджССР. Т. 34, № 6. 1991. С. 329-332.

4. Байзаев С. Эллиптические системы с ограниченными коэффициентами на плоскости Новосибирск: НГУ. 1999. 74 с.

5. Байзаев С., Мухамадиев Э. О нётеровости и индексе многомерных эллиптических операторов в гёльдеровых пространствах // Современные методы в теории краевых задач, труды Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-XI". Ч. 1, Воронеж, 2000. С. 75-84.

Саттор Байзаев,

Сибайский институт (филиал)

Башкирского государственного университета,

ул. Белова, 21,

453838, г. Сибай, Россия

E-mail: [email protected]