О решениях одной системы уравнений с частными производными с двумя независимыми переменными Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 2 (2013). С. 12-17.

УДК 517.95

О РЕШЕНИЯХ ОДНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

С. БАЙЗАЕВ, Д.А. ВОСИТОВА

Аннотация. В статье рассматриваются линейные эллиптические и гиперболические системы первого порядка с постоянными коэффициентами и двумя независимыми переменными. Для таких систем исследованы задачи о многообразии всех решений и решений, растущих на бесконечности не быстрее степенной функции.

Ключевые слова: эллиптические и гиперболические системы, умеренно растущие решения, степенного роста решения, размерность пространства решений.

Mathematics Subject Classification: 35С11.

1. Рассмотрим систему линейных уравнений с частными производными вида

AiUx + A2Uy + A3U = F (x,y), (1)

где U = (u\, u2,..., un)T — искомая вектор-функция, Ai,A2,A3- постоянные вещественные матрицы порядка n, F = (f\, f2,..., fn)T — заданная вектор-функция.

Как известно (см., например, [1]), система (1) называется эллиптической, если его главный символ Po(C, п) = i£Ai + ir)A2 является невырожденным при (£, п) = (0, 0), т.е.

Q(п) = det(iA i + nA2) = 0 V (^,п)= (0, 0). (2)

Система (1) называется гиперболической, если для каждого п £ R все решения уравнения Qd,n) = 0 относительно £ будут действительными.

В статье для систем вида (1) в случае эллиптичности и гиперболичности исследуются задачи о многообразии всех решений и решений, растущих на бесконечности не быстрее степенной функции. Вопросам о решениях, определенных во всей плоскости эллиптических и гиперболических уравнений и систем посвящены работы В.С. Виноградова, Э. Мухамадиева, В.П. Паламодова, Н.Е. Товмасяна и др. (см., например, [2 - 4]). Для эллиптических систем вида (1) при n = 2 в работе [5] изучены задачи об умеренно растущих решениях и решениях степенного роста.

Будем предполагать, что система (1) эллиптическая или гиперболическая. В этом случае легко доказать, что detA1 = 0, а в случае эллиптичности также и detA2 = 0. Поэтому систему (1) можно переписать в виде

Ux + A-1 A2Uy + A-1A3U = A- 1f (x, y).

В связи с этим в дальнейшем систему (1) будем записывать в следующем виде

Ux + AUy + BU = f (x,y), (3)

S. Baizaev, D.A. Vositova, On solutions of a system of partial differential equations with two independent variables.

© Байзаев С., ВоситовА Д.А. 2013.

Поступила 27 февраля 2012 г.

где А = А- А2, В = А- А3, / = А- Тогда условие эллиптичности (2) перепишется в

виде неравенства

+ пА) = О У(£, п) = (0, 0), которое равносильно тому, что матрица А не имеет вещественных собственных значений. Условие гиперболичности системы (3) будет эквивалентно тому, что матрица А имеет только вещественные собственные значения.

Предположим, что матрицы А и В перестановочны. В системе (3) произведем замену искомой функции и = е-БхСУ, где С — невырожденная матрица. Тогда имеем

—е

ВСУ + е-БхСУх + Ае-БхСУу + Ве-БхСУ = / (ж, у)

или

Ух + С-1 еБхАе-БхСУу = С-і еБх/(ж, у)

Бх

(4)

В силу перестановочности матриц А и В имеет место равенство еБхАе-Бх = А. Поэтому система (4) примет вид

Ух + С- 1АСУу = #(ж,у), (5)

где #(х,у) = С- 1 еБх/(х,У).

В качестве С возьмем матрицу, приводящую матрицу А к канонической форме Жордана. Пусть Л1, Л2,..., Лт (т ^ п) — собственные значения матрицы А. Тогда система (5) распадается на системы меньшей размерности

дУк + Лк= дк(ж,у), к = 1,

где

дж

Ль

ду

( Ак 10 0 Ак 1

, т,

(6)

0 0

0 0

Ак 1 0 Ак

і т

д.

— жордановая клетка порядка вк, ві + 32 + ... + вт = П, [Уі, У2, ..., Ут]Т = У, [ді, д2, ..., дт]

Для удобства координаты вектора Ук обозначим через и^, и>2,..., (V = вк), а коорди-

наты вектора дк — через Л^Л^,...,^. Тогда систему, получающуюся из (6) при фиксированном значении к, можно записать в виде

5^1 5^1 ди>2 , .

+ Ак—-+ -гг- = Лі (ж, у),

дж

д^2

дж

д^у-і

дж

ду ду 5^2 , д^3 и , л

+ Ак + Ж = Л2<Х’у)-

(7)

+ А; дад,

дад^-і дщ

+

ду ду

+ Ак (ж, у)

Л^-і(ж,у),

дж ду

Рассмотрим уравнение вида

их + Лиу = Л,(ж, у),

где Л Е С, условия на функцию Л,(ж,у) будут приведены позже (см. лемму 2) Лемма 1. Общее решение однородного уравнения

их + Аи

0

имеет вид

и(ж,у) = '4А* — у),

(9)

10)

:и)

12)

13)

где ^(г) является произвольной функцией класса С 1(Д), если Л вещественное число и

С ^ Л

является произвольной аналитической функцией комплексного переменного г, если Л — комплексное число.

Доказательство. Утверждение леммы для случая вещественного Л очевидно. Пусть Л = а + является комплексным и <^(г) — произвольная аналитическая по г функция. Тогда

д

Их = ^(Лж - у) ■ дж(Лж - у) = Л^г(Лж - у), ддж

Иу = (Лж - у) ■ ду (Лж - у) = -<£*(Лж - у).

Отсюда следует, что функция и(ж,у) = ^(Лж - у) удовлетворяет уравнению (12).

Теперь покажем, что каждое решение и (ж, у) уравнения (12) можно представить в виде (13) с аналитической функцией <^(г). Пусть £ = Лж - у. Тогда

ж =21в(С - ? )-у = 2^в№ - Л< >

и, подставляя эти выражения в функцию и(ж,у), получаем функцию переменной £ : и (С) = И [ж (С), у (С)]. Вычислим производную и^:

, г . ЛЛ. гЛ , . .

и^ = их ■ж^ + иу ■у^ = их(2в) + иу(2в) = 2в х + Лиу) =

так как и(ж,у) — решение уравнения (12). Отсюда следует, что функция и(£) является аналитической по £. Поэтому найдется аналитическая функция <^(г) такая, что и = <^(£) = ^(Лж - у). Это и требовалось показать.

Лемма 2. Пусть Л вещественное число, и функция Л,(ж,у) непрерывна по ж и имеет непрерывную производную по у. Тогда функция

х

и>(ж,у)= У Л,[£, Л(£ - ж) + у]^£ (14)

Ах—у

будет частным решением неоднородного уравнения (11).

Доказательство. Из формулы (14) с учетом правила дифференцирования интеграла с переменными пределами имеем

х

и>х = Л,(ж, у) - ЛЛ,[Лж - у, Л(Лж - у - ж) + у] - Л J Ну[£, Л(£ - ж) + у]^£,

Ах—у

х

ту = Л,[Лж - у, Л(Лж - у - ж) + у] ^ У Л,у[£, Л(£ - ж) + у]^£.

Ах—у

Отсюда получим

и>х + Ли>у = Л,(ж, у), т.е. функция и>(ж,у) является решением неоднородного уравнения (11).

В случае вещественного Л формула

х

и(ж,у) = ^(Лж - у)+/ ^ Л(£ - ж) + у№

Ах—у

дает общее решение неоднородного уравнения (11), где ^ — произвольная функция класса

С1.

2. Предположим, что система (3) является гиперболической. Систему (7)—(10) будем решать снизу вверх. Из уравнения (10) в силу леммы 2 находим

• (ж, у) = ^ (Аж — у) + (ж, у),

х

где (ж,у) = / [£, Л(£-ж)+у]^£, ^ — произвольная функция класса С1. Подставляя

Ах—у

в уравнение (9), найдем ии—1 :

д

1 (ж, у) = <^—1(Лж - у) + Ь[^,(Лж - у) - ду (ЬЛ^)] + ЬЛ^—1,

где ^—1 — произвольная функция класса С1.

Далее имеем

х

(Лж - у) = J ^[ЛС - Л(С - ж) - у№ = ^(Лж - у)(ж - Лж + у^

Ах—у

х

дд

— (Ыги) = ^[Лж - у, Л(Лж - у - ж) + у] + — к[£, Л(£ - ж) + у]^£.

ду ду

Ах—у

Поэтому

и^_1(ж,у) = ^—1(Лж - у) + ^(Лж - у)(ж - Лж + у) + ^[Лж - у, (Л - 1)(Лж - у)]+

х

д

+ У дуЛ^[^ Л(^ - ж) + у№ +

Ах—у

Продолжая эту процедуру, находим —2,..., и1. Нужно отметить, что произвольные функции ^, возникающие при интегрировании уравнений (7)—(10), должны иметь соответствующую гладкость, а именно, функция ^ при 1 ^ ^ V должна принадлежать классу С.

Теперь рассмотрим эллиптический случай. Найдем общее решение однородной системы, соответствующей (7)—(10). Из уравнения (10) в силу леммы 1 находим

(ж, у) = ^(Лкж - у), где ^(г) — аналитическая по г функция. Тогда уравнение (9) примет вид

ди^—1 л ди^ —1 !(\ \ /1Г\

дж + Лк ду = ^(Лкж - у). (15)

Функция и = ж^,(Л^ж - у) является частным решением уравнения (15). Поэтому общее

решение этого уравнения имеет вид

и^—1 = ж^,(Лкж - у) + ^—1(Лкж - у),

где ^—1(г) — аналитическая по г функция. Аналогично находим

и^_2 = ж2^"(Лкж - у) + ж^^—1(Лкж - у) + ^—2(Лкж - у),

где ^_2(г) — аналитическая по г функция. Продолжая эту процедуру, находим

—з,..., и>1.

Пусть матрица А имеет п различных собственных значений Л1,Л2,...,ЛП и г1,г2,...,гп соответствующие собственные векторы. Если матрицы А и В перестановочны, то как известно (см., например, [6]]), г1,г2,...,гп будут собственными векторами и матрицы В. Через ^1,^2,...,^п обозначим собственные значения матрицы В, которым соответствуют собственные векторы г1, г2,..., гп.

Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть матрица А имеет п различных собственных значений Л1, Л2,..., Лп и г1,г2, ...,гп соответствующие собственные векторы. Пусть матрицы А и В переста-новочны.Тогда общее решение однородной системы

их + Аиу + Ви = 0 (16)

имеет вид

и (ж, у) = С (е—М1 х ^1(Л1ж - у), ...,е—“пх^„(Лгаж - у))т, (17)

где С — матрица, столбцы которой это собственные векторы г1,г2, ...,гп матрицы А, ^ - собственные значения матрицы В, указанные выше, ^(г)- функции класса С1 в случае гиперболичности системы (16) и аналитические по г в случае эллиптичности системы (16).

Доказательство. Так как С = [г1, г2,..., гп], то замена и = е—ВхСУ систему (16) приводит к виду

Ух + ЛУу = О,

где Л = ^га^[Л1,..., Лп]. В силу леммы 1 общее решение последней системы имеет вид

У(ж,у) = [^1(Л1ж - у^..., ^п(Лпж - у)]Т,

где ^1(г),..., ^га(г)- функции класса С1 в случае гиперболичности системы (16) и аналитические по г в случае эллиптичности системы (16). Поэтому

и (ж, у) = е—ВхС [^(Л^ - у),..., ^„(Л„ж - у)]т. (18)

Так как г1,..., собственные векторы матрицы В, соответствующие собственным значениям ^1,..., ^га, то матрица С приводит матрицу В к диагональному виду М = ^га^[^1,..., ^га], т.е. С—1ВС = М. Следовательно, в силу свойств экспоненциала матрицы справедливо равенство

в"БхС = е—смс-1хС = Се-Мх = С^а£[е"^х,..., е—“"х].

Отсюда и из (18) получим формулу

и = С^гад[е—“1х,..., е—““^[^(Л^ - у),..., ^„(Л„ж - у)]т,

из которой следует (17). Теорема доказана.

В случае эллиптичности системы (16) общее решение (17) можно также представить в виде

и (ж, у) = С (е-*Де(А1“Тх-“1у)/1тА1 ^1(Л1ж - у), ...,в-гЯе(Ап“Пх-“п у)//тА- ^„(Л„ж - у))т. (19)

Для этого в формулу (17) нужно положить

^ (г) = г ^ (г),

где 7^ = - //тЛ^-, ^(г)- аналитические по г функции.

3. Для однородной системы (16) рассмотрим задачу о решениях, определенных во всей плоскости и удовлетворяющих при |ж| + |у| ^ то условию роста

||и(ж,у)| ^ К(1 + |ж|м + |уГ), (20)

где ||и|| = |и1| + |и2| +... + |ип|, N-целое неотрицательное число, К-постоянная, зависящая от и. Многообразие таких решений образует вещественное линейное пространство, которое обозначим через Ру.

Пусть система (16) является гиперболической. Тогда числа Л^, ^, ] = 1,..., п будут вещественными. Из формулы (17) в силу (20) получим оценку

|е—“х^'(Л,ж - у)| ^ К||С—1|(1 + |ж|* + |у|*), (21)

при |ж| + |у| ^ то. Отсюда при ж = 0, |у| ^ то имеем оценку

|^(у)| ^ К||С—11(1 + |у|*), (22)

а при у = 0, |x| ^ то- оценку

|e-^x^(A,x)| ^ K||C-1||(1 + |x|N). (23)

Из оценки (22) следует, что функция ^j(t) при |t| ^ то растет не быстрее степенной функции. Тогда из оценки (23) получаем, что либо ^j = 0 либо = 0. Поэтому в гиперболическом случае, если все собственные значения матрицы B ненулевые, то задача (16), (20) имеет только нулевое решение, если же какое-то собственное значение j = 0, то, взяв в формуле (17) в качестве функции j (t) функцию класса C1, растущую при |t| ^ то не быстрее степенной функции, и полагая <^j = 0 для ^j = 0, получим ненулевые решения задачи (16), (20). В этом случае пространство Pn будет бесконечномерным.

Пусть теперь система (16) является эллиптической. Из формулы (19) в силу (20) получим оценку

№(Ajx — у)| ^ K||C-1||(1 + |x|N + |y|N) при |x| + |y| ^ то. Так как функция №j(z) аналитическая по z, то в силу теоремы Лиувилля она будет полиномом относительно z степени не выше N. Поэтому решения задачи (16), (20) имеют вид

U(x,y) = C(e-iRe(Aiwx-rny)/1mAiр1^(A1x — y),..., e-iRe(An?nx-Mny)//mAn pnN (Anx — y))T, где pjN (z) полиномы относительно z степени не выше N. Тогда пространство Pn будет конечномерным, и его размерность равна (N + 1)n.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Мир, 1986, 455 с.

2. Виноградов В.С. О теореме Лиувилля для обобщенных аналитических функций // ДАН СССР, 1968. Т. 183, № 3. С. 503-506.

3. Мухамадиев Э., Байзаев С. О нётеровости и индексе эллиптических операторов 1-го порядка на плоскости // Доклады АН ТаджССР, 1987. Т. 30, № 4. С. 206-210.

4. Байзаев С. Эллиптические системы с ограниченными коэффициентами на плоскости. Новосибирск. НГУ, 1999. 74 с.

5. Байзаев С., Воситова Д.А. О решениях одной эллиптической системы в пространстве функций умеренного роста // Вестник Таджикского госуниверситета права, бизнеса и политики. 2009. №1 (37). - С. 92 - 96.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

Саттор Байзаев,

Сибайский институт (филиал) Башкирского государственного университета, ул. Белова, 21,

453838, г. Сибай, Россия E-mail: [email protected]

Дилором Абдурасуловна Воситова,

Худжандский государственный университет, ул. Мавлонбекова, 2,

735700, г. Худжанд, Республика Таджикистан E-mail: [email protected]