Аналог теоремы Боля для одного класса линейных дифференциальных уравнений в частных производных Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 1 (2017). С. 75-88.

УДК 517.953

АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ БОЛЯ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Э. МУХАМАДИЕВ, А.Н. НАИМОВ, А.Х. САТТОРОВ

Аннотация. Для одного класса линейных дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков с постоянными коэффициентами исследован вопрос о существовании и единственности ограниченного во всем пространстве решения. Сформулирована и доказана теорема о необходимых и достаточных условиях существования и единственности ограниченного решения для исследуемого класса уравнений. Данная теорема является аналогом теоремы Боля, известной в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В одном частном случае условия однозначной разрешимости выражены через свойства коэффициентов уравнения и приведено интегральное представление ограниченного решения.

Ключевые слова: теорема Боля, ограниченное решение, символ уравнения, представление ограниченного решения.

Mathematics Subject Classification: 35G05, 35E99, 35A01, 35A24, 35C15

1. Введение

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений известна теорема Боля ([1], с. 358) о существовании и единственности ограниченного на всей числовой оси R = (-ж, +ж) решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения

уМ + Ciy(m-1) + ... + Cm-iy, + Сту = f (х), х Е R, (1.1)

с постоянными коэффициентами с1,... ,ст и правой частью f (х), непрерывной и ограниченной на R. Согласно теореме Боля, уравнение (1.1) при любой непрерывной и ограниченной на R функции f (х) имеет единственное ограниченное решение только в том случае, когда символ (характеристический многочлен) уравнения

Sm + CiSm-1 + ... + cm-is + Cm,

где s = о + гт — комплексная переменная, не имеет чисто мнимых корней гт, т Е R.

В настоящей работе формулируется и доказывается аналог теоремы Боля для линейных дифференциальных уравнений в частных производных следующего вида:

/ д \ ( д \ т-1 дк!+...+кп и

8^) -Ч ^ и + ¿0 ... £ Ьк'..к- = ' (Х1--Х")' (Х1'-'Х") е

1 " (1.2)

Здесь заданными считаются натуральные числа п > 2, т1, ..тп, комплексные числа Ьк1...кп, к^ = 0, т^ — 1, ] = 1,п и многочлены

Рз (в) = + апзт+ ... + а^, э =Т/п,

E. Mükhamadiev, A.N. Naimov, A.Kh. Sattorov, Analogue of Bohl theorem for a class of

LINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS.

© МУХАМАДИЕВ Э., НАЙМОВ А.Н., САТТОРОВ А.Х. 2017.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке грантов РФФИ 15-01-04713a, 16-01-00150а. Поступила 15 февраля 2016 г.

с постоянными комплексными коэффициентами ajк, к = , ] = 1,п. Функция

£(х\, ...,хп) предполагается комплекснозначной, непрерывной и ограниченной в Кп.

Вопрос о существовании ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами исследован в работе [2]. В этой работе доказано, что произвольное дифференциальное уравнение вида

$к1+...+кп и

Е - Е ск1...кп 8гк1 8ткп = f ...,хп), (хи ...,хп) е Кп,

к1=0 кп=0 иХ1 ...и^п

с постоянными коэффициентами Ск1...кп однозначно разрешимо в пространстве ограниченных обобщенных функций тогда и только тогда, когда символ уравнения

т-1 т„

^ ... ^ Ск1...кп ^ • ... • ,

к1=0 к„=0

где ... ,вп — комплексные переменные, не имеет чисто мнимых корней (гт1,..., гтп), т^ е К, ] = 1, п. При этом если £ является непрерывной и ограниченной в Кп функцией, то решение и не всегда будет непрерывным и ограниченным вместе со всеми производными, входящими в уравнение. Гладкость решения, как показывают теоремы о гипоэллип-тичности, зависит от поведения символа уравнения в бесконечно удаленных точках ([3], с. 180-204). Поэтому представляет интерес вопрос о нахождении дополнительных условий на символ, кроме отсутствия чисто мнимых корней, обеспечивающих гладкость решения в классическом смысле.

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Для уравнений вида (1.2) можно сформулировать и доказать условия существования и единственности ограниченного решения в классическом смысле.

Ограниченным решением уравнения (1.2) назовем комплекснозначную функцию и(х\,..., хп), которая непрерывна и ограничена в Кп вместе со всеми частными производными

^ к1 + ... + кП гц^

я к1 я к , где кз = °щ, з = 17^

ох11 ...ох^1

и удовлетворяет уравнению (1.2).

В настоящей работе доказывается следующая теорема.

Теорема 2.1. Уравнение (1.2) при любой непрерывной и ограниченной в Вп функции f (х\, ...,хп) имеет единственное ограниченное решение тогда и только тогда, когда многочлены Р1, ..., Рп и символ уравнения

Р(8Ъ...,8П) = Р1(в1) • ... • Рп (8п) + Po(Sl, . . .

где

т.1-1 т„ — 1

к1

Р0(8Ъ . . . , вп) = ^ ... ^ Ък1...кп 81

к1=0 к„=0

не имеют чисто мнимых корней, т.е. при всех т1,... ,тп е К выполнены условия

Р (гт1, Р1(гп) = 0,

,гтп) = 0, ., Рп(гтп) = 0.

(2.1) (2.2)

Отметим, что в случае, когда в уравнении (1.2) все коэффициенты Ьк1...кп равны нулю и выполнены условия (2.2), существование и единственность ограниченного решения следует

из теоремы Боля. В этом можно убедиться, последовательно обращая дифференциальные операторы

дх1) , дхп)

Из теоремы 2.1 вытекает Следствие 1. Уравнение

Qmi+m2 и Qmi-ki+m2 и Qmi+m2 — k2 и

+ / J aikl a,Y,m1-k1p>m2 + / у Ü2k2 a^mi nm^ — kb +

дхт1 дхт2 ¿=1 1к1 дхт1-к1 дхт дяТ-"2

т1-1т2-1 дк1+к2 и

+ ^ Т, Ьк1к2 ~к1 Як2 = ^ (Х1,Х2), (Х1,Х2) е Я", (2.3)

к1=0 к2=0 иХ1 2

где коэффициенты а1к1, а2к2, Ьк1к2 — постоянны, при любой непрерывной и ограниченной в Я2 функции f (х1,х2) имеет единственное ограниченное решение тогда и только тогда, когда символ уравнения и следующие два многочлена не имеют чисто мнимых корней:

т1

Qi(s) = smi + Y, aikismi-kl, (2.4)

ki = 1

m2

Q2(s) = sm2 + ^ a2k2sm2-k2. (2.5)

k2 = l

Рассмотрим частный случай уравнения (1.2) — уравнение вида д \mi ( д \m"

— + aij - ( + аЛ и - Ьи = f(xi,...,хп), (xi,...,xn) е Rn, (2.6)

где коэффициенты а1 = а1 + ... , an = an + iftn и b — комплексные числа. Имеют место следующие теоремы.

Теорема 2.2. Уравнение (2.6) при любой непрерывной и ограниченной в Rn функции f (х1, ...,xn) имеет единственное ограниченное решение тогда и только тогда, когда числа а1 = а1 + г^1, ..., an = an + iftn и b удовлетворяют условиям

ai = 0, ..., an = 0, (2.7)

R\m\ (ba-mi ...a—m) < 1, (2.8)

где \m\ = m\ + ... + mn,

Rm\ (c)= max Re = \c\1/im max cos (ar9(c) + 2^k\ . ( )

|m^ k=0,...,\m\-1 V 'k ' ' k=0,...,\m\-1 V \m\ J

Теорема 2.3. Пусть числа a1, ..., an положительны и выполнено условие (2.8). Тогда единственное ограниченное решение уравнения (2.6) представимо в виде

/XI г-х„

... G(X1 - ^1,...,Xn - £n)f (£1,... ,£n)d^1 ...d£n, (2.10)

-те J—те

где функция G(x1,... ,xn) определяется формулой

те Tml — 1 . . Tmn — 1 (L , Tmi , , Tmn )k - )= p—aixi — ...—anxn^^ _• • • ^n \u ^ 1 ■ ■ ■ ^n ) (211)

..., Жп) = e k^ (m1(k + 1) - 1)! ■... ■ (mn(k + 1) - I)', (2.11)

и абсолютно интегрируема в области х1 > 0, ..., xn > 0:

р+те г+те

/ ... I \G(x1,... ,xn)\dx1 ...dxn < то. (2.12)

0

0

Замечание 1. При замене х^ на у^ = —х^ скобка (д/дх^ + а^)ГП] преобразуется в скобку (—1)т(д/дуз — аз)т]. Следовательно, уравнение (2.6) с ненулевыми а1, ..., ап всегда можно свести к случаю, когда а1, ... , ап положительны.

Теоремы 2.2 и 2.3 при п = 2 и т1 = т2 = 1 доказаны в работах [4], [5]. В монографии [6] приведены результаты об экспоненциальном представлении обобщенных решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Из результатов данной монографии теоремы 2.1-2.3 не вытекают.

Полученные результаты, на наш взгляд, можно распространить для дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, доказывая и применяя неравенства типа Карлемана ([7]).

3. Существование и единственность ограниченного решения

В этом параграфе приведем доказательство теоремы 2.1. Сперва введем следующие обозначения: т = (т1,..., тп) — вектор, составленный по степеням т1,..., тп многочленов Р1,... , Рп, |га| = т1 +... + тп, С0 — банахово пространство непрерывных и ограниченных в Rn функций v(x1, ...,хп) с нормой

|Н| = sup Iv(x1, ...,Хп)1, (xi,...,xn)eRn

Ст — банахово пространство функций v(x1,..., хп), принадлежащих С0 вместе со всеми производными

—z-, kj = 0,m,j, j = \,п,

дхi ...дх^ где норма определяется формулой

^Z 1 + ... + Zn r^

NU = J]

dx^1... дх^п

к2 =0,т^ ,]=1,п 11 1

5 — пространство функций ь(х1 ,...,хп), бесконечно дифференцируемых в Вп и быстро убывающих на бесконечности ([8], с. 149), 5" — пространство обобщенных функций медленного роста ([8], с. 150). Имеют место включения 5 С Ст С С0 С 5" ([8], с. 152). Прежде, чем доказать теорему 2.1, проверим справедливость трех лемм.

Лемма 3.1. Если выполнено условие (2.1), то решение уравнения (1.2) единственно в пространстве Б'.

Доказательство. Пусть в уравнении (1.2) f = 0 и и € Б' .К обеим частям уравнения (1.2) применим преобразование Фурье обобщенных функций ([8], с. 160-163). Тогда получаем равенство

(и, Р'ф) = 0 при любой ф € 5. (3.1)

Здесь и — образ Фурье и, и € Б', Р' = Р(—гг1,..., —гтп). Из условия (2.1) следует, что р/Р' € Б для любой финитной функции р € Б .В равенстве (3.1), полагая ф = р/Р', получим: (и, р) = 0 при любой финитной функции р € 5\ Множество финитных функций плотно в Б ([8], с. 149), поэтому и = 0 и и = 0. Лемма 3.1 доказана. □

Лемма 3.2. Пусть выполнены условия (2.1), (2.2) и при некоторой f € С0 существует решение и уравнения (1.2) из Б' такое, что Р0(д/дх1,..., д/дхп)и € С0. Тогда и € Ст.

Доказательство. При заданных / и и рассмотрим уравнение

«(1УМ ¿> -=* (32)

9 = / - Ро

д

д

дх\ ' дх,п

и е С0.

С одной стороны, и является обобщенным решением уравнения (3.2). С другой стороны, к уравнению (3.2) можно п раз применять теорему Боля ([1], с. 358), последовательно

обращая дифференциальные операторы

* • а ^ а

дх\

р

\dxnj

При обращении каждого дифференциального оператора Pj (д/дх^) сохраняются свойства непрерывности и ограниченности частных производных по остальным переменным. В результате получаем решение V Е Ст уравнения (3.2). Уравнение (3.2), как частный случай уравнения (1.2) и в силу леммы 3.1, может иметь единственное решение из Б'. Следовательно, и = V. Лемма 3.2 доказана. □

Лемма 3.3. Если выполнены условия (2.1) и (2.2), то существует положительное число 7 такое, что при всех г,,... ,тп Е Я имеет место оценка

\Р (гтъ гтп)\ > 7 (1 + ЫГ1 ■ ... ■ (1 + ЫГ" . (3.3)

Доказательство. При каждом ] = 1,п многочлен Р) (в) разложим по его корням

Р3 (8) = (Я — Хц) ■ ... ■ — Хут.)

Тогда имеем:

\Р, (гт, )\

а + МГ

П

1 —

1 + \ Ъ \

^ 1 при Т^ ж,

отсюда, в силу условий (2.2)

Ы ЗШ^ = ъ >

Г, ек (1 + \ т, \ Г

Следовательно, при всех т,,... ,тп Е К имеем оценку

\ Р!(гт1) ■ ... ■ Рп(

(1 + \ П\Г1 ■ ... ■ (1 + \ Тп\) А для многочлена Р0 имеем:

\ Ро(гт1,...,гтп) \ ^ со (1 + \ г, \ Г1-где с0 не зависит от т,,... ,тп. Отсюда выводим: \ Р(гп,... ,гтп) \

> Ъ ■ ... ■ 1п = 27,.

(1 + \Гп\)

тп- \

> 2Ц —

со

(1 + \ г, \ Г ■ ... ■ (1 + \ Тп \ )т" - " - (1 + \ П \) ■ ... ■ (1 + \ тп \) при \ Т, \ + ... + \ Тп \ > Со/7),. В силу условия (2.1)

\ Р (гтъ ...,гтп

> Ъ

т1п I |\Г

|г1|+...+|г„|<с0/71 (1 + \ Т, \)

72 > 0.

... ■ (1 + \ Тп \ Г

Значит, при всех т,,... ,тп Е К имеет место оценка (3.3), где 7 — наименьшее из чисел 7, и 72. Лемма 3.3 доказана.

Теперь перейдем к доказательству теоремы 2.1.

□

Необходимость. Пусть уравнение (1.2) при любой f Е С0 имеет единственное решение и Е Ст. Тогда условие (2.1) должно выполняться. Действительно, если Р(гт®,... , гт°) = 0 при некоторых т,,... ,т,° Е К, то функция и+exp(гт[)ж1 +... + ът^Хп) также будет решением уравнения (1.2) из Ст.

Предположим, что одно из условий (2.2) не выполняется, например, Рх^т0) = 0 при некотором т0 € К. Возьмем какую-нибудь функцию у0(х2, ... ,хп) € Ст»\Ст/,

где т и°(х\, . .

(т2 ,т3,..., тп), т" ,0/

,хп) = exp(iт®х\)v (х2,... ,хп). Очевидно, и0 Е S'\C1

Р

0 х

1 х

д

(т2 — 1,т3,... ,тп), и рассмотрим функцию 0

и

(»»)и> . Г ЕСо.

д х хп д х1 д хп

Следовательно, функция и0 является обобщенным решением уравнения (1.2) из Б' при / = /°. В силу леммы 3.1, так как условие (2.1) выполняется, решение уравнения (1.2) единственно в пространстве Б'. Получается, что при / = /0 не существует решение уравнения (1.2) из Ст; пришли к противоречию. Необходимость условий (2.2) доказана.

Достаточность. Пусть выполнены условия (2.1) и (2.2). Разрешимость уравнения (1.2) сперва докажем для периодических функций / из С0. Функцию / назовем периодической с периодом ш, где ш — фиксированное положительное число, если при каждом ] = 1,п выполняется тождество /(х\, ... + ш,..., хп) = /(х\, ... ,... , хп).

Лемма 3.4. Для любой ш-периодической функции f из С0 существует единственное решение и уравнения (1.2) из Ст, которое ш-периодично со всеми своими производными до порядка т. При этом имеет место оценка

(3.4)

NU ^ Mol

где M0 — положительное число, не зависящее от f и ш при всех ш > 1.

Доказательство. Периодическое решение будем находить в виде ряда Фурье от экспонент ([9], с. 172-183). Для этого ш-периодическую функцию f разложим в ряд Фурье:

í= £ Qb.i„ ( f)eг"(™+...+пХп).

(11,..,1 п)

Ряд сходится по норме пространства L2(DM) ([9])

1

\\д\\ь2 (du ) = ~п

19 (С!,..., Cn)\2dCi...dCп

где = {(£..., £п) : 0 < ^ < ш,) = 1, п}, и имеет место равенство Парсеваля

£ IС1!..лп(/)|2 = или(Вш).

(11,...,1 п)

Периодическое решение уравнения (1.2) определим формулами

пХп )

и

Y^ ch...iп(и)ег

(11,...,1 п)

С11...1 п (и)

С11...1 п ( Л

Р( г,...,

(3.5)

(3.6)

Учитывая лемму 3.3, произведем следующие оценки при 0 ^ kj < т^, j = 1,п:

( ^0 ■ ... '(^п)

— 1п) С^.Лп(и)

ш

<

I —1 I k 1.1 1

^п | кп \ Ch.., п ( f)\

-у(1 + I ^ 1 I )

т\

(1 + I 2^1п I )'

<

1

1 +

(1+\Ъ ] У1 пу

\ Ch...l п ( f

0

0

k

п

п

по неравенству Коши-Буняковского ([10], с. 55)

к

Е

(11,...и)

( ^0 ■...■(г^1п)

—к) с1ъ.Лп (и) ш

<

1

^ -

£ А-20+-I)-2

,/2

,/2

Лк,...,1п)

Лк,...,1п)

Отсюда следует: во первых, и Е Ст', где т' = (т, — 1,..., тп — 1), во вторых, ш-периодичны функция и и все ее частные производные дк+...+кп и/дхк ...дх^, где к^ = 0,т^ — 1, ] = 1,п, в третьих, имеет место оценка

N и ) ^м,\\ц\. (3.7)

Здесь М, > 0 и М, не зависит от/и ш при всех ш > 1. Из оценки (3.7) и формул (3.5), (3.6) вытекает, что и Е 5" им является обобщенным решением уравнения (1.2), а также имеет место включение Р0(д/дх,,... ,д/дхп)и Е С0. Применяя лемму 3.2, выводим: и Е Ст и

справедлива оценка

N\т ^ М2

(3.8)

где / = $ — Ро(д/дх,,..., д/дхп)и. Из (3.7) и (3.8) вытекает оценка (3.4). Лемма 3.4 доказана. □

Пусть / произвольная функция из С0. Построим следующую последовательность периодических функций:

$'д 1 ... 1 %п) У 1 ... 1 %п) Д (хъ ...,хп) = щ (тах(\ж!\,..., \хп\)) ¡(х,,. где д = 1, 2,..., (хъ...,хп) Е Ид, Ид = {(^

при тах (ж^,... , \хп\) ^ д, . ,хп) при д< тах (\,\,... , \хп\) ^ д+1,

..., и : \&\ < д + 1,з = 1,п), функция щ(г) непрерывна на Я, 0 ^ щ(1) ^ 1 при всех ¿, щ(1) = 1 при \Ь| ^ д и щ(1) = 0 при \Ь\> д + 1. Каждую функцию продолжим вне периодически с периодом 2(д + 1). Очевидно, \\/я\\ ^ \\ !\ \ при всех д = 1, 2,... и /д ^ / при д ^ ж равномерно в каждом ограниченном множестве И Е Яп. Согласно лемме 3.4, при каждом д существует единственное решение ид уравнения (1.2) из Ст и имеет место оценка \\ид\\т ^ М0\\/\\. Из последней оценки, в силу теоремы Арцела ([10], с. 119), следует существование подпоследовательности иЯ1, иЯ2,... равномерно сходящейся в каждом ограниченном множестве И Е Яп к некоторой функции и Е Ст' (т' = (т, — 1,... , тп — 1)) вместе со всеми частными производными дк+...+к"/Ох,1 ... , где к^ = 0,т^ — 1, ] = 1, п.

В уравнении (1.2) положим £ = , и = ия, и перейдем к пределу при ] ^ ж в пространстве обобщенных функций. Тогда получаем, что и является обобщенным решением уравнения (1.2) и удовлетворяет условиям леммы 3.2. Согласно лемме 3.2 имеем: и Е Ст. Теорема 2.1 доказана.

Покажем, что из теоремы 2.1 вытекает следствие 1. Для этого достаточно убедиться в том, что уравнение (2.3) представимо в виде (1.2). Рассмотрим в качестве Р,(э,) и Р2(в2) следующие многочлены:

Р,(з,) = (з, + ги) ■ ... ■ (^, + ^) = (—1)т1Я,(з,), Р2 (8 2) = (8 2 + ) ■ ... ■ (^ 2 + ^ ) = ( — 1)П'Я2(8 2

где — г,,, ..., — г,тг — корни многочлена ^(з), — г2,, ..., — г2т2 — корни многочлена Q2(s). Многочлены Р,(в,) и Р2(в2) перемножая между собой и воспользуясь формулами Виета,

к

выражающими коэффициенты многочлена через его корни ([11], с. 159), имеем:

mi — 1 т2-1

Pi (S1)P2(S 2) — S^ S™2 + ЕЁ Ьк1к2 8* Sk22 +

ki =0 k2=0

+S™2 ((z 11 + • • • + zlmi) S™1 1 + (Z i\Z\2 + ... + Z\mi — \Z imi) S™1 2 ... + Z\\ • ... • Z\m^j +

+ S™1 ((Z21 + ... + Z2m2 ) S™2 1 + (Z21Z22 + ... + Z2m2 — lZ2m2 ) S™2 2 + ... + Z21 • . . . • Z2m2) =

mi m2 mi — 1m2 — 1

— aa+ am2 \ л n ami — ki + mi \ л n m2 —k2 + \ л T „ki k2

— S1 S2 + S2 2_^n1ki S1 + S1 n2k2 S2 + bkik2 S1 S2 .

ki = 1 k2 = 1 ki =0 k2=0

Следовательно, символ P(s 1, s2) уравнения (2.3) представим в виде

mi — 1 т2 — 1

P(S1, S2) — P1(S 1)P2(S2)+ E Ё (>ik2 - 6kita) # ^ .

ki =0 k2=0

Многочлены P1 и P2 не имеют чисто мнимых корней одновременно с многочленами Q1 и Q2. Таким образом, уравнение (2.3) представимо в виде (1.2), и условия теоремы 2.1 выполняются только в том случае, когда символ уравнения (2.3) и многочлены Q1, Q2 не имеют чисто мнимых корней. Следствие 1 доказано.

4. Доказательство теоремы 2.2 Теорема 2.2 следует из теоремы 2.1 и ниже приводимой леммы.

Лемма 4.1. Если выполнены условия (2.7), то символ уравнения (2.6) не имеет чисто мнимых корней лишь в том случае, когда выполняется условие (2.8).

Доказательство. Легко проверить, что условие отсутствия чисто мнимых корней для символа уравнения (2.6) равносильно условию

(г п + 1)mi • ... • (г тп + 1)m" — b при всех ть... , тп е R, (4.1)

где Ь — )a—mi ... a—m". Покажем, что условие (4.1) равносильно условию

Rlmi(b) < 1, (4.2)

где Iml — m\ + ... + тп, а R|m| (b) определяется формулой (2.9). Этим самым лемма 4.1 будет доказана.

Положим Tj — tgipj, где ipj е (—ж/2, к/2) при всех j — 1, п. Тогда условие (4.1) принимает следующий вид:

е г(тm— Ъcosmi рх • ... • cosmn рп при всех ръ...,рп е (— К,К) . Последнее, в свою очередь, равносильно условию:

\b\ cosmi pi • ... • cosm" Рп — 1 (4.3)

при всех р,... ,рп е (—к/2,к/2), удовлетворяющих условию т\р\ + ... + тпрп — в + 2к1 для некоторого целого I ив — argb — аргумента Ь, 1в1 ^ к. Очевидно, целое число I должно удовлетворять неравенству 16 + 2к11 < \т\к/2.

Пусть ( ... , р°п) — набор, удовлетворяющий выше указанным условиям при некотором целом 10 и на котором достигается максимум функции F(р\,... ,рп) — cosmi р •... • cosm". Проверим, что имеют место неравенство

\b\ cosmi р0 • ... • cosmn р0п < 1 (4.4)

и равенства

т0 = = т0 = °_

| т

Л = ... = = . (4.5)

(К к\ ^ ^ ~ ^ ^

- 2 , 2/ , тл + ... +тпЛп = д + 2к1 о, (<^г ,...,<Рп) < 1.

Тогда условие (4.3) будет равносильно неравенству

щ^^-^Коо < 1,

| т|

которое в обозначениях (2.9) принимает вид (4.2); тем самым завершится доказательство леммы 4.1.

Прежде, чем проверить неравенство (4.4), построим набор ( Лрх,... , <рп), удовлетворяющий условиям

К К4 2 , 2,

При этом, не теряя общности, можно считать, что в + 2к10 > 0 и т\ ^ \т\/2. Выберем 8 € (0,к/2) так, чтобы выполнялись неравенства

\Ь\ С08т1 (' — 8)< 1, 0 < в + 2'1 о + т\5 < т'. Положим Л = к/2 — 8. Для имеет место включение:

(К К\

— (\т\ —т)2 , (\т\ —т)2) . (4.6)

Действительно, в силу предположений 9 + 2к 10 > 0, т\ ^ \т\/2 и выбора 8, имеем:

~ К К

в + 2к 10 — т\(р\ > —т1— + т\8 > — (\т\ — т\) —,

~ К К

в + 2к1 0 — т\(р\ = в + 2к1 0 + т\8 — т\— < (\т\ — т\) —. Из (4.6) следует существование 1р2,... ,лрп € (—к/2,к/2) таких, что

т2лр2 + ... + тпЛп = 0 + 2к1 о — т^. Для набора ( ,... , $п) имеем:

\lb\F ( $ ,...,фп) С08т1( К — 8)< 1. По двум наборам ( ... , $) и (лр\,... , лрп) рассмотрим функцию

д(1) = \bb\F ((1 — + ^0,..., (1 — 1)фп + ^0п), I € [0,1].

Функция д(Ь) непрерывна на отрезке [0,1] и д(0) < 1. Если (4.4) не верно, то д(1) > 1, следовательно, при некотором Ь0 € (0,1) должно выполняться равенство д(Ь0) = 1. При данном значении Ь0 имеем:

(К К \ — 2,2/,

т [(1 — Ь)(Р1 + + ... +тп [(1 — + и^п] = $ + 2'о,

\Ь\F ((1 — 1о)щ + Ъ<р0,..., (1 — *о)Лп + и>/п) = 1. А это противоречит условию (4.3). Значит, (4.4) действительно имеет место. Набор ( ср°,..., 1) является точкой максимума функции

^($1,..., Лп-1) = F 1,..., $п-1, — (9 + 2к1 о — тх^х — ... тп-1$п-1) ) - - тп - -

и лежит внутри области, где рассматривается функция Поэтому по необходимому условию экстремума имеем:

^ ( р?,...,рП-Л = 0, з = ,

др^

вт ( — (в + 2п1 о - тР - .. .тп-1(П-1) - =0, 3 = 1,п - I,

\ тп /

1 /л ; 0 0 \ /К

— (в + 2п1о - тт - . ..тп-1<Рп-1) € ( - 2, 2 ,

—п ^ 2 2/

о ( к к

где

отсюда

v) £ (-2пРивсех j=i,n-1, — (в + 2nl о - rnip! - ... mn-iVn-i) - vj = 0, j = 1,n - 1.

Относительно р\, ... , рП-1 получили систему линейных алгебраических уравнений. Данная система уравнений имеет единственное решение:

0 0 в + 2п I о

Vi = ... = Vn-1 =

\m\

Теперь находим р>П:

0 1 ífíMOl Л I ^ + 2тг10\ в + 2тг10

Vn = — в + 2тг1о - (\m\ - —)—¡—¡— = —¡—¡—. mn \ \m\ ) \m\

Таким образом, имеют место равенства (4.5). Лемма 4.1 доказана. □

5. Представление ограниченного решения

Приведем доказательство теоремы 2.3 о представлении ограниченного решения уравнения (2.6) формулой (2.10). Пусть f £ С0, числа а1,..., an положительны и выполнено условие (2.8). Проверим, что если функция G, определенная формулой (2.11), абсолютно интегрируема в области, где х1 > 0,... ,xn > 0, то функция и, определяемая формулой (2.10), будет ограниченным решением уравнения (2.6).

Очевидно, из абсолютной интегрируемости G следует, что и £ С0. Если к тому же и является обобщенным решением уравнения (2.6), то в силу леммы 3.2 получаем, что и £ Ст и и — ограниченное решение уравнения (2.6). В случае, когда f имеет компактный носитель, можно непосредственно проверить, что действительно и будет обобщенным решением. В общем случае, когда f — произвольная функция из С0, проверяется следующим образом: 1) как при доказательстве теоремы 2.1, построим последовательность функций fq £ С0, q = 1, 2,... с компактными носителями, равномерно сходящуюся к f в каждом ограниченном множестве D £ Rn; 2) в формуле (2.10) полагая f = fq, имеем обобщенное решение ич £ С0 уравнения (2.6); 3) из представления (2.10) следует, что последовательность nq, q = 1, 2,... сходится к и равномерно в каждом ограниченном множестве D £ Rn; 4) в уравнении (2.6) полагая f = fq, и = ич и переходя к пределу при q ^ ж, получаем, что и является обобщенным решением уравнения (2.6). Таким образом, доказательство теоремы 2.3 сводится к проверке абсолютной интегрируемости функции G в области, где х1 > 0,... ,xn > 0.

Функцию G запишем в следующем виде:

G(xх )= р-а1х1 -...-апх„хт!-1 тп-1 ( т\ тп) (5 1)

vJT yj^ 1 j . . . j •X'n J - & JL> 1 ... Jbn Á/ yJU 1 ... Jbn ) ) \ )

т = у_(±1)1__(5 2)

Очевидно, функция г(Ь) определена и бесконечно дифференцируема на промежутке (—то, +то). Оценим порядок роста \z(t)\ при больших положительных значениях аргумента . Имеет место следующая лемма.

Лемма 5.1. Существуют положительные числа М и [3, зависящие лишь от п и т1,... ,тп и такие, что при всех Ь > 1 и I = 0,1,..., \т\ — 1 имеет место оценка

\г(1)(1)\ < МгV-1 (\т\-1))/\т\ еХт , (5.3)

где

Лт = , • (5.4)

^тт1 •...

тт

Используя лемму 5.1, оценим \с(х1, ... ,хп)\ сверху при х1 > 0,... ,хп > 0. Из леммы 5.1 следует, что

е-Хт \г(г)\ <М3 (1 + ) при всех г > 0, (5.5)

где М3 > 0 и М3 не зависит от ¿.

Учитывая условие (2.8), выберем е > 0 так, чтобы имело место неравенство

Щт\(Ь) < ((—1 — е)т1 • ... • (оп — е)тп)1/1т1. Тогда при любых х1 > 0,... ,хп > 0 имеем:

(01 — е)х1 + ... + (о,п — е)хп = т1 | ——-хИ + ... +тп\ ——-Хп] >

т1 тп

((^Г-(^ )'/Н>

> \т|К| т1(Ь (Хт1 Хтп )1/\т\ =Л (хт1 Хтп ).1/\т\

> ,т,/—т-(Х1 ' ... п ) = Лт (Х1 ' ... ' Хп )

^т-у 1 • ... • ттп

¿1 ■ ■ ■ п ) Лт 1 ■ ■ ■ лп

1

п

Теперь оценим \с(х1, ... ,хп)\, воспользуясь оценкой (5.5):

\С(Х, Х )| = р-е{Х1+...+Хп) р-(а1-е)х1-...-(ап-е)хпХт1-1 . . Хтп-1 I - (Хт1 . . Хтп )| <

\ V 1) ' ' ' ) п) \ — ОС <Ь 1 . . . кЬ п • • • п )\

< е -£Х1хт1-1 _ _ е-£ Хп хХтп-1 е-Хт хГ1 •...•Хпп I ^ (хт1 . . хтп )| <

1 гп \ V 1 гп ) \

< М3е-£Х1хт1-1 • ... • е-£Хпх^-1 + (хт • ... • хт)?/1т^ .

Отсюда следует абсолютная интегрируемость функции С в области, где х1 > 0,... ,хп > 0. Доказательству леммы 5.1 предпошлем следующую лемму.

Лемма 5.2. Для функции г(£), определенной формулой (5.2), имеет место тождество

| т|

£ Р1г1-1г(1)(1) =Ьг(г), (5.6)

1=1

где р0 = 0, гр1,..., р\т\ — коэффициенты разложения многочлена

п

= П^т^ + т^)(т^г + т^ + 1) • ... • (т^х + 2тj — 1) =1

в интерполяционный многочлен Ньютона [12] по узлам -1, 0,1,..., \m\ - 1

\т\

Q(¿) = ЕPi(z + 1> • - • (z -¡ + 2).

i=1

Доказательство. Из разложения (5.7) вытекают следующие равенства: k+1

É Pi( к + 1)к • ... • ( к -I + 2) = Q(k), к = 0,1,..., \m\ - 1, =1

\ т\

Е Pi (к + 1)к • ... • (к -I + 2) = Q(k), к = \m\, \m\ + 1,... =1

Отсюда выводим:

\т\ \т\ те

J2Pltl-1z(l)(t) = bЕ

=1

\т\ Í\т\-1 те \

«£pi (£ + £ I

(bt)k (к + 1)к • ... • (к -I + 2) (bt)k (к + 1)к • ... • (к -I + 2)

i=1 \к=-1 ■ =т\) ^+1)-1)!•...• (™»(к+1)-1)!• т

| т - 1

(bt)k (к + 1)к • ... • (к -I + 2)

к+1

(5.7)

=0 (m1(к + 1) - 1)! • ... • (mn(к + 1) - 1)! • Q(к) —

(к + 1)к • ... • (к -I + 2)+

+ £

(bt)k (к + 1)к • ... • (к -I + 2)

| т

k , , m (к +1) - 1)!..... (ш„(к + 1) - 1)! •Q-Щ + 1)к ... •(к-1 + 2) = "Zlt).

к— \тт\ i—1

Лемма 5.2 доказана.

□

Доказательство леммы 5.1. Из тождества (5.6) следует, что вектор-функция у(Ь) = (г(Ь), г'(Ь),... , г(]]т]{-1)(£))Т является решением системы дифференциальных уравнений

у'(1) = в(г)у(г), 1> о, (5.8)

где

В (t)

(

\

0 1 0 ... 0 0

0 0 1 ... 0 0

0 0 0 ... 0 1

b -Р1 Р2 -Р\т\-2 Р\т \ — 1

Р >t\rn\ — 1 P\m\t\m\-Р\т\ = -1 Р1 f\m\ — 2 ... m'т • ...• mт. Р\т\t2 Р\т\t

В системе (5.8) произведем замену

y(t) = С(Т)и(Т)\T=t 1/М ,

где

С (т) = diag (1, а(т),..., с\т\-1(т)),

d(т) = (\m\т\т\-1)-1, 1 = 1,..., \m\- 1. В результате получаем систему дифференциальных уравнений

и ( ) = D( ) и( ), > 0,

(5.9)

(5.10)

(5.11)

ОД = \т\т\т\-1С-1(т)В (тн)С (т) — С-1(т)С'(т)

Считая Д(т), имеем:

0(т) = 0о + 01(т),

где матрица Д1(т) удовлетворяет условию \Д1 (т)\ < М4т-1 при т > 1, а матрица До определяется формулой

Д

о =

0 1 0. .0 0

0 0 1. .0 0

0 0 0. .0 1

Ъ\т\|т Р\т 0 0. .0 0

V

Собственными значениями матрицы До являются корни степени \т\ от числа Ь\т\\т\/р\т\:

/ ь \ 1/\т\

= И — ег(в+2,(1-1))/\т\, к =1,..., \т\,

\Р\т\/

где в — аргумент комплексного числа Ь. Каждому собственному значению и соответствует собственный вектор (1,-Шк,... , 1)т. По этим собственным векторам составим матрицу

( 1 ... 1 \

и1 ... и\т\

\ и1

\т\-1

\т\-1 и\ш\ )

Легко проверить, что имеет место равенство Ш 1ДоШ = Л, где Л = ¿гад,... ,и\т\) В системе 5.11), произведя замену

и(т) = Шу (т),

получаем систему

5.12)

5.13)

у'(т) = (Л + Ш-1В1(т)Ш) у(т), т > 0. Для координат Vj(т), ] = 1,... , \т\ вектор-функции у(т) имеем:

^ (Г) — WjVj (Т) = еП(Т) У1(Т) + ... + елт\(т) V\m\(r),

где \631 (т)\ < [от-1 при всех т > 1, = 1,... , \т\. Каждое дифференциальное уравнение умножим на ехр(—изт), а затем проинтегрируем от 1 до т:

Уз(т)е-и>>т = Уз(1)е-и>> + £ 1(0 + ... + е3\т\(0Цт\(0) е

Оценим \ Уз ( т)\ при г > 1:

\Уз(г)\ < М5е+ [о IТ (\гл(0\ + ... + ^Н (£)\) еЛт(т-)Г1^, где Лт = тах (уКе(и1),... , Ке(и\т\)). Отсюда имеем:

\ т\ рт \ т1

е-ЛтТ £ \ Уз (т)\ <М5\т\ +[о\т\ / £-1е-Лт? £ \ V] (£М при т> 1.

1

=1

=1

Из этого неравенства, в силу леммы Гронуолла ([1], с. 108), следует оценка

т

е-ЛтТ £ \Уз(т)\ < М5\т\т13°\т при г > 1.

Из полученной оценки, учитывая замены (5.12), (5.9) и формулы (5.10), легко выводятся оценки (5.3). Лемма 5.1 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

2. Мухамадиев Э. К теории дифференциальных уравнений в пространстве ограниченных обобщенных функций // Известия АН Таджикской ССР. 1988. Т. 110. № 4. С. 77-80.

3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965. 328 с.

4. Мухамадиев Э., Байзаев С. Ограниченные решения гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами // Известия АН Республики Таджикистан. 2011. Т. 142. № 1. С. 20-25.

5. Мухамадиев Э., Наимов А.Н., Сатторов А.Х. Об ограниченных решениях одного класса гиперболических уравнений на плоскости // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 1. С. 86-93.

6. Паламодов В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Наука, 1967. 488 с.

7. Мешков В.З. Весовые дифференциальные неравенства и их применение для оценок скорости убывания на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка // Труды МИАН СССР. 1989, Т 190, С. 139-158.

8. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.

9. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. 351 с.

10. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2004. 572 с.

11. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968. 431 с.

12. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966. 664 с. Эргашбой Мухамадиев,

Вологодский государственный университет,

ул. Ленина, 15,

160000, г. Вологда, Россия

E-mail: [email protected]

Алижон Набиджанович Наимов,

Вологодский государственный университет,

Вологодский институт права и экономики,

ул. Ленина, 15,

160000, г. Вологда, Россия

E-mail: [email protected]

Ахмад Хасанович Сатторов, Худжандский государственный университет, проезд Мавлонбекова, 1,

735700, г. Худжанд, Республика Таджикистан E-mail: [email protected]